UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería.

CONTROL DIGITAL

FASE 1

Actividad Individual

Presentado por:

SERGIO DAVID MARTINEZ ZARTE - CODIGO: 91540351

Grupo: 299006_7

Tutor del Curso:

DIEGO FERNANDO SENDOYA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

ESCUELA CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA (ECBTI)

CEAD Santa Marta

08 de Marzo de 2015

INTRODUCCIÓN

El diseño de sistemas de control es una tarea de gran importancia en la Ingeniería Electrónica para

nuestras vidas personales y profesional. Con el desarrollo del curso de Control Digital alcanzaremos la

meta de comprender en totalidad la formulación matemática de un proceso.

Durante la realización de estos ejercicios se busca el manejo de las transformadas Z, su inversa y

propiedades, herramientas necesarias para demostrar las soluciones a la expresión según la unidad de

tiempo que se plantee. Esto nos permitirá diseñar el modelo matemático de un proceso bajo los

sistemas digitales.

OBJETIVOS

Objetivo General

Solucionar los ejercicios utilizando las herramientas matemáticas (transformada z y funciones de

trasferencia) para determinar las salidas de un control digital.

Objetivos Específicos

Realizar investigaciones referentes a los diferentes métodos de transformada Z.

Comprender las bases matemáticas para la realización de modelamientos computarizados.

Aplicar funciones de transferencia sistema de lazos abierto en función de determinado tiempo.

EJERCICIOS PLANTEADOS

Ejercicio 1: (a) Encuentre los valores de y(kT) para k = 0,1,2,3,4, cuando: (b) Obtenga una solución en

forma de expresión:

𝑌(𝑧) = 𝑧

𝑧2 − 3𝑧 + 2

Aplicamos la transformada Z inversa con el método dela división directa, primero 𝑌(𝑧) se escribe

como un cociente de potencias de (𝑧−1):

𝑌(𝑧) = 𝑧−1

1 − 3𝑧−1 + 2𝑧−2

Luego se divide la expresión algebraicamente:

𝑧−1 1 − 3𝑧−1 + 2𝑧−2

𝑧−1 − 3𝑧−2 + 2𝑧−3 𝑧−1 + 3𝑧−2 + 7𝑧−3 + 15𝑧−4+….

3𝑧−2 − 2𝑧−3

3𝑧−2 − 9𝑧−3 + 6𝑧−4

7𝑧−3 − 6𝑧−4

7𝑧−3 − 21𝑧−4 + 14𝑧−5

15𝑧−4 + 14𝑧−5 + 2𝑧−3

15𝑧−4 − 45𝑧−5 + 30𝑧−6

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦(𝑧) = 𝑧−1 + 3𝑧−2 + 7𝑧−3 + 15𝑧−4+….

Al comparar esta expresión con una serie infinita se obtiene

∑ 𝑦(𝑘)𝑧−𝑛

∞

𝑘=0

Para 𝑦(0) = 0

𝑦(1) = 1

𝑦(2) = 3

𝑦(3) = 7

𝑦(4) = 15

b) Obtenga una solución en forma de expresión cerrada para y(kT) como una función de k

𝑧−1𝑦{(𝑧)} 𝑌(𝑧) = 𝑧

𝑧2 − 3𝑧 + 2

𝑌(𝑧) = 𝑧

(𝑧 − 2)(𝑧 − 1)

Multiplicamos en cruz y se reescribe como un cociente de polinomios en 𝑧−1

𝑌(𝑧) =2𝑧−1

1 − 2−1−

𝑧−1

1 − 𝑧−1

Según a tabla de transformadas Z tenemos

Entonces,

𝑦(𝑘) = 2𝑧−1 {𝑧−1

1 − 2𝑧−1} − 𝑧−1 {𝑧−1

1 − 𝑧−1}

𝒚(𝒌) = 𝟐∗𝟐𝒌 − 𝟏 = 𝒛𝒌+𝟏 − 𝟏

Ejercicio 2: Un sistema tiene una respuesta y(kT) = kT, para k ≥ 0. Encuentre Y(z) para esta respuesta.

Se considera una unción rampa unitaria por,

𝑦(𝑡) = {𝑡, 0 ≤ 𝑡 0, 𝑡 < 0

Ya que… 𝑦(𝑘𝑇) = 𝑘𝑇, 𝑘 = 0,1,2,3, ….

Las magnitudes son proporcionales al periodo T. a transformada Z de una función rampa unitaria

puede ser escrito como:

𝑦(𝑧) = 𝑍[𝑡] = ∑ 𝑦(𝑘𝑇)𝑧−𝑘 =

∞

𝑘=0

∑ 𝑘𝑇𝑧−𝑘 = 𝑇 ∑ 𝑘𝑧−𝑘

∞

𝑘=0

∞

𝑘=0

= 𝑇(𝑍−1 + 2𝑍−2 + 3𝑍−3 + ⋯ )

= 𝑇𝑍−1

(1−𝑍−1)2

= 𝑻𝑻𝒛

(𝒁−𝟏)𝟐

Ejercicio 3: Encuentre Y(z) cuando T = 0.1 segundos, para la función:

𝑦(𝑠)5

𝑠(𝑠 + 2)(𝑠 + 10)

Aplicamos el método de Fracciones Parciales

𝑦(𝑠) =5

𝑠(𝑠 + 2)(𝑠 + 10)=

𝑟1

𝑆+

𝑟2

𝑆 + 2+

𝑟3

𝑆 + 10

Multiplicamos ambos lados por s (s+2)(s+10) y simplificar

5 = 𝑟1(𝑠2 + 12𝑠 + 20) + 𝑟2(𝑠)(𝑆 + 10) + 𝑟3(𝑠)(𝑠 + 2)

5 = 𝑟1(𝑆 + 2)(𝑆 + 10) + 𝑟2(𝑆)(𝑆 + 10) + 𝑟3(𝑆)(𝑆 + 2)

Para 𝑟1 tenemos…

5 = 𝑟1(20) ≫ 𝐴 =5

20=

1

4

Para 𝑟2 tenemos…

5 = 𝑟2(−16) ≫ 𝐵 =−5

16

Para 𝑟3 tenemos…

5 = 𝑟3(80) ≫ 𝐶 =5

80=

1

16

Entonces, la descomposición de la fracción parcial es

𝑌(𝑠) =

14𝑠

−

516

𝑠 + 2+

116

𝑠 + 10

Cuya transformada inversa es:

𝑦(𝑡) =1

4 (1) −

5

16 𝑒−2𝑡 +

1

16𝑒−10𝑡

CONCLUCIONES

Durante la solución de los ejercicios se evaluó el desarrollo de las diferentes aplicaciones de la

transformada z. Sus propiedades nos llevaron a la solución de los diferentes ejercicios, bases

necesarias para el desarrollo del modelamiento digital de los sistemas.

Se enfatizó y reconoció la importancia del modelamiento matemático de la transformada z e

inversa en los controles discretos.

REFERENCIAS

Universidad Popular del Cesar (S/F) Transformada Z: Unidad II [Modulo] Recuperado el 28

de Febrero de 2015 en: http://es.slideshare.net/davinso1/unidad-2-control2

Vásquez, V. (S/F) Transformada Z [Modulo] Recuperado el 26 de febrero de 2015 en:

http://homepage.cem.itesm.mx/vlopez/notas2p.pdf