PRIMER TRABAJO COLABORATIVO - FASE 2 ECUACIONES DIFERENCIALES

NADIA YISELA CARDENAS ARANZALESCDIGO: 1056780413

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERAPROGRAMA DE INGENIERA INDUSTRIALCEAD IBAGU2015ACTIVIDADSe plantea una situacin problema y el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las caractersticas del problema que se ha planteado y buscar el mtodo de solucin ms apropiado segn las ecuaciones diferenciales de primer orden:PROBLEMAUna fbrica est situada cerca de un rio con caudal constante de 10000m3/s que vierte sus aguas por la nica entrada de un lago con volumen de 6000 millones de m3. Suponga que la fbrica empez a funcionar el 1 de enero de 1999, y que desde entonces, dos veces por da, de 4 a 6 de la maana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al ro a razn de 2 m3/s. Suponga que el lago tiene una salida de 8000m3/s de agua bien mezclada. Esboce la grfica de la solucin y determine la concentracin de contaminantes en el lago despus de un da, un mes (30 das), un ao (365 das).ANLISISLa situacin presentada por la gua integrada de actividades para el presente trabajo colaborativo esta referenciado en la literatura como problema tipo mezclas. Estos buscan modelar y conocer el comportamiento de la concentracin de un soluto en solucin mientras se mezcla con otra disolucin. Resolver la ecuacin diferencial del problema conduce a encontrar una ecuacin que permite encontrar la cantidad de soluto en cualquier momento.Tenemos un lago que recibe un flujo constante de solucin proveniente del cauce de un rio que recibe los contaminantes de una fbrica vecina. Adems el lago tiene un desfogue. Y necesitamos conocer la concentracin de contaminantes en el lago despus de 1 da, un mes (30 das) y un ao (365 das).GRAFICA

DESARROLLOPara facilitar los clculos tomaremos los flujos volumtricos en das. Adicionalmente se utilizaran notacin base 10 para expresar los valores.Ahora procedemos a extraer los datos suministrados por el problema incluidos las condiciones iniciales:

Para hallar la concentracin de contaminantes de la corriente que entra al lago procederemos a calcular la cantidad la cantidad de contaminante que se vierte al da (4 horas diarias de vertimiento) en el rio y dividiremos en la cantidad de agua que fluye por su cauce al da, as:

Con estos elementos podemos modelar el problema mediante una ecuacin diferencial. El cambio de volumen del agua en el lago y la variacin de la cantidad de contaminantes respecto al tiempo se pueden representar as:

Ahora procedemos a reemplazar los valores conocidos para obtener la ecuacin diferencial caracterstica del problema:

Necesitamos hallar la solucin de la ecuacin diferencial caracterstica del problema y para ello es muchsimo ms til utilizar el mtodo del factor integrante. Ahora procederemos a buscar la solucin de la ecuacin diferencial lineal ordinaria, as:

Ahora multiplicamos la ecuacin diferencial por el factor integrante que acabamos de encontrar.

Ahora integramos a los dos lados con respecto a t

Ahora necesitamos conocer el valor de la constan C y para esto vamos a utilizar las condiciones iniciales del problema, en este caso la cantidad de contaminantes al inicio en t=0, es Q (t=0)=0, es decir

Ahora podemos construir la expresin para conocer la cantidad de contaminantes en el lago en cualquier momento, as:

SOLUCIN DE PREGUNTASDetermine la concentracin de contaminantes en el lago despus de un da, un mes (30 das), un ao (365 das).

Como el volumen del lago y la cantidad de contaminantes cambian con el tiempo, debemos utilizar las expresiones para hacer los clculos correctos de la concentracin.

Ya tenemos la expresin para calcular la concentracin de contaminantes en el lago en cualquier momento, ahora procedemos a calcular para cada periodo de tiempo, as:

ANLISIS DE RESULTADOSLas concentraciones obtenidas son muy pequeas comparadas a las concentraciones de las mezclas a las que estamos acostumbrados con solutos como la sal de cocina y dems, sin embargo para contaminantes como el monxido de carbono en el aire o el plomo y el mercurio en el agua son concentraciones muy altas que pueden convertir el agua que bebemos o el aire que respiramos en armas mortales. Los vecinos del lago y los ambientalistas deberan exigir un control sobre el vertimiento de desechos por parte de la fbrica en el cuerpo de agua. Adicionalmente se observa cmo va creciendo la concentracin de contaminantes a medida que pasa el tiempo situacin normal, pues la fbrica no disminuye el volumen de contaminantes arrojados al lago.