ISOMETRÍAS

FUNCIONES

Llamaremos FUNCIÓN de A(conjunto) en B (conjunto), a toda relación de A en B tal que todo elemento de A tiene un único correspondiente en B.

Diremos que una BAf : es INYECTIVA si a elementos distintos del dominio tienen

imágenes distintas en el codominio.

La definición anterior es equivalente, a que para todo par de elementos del codominio iguales, sus pre-imágenes son iguales (contrarreciproco).

Diremos que una BAf : es SOBREYECTIVA si todo elementos del codominio es imagen

de algún elemento del dominio.

Diremos que BAf : es BIYECTIVA si la función es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Actividad 1: Clasificar las siguientes funciones

Ahora pasaremos a estudiar funciones que estableceremos entre conjuntos de puntos.

Actividad 2:

1) Se considera un punto O fijo del plano ( ) y la función :i tal que a todo punto del plano P (distinto de O) le corresponde otro punto del mismo plano P´ de forma de que O es el punto medio del segmento PP´ y al punto O le corresponde el propio punto O.

a) Hallar la imagen de un triangulo cualquiera ABC.

b) ¿Es una función biyectiva?

2) Se considera una Co,r y una recta t exterior a ella de un mismo plano y la función trCok ,: tal que a todo punto P de la Co,r le corresponde un punto P´ de la recta t de

la siguiente manera: se considera la recta s perpendicular a la recta t por el punto P,

Pts

a) Hallar la imagen de varios puntos.

b) ¿Es una función biyectiva? En caso de no serlo, que modificaciones se pueden realizar en el dominio y codominio para que sea una función bIyectiva?

:g tal que 3)( xxg

:h al que 2)( 2 xxh

3) Se consideran dos circunferencias concéntricas Co,r y Co,r´ con r´>r de un mismo plano y la función ´,,: rCorCoj de forma que a un punto P de la Co,r le corresponde el punto

P´ determinado de la siguiente manera: ´, PrCoOP

a) Hallar la imagen de varios puntos.

b) ¿Es posible hallar la imagen del punto O en la función j?

c) ¿Es una función inyectiva? ¿Sobreyectiva? ¿Biyectiva?

AXIOMA MÉTRICO

Existe una función :d a la que llamaremos DISTANCIA, la cual a cada par de puntos le hace corresponder un número real y tiene las siguientes propiedades:

kPOdPOrPPúnicoesykrO

deorientadar

CBABCdCAdBAdABCSi

BABCdCAdBAdABCSi

BAABdBAd

BABAd

),(,,/,

.5

,,),(),(),(.4

,),(),(),(.3

,),(),(.2

,0),(.1

*

Actividad 3:

Indicar en cada una de las funciones estudiadas en la actividad 2, si ellas conservan las distancias. O sea, que para dos puntos cualesquiera A y B del dominio , se cumple que d(A,B)=d(A´,B´) siendo A´ y B´ sus respectivas imágenes.

ISOMETRÍAS

Una función :f es una ISOMETRÍA del plano si y sólo si es una función biyectiva que

conserva las distancias.

Consideraremos el conjunto I isometríaesff /: .

Se cumple que si una función f I entonces 1f I.

Actividad 4: ¿Alguna de las tres funciones estudiadas en la actividad 2, es una isometría?

Definiremos la FUNCIÓN IDENTIDAD como la función

¿Qué es un axioma?

:I tal que XXXI ,)(

¿Es una isometría?

Propiedades de las isometrías:

1.- Las isometrías transformas puntos alineados en puntos alineados

2.- Las isometrías conservan los ángulos.

3.- Las isometrías conservan el paralelismo

3.- La imagen de una semirrecta en una isometría es una semirrecta, la imagen de una recta es un recta y la imagen de una Co,r es otra Co´,r siendo O´ la imagen de O.

Isometrías directas e indirectas:

Se define ISOMETRÍA DIRECTA a la que conserva el sentido en el plano, y por oposición

ISOMETRÍA INDIRECTA, a la que invierte el sentido del plano.

Como sólo existen dos sentidos en el plano, se cumple que la composiciones de dos

isometrías directa, es directa; la de dos indirectas, es directa y la de una directa por una

indirecta es indirecta.

Sabiendo que una isometría hace corresponder el triángulo ABC con

el triángulo A´B´C´. ¿Cómo podemos saber si es una isometría directa

o indirecta?

A

B

C

C´

A´

B´

Un mecanismo sencillo considerando tres puntos distintos y no alineados y sus respectivas

imágenes. Como ABC se encuentra en sentido horario, mientras que su respectiva imagen

A´B´C´ también se encuentra en sentido horario, en este caso se mantiene el sentido del

plano y es una isometría directa.

¿Por qué suelen ser sinónimos

isometrías y movimientos?

¿Por qué es necesario tomar tres puntos? ¿Si

tomamos menos? ¿Si tomamos más?

Dos FIGURAS SON CONGRUENTES, si se corresponden en un isometría.

SIMETRÍA AXIAL

Actividad 1:

A) En las siguientes imagines extraídas de internet se pueden apreciar simetrías axiales.

B) A partir de lo observado en la parte anterior, intenta completar las siguientes figuras:

c) Ahora intenta hallar la imagen de un punto cualquiera R y un punto del eje de simetría, indicando que particulares crees que tiene que cumplir.

Eje de siemtría

Eje de siemtría

R

T

Llamaremos SIMETRÍA AXIAL de eje e a la función:

:eS tal que si

´)(,

)(

´ PPSsiendomzeeP

PPSeP

ePP

e

VERIFICAR O JUSTIFICAR¿Es la simetría axial de eje e una isometría? ¿La simetría axial de eje e es una isometría directa o indirecta? ¿Qué ocurre con la composición de dos simetrías axiales con el mismo eje?

Ejercicio 1: Dada una Co,r y A fijos con ACo,r. Se considera la recta tangente t a la Co,r por

A. Sea B variable en la Co,r . Se construyen los rombos ABCD que tienen la diagonal AC

incluida en t.

1. Hallar el LG(B) (teo. Directo, limitación y construcción).

2. Hallar el LG(D) (teo. Directo, limitación y construcción).

3. Si d(B,A)=r, calcular la amplitud del ángulo BCD.

Ejercicio 2: Se considera una semicfa C de diámetro AB, sea P variable en ella y Q tal que P

es el punto medio del segmento QB.

1. Demostrar CBS AP )( .

2. Demostrar que el triángulo ABC es isósceles.

3. Hallar el LG(Q) (teo. Directo, limitación y construcción).

Ejercicio 3: Se considera un cuadrado ABCD horarios (de lado k) y M variable en el segmento AD (M A, M D). Se considera N en la semirrecta opuesta a la AD y con d(A,N)=d(A,M).

1. Demostrar que los triángulos AMB y ANB son iguales.2. Hallar el LG(N) (teo. Directo, limitación y construcción)(*).3. Si M es el punto ½ del segmento ND, hallar el perímetro del cuadrilátero NDCB en

función del lado (k) del cuadrado.

ROTACIÓN

Actividad 1:

1) Hallar la imagen de un punto en la composición de dos simetrías axiales de ejes secantes

con Oa PPS )( y ´)( PPS Ob .

2) A partir de lo anterior, contesta y justifica las siguientes preguntas:

¿Qué relación hay entre la d(O,P) y d(O,P´)? ¿Qué relación hay entre el ángulo aOb y el ángulo POP´? ¿Con esta información basta para poder ir del punto P al P´?

Llamaremos ROTACIÓN a la composición de dos simetrías axiales de ejes secantes:

abba SSR , con Oba

Llamamos CENTRO DE ROTACIÓN al punto de intersección de los ejes.

Demostrar que le centro de rotación es fijo. ¿La rotación es una isometría directa o indirecta? Justificar por dos caminos

distintos.

Llamamos ÁNGULO DE ROTACIÓN al determinado por un punto , el centro de la rotación (O) y la imagen de dicho punto (distinto de O).

a.

b.

O

Ahora trataremos de elaborar OTRA DEFINICIÓN de rotación a partir de los visto anteriormente:

Dada una rotación abba SSR , con Oba podemos expresar la rotación

mediante:

1. Un centro de rotación: Oba

2. Ángulo de rotación: bOa ˆ

3. Sentido de la rotación (horario o antihorario).

Para llegar a una ÚNICA 2,OR .

Actividad 4: Dados los siguientes cuadrados ABEF y BCDE , como muestra la figura, expresar las siguientes rotaciones por su centro, ángulo y sentido:

CDBC

BDED

EBAE

SSh

SSg

SSf

Ahora, dada la rotación por su centro, ángulo de rotación y sentido de rotación la podemos expresar como la composición de dos simetrías axiales cuyos ejes cumplan:

1. Ser secantes en el centro de rotación.2. El ángulo entre los ejes sea la mitad del ángulo de rotación.3. El sentido de ir de un eje al otro sea el mismo que el de la rotación.

En este caso podemos observar que hay INFINITAS composiciones de simetrías axiales que cumplen esta característica.

Actividad 5: Dado un triángulo equilátero ABC, escribir las siguientes rotaciones como composición de dos simetrías axiales , por lo menos tres parejas por cada una.

a.

b.

O

E

B

F D

CA

B

C

A

120,

60,

B

A

Rg

Rf

¿Cuál es la isometría inversa de una rotación de centro O , ángulo y sentido horario?

Actividad Extra: ¿La composición de dos simetrías axiales es conmutativa?

Ejercicio 1: Se considera un triángulo equilátero ABC (antihorario).

A) Hallar las siguientes isometrías:

B) Verificar que es lo mismo realizar la imagen del triángulo ABC por medio de la función f o por medio de la composición de la simetría axial y la rotación indicada.

C) Verificar que es lo mismo realizar la imagen del triángulo ABC por medio de la función h o por medio de la composición de las dos rotaciones.

Ejercicio 2:

Dada una semicircunferencia de diámetro AB , se considera un punto P variable en ella. Se construyen los cuadrados APQR (anithorarios).

1) Demostrar que la recta PB es paralela a la recta AR.2) Hallar el LG(R) (demostrar, limitar y construir).3) Hallar el LG(M), siendo M el punto medio del segmento AP (demostrar, limitar y

construir).

Ejercicio 3:

60,120,

240,

120,

/

/

/

CA

ACC

ABA

RRhh

SgRg

SRff

Dado ABC un triángulo rectángulo isósceles en A (antihorario). Sea P variable en el

segmento AB (P A, P B). Se considera el triángulo rectángulo PAR isósceles en A

(antihorario).

1) Hallar el LG(R) (demostrar, limitar y construir).

2) Demostrar que el segmento CP es igual al segmento BR.

3) Si d(A,P)=k, calcular el área y el perímetro del triángulo PAR en función de k.

SIMETRÍA CENTRAL

Llamaremos SIMETRÍA CENTRAL a la composición de dos simetrías axiales de ejes

perpendiculares.

abo SSC con Oba y ba .

Como vemos, la simetría central es un caso particular de rotación, por lo tanto, cumple con todas sus propiedades.

¿Cuál es el ángulo de rotación?

Demostrar que un punto (distinto de O ) y su imagen están alineados con el centro.

¿La simetría central es una isometría directa o indirecta?

¿Cuál es la isometría inversa de la simetría central?

Ejercicio extra: Demostrar que la imagen de un recta es otra recta paralela (Sugerencia:

tomar dos puntos de la recta y sus respectivas imágenes).

Ahora trataremos de elaborar una definición de simetría central a partir de lo visto

anteriormente:

Dada una rotación ab SSCo con Oba y ba podemos expresar la

simetría central mediante su centro. Para llegar a una ÚNICA simetría central.

Actividad 1: Dados los siguientes cuadrados ABEF y BCDE , como muestra la figura, expresar las siguientes simetrías centrales por su centro.

BDFB

FABC

EBED

SSh

SSg

SSf

E

B

F D

CA

Ahora, dada la simetría central de centro O, se puede expresar como la composición de dos simetrías axiales de ejes perpendiculares secantes en O.

En este caso podemos observar que hay INFINITAS composiciones de simetrías axiales que cumplen esta característica.

Actividad 2: Dada una figura como la actividad anterior, escribir las siguientes simetrías centrales como composición de dos simetrías axiales, por lo menos tres parejas por cada una.

E

A

Cg

Cf

Ejercicio 1: Dado un triángulo MNO equilátero (antihorario) se considera el punto P tal que

PMCN )( y ROCN )( .

1) Demostrar que MO es perpendicular a OP.2) Demostrar que el cuadrilátero MRPO es un rectángulo.

3) Hallar RMPR CCShh /

Ejercicio 2: Se consideran un cuadrado PQRS (antihorario), un punto X variable en el segmento PS (X P, X S) y la recta r perpendicular a XR por el punto Q,

YXRr .

1) Hallar el LG(Y) (demostrar, limitar y construir).

2) Hallar el LG(Z) (demostrar, limitar y construir), siendo Z un punto

perteneciente a la semirrecta opuesta a RX con d(Y,R)=d(R,Z).

Ejercicio 3: Se considera una Co,r y en ella una cuerda fija AB / d(A,B)=r.

Sea C variable en el arco mayor AB, se consideran los paralelogramos

APQR de centro B.

1) Demostrar que d(A,Q)=2d(A,O)

2)Hallar el LG(Y) (demostrar, limitar y construir)(*).

3) Indicar la/s posiciones para que el paralelogramos APQR sea un rombo.

2)Hallar el LG(Y) (demostrar, limitar y construir)(*).

3) Indicar la/s posiciones para que el paralelogramos APQR sea un rombo.

TRASLACIÓN

Llamamos TRASLACION a la composición de dos simetrías axiales de ejes disjuntos

abba SST , con ba

¿La traslación es una isometría directa o indirecta?

Actividad 1:

1) Hallar la imagen de un punto en una traslación baT , , determinada por la composición

de dos simetrías axiales de ejes disjuntos con Oa PPS )( y ´)( PPS Ob .

2) A partir de lo anterior, contesta y justifica las siguientes preguntas:

¿Qué relación hay entre la d(P,P´) y d(a,P´)? ¿Qué relación hay entre la recta PP´ y los ejes de simetría? ¿Con esta información basta para poder ir del punto P al P´?

Ahora trataremos de elaborar una definición de traslación a partir de los visto anteriormente:

Dada una rotación abba SST , con ba podemos expresar la

traslación mediante un vector determinado de la siguiente manera:

1. Dirección: perpendicular a los ejes de simetría axiales2. Módulo: el doble de la distancia entre los ejes.3. Sentido del primer eje de simetría hacia el segundo.

Para llegar a una ÚNICA uT .

Actividad: Dados los siguientes cuadrados ABEF y BCDE , como muestra la figura, expresar las siguientes traslaciones por medio de un vector.

a.

b.

E

B

F D

CA

ABED

FADC

FAEB

SSh

SSg

SSf

Ahora, dada la traslación por un vector la podemos expresar como la composición de dos simetrías axiales cuyos ejes cumplan:

1. Ser perpendiculares al vector2. La distancia entre los ejes sea la mitad del módulo del vector.3. El sentido de ir de un eje al otro sea el mismo que el vector de traslación.

En este caso podemos observar que hay INFINITAS composiciones de simetrías axiales que cumplen esta característica.

Actividad: Dada una figura como la actividad anterior, escribir las siguientes traslaciones como composición de dos simetrías axiales, por lo menos tres parejas por cada una.

DF

AB

Tg

Tf

¿Cuál es la isometría inversa de una traslación de vector u?

Ejercicio 1: Se considera una semicircunferencia de centro O y

diámetro AB. Sea P variable en la semicircunferencia de

diámetro AB (C A, C B). Se consideran los paralelogramos

ABQP.

1) Demostrar que PB es perpendicular a BQ.

2) Hallar el LG(Q) (demostrar, limitar y construir).3) Si P es el punto medio del arco AB y siendo d(A,O)=r, calcular el perímetro y el área

del paralelogramos ABQP.

Ejercicio 2: Se considera una Co,r y en ella una cuerda fija WX / XOW ˆ =90° (horario). Sea Z

variable en el arco mayor AB, se consideran los paralelogramos WXYZ.

1) Calcular la amplitud del

2) Hallar el LG(A) (demostrar, limitar y construir), siendo A el punto medio del segmento ZY.

3) Hallar el LG(B) (demostrar, limitar y construir), siendo B el punto medio del segmento WZ.

4) Si W, O y Z están alineados, calcular el perímetro del paralel

Ejercicio 3: Dados los siguiente cuadrados

A) Hallar la isometría indicada en cada caso:

90,/

/

/

ACA

DFD

BCAC

RThh

CgTg

TTff

B) Con respecto a la isometría f:

Hallar la imagen del cuadrilátero EFAC en la isometría f. ¿Qué ocurre con la composición de dos traslaciones de vectores u y v?

Calcular la amplitud del ángulo XZY.

Hallar el LG(A) (demostrar, limitar y construir), siendo A el punto medio del

Hallar el LG(B) (demostrar, limitar y construir), siendo B el punto medio del

Si W, O y Z están alineados, calcular el perímetro del paralelogramo WXYZ.

Dados los siguiente cuadrados.

allar la isometría indicada en cada caso:

B) Con respecto a la isometría f:

Hallar la imagen del cuadrilátero EFAC en la isometría f. ¿Qué ocurre con la composición de dos traslaciones de vectores u y v?

ANTITRASLACIÓN

E

B

F

A

Hallar el LG(A) (demostrar, limitar y construir), siendo A el punto medio del

Hallar el LG(B) (demostrar, limitar y construir), siendo B el punto medio del

ogramo WXYZ.

¿Qué ocurre con la composición de dos traslaciones de vectores u y v?

E

B

D

C