Adaptado por Profa. Caroline Rodriguez

Departamento de Matemáticas

Universidad de Puerto Rico en Arecibo

Factorización de polinomios: Trinomios cuadráticos

Introducción

• Factorizar un polinomio es hallar factores de éste. Ejemplo: Como 2x (x + 3) = 2x2 + 6x decimos que

2x y x + 3 son factores de 2x2 + 6x.

• Cuando un polinomio sólo tiene como factores a 1 y a él mismo, decimos que es un polinomio irreducible o primo.

• Factorizar completamente un polinomio es hallar

los factores que sean irreducibles o primos.

Multiplicación de binomios

Repasemos la multiplicación de dos binomios, que resulta en un trinomio.

(x + n)(x + m)

= x2 + mx + nx + nm

= x2 + (m + n)x + nm

=x(x + m) + n (x + m)

La factorización invierte este proceso de multiplicación.

Factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c

Tenemos que la factorización de

Esto implica que existen polinomios cuadráticos de la forma x2 + bx + c, donde b y c son racionales,

que se pueden expresar como el producto de dos binomios de la forma (x + n)(x + m)

donde n y m son factores de c y la suma, m + n, es igual a b.

x2 + (m + n)x + nm = (x + n)(x + m)

Factorización de trinomios

Ejemplos: Factorice

a) x2 + 5x + 6

buscamos dos números cuyo producto sea 6 y cuya suma sea 5.

x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

= (x )(x )

Esos números son 2 & 3, por lo que

Factorización de trinomios b) y2 – 10y + 24 =

buscamos dos números cuyo producto sea 24

y cuya suma sea -10

y2 – 10y + 24 = (y + -6)(y + -4)

(y )(y )

Esos números son -6 & -4, por lo que

= (y – 6)(y – 4)

c) a2 – a – 30 = buscamos dos números cuyo producto sea -30

y cuya suma sea -1

a2 – a – 30 = (a + -6)(a + 5)

Esos números son -6 & 5, por lo que

= (a – 6)(a + 5)

(a )(a )

Factorización de trinomios d) x2 + x – 5 = (x )(x )

buscamos dos números cuyo producto sea -5

y cuya suma sea 1

Estos números NO EXISTEN.

Note que este trinomio cuadrático NO

factoriza.

e) a2 + 5a – 36 = (a )(a ) buscamos dos números cuyo producto sea -36

y cuya suma sea 5

a2 + 5a – 36 = (a + 9)(a + -4)

Esos números son 9 & -4, por lo que

= (a + 9)(a – 4)

Factorización de trinomios

f) 28 – 26y – 2y2 = – 2y2 – 26y + 28

= -2(y2 + 13y – 14)

buscamos dos números cuyo producto sea -14

y cuya suma sea 13

-2(y2 + 13y – 14) = -2(y + 14)(y + -1)

Esos números son 14 & -1, por lo que

= -2(y + 14)(y – 1)

Forma general de los trinomios cuadráticos • Los trinomios cuadráticos, en general,

tienen la forma

ax2 + bx + c , donde a, b,c son reales; a≠0

• Ejemplos:

22 25 12x x 24 6 2z z

32 − 12𝑥 − 8𝑥2

Factorización de trinomios con la forma ax2 + bx + c

• Factorización invierte el proceso de buscar

el producto de dos binomios.

• Cuando el término principal, a, es diferente

de 1, existen casos para los cuales usar

agrupación para invertir el proceso de

multiplicación es más eficiente que el

tanteo.

• El método se conoce como el método AC

Ejemplo con tanteo

Factorice completamente:

factores de 9:

factores de 4:

Las posibles combinaciones son:

Por lo tanto,

4159 2 xx

1(9) 3(3)

1(4) 2(2)

(9 4)( 1)x x

(9 1)( 4)x x

(9 2)( 2)x x

(3 2)(3 2)x x

(3 1)(3 4)x x

4159 2 xx (3 1)(3 4).x x

29 13 4x x

29 37 4x x 29 20 4x x

29 12 4x x 29 15 4x x

=

Factorizar trinomios con la forma ax2 + bx + c , a≠1 – método AC

Ejemplo: Factorizar 6𝑥2+𝑥 − 15

= (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 5)

= 2𝑥 3𝑥 + 5 − 3(3𝑥 + 5)

6𝑥2 + 𝑥 − 15 =

En este trinomio a= 6, b = 1, c= -15 y ac = -90

Buscamos dos números cuyo producto sea -90 y cuya suma sea 1

Esos números son 10 & -9, por lo que

6𝑥2 + 𝑥 − 15 = 6𝑥2 + 10𝑥 − 9𝑥 − 15

Factorización de trinomios

Ejemplo: Factorice 10x2 + 31x + 15

En esta expresión a=10, b=31, c=15, ac=150

Buscamos factores de 150 que sumen 31.

Los factores son: 25 y 6

= 10x2 + 25x + 6x + 15

= 5x(2x + 5) + 3(2x + 5)

= (5x + 3)(2x + 5)

Factorización de trinomios

Ejemplo: Factorice 12w2 – 11w + 2

• a=12, b= -11, c = 2, ac=24

• Buscamos factores de 24 que sumen -11

• Los factores son: -8 y -3

= 12w2 – 8w – 3w + 2

= 4w(3w – 2) – (3w – 2)

= (3w – 2)(4w – 1)

Ejemplo: Factorice 25a2 + 3a – 2

a=25, b= 3, c = – 2, ac= -50

Buscamos factores de -50 que sumen 3

Estos factores NO existen, el polinomio no factoriza.

Ejemplo: Factorice: 6y2 + 23y + 20 a=6, b= 23, c = 20, ac= 120 Buscamos factores de 120 que sumen 23 Los factores son: 15 y 8 = 6y2 + 15y +8y + 20 = 3y(2y + 5) + 4(2y + 5) = (2y + 5)(3y + 4)

Factorización de trinomios