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UNIVERSIDAD ADOLFO IBAÑEZ

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS

ING-108 Taller de Modelamiento

2do semestre 2015

Caso Farm Management

Taller de Modelamiento

Profesor: Rodrigo Hernández B.

Sección: 2

Grupo: 3

Integrantes: Martín Gallegos (mgallegos@alumnos.uai.cl)

Daniela Seguel (dseguel@alumnos.uai.cl) – Jefa de Grupo

Franziska Sharman (fsharman@alumnos.uai.cl)

Fernanda Villarroel (fvillarroel@alumnos.uai.cl)

Fecha de entrega: lunes 14 de septiembre 2015

2

Índice de contenidos

Introducción ........................................................................................................................................ 3

Desarrollo ............................................................................................................................................ 3

Hoja de trabajo: Manual de uso ......................................................................................................... 12

Conclusiones ..................................................................................................................................... 13

Referencias ........................................................................................................................................ 13

Índice de tablas

Tabla 1: Análisis de sensibilidad de la solución óptima ..................................................................... 6

Tabla 2: Valor neto de acre según escenario ....................................................................................... 7

Tabla 3: Solución óptima de cada escenario ....................................................................................... 7

Tabla 4: Escenario normal con valores óptimos de escenarios restantes ............................................ 8

Tabla 5: Escenario de sequía con valores óptimos de escenarios restantes ........................................ 8

Tabla 6: Escenario de inundación con valores óptimos de escenarios restantes ................................. 9

Tabla 7: Escenario de helada temprana con valores óptimos de escenarios restantes ........................ 9

Tabla 8: Escenario sequía-helada con valores óptimos de escenarios restantes.................................. 9

Tabla 9: Escenario inundación-helada con valores óptimos de escenarios restantes ........................ 10

Tabla 10: Promedio de valores netos por escenario .......................................................................... 10

Tabla 11: Frecuencia de ocurrencia de escenarios ............................................................................ 10

Tabla 12: Análisis de sensibilidad de la solución óptima ................................................................. 12

3

Introducción

En Taller de Modelamiento, se deben resolver casos para aprender y trabajar con herramientas

necesarias en el desarrollo del proyecto. El segundo caso a resolver es Farm Management, y se

utiliza el complemento Solver de Excel, por lo que se requiere de conocimiento previo para analizar

y resolver lo pedido.

Farm Management1 es el caso de una familia que ha tenido una granja por generaciones, y han

pasado por diversas situaciones con el paso de los años, como sequías e inundaciones. Trabajan con

ganadería (vacas lecheras y gallinas ponedoras de huevo) y cultivos (soya, maíz y trigo), los cuales

varían anualmente. Por esto, cada año la familia debe tomar decisiones acerca de cómo van a

mezclar la ganadería y cultivos para el año siguiente, con la finalidad de maximizar el valor

monetario de la familia.

En orden de poder resolver el caso, se entregan parámetros relacionados a costos, horas de trabajo y

espacio. Con la información entregada, se procede al planteamiento y resolución de lo pedido.

Desarrollo

a) Componentes de un modelo de programación lineal para este problema

Los componentes de un modelo de programación lineal corresponden a parámetros, variables de

decisión, restricciones y función objetivo. En este problema, la descripción verbal de dichos

componentes corresponde a:

Parámetros o datos:

Capacidad espacial de la granja: 640 [acres]

Horas-hombre disponibles para el período de invierno-primavera: 4.000 [horas-hombre]

Horas-hombre disponibles para el período de verano-otoño: 4.500 [horas-hombre]

Sueldo por trabajar en la granja del vecino en el período de invierno-primavera: 5

[pesos/hora]

Sueldo por trabajar en la granja del vecino en el período de verano-otoño: 5,5 [pesos/hora]

Dinero disponible para comprar ganado: 20.000 [pesos]

Vacas existentes: 30 [vacas]

Gallinas existentes: 2.000 [gallinas]

Valoración de todas las vacas existentes en la actualidad: 35.000 [pesos]

Valoración de todas las gallinas existentes en la actualidad: 5.000 [pesos]

Costo de vaca nueva: 1.500 [pesos/vaca]

Costo de gallina nueva: 3 [pesos/gallina]

Depreciación porcentual de vacas anualmente: 10%

Depreciación porcentual de gallinas anualmente: 25%

Acres de pastoreo por vaca: 2 [acres/vaca]

Horas-hombre mensuales de una vaca: 10 [ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠−ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒

𝑚𝑒𝑠∙𝑣𝑎𝑐𝑎]

Horas-hombre mensuales de una gallina: 0,05 [ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠−ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒

𝑚𝑒𝑠∙𝑣𝑎𝑐𝑎]

1 Hernandez, R., Caso N° 2: Farm Management, Taller de Modelamiento 2do semestre 2015, Universidad

Adolfo Ibañez Viña del Mar.

4

Entrada neta anual2 por vaca: 850 [pesos/vaca]

Entrada neta anual por gallina: 4,25 [pesos/gallina]

Cantidad máxima de vacas: 42 [vacas]

Cantidad máxima de gallinas: 5.000 [gallinas]

Horas-hombre anuales de soya en el período de invierno-primavera: 1 [ℎ𝑜𝑟𝑎−ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒

𝑚𝑒𝑠∙𝑎𝑐𝑟𝑒]

Horas-hombre anuales de soya en el período de verano-otoño: 1,4 [ℎ𝑜𝑟𝑎−ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒

𝑚𝑒𝑠∙𝑎𝑐𝑟𝑒]

Horas-hombre anuales de maíz en el período de invierno-primavera: 0,9 [ℎ𝑜𝑟𝑎−ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒

𝑚𝑒𝑠∙𝑎𝑐𝑟𝑒]

Horas-hombre anuales de maíz en el período de verano-otoño: 1,2 [ℎ𝑜𝑟𝑎−ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒

𝑚𝑒𝑠∙𝑎𝑐𝑟𝑒]

Horas-hombre anuales de trigo en el período de invierno-primavera: 0,6 [ℎ𝑜𝑟𝑎−ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒

𝑚𝑒𝑠∙𝑎𝑐𝑟𝑒]

Horas-hombre anuales de trigo en el período de verano-otoño: 0,7 [ℎ𝑜𝑟𝑎−ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒

𝑚𝑒𝑠∙𝑎𝑐𝑟𝑒]

Entrada neta anual3 por acre de soya: 70 [pesos/acre]

Entrada neta anual por acre de maíz: 60 [pesos/acre]

Entrada neta anual por acre de trigo: 40 [pesos/acre]

Acres anuales requeridos de maíz por vaca: 1 [acre/vaca]

Acres anuales requeridos de trigo por gallina: 0,05 [acre/vaca]

Gastos de vivienda de la familia: 40.000 [pesos]

Variables de decisión:

𝑤1: Vacas compradas con el fondo de inversión.

𝑤2: Gallinas compradas con el fondo de inversión.

𝑥1: Vacas totales de la granja.

𝑥2: Gallinas totales de la granja.

𝑦1: Acres de maíz.

𝑦2: Acres de trigo.

𝑦3: Acres de soya.

Es importante mencionar que en el modelo no se aprecian las variables 𝑤1 y 𝑤2 porque se pueden

obtener como: “Cantidad de vacas (o gallinas) totales menos las existentes”. Es decir, 𝑤1 = 𝑥1 − 30

y 𝑤2 = 𝑥2 − 2.000.

Restricciones:

Las horas-hombre destinadas en ambos períodos (invierno-primavera y verano-otoño) a

trabajar los cultivos y la ganadería, no puede ser mayor que las disponibles.

Los acres que requieren las vacas más los destinados a cultivos no pueden superar los acres

de la familia Ploughmann.

2 Se considera que la entrada es anual porque, pese a que sea menor que el costo de la vaca, entregará

beneficios durante un plazo mayor que un año. 3 La entrada por acre de cultivo ocurre una vez porque el enunciado indica que “los cultivos son cosechados a

fines de verano-otoño”.

5

Los acres disponibles de maíz y trigo, deben ser alcanzar al menos para alimentar a las

vacas y a las gallinas, respectivamente.

La compra de ganadería no puede superar el fondo de inversión.

La cantidad de vacas y gallinas del próximo año no puede ser menor que las existentes y

mayor que la capacidad de la granja para cada animal.

Función objetivo: Maximizar el valor monetario de la familia Ploughmann para fines del próximo

año, considerando 6 factores:

1. Entradas netas de la ganadería para el próximo año (+).

2. Valor neto de los cultivos del próximo año (+).

3. Valor restante del fondo de inversión (+).

4. Valor de la ganadería a fines del próximo año (+).

5. Entradas por trabajar en la granja del vecino (+).

6. Gastos de vivienda de la familia (-).

La función objetivo cambia a medida que varía la cantidad de acres destinados a los cultivos y a la

ganadería, por lo que se puede resumir como maximizar el valor monetario de la familia

Ploughmann mediante la toma de decisiones de la mezcla de ganadería y cultivos para el próximo

año.

b) Formulación del modelo

Para poder formularlo en la hoja de cálculo, primero se redacta el problema de manera algebraica.

𝑀𝑎𝑥. 𝑧 = (850 ∙ 𝑥1 + 4,25 ∙ 𝑥2) + (60 ∙ 𝑦1 + 40 ∙ 𝑦2 + 70 ∙ 𝑦3)

+ (20.000 − 1.500 ∙ (𝑥1 − 30) − 3 ∙ (𝑥2 − 2.000))

+ (35.000 ∙ 0,9 + 5.000 ∙ 0,75 + 1.500 ∙ 0,9 ∙ (𝑥1 − 30) + 3 ∙ 0,75

∙ (𝑥2 − 2.000)) + (5

∙ (4.000 − (0,9 ∙ 𝑦1 + 0,6 ∙ 𝑦2 + 1 ∙ 𝑦3 + 6 ∙ (10 ∙ 𝑥1 + 0,05 ∙ 𝑥2)) + 5,5∙ (4.500 − (1,2 ∙ 𝑦1 + 0,7 ∙ 𝑦2 + 1,4 ∙ 𝑦3 + 6 ∙ (10 ∙ 𝑥1 + 0,05 ∙ 𝑥2))) − (40.000)

𝑠. 𝑎

𝑡1: 0,9 ∙ 𝑦1 + 0,6 ∙ 𝑦2 + 1 ∙ 𝑦3 + 6 ∗ (10 ∙ 𝑥1 + 0,05 ∙ 𝑥2) ≤ 4.000

𝑡2: 1,2 ∙ 𝑦1 + 0,7 ∙ 𝑦2 + 1,4 ∙ 𝑦3 + 6 ∗ (10 ∙ 𝑥1 + 0,05 ∙ 𝑥2) ≤ 4.500

2 ∙ 𝑥1 + 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 ≤ 640

1 ∙ 𝑥1 ≤ 𝑦1

0,05 ∙ 𝑥2 ≤ 𝑦2

1.500 ∙ (𝑥1 − 30) + 3 ∙ (𝑥2 − 2.000) ≤ 20.000

30 ≤ 𝑥1 ≤ 42

2.000 ≤ 𝑥2 ≤ 5.000

𝑦3 ≥ 0

6

Pese a que la cantidad de ganado no puede ser fraccionada, se obvia esta restricción para permitir el

correcto funcionamiento del Solver, y luego simplemente se interpreta el resultado obtenido.

No se presentan restricciones de no negatividad para el maíz, trigo, vacas y gallinas, porque hay

restricciones que dejarían pasiva esta restricción.

Para visualizar la formulación del modelo en Excel, dirigirse a: “Caso Farm Management Hoja de

Trabajo (G3): Modelo”.

c) Solución óptima del modelo en relación al valor monetario de la familia a finales del

año siguiente y petición de análisis de sensibilidad

El modelo predice que las ganancias para la familia a finales del año siguiente serán de $𝟗𝟗. 𝟑𝟔𝟕, y

las cantidades totales de ganado y acres de cultivo son:

30 vacas (por lo que no se compra ninguna)

2.000 gallinas (por lo que no se compra ninguna)

30 acres de maíz

100 acres de trigo

450 acres de soya

La salida adicional para realizar un análisis optimista, se encuentra disponible en el archivo Excel

adjunto, hoja: “I.C Modelo”.

d) Rango permitido para que el valor neto por acre plantado, para cada uno de los 3

cultivos, permanezca óptimo.

Análisis de sensibilidad del modelo

Nombre Final Reducido Objetivo Permisible Permisible

Valor final Coste Coeficiente Aumentar Reducir

Vacas totales 30 0 70 44,6 1E+30

Gallinas totales 2000 0 0,35 0,8575 0,35

Acres de maíz 30 0 48,9 8,4 1E+30

Acres de trigo 100 0 33,15 17,15 1E+30

Acres de soya 450 0 57,3 1E+30 8,4

Tabla 1: Análisis de sensibilidad de la solución óptima

Teniendo en cuenta los valores obtenidos en el análisis de sensibilidad que se presentan en la tabla

anterior, es importante mencionar que el programa Excel arroja el valor 1E+30 cuando el valor

calculado es muy grande en dígitos para ser mostrado en la celda, por lo que se asume que es

infinito. Considerando esto y la restricción de no negatividad, la solución óptima podrá ser

mantenida siempre que el coeficiente objetivo de cada una de las variables varíe entre: vacas: [-∞;

114,6], gallinas: [0; 1,2075], acres de maíz: [-∞; 57,3], acres de trigo [-∞; 50,3] y acres de soya:

[48,9; +∞].

e) El cuadro estima el valor neto por acre plantado en cada uno de los tres cultivos,

asumiendo buenas condiciones de clima. Las condiciones de clima adversas dañarían

los cultivos y reducirían enormemente el valor resultante. Los escenarios

particularmente temidos por la familia son la sequía, la inundación, una helada

temprana, ambas sequía y helada, y ambas inundación y helada. Los valores netos

para el año bajo estos escenarios son mostrados en la tabla adjunta.

7

Encontrar una solución óptima en cada escenario después de hacer los ajustes

necesarios al modelo de programación lineal formulado en la parte (b). ¿Cuál es la

predicción sobre el valor monetario de la familia a fin de año?

Tabla 2: Valor neto de acre según escenario

Se utiliza el mismo modelo anterior, pero se cambia el valor de las entradas netas anuales por acre

de soya, trigo y maíz en cada escenario. La tabla (2) contiene la solución óptima de cada escenario,

y muestra de manera decreciente el valor monetario por escenario (se incluye el escenario normal

para efectos de comparación):

Solución óptima por escenario

Escenario

Cantidad

de vacas

Cantidad de

gallinas

Acres de

maíz

Acres de

trigo

Acres de

soya

Acres

totales

Valor

monetario

Normal 30 2.000 30 100 450 640

$

99.367

Helada

temprana 30 2.000 30 100 450 640

$

88.767

Inundación 42 2.666 422 133 0 640

$

74.055

Inundación

y helada 37 5.000 37 250 0 361

$

69.837

Sequía 42 2.666 42 133 0 259

$

67.863

Sequía y

helada 42 2.000 42 100 0 226

$

66.648

Tabla 3: Solución óptima de cada escenario

En base a la tabla, se puede visualizar que los escenarios más prometedores son aquellos que

utilizan todos los acres de la granja, siendo el mayor el escenario normal, y posteriores a ellos la

helada temprana y la inundación. Entonces, los escenarios más temidos por la familia deberían ser

inundación-helada, sequía y sequía-helada, ya que el valor monetario a fines del próximo año

disminuyen considerablemente.

Pese a que la familia no posee control sobre el clima, se considera que, en caso de inundación, la

mejor opción es destinar el espacio de la granja al cultivo del maíz y trigo. Cuando no se presenta

un escenario en particular o hay helada temprana, se recomienda destinar acres al cultivo de soya,

con espacio límite de 450 [acres]; en caso contrario, no se aconseja cultivar este producto.

8

f) Para la solución óptima obtenida en cada uno de los 6 escenarios (incluyendo el

escenario de buen clima considerado en las partes (a) a (d)), se procede a calcular qué

valor monetario de la familia habría a final de año si cada uno de los otros 5

escenarios ocurren en su lugar.

Se obtiene el valor monetario de la familia Ploughmann de un escenario en caso de haber

considerado la solución óptima de los otros 5 escenarios existentes. Esto se presenta desde la tabla

(4) hasta la tabla (9).

La interpretación de cada tabla es como sigue: en la tabla (4), se presentan los valores monetarios de

posicionarse en el mejor escenario con el óptimo de los escenarios restantes, es decir, se responde a

la pregunta ¿Cuál es el valor monetario si considero el escenario sequía, inundación, helada

temprana, sequía-helada, e inundación-helada, y lo que hubo realmente fue el escenario

normal?

La pregunta se realiza de manera análoga para las tablas (5) a (9).

Escenario real: Normal

Escenario

pronosticado

Cantidad

de vacas

Cantidad

de gallinas

Acres de

maíz

Acres de

trigo

Acres de

soya

Acres

totales

Valor

monetario

Sequía 42 2.666 42 133 0 259

$

76.336

Inundación 42 2.666 422 133 0 640

$

94.918

Helada

temprana 30 2.000 30 100 450 640

$

99.367

Sequía y

helada 42 2.000 42 100 0 226

$

75.008

Inundación y

helada 37 5.000 37 250 0 361

$

79.605

Tabla 4: Escenario normal con valores óptimos de escenarios restantes

Escenario real: Sequía

Escenario

pronosticado

Cantidad

de vacas

Cantidad

de gallinas

Acres de

maíz

Acres de

trigo

Acres de

soya

Acres

totales

Valor

monetario

Normal 30 2.000 30 100 450 640

$

57.117

Inundación 42 2.666 422 133 0 639

$

57.948

Helada

temprana 30 2.000 30 100 450 640

$

57.117

Sequía y

helada 42 2.000 42 100 0 226

$

67.859

Inundación y

helada 37 5.000 37 250 0 361

$

67.662

Tabla 5: Escenario de sequía con valores óptimos de escenarios restantes

9

Escenario real: Inundación

Escenario

pronosticado

Cantidad

de vacas

Cantidad

de gallinas

Acres de

maíz

Acres de

trigo

Acres de

soya

Acres

totales

Valor

monetario

Normal 30 2.000 30 100 450 640

$

70.417

Sequía 42 2.666 42 133 0 259

$

70.666

Helada

temprana 30 2.000 30 100 450 640

$

70.417

Sequía y

helada 42 2.000 42 100 0 226

$

70.329

Inundación y

helada 37 5.000 37 250 0 361

$

71.457

Tabla 6: Escenario de inundación con valores óptimos de escenarios restantes

Escenario real: Helada temprana

Escenario

pronosticado

Cantidad

de vacas

Cantidad

de gallinas

Acres de

maíz

Acres de

trigo

Acres de

soya

Acres

totales

Valor

monetario

Normal 30 2.000 30 100 450 640

$

88.767

Sequía 42 2.666 42 133 0 259

$

74.166

Inundación 42 2.666 422 133 0 639

$

85.148

Sequía y

helada 42 2.000 42 100 0 226

$

73.169

Inundación y

helada 37 5.000 37 250 0 361

$

77.197

Tabla 7: Escenario de helada temprana con valores óptimos de escenarios restantes

Escenario real: Sequía y helada

Escenario

pronosticado

Cantidad

de vacas

Cantidad

de gallinas

Acres de

maíz

Acres de

trigo

Acres de

soya

Acres

totales

Valor

monetario

Normal 30 2.000 30 100 450 640

$

53.717

Sequía 42 2.666 42 133 0 259

$

66.326

Inundación 42 2.666 422 133 0 639

$

54.508

Helada

temprana 30 2.000 30 100 450 640

$

53.717

Inundación y

helada 37 5.000 37 250 0 361

$

64.977

Tabla 8: Escenario sequía-helada con valores óptimos de escenarios restantes

10

Escenario real: Inundación y helada

Escenario

pronosticado

Cantidad

de vacas

Cantidad

de gallinas

Acres de

maíz

Acres de

trigo

Acres de

soya

Acres

totales

Valor

monetario

Normal 30 2.000 30 100 450 640

$

67.367

Sequía 42 2.666 42 133 0 259

$

69.581

Inundación 42 2.666 422 133 0 639

$

69.163

Helada

temprana 30 2.000 30 100 450 640

$

67.367

Sequía y

helada 42 2.000 42 100 0 226

$

69.409

Tabla 9: Escenario inundación-helada con valores óptimos de escenarios restantes

Analizando los datos obtenidos para cada escenario, se procede a calcular un promedio de los

valores de cada caso para estudiar cual sería el escenario más indicado:

Promedio por escenario

Escenario Normal Sequía Inundación Helada

temprana

Sequía y

helada

Inundación

y helada

Promedio $ 72.792 $ 70.823 $ 72.623 $ 72.792 $ 70.404 $ 71.789

Tabla 10: Promedio de valores netos por escenario

Considerando estos promedios de los valores monetarios entregados de los distintos escenarios que

podrían ocurrir en vez del escenario elegido por la familia, se puede concluir que la mejor elección

sería colocarse en un escenario normal o en un escenario de helada temprana. Esto es considerando

que la ocurrencia de otro evento, en caso de elegir un escenario en particular, tiene la misma

probabilidad de que ocurra.

g) El abuelo ha buscado cuales fueron las condiciones climáticas en el pasado tan atrás

como los registros permitieron, y obtuvo los datos de la tabla adjunta.

Con estos datos, la familia ha decidido usar el siguiente enfoque para tomar sus

decisiones de plantación y de ganadería. En vez del enfoque optimista de asumir un

buen clima, (tal como fue hecho de las preguntas a) a la d)), el promedio de valor neto

bajo todas las condiciones climáticas va a ser usado para cada cultivo (ponderando los

valores netos bajo varios escenarios según su frecuencia en la tabla).

Tabla 11: Frecuencia de ocurrencia de escenarios

11

Se procede a modificar el modelo de programación lineal según las frecuencias de ocurrencia de

cada escenario.

𝑀𝑎𝑥. 𝑧 = (850 ∙ 𝑥1 + 4,25 ∙ 𝑥2) + 𝟎, 𝟒 ∙ (𝟔𝟎 ∙ 𝒚𝟏 + 𝟒𝟎 ∙ 𝒚𝟐 + 𝟕𝟎 ∙ 𝒚𝟑) + 𝟎, 𝟐∙ (−𝟏𝟓 ∙ 𝒚𝟏 + 𝟎 ∙ 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎 ∙ 𝒚𝟑) + 𝟎, 𝟏 ∙ (𝟐𝟎 ∙ 𝒚𝟏 + 𝟏𝟎 ∙ 𝒚𝟐 + 𝟏𝟓 ∙ 𝒚𝟑) + 𝟎, 𝟏𝟓∙ (𝟒𝟎 ∙ 𝒚𝟏 + 𝟑𝟎 ∙ 𝒚𝟐 + 𝟓𝟎 ∙ 𝒚𝟑) + 𝟎, 𝟏 ∙ (−𝟐𝟎 ∙ 𝒚𝟏 − 𝟏𝟎 ∙ 𝒚𝟐 − 𝟏𝟓 ∙ 𝒚𝟑) + 𝟎, 𝟎𝟓∙ (𝟏𝟎 ∙ 𝒚𝟏 + 𝟓 ∙ 𝒚𝟐 + 𝟏𝟎 ∙ 𝒚𝟑) + (20.000 − 1.500 ∙ (𝑥1 − 30) − 3 ∙ (𝑥2 − 2.000))

+ (35.000 ∙ 0,9 + 5.000 ∙ 0,75 + 1.500 ∙ 0,9 ∙ (𝑥1 − 30) + 3 ∙ 0,75

∙ (𝑥2 − 2.000)) + (5

∙ (4.000 − (0,9 ∙ 𝑦1 + 0,6 ∙ 𝑦2 + 1 ∙ 𝑦3 + 6 ∙ (10 ∙ 𝑥1 + 0,05 ∙ 𝑥2)) + 5,5∙ (4.500 − (1,2 ∙ 𝑦1 + 0,7 ∙ 𝑦2 + 1,4 ∙ 𝑦3 + 6 ∙ (10 ∙ 𝑥1 + 0,05 ∙ 𝑥2))) − (40.000)

𝑠. 𝑎

𝑡1: 0,9 ∙ 𝑦1 + 0,6 ∙ 𝑦2 + 1 ∙ 𝑦3 + 6 ∗ (10 ∙ 𝑥1 + 0,05 ∙ 𝑥2) ≤ 4.000

𝑡2: 1,2 ∙ 𝑦1 + 0,7 ∙ 𝑦2 + 1,4 ∙ 𝑦3 + 6 ∗ (10 ∙ 𝑥1 + 0,05 ∙ 𝑥2) ≤ 4.500

2 ∙ 𝑥1 + 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 ≤ 640

1 ∙ 𝑥1 ≤ 𝑦1

0,05 ∙ 𝑥2 ≤ 𝑦2

1.500 ∙ (𝑥1 − 30) + 3 ∙ (𝑥2 − 2.000) ≤ 20.000

30 ≤ 𝑥1 ≤ 42

2.000 ≤ 𝑥2 ≤ 5.000

𝑦3 ≥ 0

Se destaca el fragmento del modelo de programación lineal que se modifica para incluir el nuevo

enfoque que la familia decidió tener en consideración para tomar decisiones de cultivo y ganadería.

Al ser modificados sólo los distintos retornos monetarios por acre cultivado y al mismo tiempo

incluir las frecuencias de todos los escenarios climáticos, únicamente se ve alterada la estructura de

la función objetivo a maximizar, no así las restricciones y/o variables de decisión.

h) Solución óptima del modelo modificado en relación al valor monetario de la familia a

finales del año siguiente y análisis de sensibilidad

El modelo pronostica que las ganancias (utilidad máxima) para la familia a fines del año siguiente

serán de $80.537, y las cantidades de ganado y acres de cultivos serán:

42 vacas (por lo que se deben comprar 12 vacas)

2.000 gallinas (por lo que no se compra ninguna)

42 acres de maíz

100 acres de trigo

414 acres de soya

Se debe considerar que la utilidad promedio del maíz, trigo y soya serían de $20,75, $27,5 y $34,

respectivamente.

12

La salida adicional para realizar un análisis optimista, se encuentra disponible en el archivo Excel

adjunto, hoja: “I.C Modelo modificado”.

A continuación, se presenta el rango permitido para que el valor neto por acre plantado permanezca

óptimo, en base al análisis de su coeficiente respectivo:

Análisis de sensibilidad del modelo

Nombre Final Reducido Objetivo Permisible Permisible

Valor final Coste Coeficiente Aumentar Reducir

Vacas totales 42 0 70 1E+30 22,5

Gallinas totales 2000 0 0,35 0,02 0,35

Acres de maíz 42 0 16,4 4,9 22,5

Acres de trigo 100 0 13,9 0,4 1E+30

Acres de soya 414 0 21,3 7,5 0,4

Tabla 12: Análisis de sensibilidad de la solución óptima

Teniendo en cuenta los valores obtenidos en el análisis de sensibilidad que se presentan en la tabla

anterior, la solución óptima podrá ser mantenida siempre que el coeficiente objetivo de cada una de

las variables varíe entre: vacas: [47,5; + ∞], gallinas: [0; 0,37], acres de maíz: [21,3; 0], acres de

trigo [- ∞; 14,3] y acres de soya: [28,8; 20,9].

Hoja de trabajo: Manual de uso

La planilla de trabajo de Microsoft Excel adjuntada a este documento, proporciona las distintas

soluciones que se han dado al problema de optimización de recursos de la familia Ploughmann. Para

el modelamiento de éste, se ha catalogado como un problema de programación lineal que puede ser

resuelto por el método simplex. Para ello, se consideran parámetros, variables de decisión, función

objetivo y restricciones para cada escenario propuesto.

Los escenarios se pueden visualizar en hojas separadas, y cada campo está separado del otro,

pudiéndose editar cada uno de ellos. Para efectos del trabajo, se editan las variables de decisión

(cantidad de ganado y acres de cada cultivo) según lo pedido. Del mismo modo, el usuario del Excel

adjunto puede editar manualmente las variables o solicitar al complemento Solver que le entregue la

solución óptima según sea el caso. Además, cuando se utiliza el complemento Solver, se puede

obtener el informe de confidencialidad para visualizar el rango permitido de las variables de

decisión.

También se presenta una hoja que contiene el modelo modificado, el cual ha sido formulado de

manera análoga a cada escenario por separado.

En caso de no disponer del complemento Solver, se puede cargar con los siguientes pasos:

1. Abrir Microsoft Excel

2. Ir a: Archivo

3. Seleccionar: Opciones

4. Ir a: Complementos

5. Hacer click en Solver y después en: Ir

6. Seleccionar Solver y Aceptar

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Conclusiones

En primer lugar, se concluye que la forma en la que se comprenden los datos entregados por el

problema es crucial para la resolución del mismo. Por ejemplo, es diferente considerar que el valor

neto entregado por los cultivos ocurre de manera anual a pensar que ocurre de manera mensual, ya

que la función objetivo se ve fuertemente alterada ante esa variación (fue considerado de forma

anual porque se indica que los cultivos son cosechados a fin de año). Por esto, antes de formular el

problema en términos algebraicos, se realizaron una serie de supuestos para aspectos que podrían

ser considerados ambiguos, para así justificar la formulación mediante la comprensión.

Respecto a los acres utilizados, se concluye que, de los 6 escenarios que afectan los cultivos,

aquellos en los que se utiliza toda la granja obtienen más beneficios, siendo helada temprana e

inundación.

Sobre los resultados entregados por Solver, se concluye que el mayor valor monetario se obtiene en

condiciones normales. Empero, en la realidad no es posible esperar que el clima siempre se

mantenga normal, por lo que el estudio de los diversos escenarios es fundamental para crear

soluciones más realistas. Por esto, se estudió cómo cambia el valor monetario en base a la variación

de las variables de decisión según cada escenario, obteniendo (de manera lógica) que los escenarios

más adversos fueron aquellos que entregaban menor utilidad.

Según el nivel de riesgo que la familia Ploughmann esté dispuesta a aceptar, puede posicionarse en

diferentes posturas. Si esperan que el clima se mantenga normal, les conviene utilizar los valores

que entrega dicha solución óptima; en caso de tomar una postura más pesimista, deberán considerar

la frecuencia de cada escenario y sus valores óptimos. Al considerar un escenario pero en realidad

ocurrió otro, se puede concluir sobre el escenario en el que es mejor posicionarse. Lo mejor para la

familia Ploughmann es que considere condiciones meteorológicas normales o de helada temprana

para las cosechas del próximo año, ya que el valor monetario, en promedio, es el mayor.

Mediante la consideración de los porcentajes de ocurrencia de escenarios, es posible obtener un

valor monetario más realista para la familia, por lo que se les aconseja considerar los valores

óptimos de este escenario ponderado, ya que pese a obtener un valor monetario menor al de ciertos

escenarios, el riesgo a tener un valor monetario menor se reduce.

Referencias

Hernandez, R., Caso N° 2: Farm Management, Taller de Modelamiento 2do semestre 2015,

Universidad Adolfo Ibañez Viña del Mar.