1

1

Física 3 – ECyT – UNSAM2015

Introducción al electromagnetismoDocentes:Diego RubíSalvador Gil

www.fisicarecreativa.com/unsam_f3

Clases 3 y 4

Campo y Potencial Eléctrico Ley de Gauss

2

Ley de Gauss

Clase 3� Revisión de los visto� Campo Eléctrico� Concepto de flujo de un campo

vectorial� Ley de Gauss- Ley fundamental� Aplicaciones

3

Leyes básicas

�Ley de Coulomb – Gauss Las cargas eléctricas se atraen o repelen

�Ley de Gauss Magnetismo – No hay polo magnéticos aislados

2

21Fd

qqK

e

⋅=

2

4

Leyes básicas

�Ley de Ampere – Las corrientes generan campos Magnéticos

�A Ley de Inducción de Faraday –Un campo magnético variables (flujos variable) genera un campo eléctrico o tensión

5

Propiedades de las cargasConservación de la carga

Cuantización de la carga

Ley de Coulomb

Principio de superposición

La materia es de naturaleza esencialmente eléctrica, de hecho es la fuerza eléctrica la que liga los electrones al núcleo

2

21

0

2

2112

4

1

d

qq

d

qqkF e

⋅=

⋅=

πε

6

Comparación entre las Fuerzas Eléctricas y Gravitacionales.

� Junto a las fuerzas nucleares (Fuertes y débiles) son las cuatro fuerzas básicas del universo.

� Hay una gran semejanza matemática de la Ley de Coulomb y la Ley de Gravitación Universal de Newton.

� Semejanzas en r2 semejanzas en los productos mAmB y qAqB� Diferencias en las constantes� Diferencias en los signos.

2

21

r

qqkF

ee

⋅= 2

21

r

mmGFe

⋅=

3

7

Comparación entre las Fuerzas Eléctricas y Gravitacionales

Átomo de hidrógeno� K=8.99 109 N/m2c2

� G=6.67 10-11 N/m2kg2

� Me=9.11 10-31 kg

� Mp=1.67 10-27 kg

� e= 1.6 10-19C

2

21

r

qqkFe

⋅=

2

21

r

mmGFe

⋅=

Fe(N)= 8.2 10-8 N

Fg(N)= 3.6 10-47 N

Fe/Fg= 4.4 x 10-40

Las interacciones Eléctricas son Muchísimas más fuertes que las gravitatorias

8

Por lo tanto, la fuerza resultante sobre qa será

..+++= adacaba FFFFrrrr

∑=i

ai

ai

ia rr

qkq r

2

o escrita de la siguiente forma:

∑=i

ai

ai

iaa r

r

qqF

rr

3

04

1

πε

Principio de superposición

Superpoción Lineal de las Fuerzas

∑∑ ==i

i

i

i

i

iTotal rr

qkEE

rrr

3dq

r

rkEdETotal ∫∫ ==

3

rrr

9

CAMPO ELÉCTRICO

Campo Eléctrico;Fuerza por unidad decarga que se ejerce enun punto P de espaciosobre una carga de prueba

q0

CAMPO ELÉCTRICO de UNA CARGA PUNTUALQ0Q

Q0, carga de prueba 0q

FE

rr

=

EqFrr

⋅= 0rr

QE ˆ

4

12

0πε=

r

2

0

04

1

r

qQF

⋅=

πε

4

10

Líneas de Campo Eléctrico

�Idea introducida por Faraday.�Las líneas de campo en cada punto tienen la dirección del campo.

�El número de líneas por unidad de área, es proporcional a la intensidad del campo.

�Dan una idea grafica de la dirección e intensidad del campo

11

Fotocopias e Impresoras LáserFotocopiadora Impresora Láser

Cilindro Fotosensible

�El cilindro se carga

�La imagen reflejada descarga selectivamente

�El tonner se pega en la zona cargada

12

� Las líneas de campo son, si ambas cargas son de signo contrario:

Campo Eléctrico (para un dipolo eléctrico )

+Q

-Q+Q

-Q

Dipolo

5

13

Simetría� Teorema: El Campo eléctrico siempre esta contenido en el plano de simetría de una distribución de cargas

+ +

Plano de simetría

Plano de simetría

E E

+

+ +

14

Antisimetría� Teorema: El Campo eléctrico es siempre perpendicular al plano de simetría de una distribución de cargas

+ -Plano de simetría

Plano de simetría

E E

+ -

15

Dos cargas positivas distribución simétrica

Dipolo eléctricodistribución antisimétrica

Líneas de campo

Plano simetría

Plano simetría

Plano simetría

6

16

Permite calcular el campo creado por una distribución

de cargasr

r

rdqkr

r

qkE eii

i

ie

rr

r

∫∑ ⋅==→

33

)(

Distribuciones Continuas: densidades de carga :

�Volumétrica ρρρρ =dQ/dV, {C/m3}

�Superficial σσσσ =dQ/dA, {C/m2}

�Linealλλλλ =dQ/dL, {C/m}

Principio de superposición

SUMA

VECTORIAL

17

Líneas de campo en esferas y planos

Esfera con carganegativa

Plano positivo

Simetría esférica Simetría planar

Plano simetría

18

Campo de un Dipolo

+ -

y

y

d/2

θEx

d/2

r1θ

r2

El campo disminuye más rápido que para una carga puntual

Algo para recordar…

dr

q

r

d

r

qsen

r

qE

x 3

101

2

10

2

10

)1(

8

12/

4

1

4

1

πεπεθ

πε===4/

222

1 dyr +=

32/32

0

)2()1(

))2/(1(4

1

y

d

yd

qEEE xxx

+=+=

πε

+

−⋅⋅= ...

22

31

4

12

3

0 y

d

y

qdEx

πε

3

04

1

y

pEx ⋅≈

πε

......!2

)1(

!11)1( 2 +

−++=+ x

nnx

nx

n

dqp .≡

......8

3

2

31)1(

22/3 ++−=+ −xxx

2)2/( ydx =

dy >>

7

19

Campo de un Dipolo Ejercicio

Ex

El campo disminuye más rápido que para una carga puntual

Algo para recordar…

3

101

2

10

2

10

)1(

8

12/

4

1cos

4

1

r

p

r

d

r

q

r

qEx

πεπεθ

πε===4/

222

1 dyr +=

?)( =xEx

......!2

)1(

!11)1( 2 +

−+++=+ x

nnx

nx

n

dqp .≡

+ -

y

d/2

r1

r2

x

Ex

3

04

1)(

y

pyEx ⋅≈

πε

3

02

1

x

pEx ⋅≈

πε

2/1 dxr +=

2/2 dxr −=

)/1(1

2

2

1 xdx

r −≈−

)/1(1

2

2

2 xdx

r +≈−

20

Campo de hilo cargado (L, Q)

2

000 )/2(1

1

4

1

LyyE

y

+≈

λ

πε

El campo disminuye más lentamente que para una carga puntual

λ=Q/L

r

x

r

dx

r

dqdEy 2

0

2

0 4

1cos

4

1 λ

πεθ

πε==

y

y0

Ey

x-x

rθ

θ

r

∫ +

⋅=

2/

2/ 2/32

0

2

0

0 )(4

L

Ly

yx

dxyE

πε

λ

2

0

200

2/

0 2/32

0

2

0

0 )2/(

2/

2

1

)(4

2

yL

L

yyx

dxyE

L

y

+=

+

⋅= ∫

λ

πεπε

λE

2

0

22 yxr +=

21

Campo eléctrico sobre el eje de un anillo cargado, Q, a

dE

dExθ

rr

dqEd ˆ

4

12

0πε=

r

2

04

1

r

addE

θλ

πε=

θαλ

πεcos

4

12

0 r

addEx =

αθλ

πε

πd

xa

aEx ∫+

=2

02/322

0 )(

cos

4

12/322

0

2/322

0 )(4

1

)(

cos

2

1

xa

xQ

xa

aEx

+

⋅=

+=

πε

θλ

ε

Simetría

λ=Q/2π.a

8

22

Campo eléctrico sobre el eje de un disco uniformemente

cargado.

2/322

0 )(4

1

xa

xdQdEx

+

⋅=

πε

2/322

0 )(

2

4

1

xa

xdaadEx

+

⋅⋅⋅⋅=

πσ

πε

+−=

+

⋅⋅= ∫ 22

00 2/322

0

12)(2 xR

x

xa

daaxE

R

x ε

σ

ε

σ

σ =Q/πR2

Ex

23

Campo eléctrico sobre el eje de un disco uniformemente

cargado de radios R�∞

+−=

∞→ 220

12 xR

xLimER

x ε

σ

Ex

02ε

σ=xE

El campo es contante

24

Campo entre dos placas paralelas

++++++++++++++++

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Superposición �02ε

σ=xE

02ε

σ=xE

El campo uniforme confinado entre las placas

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

++++++++++++++++

0=xE

0=xE

0ε

σ=xE

9

25

Resumen de Campo Eléctrico� El Campo Eléctrico es un campo vectorial.

� Líneas de Campo: en cada punto tiene la dirección y sentido de la fuerza eléctrica.

� Simetrías

� Es una propiedad del punto

� Para calcular el campo de una distribución-Superposición

� Densidad de carga: λ,σ, ρ

� Campo de un Dipolo: p=q.d

� Campo de una línea de carga , Anillo, Disco, etc.

eFErr

//

rr

rdqkr

r

qkE eii

i

ie

rr

r∫∑ ⋅==

→

3

)(3

Concepto de Flujo

Flujo ≈≈≈≈ Lat. Fluxus ≈≈≈≈ Fluir, manar.El flujo de un campo de velocidad

está asociado al caudal o volumen del liquido que para en la unidad de tiempo.

vA

v.dt Q=dVdt=

= A.v.dt/dt

Q=A.v.

Concepto de FlujoCaudal = volumen del

liquido que para en la unidad de tiempo.

Q=dV/dt=

= A.v.dt/dt

vA

v.dt

v

v.dt

Q=A.v.

A A’θ A=A’.cos θ

Q=A.v=A’.v.cosθ

vAQrr

⋅=

10

28

FLUJO o descarga de un líquido

AvAvv

rr⋅==Φ ) cos( θ

AvAvv

rr⋅=⋅=Φ

∫ ⋅=Φ Sdvv

rr

dtdAdtvdVv⋅Φ=⋅= ).(

Definición de FlujoCampo Vectorial

� La “cantidad” líneas de campo

que atraviesan una superficie imaginaria S.

� Si tenemos un campo vectorial,

podemos en general definir un flujo que pasa por una

superficie S, asociado a dicho campo, definido por:

∫∫ ⋅=ΦSB

SdBrr

),,( zyxBr

),,( zyxBr

),,( zyxBr

Flujo Eléctrico- Ley de Gauss

� Es la cantidad de “líneas de campo que atraviesan las superficie S.”� Unidades de Flujo E= N-m2/C

∫∫ ⋅=ΦSE

SdErr

El flujo eléctrico encerrado por una superficie cerradaes igual a la carga neta encerrada dividida εεεε0

11

Flujo Eléctrico- Ley de Gauss

� Si la superficie encierra una carga Q0∫∫∫∫∫∫ ==⋅=ΦSS

SE dS

r

Q

r

dSQSdE

2

0

0

2

0

0

4

1

4 πεπε

rr

El flujo eléctrico encerrado por una superficie cerradaes igual a la carga neta encerrada dividida εεεε0

E

E

E

E Q0

0

02

2

0

0

44

1

επ

πε

Qr

r

QSdE

SE ==⋅=Φ ∫∫

rr

0

0

ε

QSdE

S=⋅∫∫

rr

32

Carl Friedrich Gauss 1777-1855Matemático, astrónomo

y físico alemán.

Contribuyó

significativamente en

muchos campos,

�teoría de números

�análisis matemático,

�geometría diferencial,

� geodesia,

� magnetismo

�óptica.

�"el príncipe de las

matemáticas"

�"el matemático más

grande desde la

antigüedad"

El cálculo de la órbita de Ceres

en 1801, como entretenimiento,

nombrado en 1807 director del

Observatorio Astronómico de

Göttingen

33

Flujo de campo

ε0Φ(S1)= +q

netaESqSdE =Φ=⋅∫ 00

εεrr

ε0Φ(S2)= -q

ε0Φ(S3)= 0

12

34

Ley de Gauss y Conservación de cargas

� Para un campo vectorial A cualquiera

)(sumideros fuentes de Intensidad. ∝∫∫S

SdArr

i=dq/dt ∫∫=s

SdJirr

.Q

Conservación de la carga

∫∫−=s

SdJdt

dQ rr.

J

J

J

J

35

Ley de Gauss del magnetismo

� No hay polos magnéticos aislados� Si B es campo magnético

� Como no hay polos magnéticos aislados

� Esta es ley de Gauss del magnetismo 0. =∫∫S

SdBrr

)(sumideros fuentes de Intensidad. ∝∫∫S

SdBrr

La ley de Gauss

La expresión anterior puede generalizarse para cualquier distribución de carga. El valor del la carga de segundo miembro es la carga neta interior a la superficie.

0

.ε

in

E

qSdE∫∫ =≡Φrr

La ley de Gauss y la ley de Coulomb tienen el mismo contenido físico. Sin embrago para caso no estáticos se considera al ley de Gauss como más fundamental. No tiene la implicancia de acción instantánea, implícitas en la ley de Coulomb.

13

Superficies GaussianasEs una superficie cerrada (imaginaria) que rodea una distribución de cargas.

0

.ε

qSdE

E ∫∫ =≡Φrr

0.∫∫ =≡Φ SdEE

rr

38

Ley de Gauss- Ley de Coulomb

� De la ley de Coulomb sabemos que:

� Por la simetría del problema:

� Ley de Gauss

∫∫∫∫ ⋅=⋅=Φ dSESdESE

rr

rr

qE ˆ

4

12

0πε

=r

ESdrr

//

Sdr

24 rEdSE

E⋅==Φ ∫∫ π

0/ εq

E=Φ

39

Ley de Gauss – ¿Cuándo se usa?

Sólo es útil para situaciones donde hay simetría.Hay que usar la simetría para saber dónde E es constante y cuál es su dirección.Hay que seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero (E perpendicular a la superficie).

14

Cuando conviene usar la ley de Gauss para calcular campos

� La Ley de gauss es de validez universal

� Es “útil” para calcular campo E, cuando por simetría podemos suponer que sobre una dada superficie E =constante y conocemos su dirección.

� Hay que seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero (E perpendicular a la superficie).

Ejemplo- Hilo delgado de cargaEste problema tiene Simetría cilíndrica.

• Tomamos una superficie Gauussina como se

ve el la figura.

• La carga encerrada es q=λλλλl

• Sobre las tapas ΦΦΦΦE=0, pues es

perpendicular a

• Sobre la cara lateral es paralelo a

• Por lo tanto

∫ =⋅⋅==Φ

π

ε

λπ

2

0

2o

rEEdSl

Sdr

dSEr

Er

Sdr

rE

λ

πε0

2

1=

rr

E

o

ˆ2

1 λ

πε=

r

42

Ley de Gauss- Campo de una placa plana

o

o

qEA

qAdE

ε

ε

=

=⋅∫∫rr

o

AAE

ε

σ=2

ε

σ

2=E

o

Eε

σ

2=

15

Ejemplo- Esférica maciza con una distribución uniforme de carga

Radio a

ra

∫∫∫ ==⋅=ΦSSSEdSEdSESdE ..

rr

2)( 4

1

r

QE

o

ar⋅=

> πε

r

a

r > a

0

2/4. επ QrE

E=⋅=Φ

1/r2

Ejemplo- Esférica maciza con una distribución uniforme de carga

Radio a

E

r a

∫∫∫ ==⋅=ΦSSSEdSEdSESdE ..

rr

ra

QE

o

ar 3)(4

1⋅=< πε

r < a

3

3

0

24.

a

rQrE

E επ =⋅=Φ

2)( 4

1

r

QE

o

ar⋅=

> πε

Ejemplo- Placa plana cargadaEsfera cargada uniformemente

E rr a

o

< =ρ

ε3E

a

rr a

o

> =ρ

ε

3

23

Palca plana con distribución

de carga uniforme

E

o

=σ

ε2

16

46

00

12

ε

σ

ε

σ==E

Dos placas conductoras

cargadas

Conclusiones

� La ley de Gauss es útil para determinar campos cuando hay simetría en el problema

� Ojo, Pero su validez es universal.

48

Potencial Eléctrico

Clase 4� Revisión de los visto� Campo Eléctrico- Ley de Gauss� Trabajo y energía� Concepto de Potencial eléctrico� Campo y Potencial� Aplicaciones

17

49

Expresión Matemática de la Ley de Gauss

� Electricidad: El flujo de campo = carga al interior de una superficie Gaussiana

� Magnetismo No hay polos aislados

� Conservación de cargas

0. =∫S SdBrr

0εinSqSdE =∫ ⋅

rr

∫−=S

SdJdt

dQ rr.

50

Ley de Gauss

El flujo de campo eléctrico a través de

cualesquier superficie cerrada (gaussiana),

es igual a la carga neta encerrada, por la

misma, entre la constante ε0.

netaESqSdE =Φ=⋅∫ 00

εεrr

�Si aplicamos la Ley de Gauss a un conductor, cargado y en estado estacionario (Electrostática) Entonces: No hay campo en su interior.

�Si tomamos una sup. Gaussiana, cercana a la superficie externa ���� qneta=0

�La carga en el conductor esta en la superficie.

Ley de Gauss - Conductores

netaSqSdE =⋅∫

rr

0ε

18

52

Ejemplo

Qi=q0

q0q0 Qext=q0

53

Superficies esféricas Gaussianas

a) carga puntual positiva

Flujo Positivo

a) carga puntual negativa

Flujo Negativo

54

Campo eléctrico de una carga puntual

r

EdA

Q

Considere una carga puntual q. El flujo en una esfera de radio r

será:

0

24

επ

QrEdAESdE ===⋅=Φ ∫∫

rr

netaES

QSdE =Φ=⋅∫ 00 εεrr

2

04

1

r

QE

πε=

Por la simetría del problema:

y E=E(r)

y

rErr

∝

2

0

.

4

1.

r

qQEqF

πε==

19

55

Campo eléctrico de una carga

puntual

2

0

.

4

1.

r

qQEqF

πε==

netaESqSdE =Φ=⋅∫ 00

εεrr

0

24

επ

qrEdAESdE ===⋅=Φ ∫∫

rr

2

0

1

4

1

rE

πε=

netaS

QSdE =⋅∫rr

0ε

La ley de Gauss es equivalente a la ley de Coulomb

56

Textos� R. Halliday, D. Resnick y M. Krane, Física para estudiantes de

ciencias e ingeniería, 4ª ed., vol. II (México, 1992).� Sears, F. et al., Física Universitaria: Volumen II (Addison Wesley

Longman, México D.F., 1999). � G. Wilson, Física, Prentice Hall, México, 1997. � D. Giancoli, Física: Principios y aplicaciones, Prentice Hall,

México, 1997.� Gettys, Keller, Skove Fisica Clásica y Moderna Mc Graw-Hill

México, 1996� http://www.anselm.edu/internet/physics/cbphysics/downloadsII.h

tml

� http://www.fisicarecreativa.com/unsam_f3/

57

Física 3 – ECyT – UNSAM2015

Introducción al electromagnetismoDocentes:Diego RubíSalvador Gil

www.fisicarecreativa.com/unsam_f3

Clase 5

20

58

Trabajo para mover una carga

∫∫ −==

2

1

2

1

2,1.. ldEqldFWrrrr

∫−=≡

2

1

2,1

12. ldE

q

WV

rr

Diferencia de Potencial= Trabajo por unidad de carga

Eqr

.Eqr

.Eqr

.

F F F1 2

59

Trabajo para mover una carga

Eqr

.Eqr

.Eqr

.

F F F

lEqWrr

∆=∆ ..

Potencial= Trabajo por unidad de carga

lEq

WV

rr∆−=

∆=∆ .

xEVx

∆−=∆ . x

VE

x ∂

∂−=

y

VE

y ∂

∂−=

z

VE

z ∂

∂−=

max

∂

∂−=

l

VE VE ∇−=

rr

60

Trabajo para mover una carga

Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinito

y

VE

y ∂

∂−=

z

VE

z ∂

∂−=

VE ∇−=rr

x

VE

x ∂

∂−=

∫−=≡

2

1

2,1

12. ldE

q

WV

rr

Si conocemos el potencial, podemos calcular el campo y si sabemos el campo, podemos calcular el potencial

21

61

Carga Puntual

Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinitoVE ∇−=

rr

∫−=≡

2

1

2,1

12. ldE

q

WV

rr

2

04

1

r

QE

πε=

=∆12

V

=−=−=−=∆ ∫∫∫2

1

2

1

2

0

2

1

124

r

r

r

rr

drQdrErdEV

πε

rr

−=−=∆

210

1212

11

4

1

rrVVV

πε

∞−=−=

11

4 20

122r

QVVV

πε

1= infinito

62

Potencial

� En general:

� El trabajo para mover una carga de 1 a 2 no depende del camino.

� La fuerza eléctrica (el potencial electrico) es conservativo

0.1,1

=−=∆ ∫C ldEWrr

63

Carga Puntual

Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinitoVE ∇−=

rr

∫−=≡

2

1

2,1

12. ldE

q

WV

rr

2

0

1

4

1

rE

πε=

No se puede mostrar la imagen en este momento.

r

QrV

04

1)(

πε=

∫∫∫=v r

dqrV

04

1)(

πεPor el teorema de superposición

rr

rdqkr

r

qkE

eii

i

i

e

rr

r∫∑ ⋅==

→

3

)(3 SUMA

VECTORIAL

SUMA Escalar

22

64

Trabajo y Energía Campo eléctrico no uniforme y

trayectoria no rectilínea

Debemos dividir la trayectoria

en pequeños desplazamientosinfinitesimales, de forma que

∫∫ ⋅−=⋅=B

Ao

B

A ext

ext

ABrdEqrdFWrrrr

∫ ⋅−==−B

Ao

ext

AB

ABrdE

q

WVV

rrEl potencial en este caso

será

B

AEr

Fr

rdr

Eqor

qo

65

Dipolo en campo Uniforme

-

+d

q

F=q.E θθτ senEdqsendF ..... == Eprrr

×=τ

θθθθ dsenEdqdsendFdW ⋅=⋅= .....

EpUrr

.)( =θ)(cos.. θdEpdW −=

EErF

r

Fr θ

θ

U

0 180º

Er

66

DÍPOLO ELÉCTRICOEs un sistema de dos cargas iguales y de signo contrario que se encuentran a pequeña distancia

Momento dipolar

Energía de un dipolo eléctrico

Trabajo necesario para girarlo en

contra de un campo eléctrico

Dipolo en un campo eléctrico uniforme

Eprrr

×=τ

EpUrr

⋅−=

23

67

Polarización Eléctrica

� Cuando se coloca una carga positiva, los átomos se polarizan o alinean con el campo

� Se rompe la simetría original, y los átomos se polarizarán, quedando la nube electrónica con carga negativa orientada hacia la localización de la carga positiva introducida. Ep

rr⋅= α α= Polarizabilidad

68

Dipolos

� Esta orientación se conoce como polarización en donde un polo de los átomos está más positivamente cargado y el otro más negativamente cargado.

� Cada átomo polarizado de esta forma se convierte en un dipolo.

� Los dipolos de los átomos tienden a contrarrestar el efecto del campo eléctrico producido por la carga positiva introducida.

� Por lo tanto, el campo eléctrico en cualquier punto del material será distinto al campo eléctrico que mediríamos cuando colocamos la misma carga eléctrica positiva en el espacio libre, sin la presencia del material y sus átomos formando dipolos.

69

POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES

�Para una distribución discreta de cargas

∑ ∑==n n n

n

n r

qVV

04

1

πε

�Para una distribución continua de cargas

⇔

�Ley de Gauss

∫ ∫==r

dqdVV

oπε4

1

netaS

QSdE =⋅∫rr

0εEn un dado problema, ¿qué ley uso o qué calculo primero, el campo E o el potencial V(r)?

VE ∇−=rr

∫∞

−=r

ldErVrr

.)(

24

70

Cascarón Esférico hueco

=

0

)(2

r

Qk

rE eR

Q

r ≥ R

r ≤ R

E(r)

Hay simetría ���� Ley de Gauss

Primero el campo E

71

Potencial eléctrico

en el interior y el exterior de un cascarón esférica de carga.

Cascarón Esférico hueco

=

R

Qk

r

Qk

rV

e

e

)(

r ≥ R

∫∞−=r

drrErV ').'()(

=

0

)(2

r

Qk

rE e

r ≤ R

Después el potencial

72

Recordando la definición de

momento dipolar eléctricoqap ⋅= 2

22

ˆ.

4

1 cos

4

1

r

rp

r

pV

oo

r

πε

θ

πε=

⋅=

�V = 0 para α = 90º

No se requiere trabajo para llevaruna carga de prueba desde elinfinito hasta el dipolo a lo largode la línea perpendicular al puntomedio entre las dos cargas.

Dipolo - +

2a

P=2a.q-q q

- +

rθ

r1r1

rarrvr

+=1 θcos2

222

1⋅⋅−+= rarar

)cos)/(1(1

θ⋅−≈ rarr

)cos)/(1(2

θ⋅+≈ rarr

No hay simetría – Primero V(r)

25

73

Campo creado por un dipolo

� Dipolo = carga positiva y carga negativa de igual valor (q) situadas a una distancia muy pequeña ( d = 2a ).

� Aproximación r>> l

- +-a a

rr-a

r+a

)()(33

arar

qkar

ar

qkE

rrrr

rrrr

r+

+

−+−

−=

dqprr

= Momento dipolar - +

−

⋅=

⋅∇−=∇−= p

r

r

r

rp

r

k

r

pkVE

rrrr

rrr )(3

cos32

θ

X

Z

Y

dr

Complicado Simple

74

CONDUCTOR EN EQULIBRIO ELECTROSTÁTICO

Conductor: Material que se caracteriza por tener cargas

libres que pueden moverse en su interior.

Si sometemos un conductor a un campo eléctrico externo, su cargalibre se redistribuye hasta anular el campo eléctrico en su interior. En

estas condiciones se dice que el conductor está en EquilibrioElectrostático (E’ = Eo).

+++++++++++++ oE

r

'Er

Cualquier exceso de carga se colocará enla superficie del conductor, ya que el campoeléctrico externo no es lo suficientementeintenso como para vencer las fuerzas deligadura.

75

Condiciones que se deben cumplir en todo conductor

I

Toda la carga libre de un conductor se coloca en su

superficie.

Dado un conductor, supongamos unasuperficie gaussiana justo en el interior dela superficie del conductor. Como E =0dentro del conductor, también será nuloen todos los puntos de la superficiegaussiana. Por lo tanto el flujo a través dela superficie del conductor es cero.

Por el Teorema de Gauss

o

q

ε=Φ int

Como 0=Φ 0int =q

Por lo tanto si existe carga debe estar en la superficie del conductor

Conductor

26

76

El campo eléctrico en la superficie del conductor es

perpendicular a dicha superficie y valeoε

σ

Para hallar el campo eléctrico en lasuperficie del conductor consideremosun elemento infinitesimal plano, con

densidad superficial de carga σ. Comosuperficie gaussiana tomamos uncilindro con una cara en el exterior yotra en el interior del conductor

Si el conductor está en equilibrio electrostático, el E en la superficiedebe ser perpendicular a dicha superficie. Así, sólo hay flujo a través dela cara superior.

o

intqs

ε==⋅=Φ ∫ EsdE

rr

s q σ=into

Eε

σ=

Er

77

Distribución esférica, r ≥R

Distribución uniforme, r ≤R

2

04

1

r

QE

πε=

3

04

1

R

rQE

⋅=

πε

Esfera cargada

R

E(r)

78

Distribución esférica, r ≥R

Carga uniforme, campo r ≤R

2

04

1

r

QE

πε=

3

04

1

R

rQE

⋅=

πε

Esfera cargada

r

QrV

04

1)(

πε=

)(2

1

4

1)(

3

2

0

RVR

rQrV +

⋅−=

πε

−=

2

2

0 22

3

4

1)(

R

r

R

QrV

πεR

27

79

Ejercicio: Ley de Gauss:

Cascarón Esférico

Calcular Campo y Potencial en todo el espacio

R1 R2

r

80

2

04

1

r

qE

πε=

Cascaron esféricaUsando la ley de Gauss y las propiedades de simetría:

Para r ＜ R2

0=EEntre a r ＜ R2

Para r >R1

rrr

E0

3

2

033

4

4

1

ε

ρπρ

πε==

)(433

2

3

1RRq −= πρ

81

Problema 1� Calcular Campo y Potencial para:� Ley de Gauss (Calculamos E, por la simetría del

problema)

+Q

a

b

ra b

r

E

V(r)a b

Dentro del conductor E=0

+

+

+

+

+

++

+

+

+-

--

-

--

-

-

-

28

82

Problema 2

[ ]

−≈+=

−

2

22/122

42

11

1)2/(

1

x

d

xdx

r

-2Q

+Q

+Q

d/2

d/2

r

x

E

−=+

−=

xrkQ

r

Qk

x

QkxV

1122

2)(

222 )2/(dxr +=

2

2

2

2

8

1

42

11

111

x

d

xx

d

xxr−=−

−=≈−

3

2

82)(

x

QdkxV −=

4

2

43)(

x

QdkxE −=

83

Electrostática

Campo electrostático y potencial

84

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES

Vamos a suponer una región del espacio en la que existe un

campo eléctrico, representado por sus líneas de campo. Eltrabajo necesario para desplazar una carga de prueba, qo,una distancia infinitesimal a la largo de una de estas líneasserá

En términos de incrementos

rEVrr

∆⋅−=∆E alar perpendicu rr

r∆ 0=∆V V constante

E a paralelo rr

r∆ Variación máxima de

potencial

29

85

Superficies equipotenciales

Es el lugar geométrico de todos los puntos que se

encuentran al mismo potencial. Cumplen la condición deencontrarse en un plano perpendicular al campo eléctrico

El trabajo desarrollado para mover una partícula de un

punto A a otro punto B a lo largo de una superficieequipotencial es nulo, ya que

o

ABAB

q

WVV =−

A lo largo de una

superficie equipotencial

BA VV = 0=ABW

86

Ejemplos de superficies equipotenciales

87

Conductor en un campo eléctrico

� El campo interior siempre es nulo.

� Deforma las líneas de campo exterior.

� Se produce una redistribución de carga en la superficie debido a la fuerza eléctrica.

� Sobre la superficie del conductor el campo es siempre perpendicular a al superficie

30

88

Potencial eléctrico

� La fuerza eléctrica se puede expresar en función del campo eléctrico.

� Por ser conservativa

� Potencial eléctrico

� Campo eléctrico = gradiente del potencial eléctrico

� Unidades : el Voltio

)()( rEqrFrr

= )(rUFrrr

∇−=

q

UV =

Energía potencial

Carga

)(rVErrr

∇−=

[ ] [ ]CJVV /==

Se puede elegir el origen de potencial

89

Superficies equipotenciales

�El potencial es constante en todos sus puntos.

�El vector gradiente�es ortogonal a S.

�El gradiente va de �menores a mayores �valores de V.

1U

ctezyxV =),,(

V0

V1

V2

VN

0|||| =−=∆⋅∇−=∆⋅ ii VVrVrErrrr

ij

ij

VV

VVrVrE

>

<−−=∆⋅∇−=∆⋅ ⊥⊥ 0)(rrrr

Vectores campo eléctrico

90

Superficies equipotenciales

Campo producido por un dipolo

Campo producido por una carga puntual

Campo uniforme

Superficie equipotencial Campo eléctrico

31

91

Referencias� Física para estudiantes de ciencias e ingeniería - R. Halliday, D.

Resnick y M. Krane, 4ª ed., vol. II (México, 1992).� Física II - SERWAY R. FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Ed.

CENGAGE LEARNING- Mexico 2003 � Física Universitaria: Volumen II Sears, F. et al., (Addison Wesley

Longman, México D.F., 1999). � G. Wilson, Física, Prentice Hall, México, 1997. � Física: Principios y aplicaciones, D. Giancoli, Prentice Hall, México,

1997.� Física Clásica y Moderna Gettys, Keller, Skove -Mc Graw-Hill

México, 1996� http://www.anselm.edu/internet/physics/cbphysics/downloadsII.html

� http://www.fisicarecreativa.com/unsam_f3/

92

Problema 3

93

32

94

Agradecimiento

Algunas figuras y dispositivas fueron tomadas de:

� Clases de E. y M.de V.H. Ríos – UNT Argentina

� Clases E. y M. del Colegio Dunalastair Ltda. Las Condes, Santiago, Chile

� Ángel López

FIN