fisica general

Ing. Alejandro C. Alfaro

Ingeniera en Sistemas Computacionales

Instituto Tecnolgico de Bochil

Fsica General

Esttica

1.1 Conceptos bsicos y definiciones.

1.2 Resultante de fuerzas coplanares.

1.3 Componentes rectangulares de una fuerza.

1.4 Condiciones de equilibrio, primera Ley de Newton.

1.5 Cuerpos rgidos y principio de transmisibilidad.

1.6 Momento de una fuerza respecto a un punto.

1.7 Teorema de Varignon.

Bibliografia 02/09/2015 1 Instituto Tecnolgico de Bochil

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Antes de iniciar en los temas de esttica es necesario aclarar algunos conceptos bsicos de este campo de la Fsica.

Mecnica. Rama de las ciencias fsicas que estudia el estado de reposo o movimiento de los cuerpos que se encuentran sujetos a la accin de fuerzas.

Se subdivide en tres reas: Mecnica del cuerpo rgido, mecnica de los cuerpos deformables y mecnica de fluidos.

La mecnica del cuerpo rgido constituye una base para el anlisis y diseo de muchos tipos de dispositivos estructurales, elctricos y mecnicos encontrados en ingeniera.

Como ejemplo tenemos a los relojes mecnicos. Estos son un tipo de reloj analgico que se basa en engranajes y en principios de fsica y mecnica clsica, para aprovechar la energa mecnica y algunas propiedades para poder medir el tiempo.

Para realizar una estimacin de la medida de tiempo, estos aparatos se rigen por los conceptos de velocidad angular, velocidad tangencial y velocidad de los objetos rotatorios, para transferir el movimiento necesario que mueva sus agujas o manecillas.


Mapa conceptual El estudio del cuerpo rgido tiene dos reas: Esttica y dinmica.

La esttica estudia el equilibrio de los cuerpos el cual puede darse en el reposo o a velocidad constante.

Mientras que la dinmica estudia los cuerpos acelerados.

La esttica puede ser considerada un caso especial de la dinmica, donde el valor de la aceleracin es igual a cero.

El estudio de la Esttica suele ser el primero dentro del rea de la ingeniera, debido a que los procedimientos que se realizan suelen aplicarse a lo largo de los dems cursos de ingeniera.


El movimiento general de un cuerpo rgido es una combinacin de movimiento de traslacin y de rotacin. A diferencia del punto material, donde el equilibrio esttico (movimiento nulo) implicaba solo que la fuerza resultante que acta sobre l sea igual a cero y que la velocidad inicial sea tambin cero, en el cuerpo rgidola fuerza resultante que acta sobre l tiene que ser igual a cero y tambin que el momento resultante de las fuerzas que actan tiene que ser tambin igual a cero. El objeto de la esttica es el anlisis de una serie de condiciones para que se verifique el equilibrio y que ste sea estable. Nosotros estudiaremos las condiciones necesarias para que un slido (o conjunto de slidos) inicialmente en reposo, se mantenga en equilibrio.


Sistema de unidades. Los sistemas de unidades que utilizaremos mas son el sistema internacional de unidades y el sistema ingls de unidades. En seguida sealamos las unidades bsicas que utilizamos a lo largo del curso, siendo tres de ellas llamadas unidades y la cuarta llamada derivada. La unidad derivada la podemos obtener tomando en cuenta la segunda ley de Newton, F = ma.

Conversin de unidades. Todas las magnitudes fsicas contienen un nmero y una unidad. Cuando estas magnitudes se suman, se multiplican o se dividen en una ecuacin algebraica, la unidad puede tratarse como cualquier otra magnitud algebraica.

Por ejemplo: se desea determinar la distancia recorrida en 2 horas por un automvil que se desplaza a velocidad constante de 70 km/h. La distancia s la podemos obtener multiplicando la velocidad v por el tiempo t :


Se elimina la unidad de tiempo (hora), igual que haramos con cualquier otra magnitud algebraica para obtener la distancia en la unidad de longitud correspondiente (kilmetro). Ahora deseamos convertir nuestra respuesta en millas. Considerando que 1 mi = 1.61 km, y si se dividen los dos miembros de esta igualdad por 1.61 km, tenemos

Ya que toda magnitud puede multiplicarse por 1 sin modificar su valor, podemos cambiar 140 km en millas multiplicando por el factor (1 mi) / (1.61 km):

El factor (1 mi) / (1.61 km) se denomina factor de conversin. Todos los factores de conversin tienen el valor de 1 y se utilizan para pasar una magnitud expresada en una unidad de medida a su equivalente en otra unidad de medida. Ejemplo, convertir 100 km/h a m/s:


Esttica Es la rama de la mecnica que se ocupan del anlisis de las cargas ( fuerza y par motor, o momento) en los sistemas fsicos en equilibrio esttico, es decir, en un estado donde las posiciones relativas de los subsistemas no varan con el tiempo, o donde los componentes y estructuras se encuentran a una velocidad constante. Cuando en equilibrio esttico, el sistema est en reposo, o de su centro de masa se mueve a velocidad constante.

Como ya sabemos la esttica es una rama de la fsica que se encarga del estudio de los cuerpos en equilibrio, es decir que la suma de las fuerzas y momentos que sobre ste actan sean igual a cero o en trminos coloquiales, la esttica estudia a los cuerpos quietos, sin movimiento.

Estatica aplicada es la aportacin de la resistencia de materiales y la mecnica, que nos dan conocimiento de las fuerzas exteriores e interiores de una estructura, de tal forma que nos permite determinar sus dimensiones estrictas, asegurando la estabilidad de la obra. Es decir mediante los calculos de la estatica evitamos que nuestra estructura, se caiga, desplace, colapse, el objetivo es que permanezca fija a pesar de las fuerzas que le afectan.

Mediante la estatica es posible calcular la torsin de un brazo de robot o bien mediante el anlisis de las fuerzas de carga o de las fuerzas del motor que intentan girar el brazo que sujeta la carga.


Aplicaciones de la Estatica La esttica abarca el estudio del equilibrio tanto del conjunto como de sus partes constituyentes, incluyendo las porciones elementales de material.

Uno de los principales objetivos de la esttica es la obtencin de esfuerzos cortantes, fuerza normal, de torsin y momento flector a lo largo de una pieza, que puede ser desde una viga de un puente o los pilares de un rascacielos.

Su importancia reside en que una vez trazados los diagramas y obtenidas sus ecuaciones, se puede decidir el material con el que se construir, las dimensiones que deber tener, lmites para un uso seguro, etc., mediante un anlisis de materiales. Por tanto, resulta de aplicacin en ingeniera estructural, ingeniera mecnica, construccin, siempre que se quiera construir una estructura fija. Para el anlisis de una estructura en movimiento es necesario considerar la aceleracin de las partes y las fuerzas resultantes.

por qu y para qu estudiar algo sin movimiento? Se supone que si un cuerpo est quieto no hace nada no se mueve. Sin embargo aunque un cuerpo se encuentre en equilibrio esttico, ste realiza diversas acciones hacia otros cuerpos. Por ejemplo, nos encontramos dentro de nuestro saln de clases: observamos que hay sillas, mesas, pizarrones, ventanas, etc.; observamos tambin que todo est quieto, pero no por eso dichos objetos no hacen nada, al contrario, stos ejercen cierta fuerza sobre nuestro edificio (que tambin est esttico), y si no estuviese construido adecuadamente, colapsaria.


Esttica - Ejemplos Ejemplo apretar una tuerca. Cuando una persona aprieta un tornillo con una llave, est aplicando un torque al tornillo. Como en el caso de la fuerza, si todos los torques son iguales, ella no podr apretar el tornillo. Si el torque que ella aplica es mayor que el torque en contra debido a la friccin del tornillo, el tornillo girara (se ajusta).

El torque y la fuerza estn unidos directamente. Cuando la persona empuja (aplica una fuerza) al borde de la llave, cuanto ms torque ella aplica ms se ajusta el tornillo. Sin embargo, no es slo la fuerza lo que hace la diferencia. Cuanto ms distante del tornillo ella sostiene la llave, ms torque aplica, y ms se ajusta el tornillo. Por consiguiente, los torques se deben relacionar a la fuerza aplicada y a la distancia al centro de rotacin donde se aplica la fuerza. Esta distancia se llama el brazo del momento.

Ejemplo el pedal en la bicicleta. Empujando el pedal de la bicicleta transmite un torque que hace rodar los neumticos. Si uno aplica un torque que exactamente neutraliza todos los otros torques (torques friccional, etc.) no se va a acelerar o desacelerar la velocidad del neumtico (pedal).


(La suma de los torques = 0, por consiguiente la aceleracin angular = 0) si los torques friccional, etc. son mayores que el torque que uno aplica, se reducir la velocidad del neumtico (pedal).

(Los torques se suman < 0, por consiguiente la aceleracin angular < 0) si el torque aplicado es mayor que el torque friccional, etc., el neumtico (pedal) se va a acelerar.

(Los torques se suman > 0, por consiguiente la aceleracin angular > 0)

Ejemplo la Puerta. Una de las maneras de explicar el torque con un ejemplo cotidiano es observando bien cuando cerramos una puerta. Al cerrarla cerca de la chapa se nos hace muy fcil, debido a la extensin del brazo del momento, la cual es mayor que si cerramos la puerta cerca de las bisagras. Al hacerlo de esta forma se debe aplicar una fuerza mayor a la anterior.

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1.1 Conceptos bsicos y definiciones. Una parte importante de la fsica trata de los objetos y sistemas que se encuentran en reposo o en movimiento con velocidad constante a lo largo de una lnea recta y que permanecen en este estado. A esta rama de la fsica se le llama Esttica. Ahora es preciso entender y tener en cuenta las fuerzas y su accin sobre los cuerpos. Por tanto, es importante conocer los puntos de aplicacin de dichas fuerzas, ya que de ellos depende el tipo de movimiento o el reposo resultante. Existen varias definiciones y conceptos que son fundamentales para el estudio de la mecnica y que deben comprenderse desde el principio. Espacio: El espacio es la regin geomtrica en la cual tienen lugar los sucesos, espacio lo usaremos para hacer referencia a una regin tridimensional. Sin embargo, no ser raro hacer referencia a un movimiento a lo largo de una recta o un plano, diciendo que tiene un lugar en el espacio de una o dos dimensiones respectivamente.


Sistema de referencia: Un sistema o marco de referencia es el conjunto de coordenadas espacio-temporales utilizadas para determinar la posicin, velocidad y aceleracin de un punto u objeto en el espacio. La magnitud, direccin y sentido de las magnitudes fsicas mencionadas anteriormente, entre muchas otras, depender del sistema de referencia utilizado por lo que ste debe ser explicado. Segn su estado de movimiento, los marcos de referencia pueden ser inerciales o no inerciales, detallaremos las caractersticas de cada uno de ellos a continuacin.

Las mediciones sealan que las leyes de la mecnica de Newton son validas para este sistema de referencia, mientras que las velocidades que intervengan sean despreciables frente de la luz. Las mediciones realizadas respecto a este sistema de referencia, reciben el nombre de absolutas y a este sistema de referencia se le considera fijo en el espacio. En la mayora de los problemas tcnicos de maquinas y estructuras que permanecen sobre la superficie terrestre, las correcciones pequesimas y pueden despreciares. Para estos problemas se pueden aplicar directamente las leyes de la mecnica con las medidas realizadas relativas a la Tierra, y desde un punto de vista practico, pueden considerarse absolutas dichas medidas.

El sistema de referencia, es un marco o un sistema de coordenadas respecto del cual describimos las posiciones y el movimiento de un cuerpo. El sistema de referencia, es totalmente arbitrario. Es decir, depende del observador.


Tiempo: El tiempo es una medida de la sucesin de acontecimientos y en la mecnica de Newton se considera una cantidad absoluta. La unidad de tiempo es el segundo, que es una fraccin conveniente de las 24 horas del da. Fuerza: la fuerza es la accin de un cuerpo sobre otro. Una fuerza tiende a desplazar un cuerpo en la direccin de su accin sobre dicho cuerpo. Materia: la materia es la sustancia que ocupa el espacio. Un cuerpo es materia limitada por una superficie cerrada. Inercia: la inercia es una propiedad de la materia por la cual se resiste a alterar su movimiento. Masa: la masa es la medida cuantitativa de la inercia. La masa es, tambin, una propiedad de todo cuerpo que va siempre acompaada por la atraccin mutua con los dems cuerpos. Partcula: se llama partcula a un cuerpo de dimensiones despreciables. En el aspecto matemtico, una partcula es un cuerpo cuyas dimensiones se aproximan a cero, por lo que puede analizarse como una masa puntual. Frecuentemente se toma una partcula como elemento diferencial de un cuerpo. Y tambin cuando las dimensiones de un cuerpo no influye en la descripcin de su movimiento, puede tratarse el cuerpo como si fuera una partcula. En otros casos, una partcula podr considerarse como un elemento diferencial de un cuerpo.


Vector. Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas caractersticas que son:

Origen. O tambin denominado Punto de aplicacin. Es el punto exacto sobre el que acta el vector.

Mdulo. Es la longitud o tamao del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cul es el mdulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Direccin. Viene dada por la orientacin en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido. Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qu lado de la lnea de accin se dirige el vector.

Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estar formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posicin de un punto cualquiera con exactitud.

El plano cartesiano est formado por dos rectas numricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posicin de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.


Vectores Coplanares y no Coplanares: Los vectores pueden clasificarse en coplanares, si se encuentran en el mismo plano o en dos ejes, y no coplanares si estn en diferente plano, es decir en tres planos.

Sistema de vectores colineales: Se tiene un sistema de vectores colineales cuando dos o ms vectores se encuentran en la misma direccin o lnea de accin. Un vector colineal sera positivo si su sentido es hacia la derecha o hacia arriba y negativo si su sentido es hacia la izquierda o hacia abajo.

Sistema de Vectores Concurrentes: Un sistema de vectores es concurrente cuando la direccin o lnea de accin de los vectores se cruza en algn punto, el punto de cruce constituye el punto de aplicacin. A estos vectores se les llama angulares o concurrentes porque forman un ngulo entre ellos.

Sistema de Vectores Paralelos: Son aquellos vectores que por ms que alargan su trayectoria, jams se unen.

Caractersticas de un vector Un vector cualquiera tiene las siguientes caractersticas:

1. Punto de aplicacin u origen. 2. Magnitud. Indica su valor y se representa por la longitud del vector de acuerdo a su escala convencional. 3. Direccin. Seala la lnea sobre la cual acta. 4. Sentido. Indica hacia donde va el vector.


El plano cartesiano est formado por dos rectas numricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Escalar. Es una cantidad fsica unidimensional, es decir, que puede ser descrita por un nico nmero real (a menudo con unidades ), en otras palabras un escalar es una cantidad fsica que slo tiene magnitud pero sin direccin, a diferencia de (como un caso especial de) vectores, tensores , etc. Equilibrio: Estado de los cuerpos que se encuentran en reposo o con movimiento rectilneo uniforme (MRU). Ejem. Tenedores en equilibrio. Cuerpos a velocidad constante. Conceptos generales. Un cuerpo se encuentra en reposo cuando su velocidad es nula. Un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando su aceleracin es nula. Un cuerpo es libre si est en equilibrio y no se encuentra sometido a fuerza alguna. Para que un cuerpo este en equilibrio es necesario que la resultante de todas las fuerzas que actan sobre l sea nula, es decir, que la suma de todos los tipos de fuerza neta (fuerzas de aplicacin y de torque) sea cero.


La sumatoria de las fuerzas F que actan sobre un cuerpo debe ser igual a cero. Las ecuaciones en dos dimensiones para el equilibrio traslacional son:

Equilibrio traslacional: F = 0, esto es Fx = 0 componente de F en x, y Fy = 0 componente de F en y.

Ecuacin de equilibrio rotacional. Equilibrio rotacional: T0 = 0 , la sumatoria de torques T0 (debe ser igual acero).

Leyes del movimiento de Newton. La mecnica del cuerpo rgido est basada en las tres leyes del movimiento de Newton, las cuales en forma breve expresan:

Primera ley. Una partcula que se encuentra originalmente en reposo, o movindose en lnea recta con una velocidad constante, permanecer en este estado siempre y cuando una fuerza resultante no acte sobre sta.

Segunda ley. Una partcula sobre la cual acta una fuerza resultante F experimentar una aceleracin a que es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza e inversamente proporcional a la masa del objeto y tiene la misma direccin que la fuerza resultante. Si F se aplica a una partcula de masa m, esta ley puede expresarse matemticamente como:

F = ma

Tercera ley. Siempre que un objeto ejerce una fuerza sobre otro objeto, el segundo objeto ejerce sobre el primero una fuerza igual y en sentido opuesto. Inicio


1.2 Resultante de fuerzas coplanares. El estudio de la esttica esta dirigido hacia la descripcin cuantitativa de fuerzas que se ejercen sobre estructuras de ingeniera. Las matemticas establecen las relaciones entre las diversas cantidades y permite predecir a partir de estas relaciones.

Las fuerzas se representan matemticamente por vectores, ya que estos se definen como expresiones matemticas de tienen una magnitud, direccin y sentido.

Las fuerzas coplanares, se encuentran en un mismo plano y en 2 ejes, a diferencia de las no coplanares que se encuentran en mas de un plano, es decir en 3 ejes.

Resultante de un sistema de vectores El resultante de un sistema de vectores es el vector que produce por si mismo, igual efecto que los dems vectores del sistema. Por lo que el vector resultante es aquel capaz de sustituir un sistema de vectores.

La fuerza resultante es la fuerza individual que produce el mismo efecto tanto en la magnitud como en la direccin que dos o ms fuerzas concurrentes.

La equilibrante de un sistema de vectores, es el vector encargado de equilibrar el sistema. Tiene la misma magnitud y direccin que la resultante, pero con sentido contrario.

Fuerzas coplanares


Resultante de sistemas de fuerza a una fuerza plana y un par Una fuerza tiene el efecto de trasladar y girar a un cuerpo, y la medida en que lo hace depende de dnde y cmo es aplicada dicha fuerza. En el presente tema se analizara el mtodo usado para simplificar un sistema de fuerzas y cmo mantener esta equivalencia cuando una sola fuerza es aplicada a un punto especfico sobre un cuerpo y cuando la fuerza est ubicada en otro punto O.

El punto O (origen) esta sobre la lnea de accin de la fuerza Considera un cuerpo el cual est sometido a una fuerza P aplicada a un punto A, si quieres aplicar la misma fuerza pero al punto O sin alterar los efectos externos sobre el cuerpo, aplica fuerzas iguales pero opuestas. F y F en O.

Cuando el punto sobre el cuerpo est sobre la lnea de accin de la fuerza, simplemente debes transmitir o deslizar la fuerza a lo largo de su lnea de accin al punto.

Cuando un cuerpo rgido est sometido a un sistema de fuerzas y momentos de par, a menudo es ms sencillo estudiar los efectos externos sobre el cuerpo reemplazando el sistema por una sola fuerza resultante equivalente actuando en un punto especfico O y un momento de par resultante.

Este mtodo de simplificar cualquier sistema de fuerza y momento de par, a una fuerza resultante que acte en el punto O y momento de par resultante, se puede representar mediante las siguientes ecuaciones:


La primera ecuacin establece que la fuerza resultante del sistema es equivalente a la suma de todas las fuerzas. La segunda ecuacin establece que el momento de par resultante del sistema es equivalente a la suma de todos los momentos de par, ms los momentos con respecto al punto O de todas las fuerzas.

Procedimiento de anlisis

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1.3 Componentes rectangulares de una fuerza. En muchos problemas ser conveniente descomponer una fuerza en sus componentes perpendiculares entre s. En la figura de abajo, la fuerza F se ha descompuesto en una componente Fx a lo largo del eje x y una componente Fy a lo largo del eje y. El paralelogramo trazado para obtener las dos componentes es un rectangulo, y las fuerzas Fx y Fy se llaman componentes rectangulares.

En este punto se introducirn dos vectores de magnitud unitaria dirigidos a lo largo de los ejes positivos x y y. A estos vectores se les llama vectores unitarios y se representan por i y j, respectivamente. Se observa que las componentes rectangulares Fx y Fy de una fuerza F pueden obtenerse con la multiplicacin de sus respectivos vectores unitarios i y j por escalares apropiados (figuras siguientes). Se escriben:

Fx = Fxi ------ Fy = Fy j F = Fxi + Fyj


Entonces podemos representar:

= ngulo que forma el vector en el lado positivo del eje de las x's. = tan- (Fy/Fx) Para determinar los componentes rectangulares de una fuerza se hace uso de la trigonometra del triangulo rectngulo simple, aplicando el conocimiento del teorema de Pitgoras. Los mtodos trigonomtricos pueden mejorar la precisin y la rapidez para encontrar los componentes de un vector. En la mayora de los casos es, es til utilizar ejes x y e imaginarios cuando se trabaja con vectores en forma analtica. Los componentes de un vector en trminos de magnitud F y su direccin

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1.4 Condiciones de equilibrio, primera Ley de Newton. Condiciones de equilibrio Las condiciones de equilibrio son las leyes que rigen la esttica. La esttica es la ciencia que estudia las fuerzas que se aplican a un cuerpo para describir un sistema en equilibrio. Diremos que un sistema est en equilibrio cuando los cuerpos que lo forman estn en reposo, es decir, sin movimiento.

Las fuerzas que se aplican sobre un cuerpo pueden ser de tres formas:

-Fuerzas angulares: Dos fuerzas se dice que son angulares, cuando actan sobre un mismo punto formando un ngulo.

-Fuerzas colineales: Dos fuerzas son colineales cuando la recta de accin es la misma, aunque las fuerzas pueden estar en la misma direccin o en direcciones opuestas.

-Fuerzas paralelas: Dos fuerzas son paralelas cuando sus direcciones son paralelas, es decir, las rectas de accin son paralelas, pudiendo tambin aplicarse en la misma direccin o en sentido contrario.


A nuestro alrededor podemos encontrar numerosos cuerpos que se encuentran en equilibrio. La explicacin fsica para que esto ocurra se debe a las condiciones de equilibrio:

Condiciones de equilibrio, primera Ley de Newton Existe una condicin de equilibrio cuando la resultante de todas las fuerzas externas que actan sobre el objeto es cero. Cada fuerza externa se equilibra con la suma de todas las dems fuerzas externas cuando existe equilibrio.

La condicin para que un cuerpo este en equilibrio es: La ecuacin representa un enunciado matemtico de la primera condicin de equilibrio: "Un cuerpo se encuentra en estado de equilibrio traslacional si, y solo si. La suma vectorial de las fuerzas que actan sobre el es igual a cero". Primera Ley de Newton Un cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilneo uniforme, a menos que una fuerza externa no equilibrada actu sobre el. Independientemente del orden en que se sumen los vectores, su resultante siempre es cero. El extremo del ultimo vector siempre termina en el origen del primer vector.


Fuerzas en equilibrio -Primera condicin de equilibrio: Diremos que un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslacin cuando la fuerza resultante de todas las fuerzas que actan sobre l es nula: F = 0.

Desde el punto de vista matemtico, en el caso de fuerzas coplanarias, se tiene que cumplir que la suma aritmtica de las fuerzas o de sus componentes que estn el la direccin positiva del eje X sea igual a las componentes de las que estn en la direccin negativa. De forma anloga, la suma aritmtica de las componentes que estn en la direccin positiva del eje Y tiene que ser igual a las componentes que se encuentran en la direccin negativa:

Primera ley de Newton (equilibrio) Un cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilneo uniforme (M.R.U. = velocidad constante) si la fuerza resultante es nula (ver condicin de equilibrio).

Por otro lado, desde el punto de vista geomtrico, se tiene que cumplir que las fuerzas que actan sobre un cuerpo en equilibrio tienen un grfico con forma de polgono cerrado; ya que en el grfico de las fuerzas, el origen de cada fuerza se representa a partir del extremo de la fuerza anterior, tal y como podemos observar en la siguiente imagen.


El hecho de que su grfico corresponda a un polgono cerrado verifica que la fuerza resultante sea nula, ya que el origen de la primera fuerza (F1) coincide con el extremo de la ltima (F4).

Para calcular la fuerza total, hay que sumar las fuerzas como vectores. a) Condicin de equilibrio en el plano: la sumatoria de todas las fuerzas aplicadas y no aplicadas debe ser nula y, la sumatoria de los momentos de todas las fuerzas con respecto a cualquier punto debe ser nula.

Fx = 0 Fy = 0 MF = 0

b) Condicin de equilibrio en el espacio: la sumatoria de todas las fuerzas aplicadas y no aplicadas debe ser nula y, la sumatoria de los momentos de todas las fuerzas con respecto a los tres ejes de referencia debe ser nula.

Equilibrio de fuerzas

Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0

Por ejemplo, si una persona coloca un libro de pie sobre una mesa y lo empuja igual de fuerte con una mano en un sentido y con la otra en el sentido opuesto, el libro permanecer en reposo si las manos estn una frente a otra. (El resultado total es que el libro se comprime). Pero si una mano est cerca de la parte superior del libro y la otra mano cerca de la parte inferior, el libro caer sobre la mesa. Para que haya equilibrio tambin es necesario que la suma de los momentos en torno a cualquier eje sea cero.

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1.5 Cuerpos rgidos y principio de transmisibilidad. En la fsica, un cuerpo rgido es una idealizacin de un slido cuerpo en el que la deformacin se descuida. En otras palabras, la distancia entre cualesquiera dos dados puntos de un cuerpo rgido se mantiene constante en el tiempo independientemente de externos fuerzas ejercida sobre ella. A pesar de que tal objeto no puede existir fsicamente debido a la relatividad, los objetos que normalmente se puede suponer que estar perfectamente rgida si no se mueven cerca de la velocidad de la luz.

Un n cuerpo rgido es aquel cuya forma no vara pese a ser sometido a la accin de fuerzas externas. Eso supone que la distancia entre las diferentes partculas que lo conforman resulta invariable a lo largo del tiempo.

En general, la deformacin se produce en todos los cuerpos, en la mayor parte de los casos podemos suponer que es un solo cuerpo el que se deforma. Por ejemplo, en el caso del juego del billar, la bola experimenta una deformacin mucho menor que el tapete

Este modelo de cuerpo rgido es muy til en muchas situaciones en las cuales la deformacin del objeto es despreciable.

Un cuerpo rigido se define como un cuerpo ideal cuyas partes (partculas que lo forman) tienen posiciones relativas fijas entre s cuando se somete a fuerzas externas, es decir es no deformable.


El cuerpo rgido es un modelo ideal que se utiliza para realizar estudios de cinemtica y de mecnica. Sin embargo, en la prctica, todos los cuerpos se deforman, aunque sea de forma mnima, al ser sometidos al efecto de una fuerza externa. Por lo tanto, las mquinas y las estructuras reales nunca pueden ser consideradas absolutamente rgidas.

Cinemtica la podemos establecer como una rama cientfica, concretamente enmarcada dentro del campo de la Fsica, que tiene como objeto de estudio lo que son los movimientos de los cuerpos, sin tener en consideracin lo que son las presiones o fuerzas a las que se ven sometidos.

El movimiento de cuerpo rgido, se analizar considerando que la tierra se encuentra en reposo total, es decir no tiene movimiento de rotacin ni de traslacin.

El movimiento general de un cuerpo rgido es una combinacin de movimiento de traslacin y de rotacin. Una fuerza aplicada a un cuerpo rgido puede producir una:

Traslacin Rotacin

Para desplazamientos de un cuerpo rgido en un plano, las cuestiones son mas simples pues es bastante evidente que un cambio de posicin de un cuerpo rgido en un plano, puede ser logrado de modo equivalente mediante una traslacin paralela seguida de una rotacin en tordo a un punto fijo, o bien la rotacin seguida de la traslacin.


Torque de una fuerza La propiedad de la fuerza para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud fsica que llamamos torque o momento de la fuerza. El momento de torsin es un giro o vuelta que tiende a producir rotacin. Las aplicaciones se encuentran en muchas herramientas comunes en el hogar o la industria donde es necesario girar, apretar o aflojar dispositivos.

Rotacin Es el movimiento de cambio de orientacin de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una lnea (llamada eje de rotacin) o un punto permanece fijo. Una rotacin de un cuerpo se representa mediante un operador que afecta a un conjunto de puntos o vectores. Un movimiento rotatorio se representa mediante el vector velocidad angular W, que es un vector de carcter deslizante, situado sobre el eje de rotacin. Cuando el eje pasa por el centro de masa o de gravedad se dice que el cuerpo gira sobre s mismo.

Cuando se aplica una fuerza en algn punto de un cuerpo rgido, el cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotacin en torno a algn eje. La propiedad de la fuerza para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud fsica que llamamos momento de la fuerza.


Principio de transmisibilidad El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o movimiento de un cuerpo rgido permanecern inalteradas si una fuerza F que acta en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F que tiene la misma magnitud y direccin, pero que acta en un punto distinto, siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma lnea de accin.

Este pricipio establece condiciones de equilibrio o movimiento de un cuerpo rgido.

Una fuerza F puede ser reemplazada por otra fuerza F que tenga la misma magnitud y sentido, enun distinto punto siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma lnea de accin.

En la figura anterior las dos fuerzas F y F', tienen el mismo efecto sobre el cuerpo rgido y se dice que son equivalentes. Este principio establece que la accin de una fuerza puede ser transmitida a lo largo de su lnea de accin, lo cual est basado en la evidencia experimental; no puede ser derivado a partir de las propiedades establecidas hasta ahora en este libro y, por tanto, debe ser aceptado como una ley experimental.


El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rgido permanecern inalteradas si una fuerza F que acta en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F' que tiene la misma magnitud y direccin, pero que acta en un punto distinto, siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma lnea de accin Las dos fuerzas F y F', tienen el mismo efecto sobre el cuerpo rgido y se dice que son equivalentes. Este principio establece que la accin de una fuerza puede ser transmitida a lo largo de su lnea de accin, lo cual est basado en la evidencia experimental; no puede ser derivado a partir de las propiedades establecidas hasta ahora en este libro y, por tanto, debe ser aceptado como una ley experimental.

Donde F y F son fuerzas equivalentes.

Un ejemplo de aplicacin del principio de transmisibilidad se tiene cuando un camin descompuesto se desea mover por tres personas. El camin se mover ya sea que sea jalado hacia la parte delantera o empujado en la parte posterior.


Fuerza resultante y fuerza equilibrante Fuerza resultante Si sobre un cuerpo actan varias fuerzas se pueden sumar las mismas de forma vectorial (como suma de vectores) obteniendo una fuerza resultante, es decir equivalente a todas las dems. Si la resultante de fuerzas es igual a cero, el efecto es el mismo que si no hubiera fuerzas aplicadas: el cuerpo se mantiene en reposo o con movimiento rectilneo uniforme, es decir que no modifica su velocidad.

Fuerza equilibrante Se llama fuerza equilibrante a una fuerza con mismo mdulo y direccin que la resultante (en caso de que sea distinta de cero) pero de sentido contrario. Es la fuerza que equilibra el sistema. Sumando vectorialmente a todas las fuerzas (es decir a la resultante) con la equilibrante se obtiene cero, lo que significa que no hay fuerza neta aplicada.

El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o movimiento de un slido rgido permanecern inalterables si una fuerza F, ejercida sobre un punto dado, se reemplaza por otra fuerza F de igual magnitud, direccin y sentido, que acta sobre un punto diferente, siempre que las fuerzas tengan la misma lnea de accin.

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1.6 Momento de una fuerza respecto a un punto. El torque o Momento de una fuerza se presenta cuando se aplica una fuerza en algn punto de un cuerpo rgido, dicho cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotacin en torno a algn eje.

Ahora bien, la propiedad de la fuerza aplicada para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud fsica que llamamos torque o momentode la fuerza.

Entonces, se llama torque o momento de una fuerza a la capacidad de dicha fuerza para producir un giro o rotacin alrededor de un punto.

En el caso especfico de una fuerza que produce un giro o una rotacin, muchos prefieren usar el nombre torque y no momento, porque este ltimo lo emplean para referirse al momento lineal de una fuerza.

Para explicar grficamente el concepto de torque, cuando se gira algo, tal como una puerta, se est aplicando una fuerza rotacional. Esa fuerza rotacional es la que se denomina torque o momento.

Cuando empujas una puerta, sta gira alrededor de las bisagras. Pero en el giro de la puerta vemos que intervienen tanto la intensidad de la fuerza como su distancia de aplicacin respecto a la lnea de las bisagras.

Entonces, considerando estos dos elementos, intensidad de la fuerza y distancia de aplicacin desde su eje, el momento de una fuerza es, matemticamente, igual al producto de la intensidad de la fuerza (mdulo) por la distancia desde el punto de aplicacin de la fuerza hasta el eje de giro.


Una puerta giratoria gira cuando se aplica una fuerza sobre ella; es una fuerza de torque o momento.

Se denomina momento de una fuerza a un punto, al producto vectorial del vector posicin r de la fuerza por el vector fuerza F.

Cuando se aplica una sola fuerza en forma perpendicular a un objeto, el momento de torsin o torca se calcula con la siguiente frmula:

M = F.r

Dnde:

M = momento de torsin o torca en Newton-metro (Joule). F = fuerza aplicada al objeto en Newtons. r = brazo de palanca o longitud del punto donde se aplica la fuerza respecto al punto considerado en metros

El torque se expresa en unidades de fuerza-distancia, se mide comnmente en Newton metro (Nm).


Una aplicacin prctica del momento de una fuerza es la llave mecnica (ya sea inglesa o francesa) que se utiliza para apretar tuercas y elementos similares. Cuanto ms largo sea el mango (brazo) de la llave, ms fcil es apretar o aflojar las tuercas.

Cuando se ejerce una fuerza F en el punto B de la barra, la barra gira alrededor del punto A. El momento de la fuerza F vale M = F d

Con este ejemplo vemos que el torque y la fuerza estn unidos directamente.

Consideraciones Cuando sobre un cuerpo actan fuerzas que no tienen una lnea de accin comn, quiz no se mueva ni a la derecha ni a la izquierda, tampoco hacia arriba ni hacia abajo, pero puede seguir girando. La lnea de accin de una fuerza es una lnea imaginaria, cuando las lneas de accin de las fuerzas no se intersectan en un mismo punto, puede haber rotacin respecto a un punto llamado eje de rotacin. La distancia perpendicular del eje de rotacin a la lnea de la fuerza se llama brazo de palanca de la fuerza, el cual determina la eficacia de una fuerza dada para provocar el movimiento rotacional. Inicio


1.7 Teorema de Varignon. El teorema de Varignon fue desarrollado por el matemtico Pierre Varignon, el cual realiz importantes contribuciones a la esttica, en particular a travs de la formalizacin del paralelogramo de fuerzas y de las condiciones de equilibrio en tres dimensiones. Es sobre todo conocido por el teorema de Varignon que afirma que: En cualquier cuadriltero, los puntos medios de los lados forman un paralelogramo. Adems, si el cuadriltero es plano y convexo, el rea del paralelogramo es la mitad de la del cuadriltero original. Como corolario, las medianas de un cuadriltero tienen el mismo punto medio (al ser las diagonales de un paralelogramo). Adems, el permetro del paralelogramo de Varignon es la suma de las longitudes de las diagonales del cuadriltero. Todas estas propiedades son consecuencias inmediatas del teorema de Tales, y probablemente eran conocidas antes de Varignon. El Teorema de Varignon es un resultado de geometra euclidiana, publicado en 1731. Al paralelogramo descrito en el teorema se le conoce como paralelogramo de Varignon.

Los puntos medios de cualquier cuadriltero forman un paralelogramo.


Paralelogramo de Varignon Adicionalmente a tener un rea igual a la mitad del cuadriltero asociado, el paralelogramo de Varignon satisface otras propiedades. El permetro del paralelogramo de Varignon es igual a la suma de las longitudes de las diagonales del cuadriltero. El paralelogramo de Varignon es un rombo si y slo si las diagonales del cuadriltero tienen la misma longitud. El paralelogramo de Varignon es un rectngulo si y slo si las diagonales del cuadriltero son perpendiculares. Como consecuencia: El paralelogramo de Varignon es un cuadrado si y slo si las diagonales del cuadriltero son perpendiculares y tienen la misma longitud.

Al unir consecutivamente los puntos medios de los lados de un cuadriltero se forma un paralelogramo, que recibe el nombre de paralelogramo de Varignon.


Teorema de Varignon (mecnica). Un concepto usado a menudo en mecnica es el principio de momentos, al cual se le llama a veces teorema de Varignon. Este principio establece que el momento de una fuerza con respecto a un punto es igual a la suma de los momentos de las componentes de la fuerza con respecto al punto. La prueba se obtiene directamente de la ley distributiva del producto cruz. (El momento de una fuerza: Una fuerza produce un efecto rotatorio con respecto a un punto O que no se encuentra sobre su lnea de accin. En forma escalar, la magnitud del momento es Mo = Fd.)

El teorema de Varignon es visto, gracias al empleo del clculo vectorial, como una obviedad. El teorema afirma que el momento de una resultante de dos fuerzas concurrentes sobre cualquier punto es igual a la suma algebraica de los momentos de sus componentes sobre el mismo punto.

El teorema tambin se puede generalizar a cuadrilteros que no sean planos (por ejemplo, en el espacio o en dimensiones mayores), y aunque es posible modificar la prueba euclidiana para el caso espacial, se puede dar una demostracin vectorial para cubrir el caso de dimensiones mayores. Finalmente, considerando un octaedro como una generalizacin de cuadrilteros al espacio, y tomando los centroides de las caras como equivalentes a los puntos medios de los lados, es posible demostrar que los centroides de las ocho caras forman siempre un paralelogramo.


Ejemplo. Tres cajas, A, B y C, de 120, 90 y 60 lb de peso cada una, respectivamente, estn apiladas, cuando un muchacho trata de levantar la caja C jalndola hacia arriba con una fuerza de 20 lb. Para esta condicin, calcule todas las fuerzas externas que actan sobre cada uno de los tres cuerpos.


Ejemplo. La mnsula de la figura soporta un gran peso P, de modo que los pesos propios de las barras son despreciables. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de cada una de ellas.

-FAC -FBC

-FAC x

y


Ejemplo. Sabiendo que el dinammetro de la figura marca 80 kg, determine el peso del cuerpo Q y la tensin en la cuerda AC.

Ley de senos

P=109.3 kg AC = 98 kg


Ejemplo:

Suma de fuerzas La fuerza resultante tiene componentes:

Por lo tanto la fuerza resultante tiene una magnitud de:

Suma de momentos El momento del par resultante MrA se determina sumando los momentos de las fuerzas con respecto al punto A. Suponiendo que los momentos positivos actan en sentido contrario al de las manecillas del reloj; esto es, en la direccin +K, tienes:

600N 400N

100N x

y

400N

45

-y

-x


En conclusin, cuando MrA y Fr acten sobre la pieza localizada en el punto A, producirn el mismo efecto externo o reacciones en los soportes que las producidas por el sistema de fuerzas.

Ejemplo. Respecto al diagrama mostrado, calcular el modulo del vector y la magnitud del vector resultante, sabiendo que se halla en la direccion +X.

Los vectores se descomponen en sus componentes rectangulares


Luego se suman las resultantes en cada eje:

Una condicion en el problema es que la resultante esta en el eje x, entonces la resultante en el eje y es nula, por lo tanto la ecuacion (2) la igualamos a cero.

De donde

Este valor se reemplaza en la ecuacion (1).

De donde se obtiene


Ejemplo. Cuatro fuerzas coplanares de 30N, 40N, 20N y 50N estan actuando concurrentemente sobre un cuerpo. Los angulos entre las fuerzas son consecutivamente: 50, 30 y 60. Calcular la intensidad de la fuerza resultante y el angulo que forma con la fuerza de 30N.

La intensidad resultante se obtiene en funcion de sus componentes.

Rx = Fx = F1cos0 + F2cos50 + F3cos80 * F4cos140 = = 30N*1 + 40N*0.64 + 20N*0.017 + 50N*-0.77 = 20.5N

Rx = Fy = F1sen0 + F2sen50 + F3sen80 * F4sen140 = = 30N*0 + 40N*0.77 + 20N*0.98 + 50N*-0.64 = 82.4N

Primeramente realizamos el diagrama de las fuerzas, haciendo coincidir el eje de las abcisas con la direccion de la fuerza de 30N.

Llamando al angulo que forma la resultante con el eje X y con F1

tg = Ry / Rx = 82.4 / 20.5 = 4.0195 = 760145


Ejemplo. Tres personas tiran de un cuerpo al mismo tiempo aplicando las siguientes fuerzas: F1 = 5N al Sur. F2 = 10N 30 al Sur-Este y F3 = 7N 45 al Nor-Este. Calcular por medio de componentes rectangulares, la fuerza resultante y la direccin a donde se mueve.

Solucin: Graficar todas las fuerzas con sus respectivas componentes en el sistema de coordenadas rectangulares y calcular las componentes rectangulares

NsenFF

NFF

NsenFF

NFF

NsenFF

y

x

y

x

y

9470745

9470745

8801060

5501060

51590

0

33

0

33

0

22

0

22

0

11

.).(.

.).(cos.

).(.

).(cos.

))((.

Ahora se calculan las Fx y Fy , entonces

NFNNNNNNFFFFy

NFNNNNFFFFx

yyyy

xxxx

1;81,89,4139,485

9.99,99,450

321

321

Luego se calcula la fuerza resultante, aplicando teorema de Pitgoras

NNNNNNFFF yxR 712621636165019818992222222 ,,,,,,


Ejemplo: Calcular la direccin F

'''011 86.2117399,9

1,8tan

tg

F

Fg

x

y

Grafica de la solucin

Ejemplo. Se coloca una tuerca con una llave como se muestra en la figura. Si el brazo r es igual a 30 cm y el torque de apriete recomendado para la tuerca es de 30 Nm, cul debe ser el valor de la fuerza F aplicada?.


Solucin: t = r x F = 0,3 m x F = 30 Nm Despejando: 0,3 m x F = 30 Nm F = 30 Nm / 0,3 m = 100 N

Ejemplo. Una viga uniforme de longitud L sostiene bloques con masas m1 y m2 en dos posiciones, como se ve en la figura. La viga se sustenta sobre dos apoyos puntuales.

Para qu valor de X (en metros) estar balanceada la viga en P tal que la fuerza de reaccin en O es cero?.

e/2

CG

p

O

d

x

e

m1 m2

Datos: L = 7 m d = 1 m m1 = 2,5 kg m2 = 9 kg


Solucin: Esquematicemos las cargas:

Torque en el punto P: t = 0 t = m1.g.(L/2 + d) - m2.g.x = 0 m1.g.(L/2 + d) = m2.g.x

Cancelando g m1.(L/2 + d) = m2.x

despejando x: m1.(L/2 + d) / m2 = X

reemplazando: 2.5 . (7/2 + 1) / 9 = X

1.25 m = x


Ejemplo. Obtener el momento total, de la siguiente grafica.

Aqu calcularemos el momento total ya que hay varias fuerzas. Tres para ser exactos. Son dos para abajo y una para arriba. Aqu explicaremos el signo que corresponda a cada sentido. Segn la convencin ms usada aquellas fuerzas que hacen girar al cuerpo a favor de las agujas del reloj darn un momento positivo y las que van en contra de dicho sentido darn momento negativo.

+ MF2 MF1 MF3 =

10 N . 5 m 20 N . 7 m 25 N . 3 m = 50 Nm 140 Nm 75 Nm = 165 Nm


Bibliografia Esttica http://www.aliat.org.mx/BibliotecasDigitales/construccion/Estatica.pdf Mecnica bsica para estudiantes de ingeniera http://www.bdigital.unal.edu.co/5856/1/jorgeeduardosalazartrujillo20071.pdf Fisica http://recursos.salonesvirtuales.com/wp-content/uploads/bloques/2012/08/fisica_ingreso.pdf La esttica aplicada en el campo bidimensional http://www.ing.unlp.edu.ar/constr/e1/U1.2.pdf Temas Selectos de Fsica I http://www.cobachsonora.edu.mx:8086/portalcobach/pdf/modulosaprendizaje/semestre5/FP5S-TSF1.pdf Componentes rectangulares de la fuerza http://www.dcb.unam.mx/users/rauler/secciondeestatica/componentes%20rectangulares.pdf Fisica http://recursos.salonesvirtuales.com/wp-content/uploads/bloques/2012/08/fisica_ingreso.pdf Vectores: ejercicios resueltos. http://www.cajondeciencias.com/Descargas%20fisica/ER%20vectores.pdf Fuerzas y vectores. Equilibrio de la partcula. http://assets.mheducation.es/bcv/guide/capitulo/8448146700.pdf Sistemas de fuerzas - Equilibrio-de-particulas. Ejercicios https://sjnavarro.files.wordpress.com/2008/08/equilibrio-de-particulas.pdf Elaboracin de cuadernillo de apuntes: fisica http://www.tesoem.edu.mx/alumnos/cuadernillos/2009.012.pdf

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02/09/2015 56 Instituto Tecnolgico de Bochil

Elementos bsicos de un brazo robot.

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