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83
1 Física 3 – ECyT – UNSAM 2013 Corrientes de Desplazamiento – Ecuaciones de Maxwell-Ondas E&M Docentes: Gerardo García Bermúdez Salvador Gil www.fisicarecreativa.com/unsam_f3 Clases 14
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1
Física 3 – ECyT – UNSAM2013
Corrientes de Desplazamiento –Ecuaciones de Maxwell-Ondas E&M
Docentes:
Gerardo García Bermúdez
Salvador Gil
www.fisicarecreativa.com/unsam_f3
Clases 14
2
Algunas figuras fueron tomadas de la siguientes páginas:
� Lectures M.D. Johnson - Gabriel Braunstein USA
� Prof. Matteson- University of North Texas
� M.D.Johnson - Gabriel Braunstein
� Autores Mar Artigao Castillo, Manuel Sánchez Martínez
� Dpto de Física Aplicada, Escuela Politécnica Superior de Albacete (UCLM)
� Lectures of Prof. John G. Cramer, University of Washington, Seattle USA, faculty.washington.edu/jcramer/
3
Leyes de Electromagnetismo
)( BvEqFrrr
×+=
0/εqSdES
E =⋅=Φ ∫∫rr
0=⋅=Φ ∫∫SB SdBrr
dt
dldE
Φ−== ∫
rr.ε
¿?. 0 +⋅=∫ ildB µrr
Ley de Gauss -magnetismo
Ley de Gauss -Electricidad
Ley de Faraday
Ley de Ampere de la simetría ¿?
Campos eléctricos inducidos
5
Campos eléctricos inducidosDos modos de producir un campo electrico:
(a) Campo eléctrico creado por una carga eléctrica
(b) Campo eléctrico creado por un campo magnético variable –Ley de Faraday
Campos eléctricos inducidos
Calculemos el trabajo para
mover una carga eléctrica a lo
largo de una trayectoria cerrada
c:
0
∫
∫∫
⋅=
⋅=⋅=
l
l
ldE
ldEqldFW
rr
rrrr
ε
dt
dldE
l
Φ−=⋅∫
rr
7
Campos Inducidos
dt
BdEErot
rrr
−=×∇≡
dt
dldE
Φ−=⋅∫
rr
0=⋅∫ ldErr
00)( =×∇↔= EErotrr
E
De la electrostática:
Conclusiones
� El campo eléctrico creado por cargas estáticas es conservativo: el trabajo a lo largo de una trayectoria cerrada es siempre nulo.
� El campo eléctrico creado por un campo magnético variables (campo
inducido) NO es Conservativo. � El trabajo a lo largo de un circuito cerrado NO es NULO
� La Integral de lo largo de un circuito cerrado de E no es nulo� Las cargas se aceleran a lo largo de E.
0≠Φ
−=⋅∫ dt
dldE
c
rr
0=⋅∫c
ldErr
Teoremas de la Matemáticas
� Teorema de Gauss-Ostrogradsky o teorema de la divergencia
� Teorema de Stokes
9
∫∫∫∫∫ ⋅⋅∇=⋅=ΦVS
A dvASdArrrr
∫∫∫ ×∇=sc
SdAldA ..rrrr
10
Leyes de Maxwell en forma diferencial
0/εqSdES
E =⋅=Φ ∫∫rr
0=⋅=Φ ∫∫SB SdBrr
De manera análoga, la ley de Gauss - magnetismo
Ley de Gauss - Electricidad
∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅=⋅⋅∇=⋅VVS
dvrdvESdE )(1
0
ρε
rrrr
0
)(
ε
ρ rE =⋅∇rr
0=⋅∇ Brr
11
Leyes de Maxwell en forma diferencial II
De manera análoga, la ley de Ampere - magnetismo
Ley de Faraday
∫∫∫∫∫ ⋅∂
∂−=⋅×∇=
SScSdB
tSdEldE
rrrrrr.
t
rBE
∂
∂−=×∇
)(r
rr
)(0 rJBrrr
µ=×∇
dt
dldE
Φ−== ∫
rr.ε
ildB ⋅=∫ 0. µrr
12
Leyes del ElectromagnetismoLeyes de Maxwell
)( BvEqFrrr
×+=
0/εqSdES
E =⋅=Φ ∫∫rr
0=⋅=Φ ∫∫SB SdBrr
dt
dldE
Φ−== ∫
rr.ε
ildB ⋅=∫ 0. µrr
0
)(
ε
ρ rE =⋅∇rr
0=⋅∇ Brr
)(0 rJBrrr
µ=×∇
t
rBE
∂
∂−=×∇
)(r
rr
13
Corriente de Desplazamiento
14
La primera unificación
James Clerk Maxwell(1831-1879)Físico y matemático(1861)
Predicciones: ondas electromagnéticas
posibilidad de fabricarlas en el laboratorio
velocidad de la luz
15
Ley de Ampere
int0IldB∫ =⋅ µrr
16
Imaginemos un cable conectado a un capacitor. En este caso hay al menos dos superficies asociadas al mismo contorno C, las superficies A1 y la A2.
10 ACIldB µ=⋅∫
vr
int0IldB∫ =⋅ µrr
Hay una inconsistencia en la ecuación!!
02
0 ==⋅∫ ACIldB µ
vr
17
Para mantener la consistencia de la Ley de Ampere debemos introducir una nueva corriente, asociada al campo Eléctrico variable (la corriente dedesplazamiento) en la región entre las placas
dt
dI E
d
Φ= 0ε
dt
d
dt
dqI EΦ
== 0ε
00 .εε
σ
A
qE ==
qAE =.0εEq Φ⋅= 0ε
∫ ==⋅ qsdE EΦεε 00
rr
18
corriente de desplazamiento
dt
dI E
d
Φ= 0ε
19
Ley de Ampere modificada y Ecuaciones de Maxwell Law)
despcond IIldB ⋅+⋅=∫ 00. µµrr
tIldB E
cond∂
∂⋅+⋅=∫
Φεµµ 000.
rr
Corriente de conducción + Corriente de desplazamiento
Cables (conductores) Campos Eléctricos variables
en el tiempo
20
En este caso hay al menos dos superficies asociadas al mismo contorno C, las superficies A1 y la A2.
condAIIldB 00
1
µµ ==⋅∫vr
dt
dIldB E
desp
Φ==⋅∫ 000 εµµ
rr
Ahora con Idesplrecuperamos la consistencia en la ecuación de Ampere!!
Φ+=⋅+⋅=∫ dt
dIIIldB E
conddespcond 0000. εµµµrr
dt
dII E
despcond
Φ== 00εµ
21
Leyes de ElectromagnetismoEcuaciones de Maxwell
)( BvEqFrrr
×+=
0/ εqSdES
E =⋅=Φ ∫∫rr
0=⋅=Φ ∫∫SB SdBrr
dt
dldE BΦ
−== ∫rr
.ε
)(. 00 tildB E ∂Φ∂+⋅=∫ εµrr
Ley de Gauss -magnetismo
Ley de Gauss -Electricidad
Ley de Faraday
Ley de Ampere-Maxwell
22
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
23
Leyes del Electromagnetismo
Leyes de Maxwell
)( BvEqFrrr
×+=
0/εqSdES
E =⋅=Φ ∫∫rr
0=⋅=Φ ∫∫SB SdBrr
dt
dldE
Φ−== ∫
rr.ε
0
)(
ε
ρ rE =⋅∇rr
0=⋅∇ Brr
t
EJB
∂
∂+=×∇
rrrr
000 εµµ
t
rBE
∂
∂−=×∇
)(r
rr
)(. 00 tildB E ∂Φ∂+⋅=∫ εµrr
24
ONDAS (1dimensión)
� Solución = onda hacia la derecha con velocidad v + onda hacia la izquierda con velocidad -v )(),( vtxftx −=ξ
t=0
v.t
t=tξ=ξ(x,t)=f(x-vt)
ξ=ξ(x,0)=f(x)
25
Ondas Viajeras (1dimensión)
)(),( vtxftx −=ξ
t=0
v.t
t=tξ=ξ(x,t)=f(x-vt)
ξ=ξ(x,0)=f(x)
)(')(),(
vtxfvtxfdx
d
x
tx−=−=
∂
∂ξ
)(')(),(
vtxfvvtxfdt
d
t
tx−⋅−=−=
∂
∂ξ
)('')('),(
2
2
vtxfvtxfdx
d
x
tx−=−=
∂
∂ ξ
)('')('),( 2
2
2
vtxfvvtxfdt
d
t
tx−⋅=−=
∂
∂ ξ 2
2
22
2 ),(1)(''
),(
t
tx
vvtxf
x
tx
∂
∂=−=
∂
∂ ξξ
26
Ondas Viajeras (1dimensión)
� Expresión matemática � Función oscilante ξ(ξ(ξ(ξ(x,t)))) que verifica una ecuación
� Solución = onda hacia la derecha con velocidad v + onda hacia la izquierda con velocidad -v
2
2
22
2 ),(1),(
t
tx
vx
tx
∂
∂=
∂
∂ ξξ
)()(),( 21 vtxFvtxFtx −+−=ξ
27
Ondas Viajeras (3dimensión)
� Expresión matemática � Función oscilante ξ(ξ(ξ(ξ(r,t)))) que verifica una ecuación
� Solución = onda hacia la derecha con velocidad v + onda hacia la izquierda con velocidad -v
2
2
22
2
2
2
2
2 ),(1),(),(),(
t
tr
vz
tr
y
tr
x
tr
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ ξξξξ
)()(),( 21 vtrFvtrFtr −+−=ξ
2
2
2
2 ),(1),(
t
tr
vtr
∂
∂=∇
ξξ
28
Ondas Viajeras Solución general
� Función oscilante
� Longitud de onda λλλλ : distancia entre dos puntos consecutivos que vibran en fase.
� Frecuencia ω=ω=ω=ω=k.v=2π.π.π.π.f : nº veces que corta al eje.
� Periodo T=1/f tiempo en que la vibración se repite.
� Frente de ondas: puntos alcanzados por la onda a un tiempo fijo.
[ ]ϕξξ +−= )(sen),( 0 vtxktx
AmplitudNº ondas
velocidad onda Fase
29
t constante
x
ξξξξ(x,t) λλλλ
ξξξξ0
X constante
t
ξξξξ(x,t) Τ
ξξξξ0
λ
π2=k
Tfkv
ππω
22 ===
ω
π2=T
Velocidad de la onda
vf =⋅λ
[ ]ϕξξ +−= )(sen),( 0 vtxktx
30
Leyes del ElectromagnetismoLeyes de Maxwell en vacío
)( BvEqFrrr
×+=
0=⋅=Φ ∫∫SE SdErr
0=⋅=Φ ∫∫SB SdBrr
dt
dldE BΦ
−== ∫rr
.ε
0=⋅∇ Err
0=⋅∇ Brr
0=×∇ Brr
t
rBE
∂
∂−=×∇
)(r
rr
t
EB
∂
∂+=×∇
rrr
000 εµtldB E ∂Φ∂⋅=∫ 00. εµrr
31
Leyes del ElectromagnetismoLeyes de Maxwell en vacío
0=⋅∇ Err
0=⋅∇ Brr
t
rBE
∂
∂−=×∇
)(r
rr
EEErrrrr
2)( ∇−∇∇=×∇×∇
t
rBE
∂
×∇∂−=×∇×∇
)(rr
rrr
2
2
00
2 )(
t
E
t
rBE
∂
∂−=
∂
×∇∂−=∇−
rrrr
εµ
t
EB
∂
∂=×∇
rrr
00εµ
2
2
22
2
00
2 1
t
E
ct
EE
∂
∂=
∂
∂=∇
rrr
εµ
200
1
c=εµ smc /10.3
1 8
00
==εµ
La velocidad de propagación de la ondas electromagnéticas son igual a la de la LUZ
32
ondas de radio y TVondas de radio y TVondas de radio y TVondas de radio y TV
microondasmicroondasmicroondasmicroondas
radiación térmicaradiación térmicaradiación térmicaradiación térmica luzluzluzluz
radiación láserradiación láserradiación láserradiación láser
rayos Xrayos Xrayos Xrayos X
rayos gamarayos gamarayos gamarayos gama
¿Dónde se encuentran las o.e.m?
LUZonda y partícula
La luz como ondaλ
λλλλ: longitud de onda
c : velocidad de la luz
c = 2,99792458 × 10-8 m/s
υ : frecuencia
υ= c/ λλλλ
Unidades
Descomposición de la luz Espectro de radiación
electromagnético
Espectros ópticos� Espectros de los elementos en Tierra.
Cada elemento tiene un Cada elemento tiene un Cada elemento tiene un Cada elemento tiene un espectro (“Código de espectro (“Código de espectro (“Código de espectro (“Código de barras”) que lo barras”) que lo barras”) que lo barras”) que lo caracterizacaracterizacaracterizacaracteriza
Lámpara incandescenteLámpara incandescenteLámpara incandescenteLámpara incandescente
Espectro de gasesEspectro de gasesEspectro de gasesEspectro de gases
Descomposición de la luz Espectro de radiación
electromagnético
Podemos conocer los elementos presentas en las estrellas
� Espéctros de los elementos en Tierra.
Espectro visible
Espectro de emisión del átomo de hidrógeno en el visible
Espectro de absorción del átomo de hidrógeno en el visible
40
Propagación de las ondas electromagnéticas
Los campos Eléctrico y Magnético oscilan localmenteLos campos Eléctrico y Magnético oscilan localmenteLos campos Eléctrico y Magnético oscilan localmenteLos campos Eléctrico y Magnético oscilan localmenteLas direcciones locales del Campo Eléctrico y Magnético son Las direcciones locales del Campo Eléctrico y Magnético son Las direcciones locales del Campo Eléctrico y Magnético son Las direcciones locales del Campo Eléctrico y Magnético son mutuamentemutuamentemutuamentemutuamente perpendiculares
2
2
2
2 1
t
E
cE
∂
∂=∇Una solución de, onda plana es: Una solución de, onda plana es: Una solución de, onda plana es: Una solución de, onda plana es:
[ ]))((Eˆ),( 0 ϕ+−= ctxkixpjEtxEr
λ
π2=k
[ ]))((Eˆ),( 0 ϕ+−= ctxkixpkBtxBr 00 BcE ⋅=
En Vacío En Vacío En Vacío En Vacío BErr
⊥
41
Unificación de los fenómenos eléctricos y
magnéticos en una sola teoría consistente:
La teoría electromagnética
James Clerk Maxwell(1831-1879)Físico y matemático(1861)
Predicciones: ondas electromagnéticas
posibilidad de fabricarlas en el laboratorio
velocidad de la luz
42
El espectro electromagnético700 600 500 400
λ (nm)
espectro visible
100 102 104 106 108 1010 1012 1014 1016 1018 1020 1022 1024108 106 104 102 100 10-2 10-4 10-6 10-8 10-10 10-12 10-14 10-16Longitud de onda λ (m)
Frecuencia ν (Hz)
ultravioletaultravioletaultravioletaultravioleta Rayos XRayos XRayos XRayos X Rayos gamaRayos gamaRayos gamaRayos gamainfrarojoinfrarojoinfrarojoinfrarojoOndas de radioOndas de radioOndas de radioOndas de radioOnda larga
λ⋅νλ⋅νλ⋅νλ⋅ν = 3·10= 3·10= 3·10= 3·108888 m/sm/sm/sm/s
104 105 106 107 108 109 10111010Radio AM Canales TVRadio FM Horno microondasbanda ciudadana
telefonía móvil
Frecuencia ν (Hz)
43
Guglielmo Marconi (1874-1937)Inventor. Nobel 1909(1895) Primer transmisor de telegrafía sin hilos (2,4 km)
(1901) 1ª señal telegráfica trasatlántica
(1918) De Gales a Australia
Pittsburgh(1920) 1ª emisora comercial
Museo Marconi en New Hampshire (EEUU)
Y Dios dijo:
Y fue la luz!
0/εqSdES
=⋅∫∫rr
0=⋅∫∫S SdBrr
dt
dldE BΦ
−=∫rr
.
)(. 00 tildB E ∂Φ∂+⋅=∫ εµrr
45
Física 3 - UNSAM
�Muchas Gracias y Mucha suerte
46
Física 3 - UNSAM
Vector de Pointing
47
Leyes del ElectromagnetismoLeyes de Maxwell en vacío
)( BvEqFrrr
×+=
0=⋅=Φ ∫∫SE SdErr
0=⋅=Φ ∫∫SB SdBrr
dt
dldE BΦ
−== ∫rr
.ε
0=⋅∇ Err
0=⋅∇ Brr
0=×∇ Brr
t
rBE
∂
∂−=×∇
)(r
rr
t
EB
∂
∂+=×∇
rrr
000 εµtldB E ∂Φ∂⋅=∫ 00. εµrr
48
Leyes del ElectromagnetismoLeyes de Maxwell en vacío
0=⋅∇ Err
0=⋅∇ Brr
t
rBE
∂
∂−=×∇
)(r
rr
EEErrrrr
2)( ∇−∇∇=×∇×∇
t
rBE
∂
×∇∂−=×∇×∇
)(rr
rrr
2
2
00
2 )(
t
E
t
rBE
∂
∂−=
∂
×∇∂−=∇−
rrrr
εµ
t
EB
∂
∂=×∇
rrr
00εµ
2
2
22
2
00
2 1
t
E
ct
EE
∂
∂=
∂
∂=∇
rrr
εµ
200
1
c=εµ smc /10.3
1 8
00
==εµ
La velocidad de propagación de la ondas electromagnéticas son igual a la de la LUZ
49
ENERGÍA DE UNA OEM
� Densidad de energía eléctrica y magnética
� Vacío - Medio
� Densidad de energía de la OEM
o
m
oe
Bu
Eu
µ
ε
2
2
2
1
2
1
=
=
µ
ε
2
2
2
1
2
1
Bu
Eu
m
e
=
=
00 cBE =
µε
22
2
1
2
1 BEuuu me +=+=
µµε
c
BEBEu
rr⋅
===2
2
La Onda Electromagnética Transmite EnergíaLa densidad de energía en el campo eléctrico es igual a la del campo magnético.
2
2
1Eu oe ε= 2
02
1Bum µ
=
00 BcE ⋅=
eom uEc
Eu === 2
2
2
0 2
1
2
1ε
µ
En el vacío el campo eléctrico lleva la misma En el vacío el campo eléctrico lleva la misma En el vacío el campo eléctrico lleva la misma En el vacío el campo eléctrico lleva la misma cantidad de energía que el campo magnético. La cantidad de energía que el campo magnético. La cantidad de energía que el campo magnético. La cantidad de energía que el campo magnético. La cantidad de energía que lleva la onda por unidad cantidad de energía que lleva la onda por unidad cantidad de energía que lleva la onda por unidad cantidad de energía que lleva la onda por unidad de área y tiempo e la Intensidad de la Onda de área y tiempo e la Intensidad de la Onda de área y tiempo e la Intensidad de la Onda de área y tiempo e la Intensidad de la Onda I.I.I.I.
0
2
02
12 SEcucI oem =
=⋅= ε
Onda Electromagnéticas Vector de Pointing S
La energía que incide sobre unidad de área en unidad de tiempo, o sea la
Potencia /unidad área, se le llama la intensidad de la onda,
El vector de Poynting S recoge este concepto y además nos da la
dirección de propagación de la onda electromagnética.
La intensidad ( ) es el valor promedio de la magnitud deI=S=Smedia.
Area
Potencia
Area
tiempoEnergiaBESSI mediamedia =====
/
2
1
2
100
0
0 µ
00
0
2
002
1
2
1
2
1BEEcSIS omedia
µε ===≡
Pointing deVector 1
0
=×= BESrrr
µ
IS ≡r
52
Espectro de
ondas
electromagnéticas
Qué pasa Cuando la Onda Encuentra Otro Material? Una Interfase?
Como cualquier onda, parte de la onda es reflejada y parte entra al otro material pero su dirección es afectada.
Ley de Refracción (Snell)
Ejemplo – Reflección Especular (Superficie Suave) - Imagen
Ejemplo – Fibra Optica
Ejemplo – Fibra Optica
Radiación Solar
Temperatura del Sol T(k)=5000 Porcentaje UV=4.83
0,0E+00
1,0E-04
2,0E-04
3,0E-04
4,0E-04
5,0E-04
6,0E-04
7,0E-04
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000
Lon.Onda (nm)
Ab
s.
Co
eff
. (c
m-1
)
Radiat (w/m2/nm) Serie1 Serie2
Absorción de la luz solar en la atmosfera
Radiación Absorción de la Radiación E&M en Agua
Radiación Absorción de la Radiación E&M en Agua
Radiación Absorción de la Radiación E&M en Agua
Absorción en AireAbsorción en AireAbsorción en AireAbsorción en Aire
Radiación Absorción de la Radiación E&M en Agua
Temperatura del Sol T(k)=6000
1E-05
1E-04
1E-03
1E-02
1E-01
1E+00
1E+01
1E+02
1E+03
1E+04
1E+05
1E+06
1E+0
1
1E+0
2
1E+0
3
1E+0
4
1E+0
5
1E+0
6
Lambda (nm)
Ab
s.
Co
eff
. (c
m-1
)
0.E+00
2.E-16
4.E-16
6.E-16
8.E-16
1.E-15
1.E-15
1.E-15
2.E-15
2.E-15
So
lar
Ra
d (
w/m
2.h
z)
Abs_coef(cm-1) Abs_coef(cm-1) Radiat (w/m2)
Respuesta del Ojo
¿Por qué vemos en el visible?Temperatura del Sol T(k)=5600 L_water(m)=4
-
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Lambda (nm)
Ab
s.
Co
eff
. (c
m-1
),
Ta
ns
m %
0.E+00
2.E-16
4.E-16
6.E-16
8.E-16
1.E-15
1.E-15
1.E-15
2.E-15
So
lar
Ra
d (
w/m
2.h
z)Trans*Emis
Eyes Response %
Radiat (w/m2/hz)
La evolución de ojo se deba haber producido en el agua, La evolución de ojo se deba haber producido en el agua, La evolución de ojo se deba haber producido en el agua, La evolución de ojo se deba haber producido en el agua, no en el aireno en el aireno en el aireno en el aire
67
ondas de radio y TVondas de radio y TVondas de radio y TVondas de radio y TV
microondasmicroondasmicroondasmicroondas
radiación térmicaradiación térmicaradiación térmicaradiación térmica luzluzluzluz
radiación láserradiación láserradiación láserradiación láser
rayos Xrayos Xrayos Xrayos X
rayos gamarayos gamarayos gamarayos gama
¿Dónde se encuentran las o.e.m?
y Díos Dijo:
�Y fue la Luz !!!68
0
)(
ε
ρ rE =⋅∇rr
0=⋅∇ Brr
t
rBE
∂
∂−=×∇
)(r
rr
t
EJB
∂
∂+=×∇
rrrr
000 εµµ
Maxwell’s Equations
dt
dd BΦ
−=∫ sE.
dt
dId EΦ
+=∫ 000. εµµsB
0. =∫ AB d
0
.ε
Qd =∫ AE
Hertz’s Radio WavesBy supplying short voltage bursts from By supplying short voltage bursts from By supplying short voltage bursts from By supplying short voltage bursts from the coil to the transmitter electrode we the coil to the transmitter electrode we the coil to the transmitter electrode we the coil to the transmitter electrode we can ionize the air between the can ionize the air between the can ionize the air between the can ionize the air between the electrodes.electrodes.electrodes.electrodes.
In effect, the circuit can be modeled as In effect, the circuit can be modeled as In effect, the circuit can be modeled as In effect, the circuit can be modeled as a LC circuit, with the coil as the a LC circuit, with the coil as the a LC circuit, with the coil as the a LC circuit, with the coil as the inductor and the electrodes as the inductor and the electrodes as the inductor and the electrodes as the inductor and the electrodes as the capacitor.capacitor.capacitor.capacitor.A receiver loop placed nearby is able A receiver loop placed nearby is able A receiver loop placed nearby is able A receiver loop placed nearby is able to receive these oscillations and to receive these oscillations and to receive these oscillations and to receive these oscillations and creates sparks as well.creates sparks as well.creates sparks as well.creates sparks as well.
EM Wave Oscillation
Some Important Quantities
λ
π2=k WavenumberWavenumberWavenumberWavenumber
00
1
εµ=c Speed of LightSpeed of LightSpeed of LightSpeed of Light
fπω 2= Angular FrequencyAngular FrequencyAngular FrequencyAngular Frequency
f
c=λ WavelengthWavelengthWavelengthWavelength
ck
====ωωωω
( )( )tkxBB
tkxEE
ω
ω
−=
−=
cos
cos
max
max
Energía de un Onda EM
BESrrr
×=0
1
µPoynting Vector (W/mPoynting Vector (W/mPoynting Vector (W/mPoynting Vector (W/m2222))))
Onda Plana:Onda Plana:Onda Plana:Onda Plana: 2
00
2
0
Bc
c
EEBS
µµµ===
2
max
00
2
max
0
maxmax
222B
c
c
EBESI av
µµµ====
Intensidad PromedioIntensidad PromedioIntensidad PromedioIntensidad Promedio
Intesindad (potencia por unidad de area)Intesindad (potencia por unidad de area)Intesindad (potencia por unidad de area)Intesindad (potencia por unidad de area)
0
2
2µ
BuB =
2
2
0EuE
ε=
( ) 2
0
2
0
00
0
2
2
1
22EE
cEuB ε
µ
εµ
µ===
0
22
022
1
µε
BEuu BE ===
Energía instantanea de una Onda Energía instantanea de una Onda Energía instantanea de una Onda Energía instantanea de una Onda EM.EM.EM.EM.
0
22
0µ
εB
Euuu BE ==+=
( )0
2
max2
max0
2
022
1
µεε
BEEu avav ===
avav cuSI ==
Energía Total de una onda EMEnergía Total de una onda EMEnergía Total de una onda EMEnergía Total de una onda EM
Intesidad = c por la densidad Intesidad = c por la densidad Intesidad = c por la densidad Intesidad = c por la densidad de energíade energíade energíade energía
Densidad de Energía
Energy Carried by EM WavesBES ×=
0
1
µPoynting Vector (W/mPoynting Vector (W/mPoynting Vector (W/mPoynting Vector (W/m2222))))
Onda Plana EMOnda Plana EMOnda Plana EMOnda Plana EM 2
00
2
0
Bc
c
EEBS
µµµ===
2
max
00
2
max
0
maxmax
222B
c
c
EBESI av
µµµ====
Intensidad PromedioIntensidad PromedioIntensidad PromedioIntensidad Promedio
Vector de Poynting
Problema:Problema:Problema:Problema:
( ) ˆf
P
P E H z dS= × ⋅∫
V0 R
P
Pf
I
z
fP V I=
V+
−
x x x x x x B x x x x x x B x x x x x x B x x x x x x B
x x x x x x B x x x x x x B x x x x x x B x x x x x x B
. . . . B B B B
. . . . B B B B
E S
BESrrr
×=0
1
µ
Vector Poynting
Ejemplo 2: Potencia de una resistencia
0E V L=(6.13.1)
(6.13.2)
BESrrr
×=0
1
µ
20 0
2
0 0
2 (0 0)2
v
V VI d IaL dv a L
L a dt a L
V I V I
π ππ π
− = − + −
⇒ − = −
∫�
2
IJ
aπ=
Vector Poynting
Ejemplo 3: Capacitor
(6.13.1)
(6.13.2)
BESrrr
×=0
1
µ
AQE 0/ε= dtdQi /=
dt
dQ
aA
QS
02
1
πε=
dtdQaAa
iB /
1
22
00
π
µ
π
µ==
dt
dQQ
A
bab
dt
dQ
Aa
QdAS
00
22
1.
επ
πε==∫
bdt
dQQdAS
02
1.
ε=∫ b
dt
dQQ
AC
Q
dt
d
dt
dEPdAS c
0
2 1
2
1.
ε====∫
Vector Poynting
(6.14.1)
is into the resistor. There is NO energy stored in the resistor. The magnitude of the current density is in the direction of a current and, therefore, the electric field.
2
IJ
aπ=
(6.14.2)
20 0
2
0 0
2 (0 0)2
v
V VI d IaL dv a L
L a dt a L
V I V I
π ππ π
− = − + −
⇒ − = −
∫�
(6.14.3)
(6.14.4)
The electromagnetic energy of a battery is completely absorbed with the resistor in form of heat.
Poynting’s Theorem
Example 6.5: Using Poynting’s Theorem, calculate the power that is flowing through the surface area at the radial edge of a capacitor. Neglect the ohmic losses in the wires, assume that the radius of the plates is much greater than the separation between them: a
>> b.
Assuming the electric field E is uniform and confined between the plates, the total electric energy stored in the capacitor is: 2
2
2
EW a b
επ=
The total magnetic energy stored in the capacitor is zero.
(6.15.1)
Poynting’s Theorem
The time derivative of the electric energy is 2dW dE
a bEdt dt
επ− = −(6.16.1)
This is the only nonzero term on the RHS of PT since an ideal capacitor does not dissipate energy.
We express next the time-varying magnetic field intensity in terms of the displacement current. Since no conduction current exists in an ideal capacitor:
s
EH dl ds
tε
∂=
∂∫ ∫�
� �� (6.16.2)
222
dE a dEaH a H
dt dt
επ ε π= ⇒ =
Therefore:
(6.16.3)
El término izquierdo de la ecuación (13), puede ser reordenado usando la
siguiente identidad vectorial
A)A·(A 2∇−∇∇=×∇×∇rrrrrr
Calculando el rotacional de la ley de Faraday t
BE
∂
∂×∇−=×∇×∇
rrrrr
Y usando la propiedad conmutativa en el término de la derecha, podemos escribir finalmente
t
)B(E)E·(
∂
×∇∂−=∇−∇∇
rrrrr 2
Combinando con:
Obtenemos
2
22
t
EE oo
∂
∂=∇ εµ
Operando de forma análoga para el campo magnético
2
22
t
BB oo
∂
∂=∇ εµ
t
)t,r(E)t,r(B oo
∂
∂εµ=×∇
rrrrr
2
2
2
2 1
t
E
cE
∂
∂=∇
2
2
2
2 1
t
B
cB
∂
∂=∇ 00
1
εµ=c
usando
Obtenemos para la velocidad de fase un valor de
c = 3·108 m/s
Que coincide con la velocidad de la luz, c. Ergo la luz
misma podría ser una onda electromagnética, y
efectivamente lo es. La óptica se transforma así en una
capítulo del electromagnetismo. Este es uno de los
mayores triunfos de la física del siglo XIX.
Estas ecuaciones obedecen a una ecuación de ondastridimensional para los campos y convelocidad de fase
Br
Er
m/F ·.o1210898 −=ε
A/Tm ·o7104 −π=µ
00
1
εµ=c
