Fisica Ingenieria Civil

FISICA I versin 4Autor : Luis Rodrguez Valencia1 DEPARTAMENTO DE FISICA UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE Colaboradores: Alicia Lira, Rosemarie Pohl, Vernica Peters,Yolanda Vargas, Manuel Arrieta, Dagoberto Castro, Jun Barrera, Jorge Lay. 11 de marzo de 2008

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ContenidosPrlogo 1. Introduccin a la Fsica 1.1. Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Modelos del Cosmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Modelo de Ptolomeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Nicholas Copernicus (1473-1543). Modelo de Coprnico 1.2.3. Mejores modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Johannes Kepler (1571-1630) . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Las leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6. Contribucin de Galileo (1564 - 1642) . . . . . . . . . . 1.2.7. Sir Isaac Newton. La unicacin de la Fsica y la Astronoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. La difusin del mtodo cientco . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. La edad clsica de la Ciencia . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. El mtodo cientco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Gravitacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Desarrollo de la teora gravitacional . . . . . . . . . . . 1.5.2. Ley inversa al cuadrado de la distancia . . . . . . . . . 1.5.3. Cuerpos en rbita circular . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4. Velocidad de escape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5. Peso y masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.6. Interaccin entre los cuerpos celestiales . . . . . . . . . 1.5.7. Medidas absolutas de la gravedad . . . . . . . . . . . . 1.5.8. Datos actuales de las rbitas planetarias . . . . . . . . 1.6. Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Medicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XIII

1 1 2 2 4 4 6 7 10 13 15 18 18 20 20 23 24 25 25 26 28 29 29 30

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CONTENIDOS 1.6.2. Valor verdadero 1.7. Cifras signicativas . . 1.8. Estandarizacin . . . . 1.9. Las unidades bsicas . 1.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 30 32 34 35 39 39 39 39 40 41 41 42 43 44 45 45 45 45 46 46 46 47 47 48 48 48 48 49 50 52 52 53 55 55 56

2. Vectores 2.1. Escalares y vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Sistema cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Sistema esfrico de coordenadas . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Sistema cilndrico de coordenadas . . . . . . . . . . . 2.2.4. Sistema polar de coordenadas . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Relaciones entre las coordenadas . . . . . . . . . . . 2.3. Desplazamientos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Notacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Magnitud de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. Multiplicacin de un vector por un escalar . . . . . . 2.4.5. Vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6. Vectores unitarios cartesianos . . . . . . . . . . . . . 2.4.7. Componentes cartesianas de un vector . . . . . . . . 2.4.8. Vector nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.9. Resta de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.10. Producto escalar de vectores . . . . . . . . . . . . . . 2.4.11. Proyeccin de un vector en una direccin . . . . . . . 2.4.12. Conmutatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.13. La distributividad del producto escalar respecto a la suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.14. Producto vectorial de dos vectores . . . . . . . . . . . 2.4.15. Distributividad del producto cruz respecto a la suma 2.4.16. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.17. Algunas operaciones en trminos de las componentes 2.4.18. Relacin con geometra . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.19. Cosenos directores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.20. Ecuacin de un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.21. Volumen de un paralelepipedo . . . . . . . . . . . . .

CONTENIDOS 2.4.22. ngulo que forman dos vectores a, b . Ms sobre sistemas de referencia . . . . . . . . 2.5.1. Sistema cartesiano . . . . . . . . . . . 2.5.2. Sistema esfrico de coordenadas . . . . 2.5.3. Sistema cilndrico de coordenadas . . . 2.5.4. Sistema polar de coordenadas . . . . . 2.5.5. Relaciones entre los vectores unitarios . 2.5.6. Componentes de un vector . . . . . . . De actualidad (No incluido en el, programa) . Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.5.

2.6. 2.7. 2.8.

57 57 57 58 59 59 59 60 61 62 63 69 69 69 71 72 72 72 73 73 73 73 73 74 74 75 75 76 78 78 78 80 80 81 82 82 83

3. Fuerzas 3.1. Las Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Fuerza de accin a distancia . . . . . . . . 3.1.2. Fuerzas de contacto . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Tercera ley de Newton . . . . . . . . . . . 3.1.4. Unidades de Fuerza . . . . . . . . . . . . . 3.2. Tipos de fuerzas de contacto . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Fuerza normal . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Fuerza de roce . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Supercies lisas o sin roce . . . . . . . . . 3.3. Condiciones de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Lnea de accin y punto de aplicacin . . . 3.3.2. Fuerzas concurrentes . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Par de Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Fuerzas no concurrentes . . . . . . . . . . 3.3.5. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Cuerpos continuos . . . . . . . . . . . . . 3.5. Centroides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3. Semi disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4. Cuarto de disco . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.5. Combinacin de reas . . . . . . . . . . . 3.6. Resultante de fuerzas paralelas de igual magnitud

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CONTENIDOS 3.6.1. Centro de Fuerzas paralelas . . . . . . 3.6.2. Coordenadas del centro de fuerzas . . . 3.6.3. Centro de fuerzas distribuidas paralelas 3.7. Trabajar con componentes . . . . . . . . . . . 3.7.1. Eje torsor . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. De actualidad (no pertenece al programa) . . 3.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 85 86 88 89 93 95 101 102 102 102 103 103 104 106 109

4. Fuerzas y equilibrio 4.1. Condiciones de equilibrio. Leyes de la esttica 4.1.1. Equilibrio de una partcula . . . . . . . 4.1.2. De un sistema de partculas . . . . . . 4.1.3. Cuerpo rgido . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. La fuerza de roce esttica . . . . . . . 4.1.5. Fuerzas causadas por ciertos soportes . 4.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Hidrosttica 5.1. Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Concepto de Presin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Unidades de Presin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Propiedades de la presin . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Densidad o masa especca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Densidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Peso especco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Presin atmosfrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Variacin de la presin con la profundidad . . . . . . . . . . 5.7. Medidores de presin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1. Barmetro de mercurio en U . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2. Manmetro en U de lquido, para presiones relativas de gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Principio de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Fuerza de Flotacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.1. Cuerpo totalmente sumergido . . . . . . . . . . . . . 5.9.2. Cuerpo parcialmente sumergido . . . . . . . . . . . . 5.9.3. Estabilidad de un cuerpo prismtico inhomogneo . . 5.10. Fuerzas sobre las paredes o compuertas . . . . . . . . . . . .

123 . 123 . 124 . 125 . 125 . 126 . 126 . 126 . 127 . 128 . 129 . 129 . . . . . . . 130 132 133 133 134 135 136

CONTENIDOS 5.10.1. Supercie rectangular . . . . . . . . . . . 5.10.2. Supercie de forma arbitraria . . . . . . 5.11. Fuerza sobre una supercie de forma rectangular 5.11.1. Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . inclinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6. Cinemtica 6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Concepto de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Concepto de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Movimiento rectilneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2. Espacio recorrido . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3. Velocidad media . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.4. Velocidad instantnea . . . . . . . . . . . . . . 6.4.5. Rapidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.6. Aceleracin media . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.7. Aceleracin instantnea . . . . . . . . . . . . . 6.4.8. Interpretacin grca . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.9. Movimiento uniformemente acelerado . . . . . . 6.4.10. Solucin grca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Movimiento en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1. En coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . 6.5.2. En coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . 6.5.3. Movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.4. Caso particular. Movimiento circular uniforme. . 6.5.5. Caso particular. Aceleracin angular constante . 6.5.6. Notacin alternativa . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.7. Derivadas de los vectores unitarios . . . . . . . 6.5.8. Velocidad y aceleracin en coordenadas esfricas 6.5.9. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.10. Aceleracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.11. Vectores unitarios esfricos . . . . . . . . . . . . 6.5.12. Coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . 6.5.13. Coordenadas intrnsecas . . . . . . . . . . . . . 6.6. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Movimiento de proyectiles . . . . . . . . . . . . . . . .

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CONTENIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 176 176 176 177 179 181 181 181 182

6.7.1. Anlisis del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2. Ecuacin de la trayectoria . . . . . . . . . . . . . . 6.7.3. Angulo de disparo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.4. Parbola de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.5. Formulacin alternativa (requiere ms matemticas) 6.7.6. Parbola de seguridad en forma polar . . . . . . . . 6.8. Movimiento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.1. Traslacin de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.2. Movimiento general de un sistema . . . . . . . . . . 6.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Dinmica de la partcula 7.1. Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Primera ley de Newton . . . . . . . . . . . . 7.1.2. Sistema inercial de referencia . . . . . . . . 7.1.3. Segunda ley de Newton . . . . . . . . . . . . 7.1.4. Principio de equivalencia . . . . . . . . . . . 7.1.5. Sobre las fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.6. Fuerzas de accin a distancia . . . . . . . . 7.1.7. Fuerzas de contacto . . . . . . . . . . . . . . 7.1.8. La fuerza de roce esttica . . . . . . . . . . 7.1.9. Fuerza de roce cintica . . . . . . . . . . . . 7.1.10. Tercera ley de Newton . . . . . . . . . . . . 7.1.11. Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Parntesis matemtico. Derivadas y diferenciales . . 7.3.1. De una variable independiente . . . . . . . . 7.3.2. De ms variables independientes . . . . . . . 7.4. Fuerzas conservativas (C) y no conservativas (NC) 7.4.1. Concepto de trabajo . . . . . . . . . . . . . 7.4.2. Energas potenciales . . . . . . . . . . . . . 7.4.3. Fuerza peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4. Fuerza elstica . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.5. Fuerza gravitacional . . . . . . . . . . . . . 7.4.6. Fuerza electrosttica . . . . . . . . . . . . . 7.4.7. Teoremas sobre la energa . . . . . . . . . . 7.5. Sobre la energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1. La energa cintica de los asteroides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

197 . 197 . 198 . 198 . 200 . 201 . 201 . 201 . 202 . 202 . 203 . 203 . 204 . 204 . 207 . 207 . 209 . 211 . 211 . 212 . 212 . 212 . 212 . 213 . 214 . 216 . 217

CONTENIDOS 7.5.2. Integracin de la ecuacin de movimiento . . . . . . . 7.5.3. Fuerza constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.4. Fuerza dependiente del tiempo F (t) . . . . . . . . . . 7.5.5. Fuerza dependiente de la posicin . . . . . . . . . . . 7.5.6. Por ejemplo la fuerza elstica . . . . . . . . . . . . . 7.5.7. Solucin ms simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.8. Movimiento unidimensional con fuerza viscosa . . . . 7.6. Movimiento armnico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1. Evaluacin de las constantes . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2. Energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.3. Amplitud del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.4. Periodo y frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7. Movimiento armnico amortiguado . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1. Caso sub amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.2. Caso amortiguado crtico . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.3. Caso sobre amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.4. Movimiento amortiguado forzado . . . . . . . . . . . 7.7.5. Una solucin particular . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.6. Fenmeno de resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8. Dinmica del movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . 7.9. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9.1. Fuerzas constantes o dependientes del tiempo . . . . 7.9.2. Fuerzas dependientes de la posicin o de la velocidad 7.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10.1. Dinmica unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10.2. Movimiento armnico simple . . . . . . . . . . . . . . 7.10.3. Dinmica en dos o tres dimensiones . . . . . . . . . . 7.10.4. Trabajo y energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10.5. Problemas que requieren ms matemticas . . . . . . 8. Sistema de Partculas 8.1. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . 8.1.1. Ecuaciones de movimiento . . . . 8.1.2. Sobre el momentum angular . . . 8.1.3. Torque en punto arbitrario . . . . 8.1.4. Sobre la fuerza gravitacional . . . 8.1.5. Teorema Energa Trabajo . . . . 8.1.6. Trabajo realizado por una fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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259 . 259 . 261 . 265 . 268 . 269 . 270 . 270

X

CONTENIDOS 8.1.7. Trabajo realizado por una fuerza conservativa (C) . . Sistema de dos partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1. La energa cintica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Campo central de Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1. Ecuacin diferencial para la rbita . . . . . . . . . . 8.3.2. Excentricidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3. Semi ejes de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.4. Ley de Kepler de los perodos . . . . . . . . . . . . . Choques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1. Coeciente de restitucin . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2. Choques unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.3. Choques bidimensionales de esferas . . . . . . . . . . 8.4.4. Discusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.5. Consideraciones sobre la energa . . . . . . . . . . . . Sistemas de masa variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1. Resumen de frmulas movimiento en un campo central de fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2. Lanzamiento desde la supercie terrestre . . . . . . . 8.5.3. Energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.4. Momentum angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.5. Velocidad de escape desde la supercie . . . . . . . . 8.5.6. Excentricidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.7. Ecuacin de la rbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.8. Orientacin del semieje mayor (gura, caso (2)) . . 8.5.9. Casos elpticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.10. Alcance mximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1. Problema de sistema de partculas . . . . . . . . . . . 8.6.2. Choques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.3. Masa variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.4. Campo central. Orbitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 274 275 276 277 280 281 282 283 285 286 287 288 290 291 296 296 297 297 297 297 298 298 298 298 299 299 303 308 311 319 319 319 320 320 320

8.2. 8.3.

8.4.

8.5.

8.6.

9. Dinmica del cuerpo rgido 9.1. Cuerpo rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Cuerpo rgido continuo . . . . . . . . . . . . 9.3. Cinemtica de un cuerpo rgido en el espacio 9.4. Cinemtica plana de un cuerpo rgido . . . . 9.4.1. Desplazamientos de un cuerpo rgido

CONTENIDOS 9.4.2. Condicin de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.4. Centro instantneo de rotacin . . . . . . . . . . . 9.4.5. Algunas relaciones entre velocidades y aceleraciones 9.4.6. Curvas rueda y riel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.7. Modelo continuo de un cuerpo rgido . . . . . . . . 9.4.8. Momentum angular y energa cintica . . . . . . . . 9.4.9. El momentum angular . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.10. Ejemplos de clculo de momentos de inercia . . . . 9.4.11. Momentum angular y momentum lineal . . . . . . . 9.4.12. La energa cintica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.13. Movimiento de rotacin y traslacin . . . . . . . . . 9.4.14. Movimiento en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Dinmica de un cuerpo rgido . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . 9.5.2. Ecuaciones para el caso de movimiento plano . . . . 9.5.3. Momentos de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.4. Teorema de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Ejemplos de dinmica plana . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.1. Dinmica de rotacin . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.2. Dinmica de rotacin y traslacin . . . . . . . . . . 9.6.3. Casos donde el movimiento de un punto es conocido 9.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7.1. Ejercicios de cinemtica plana . . . . . . . . . . . . 9.7.2. Ejercicios de dinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XI

322 322 324 325 327 329 330 330 331 332 333 333 334 336 336 337 338 339 340 340 344 346 353 353 356

10.Apndice 363 10.1. Opcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 10.1.1. Sumatorias . . . . . . . . 10.1.2. Derivadas . . . . . . . . . 10.1.3. Diferenciales . . . . . . . . 10.1.4. Integrales . . . . . . . . . 10.2. Ecuaciones diferenciales . . . . . 10.2.1. Ecuacin diferencial lineal, tes constantes . . . . . . . 10.2.2. Separacin de variables . . 10.2.3. Identidades tiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . homognea, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . con coecien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 364 365 366 370

. 371 . 372 . 372

XII

CONTENIDOS 10.3. Coordenadas intrnsecas . . . . . . . . 10.3.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . 10.4. Movimiento relativo . . . . . . . . . . . 10.4.1. Movimiento general del sistema 10.4.2. Transformacin de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 379 380 380 381

Prlogo

Este texto tiene el propsito de iniciarlos en una ciencia: la Fsica que nos muestra una maravillosa relacin establecida entre la naturaleza y el ingenio del cerebro humano. Veremos cmo, a partir de observaciones y experimentos sencillos, se consigue estructurar una teora slida que da cuenta de fenmenos de la naturaleza, algunos observables a simple vista y otros fuera del alcance de los sentidos. La Fsica siempre ha estado, est y estar formando parte de nuestro entorno. A travs de ella es posible predecir lo qu suceder con el Universo y, adems, nos da seales que permiten vislumbrar cmo comenz todo. Desde Aristteles (384-322aC) hasta nuestros das los cientcos aportan sus trabajos para benecio de la humanidad, interactuando para el progreso de la Ciencia y de la Tecnologa. Por ejemplo, avances en la Fsica contribuyen al progreso de las Ciencias de la Ingeniera, y stas, a su vez, dan soporte tcnico a la Medicina, mejorando la calidad de vida del hombre. Este trabajo est dedicado a jvenes deseosos de aprender, mediante la comprensin, razonamiento y deduccin, a partir de los conceptos fundamentales y las leyes de la Fsica.

XIV

Prlogo

Este texto, para el primer ao de Ingeniera Civil, se presenta en la misma secuencia que ha sido programado el curso de Fsica. Los requerimientos de Matemticas necesarios para su desarrollo sern presentados de manera gradual segn las necesidades del curso. Se comienza con una introduccin, que creemos necesaria, para tener una comprensin de los esfuerzos realizados en el pasado para alcanzar el grado actual del conocimiento. De manera progresiva se hace indispensable la adquisicin de ms elementos matemticos, que son, en algunos casos aportados por el texto. En otros, se darn las demostraciones como una ilustracin. De cualquier forma queremos enfatizar el hecho, no discutido, de que las Matemticas son el lenguaje y la herramienta fundamental de la Fsica. Se han hecho importantes esfuerzos por el grupo de colaboradores para minimizar los errores de cualquier ndole, pero esa es una tarea interminable, de manera que nos ser muy grato considerar las crticas de los estudiantes y colegas que deseen utilizar este texto. Esta es la cuarta edicin del texto qus se usar (eso esperamos) durante el ao 2008. Se han hecho diversos cambios a las versiones anteriores aplicada los aos 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006 y 2007 en el desarrollo del curso de Fsica Anual para Ingeniera Civil. Estos cambios son el resultado de la experiencia acumulada en la aplicacin prctica de este texto. Por ejemplo varios tpicos, cuyo desarrollo no es estrictamente necesario, fueron pasados a un apndice. Se agreg un apndice matemtico opcional que incluye diversos tpicos que ayudarn a la comprensin del curso, se han agregado problemas y reordenados de acuerdo a su temtica. Una versin en formato PDF es colocada en la pgina WEB del curso. Todos los problemas del texto estn resueltos y se presentan en un texto separado de Soluciones a los ejercicios, para la realizacin del cual la ayuda de los colaboradores en la deteccin de sus errores ha sido muy importante. Consejos para estudiar y para las pruebas En general en las pruebas de este curso se preguntan problemas Luego haga problemas. El nivel de los problemas de las pruebas corresponden a problemas indicados con (1) o (2). En el desarrollo de las pruebas haga guras de un buen tamao. Un tercio de la hoja por lo menos.

XV

Dena en su gura todas las letras que representen alguna propiedad fsica que se usar en el desarrollo del problema. Explique su desarrollo. Sea ordenado. Si los problemas tienen partes (a), (b), (c), etctera. Explique claramente cual parte est resolviendo. Si usa lpiz grato, procure que su calidad sea tal que se pueda leer con claridad. Los resultados indquelos con lpiz pasta, caso contrario no podr reclamar de la correccin. En cada prueba se aceptarn reclamos que se justiquen, es decir usted deber indicar por escrito las razones de su reclamo. A pesar que hay pautas de correccin, en ellas se indican solamente los mximos por item. Si usted tiene errores, cada profesor corrector juzgar cunto del mximo usted merece y en ello no hay reclamo. Este proceso de correccin tiene algo de subjetividad y la claridad de su desarrollo puede inuir positivamente en su resultado.

XVI

Prlogo

Captulo

1

Introduccin a la Fsica

1.1.

Historia

Aristteles (384 aC, 322 aC) ms que cualquier otro pensador, determin el pensamiento occidental hasta nales del siglo 17 y an despus de la revolucin cientca, los conceptos e ideas Aristotlicas han permanecido en el pensamiento occidental. Aristteles pensaba que las substancias que constituan la Tierra eran diferentes de las substancias existentes en los Cielos. El tambin crea que la dinmica, la rama de la Fsica que describe los movimientos, estaba determinada esencialmente por la naturaleza de la substancia que se mova. As, limitndonos a lo esencial, Aristteles tena la creencia de que una piedra caa hacia el suelo porque piedra y suelo eran substancias similares. En trminos de los cuatro elementos bsicos, la piedra era esencialmente tierra. De la misma forma el humo se elevaba porque era principalmente aire (y algo de fuego) y por lo tanto el humo deseaba estar cerca del aire y lejos de la tierra y del agua. Por similares argumentos l pensaba que los cielos estaban formados por la ms perfecta de las substancias, la quinta esencia, la cual posea por su naturaleza la tendencia de efectuar un movimiento perfecto, es decir circular. El tambin pensaba que los objetos en la Tierra se movan mientras fueran empujados, de modo que ellos se detenan apenas se eliminaban las fuerzas aplicadas. Esta concepcin causaba problemas, por ejemplo era dicil explicar porqu una echa lanzada mediante un arco, continuaba volando an despus de que la cuerda terminaba su contacto con la

2


echa. Algunas explicaciones fueron esbozadas, por ejemplo que la echa en su vuelo produca un vaco detrs. El aire se precipitaba en ese vaco empujando adems a la echa. Esto es un esbozo de lo que eran las creencias antes del desarrollo del mtodo cientco. Una de principales cuestiones que origina el desarrollo de la ciencia y del mtodo cientco es la explicacin del movimiento de los objetos que se ven en el Cielo. Hoy da, producto de una enorme cantidad de observaciones, las cosas parecen estar claras. Sin embargo antes la informacin disponible era muy escasa. Excepto quizs por estimaciones sobre la Luna y el Sol, los hombres de antes no tenan idea de las distancias y de los tamaos de los objetos celestiales. No debera causar extraeza entonces que los Griegos apoyaron la idea, con mucho sentido comn, de que la tierra debera estar estacionaria (en reposo), y en base a esa hiptesis haba que disear un mtodo para predecir las posiciones de los astros. La versin nal de este modelo fue diseada por Ptolomeo de Alejandra, modelo que es conocido en nuestros tiempos como el modelo de Ptolomeo.

1.2.1.2.1.

Modelos del CosmosModelo de Ptolomeo

Este era un intrincado modelo, donde la Tierra permaneca en reposo en su centro, mientras los otros objetos del Cielo se movan en torno a la Tierra, en crculos o combinaciones de movimientos circulares, la nica curva perfecta para los griegos y por lo tanto la nica posible. Todo esto estaba encerrado por una gigantesca esfera de cristal sobre la cual estn las estrellas jas, esfera que dara una vuelta completa por da. As por ejemplo, un planeta describa un pequeo crculo en torno a un punto que a su vez describa un crculo mayor en torno a la Tierra. La gura, de la poca, lamentablemente no muy clara, muestra esquemticamente ese modelo. As se podan explicar satisfactoriamente para los datos disponibles en ese tiempo, como los planetas tenan velocidades variables incluso invirtiendo su movimiento. Entonces era posible hacer clculos hacia el futuro o hacia el pasado, coincidiendo con las observaciones acumuladas durante cientos de aos. Este modelo tuvo vigencia durante alrededor de 1400 aos, un gran periodo de tiempo comparado con la rapidez de los cambios actuales. Esto no debe considerarse una aceptacin ciega de una hiptesis. Ella descansaba

1.2 Modelos del Cosmos

3

Figura 1.1: en las comprobaciones experimentales de sus predicciones. De hecho fue necesario un renamiento de las tcnicas de observacin para detectar fallas en el modelo de Ptolomeo. En este aspecto fue fundamental el trabajo observacional realizado por Tycho Brahe, astrnomo dans (Dic. 14, 1546, Oct. 24, 1601), cuyo trabajo en el desarrollo de instrumentos astronmicos y en las determinaciones de las posiciones de los astros fue crucial.

Figura 1.2: Tycho Brahe Tycho Brahe fue el ms grande de los observadores en astronoma antes de la invencin del telescopio. Bajo el auspicio del rey de Dinamarca l construy y oper el observatorio de Uraniborg, que constaba de innumerables instrumentos de su propio diseo. La precisin de diez minutos de arco desde

4


Ptolomeo, fue reducida en Uraniborg a un minuto de arco. En particular, Brahe recopil extensos datos sobre la rbita de Marte, que ms tarde probara ser cruciales para la formulacin de las leyes correctas del movimiento de los planetas por parte de Kepler. Las crticas al modelo de Ptolomeo las inici Coprnico, quien puso de maniesto las discrepancias del modelo con la observacin, discrepancias no muy grandes pero que deban ser justicadas.

1.2.2.

Nicholas Copernicus (1473-1543). Modelo de Coprnico

Debido a las diferencias observadas, caban dos posibilidades, hacer correcciones a las rbitas del modelo de Ptolomeo hacindolas ms intrincadas, o adoptar otro modelo. Nicholas Copernicus en su primer libro, establece que el Sol es el centro del Universo y que la Tierra tiene un movimiento triple en torno a ese centro, esto es una rotacin diaria en torno a su centro, un movimiento anual en torno al Sol, y un movimiento cnico de su eje de rotacin. Su teora fue capaz de dar una explicacin simple y elegante del movimiento retrgrado de los planetas. Adems se explica el movimiento aparente del Sol entre las estrellas debido al movimiento de la Tierra. Coprnico sin embargo mantuvo el rol privilegiado del movimiento circular de modo que tuvo que construir sus rbitas planetarias mediante crculos. Sus resultados numricos sin embargo fueron solo levemente mejores que los existentes. El movimiento aparente de los planetas, en particular el movimiento retrgrado, se explica con simplicidad como lo ilustra la gura (1.3). Las proporciones del dibujo son aproximadas considerando los radios de las rbitas de Marte y de la Tierra y la validez de la ley de Kepler de los periodos que se explica ms adelante. En la gura se explica como el planeta Marte se ve avanzar o a veces retroceder sobre el fondo de las estrellas jas. A pesar de la simplicidad del modelo, Coprnico encontr que las posiciones predichas con su modelo para los astros no eran signicativamente mejores que las predichas por el modelo de Ptolomeo.

1.2.3.

Mejores modelos

Aqu nos encontramos frente a dos hiptesis que daban cuenta ms o menos igual de los hechos observados. Las creencias imperantes en aquellos das,


5

Figura 1.3: Movimiento aparente de Marte sobre todo ideas religiosas, favorecan la hiptesis de una tierra en reposo, ocupando el lugar central en el Universo. Adems la Mecnica Clsica no estaba lo sucientemente desarrollada como para contestar muchas preguntas. Entonces ocurri que las mediciones por si solas no permitieron dilucidar entre los dos modelos, de Coprnico y de Ptolomeo. Tycho insista en una Tierra inmvil. Coprnico persuadi a Tycho para colocar el centro de revolucin de todos los otros planetas en el Sol. Para ello tena que abandonar las esferas cristalinas Aristotlicas puesto que chocaran entre si. Tycho tambin cuestion la doctrina Aristotlica de perfeccin celestial, cuando, en los aos 1570, un cometa y una nueva estrella aparecieron. Tycho mostr que ambos estaban sobre la esfera de la Luna. Quizs las crticas ms serias fueron las hechas por Galileo, despus de su invencin del telescopio. Galileo Galilei (1520 - 1591) hizo notables contribuciones al desarrollo del mtodo cientco, en particular a la descripcin del movimiento de los cuerpos y a la comprensin del Universo. En una rpida sucesin de acontecimientos, Galileo anunci que haba montaas en la Luna, satlites que rodean Jpiter, y manchas en el Sol. Es ms, que la Va Lctea est compuesta de innumerables estrellas cuya existencia nadie haba sospechado hasta que Galileo las observ. Aqu la crtica golpeaba las races mismas del sistema Aristotlico del mundo. Al mismo tiempo que Galileo investigaba los cielos con su telescopio, en

6


Alemania Johannes Kepler estaba investigndolo con su mente. La gura muestra el telescopio de Galileo.

Figura 1.4: Las observaciones muy precisas de Tycho le permitieron a Kepler descubrir que Marte y los otros planetas, no se movan en crculos sino que describiendo elipses, con el Sol en uno de sus focos. El cosmos de Kepler era anti-Aristotlico, y quizs por ello l escribi sus descubrimientos en prosa latina casi indescifrable en una serie de trabajos que no tuvieron mucha circulacin.

1.2.4.

Johannes Kepler (1571-1630)

El siguiente paso en la historia de la astronoma fue debido a la intuicin terica de Johannes Kepler, un astrnomo Alemn quien fue a Praga como asistente de Brahe durante los aos 1599-1601. Kepler y Brahe no se llevaban bien. Al parecer Brahe pensaba que Kepler podra eclipsarlo de ser el ms grande de los astrnomos de esos das, por lo cual slo le permiti a Kepler examinar parte de su enorme caudal de datos observacionales. El le propuso a Kepler la tarea de entender la rbita de Marte que pareca muy complicada, con la esperanza de que gastara su tiempo en eso, permitindole a l trabajar en su teora del sistema Solar. Como una irona, fueron los datos de la rbita de Marte los que le permitieron a Kepler formular las leyes correctas del movimiento de los planetas, sobrepasando lejos los logros de Brahe. En retrospectiva la razn de que la rbita de Marte pareciera tan complicada fue que Coprnico colocaba el Sol en el centro del sistema solar, pues haba errado en su creencia de que las rbitas de los planetas eran crculos. Kepler pudo nalmente concluir que las rbitas de los planetas no eran los


7

crculos exigidos por Aristteles, sino que curvas que los gemetras llaman elipses. Sin embargo las rbitas son apenas elpticas, y para los datos disponibles en ese tiempo, era precisamente la rbita de Marte quien mostraba ser ms elptica.

1.2.5.

Las leyes de Kepler

Los descubrimientos de Kepler, basados en las observaciones realizadas, pueden resumirse en tres hechos, conocidos hoy en da como las tres leyes de Kepler: Cada planeta se mueve en una rbita elptica en torno del Sol, el cual ocupa uno de sus focos (F1 ).

Planeta

Sol

F1

F2

La lnea que conecta el Sol con cada planeta, barre reas iguales en intervalos iguales de tiempo. Esto es A1 = A2 si los intervalos de tiempo transcurridos son iguales.Planeta A1

A2

Sol

8

Introduccin a la Fsica Los cuadrados de los tiempos requeridos por cada planeta para dar una vuelta completa en torno al Sol, son proporcionales al cubo de su distancia promedio al Sol. Esta ley ser establecida en forma ms precisa ms adelante.

Figura 1.5: Johanes Kepler Como veremos uno de los mayores triunfos de Newton fue explicar de manera terica las leyes de Kepler. Lo que Galileo y Kepler no podan dar, aunque lo intentaron, eran respuestas a las preguntas Aristotlicas como las siguientes: Si la Tierra gira en torno de su eje, entonces por qu no salen volando los objetos? Y qu hace que los objetos dejados caer de lo alto de las torres no se desven hacia el oeste dado que la tierra gira debajo de ellos? Y cmo es posible que la Tierra, en espacio vaco, viaje en torno del Solya sea en crculos o en elipsessin algo que la empuje? Las mejores respuestas vinieron de parte de Galileo, quin analiz los problemas de la rotacin de la Tierra y su revolucin mediante anlisis lgico. Los cuerpos no salen volando la Tierra porque la tierra no gira demasiado rpido, as los cuerpos, tienen una tendencia pequea a salir volando. Los cuerpos dejados caer desde las torres, caen a la base de ellas porque ellos (antes de ser soltados) comparten con la torre la rotacin de la Tierra. Asimismo Galileo dedujo lo que acontece cuando otro movimiento se agrega. As Galileo dedujo que una pelota dejada caer de la cima de un mstil de una nave en movimiento caera directamente a la base del mstil. Si la pelota fuera permitida a seguir sin roce en vuelo horizontal, continuara movindose para siempre. De hecho Galileo concluy que los planetas, una vez puestos en movimiento circular, continuaran as para siempre.


9

Por consiguiente, las rbitas circulares de Coprnico existen. Galileo nunca acept las elipses de Kepler; hacerlo habra signicado abandonar su solucin al problema de Coprnico. Kepler comprendi que haba un problema real con el movimiento planetario. l busc resolverlo mediante la existencia de alguna fuerza que pareca ser csmica en naturaleza, en su creencia el magnetismo. La Tierra haba sido descrita como un gigantesco imn por William Gilbert en 1600. Kepler se aferr a ese hecho. Una fuerza magntica, dijo Kepler, eman del Sol y empuj los planetas alrededor en sus rbitas, pero l nunca pudo cuanticar esta idea bastante vaga y poco satisfactoria. A nales del primer cuarto del siglo 17 el pensamiento Aristotlico sobre el cosmos estaba rpidamente teniendo n, pero no apareca ningn sistema satisfactorio para ocupar su lugar. Como resultado exista escepticismo: La nueva losofa pone todo en duda. Era esta situacin la que favoreci el desarrollo de las ideas de Ren Descartes. La materia y movimiento fueron tomados por Descartes para explicar todos los procesos naturales por medio de los modelos mecnicos, aunque l advirti que tales modelos probablemente no eran la naturaleza misma. Ellos proporcionan meramente las historias probables, cuestin qu pareca mejor que ninguna explicacin en absoluto. Armado con materia y movimiento, Descartes atac los problemas del sistema de Coprnico. Cuerpos una vez en movimiento, Descartes argument, permanecen en movimiento en una lnea recta a menos que y hasta que ellos se desven de esta lnea por el impacto de otro cuerpo. Todo cambio de un movimiento es el resultado de cosas que impactan. La pelota soltada desde lo alto de un mstil, cae al pie del mstil porque, a menos que sea golpeado por otro cuerpo, contina movindose con la nave. Los planetas se mueven alrededor del Sol porque ellos son desviados por una materia sutil que llena todo el espacio (qu ser eso?). Podan as construirse modelos similares para considerar todos los fenmenos; el sistema Aristotlico podra ser reemplazado por el Cartesiano. Exista sin embargo un problema mayor, y eso bast para derrumbar al Cartesianismo en esos tiempos. La materia Cartesiana y movimiento no tenan ningn propsito. Ni la losofa de Descartes pareca necesitar la participacin activa de una deidad. El cosmos Cartesiano, como lo dijo Voltaire despus, era como un reloj al cual le haban dado cuerda en la creacin y que continuaba haciendo tictac por siempre.

10


1.2.6.

Contribucin de Galileo (1564 - 1642)

Adems de las contribuciones ya sealadas, Galileo Galilei (1564 - 1642) en su libro Dos nuevas Ciencias establece sus ideas sobre los cuerpos que caen y en general sobre el movimiento de los proyectiles. Sus ideas son presentadas como un dilogo entre tres personajes Salviati, Sagredo y Simplicio. El punto de vista ocial de la Iglesia, esto es las ideas Aristotlicas son defendidas por Simplicio y en general demolidas por los otros. Galileo prosigue dando un detallado anlisis de la cada de los cuerpos. El comprende que en la cada de objetos muy livianos, la resistencia del aire tiene un gran efecto, mientras que para cuerpos pesados eso causa un efecto leve. Movimientos acelerados Habiendo establecido experimentalmente que los cuerpos pesados caen prcticamente de la misma manera, el analiza la pregunta central, no tocada por Aristteles cmo vara la velocidad durante la cada? El problema, en esos tiempos, es que la cada es demasiado rpida como para hacer observaciones. El movimiento debera ser de alguna manera hecho ms lento. Galileo sugiere la ms simple de las hiptesis, un cuerpo al caer acelera uniformemente, es decir gana iguales cantidades de velocidad en iguales intervalos de tiempo. Esta es sin duda un hiptesis simple, pero deba ser establecida experimentalmente. El experimento de Galileo Para hacer la cada ms lenta, Galileo utiliz una tabla de madera colocada inclinada respecto a la horizontal, con una canal muy pulida donde se colocaba una esfera muy pulida de bronce, la cual se permita caer rodando por la canal. El tiempo tomado por la esfera para recorrer cierta distancia fueron determinados utilizando un reloj de agua. Este consiste en un recipiente con agua colocado en una posicin elevada, con un pequeo tubito soldado en su fondo, con un pequeo dimetro dando un chorrito de agua durante el tiempo de cada, cantidad de agua que era posteriormente determinada en una balanza. Las razones entre los pesos de agua dan las razones entre los tiempos de bajada. Galileo encontr que los espacios recorridos eran unos a otros como los cuadrados de los tiempos transcurridos.

1.2 Modelos del Cosmos0 t 2t 3t d 3d 5d

11

De hecho l marc las distancias recorridas por la esfera en iguales intervalos de tiempo t contados desde la partida encontrando que las distancias crecan en la proporcin 1 : 3 : 5 : 7 :

Para mayores inclinaciones del plano, las distancias recorridas en esos mismos intervalos de tiempos resultaron mayores, pero que estaban en esa misma razn. Un anlisis matemtico puede hacerse. Si llamamos x(t) la distancia recorrida en un tiempo t desde la partida, t el intervalo de tiempo considerado, d la primera distancia recorrida entonces tenemos 0 d, 3d, 5d, x(nt) x((n 1)t) = (2n 1)d. Si estos resultados los sumamos, lado a lado, obtenemos x(nt) = (1 + 3 + 5 + + (2n 1))d, pero la suma de los impares es conocida 1 + 3 + 5 + + (2n 1) = n2 , de modo que x(nt) = n2 d. Por ltimo, si llamamos al tiempo transcurrido despus de n intervalos t = nt tenemos t2 x(t) = d, (t)2 x(0) x(t) x(0) x(2t) x(t) x(3t) x(2t) = = = =

12


es decir el espacio recorrido vara con el cuadrado del tiempo transcurrido. Esto puede parecer trivial hoy da, pero esto es la primera constatacin experimental de un movimiento que no es uniforme en el tiempo. Si la velocidad de bajada en el tramo n del recorrido se dene como la razn entre el espacio recorrido y el tiempo transcurrido, esto es vn = esta resulta ser vn = vn n2 d (n 1)2 d , t d = (2n 1) , t d , t x(nt) x((n 1)t) , t

de aqu se deduce que el incremento de velocidad ser vn+1 vn = 2

y si se llama aceleracin a al cambio de velocidad por unidad de tiempo, esto es vn+1 vn , a= t este es d a=2 , (t)2 por lo tanto, las expresiones anteriores pueden resumirse en x(t) = d 2 1 2 t = at , (t)2 2 d d d v(t) = (2n 1) ' 2n =2 t = at t t (t)2

y Galileo concluye que en este tipo de movimiento, la velocidad se incrementa en la misma proporcin en que se incrementa el tiempo, en lenguaje moderno que vara linealmente con el tiempo. Estos conceptos sern mucho ms claros cuando se tenga calor el concepto de derivada. Los conceptos de velocidad y aceleracin en el instante t, denominados velocidad y aceleracin instantneos, se denirn ms adelante con ayuda de un cierto proceso lmite llamado la derivada.


13

1.2.7.

Sir Isaac Newton. La unicacin de la Fsica y la Astronoma

El siglo 17 era un tiempo de intenso sentimiento religioso, y en ninguna parte era ese sentimiento ms intenso que en Gran Bretaa. All un hombre joven devoto, Isaac Newton, nalmente sienta las bases de la Mecnica Clsica.

Figura 1.6: Isaac Newton Newton era a la vez un experimentalista y un genio matemtico, una combinacin que le permiti defender el sistema de Coprnico mediante unas nuevas mecnicas. Su mtodo era simplemente: de los fenmenos de los movimientos investigar las fuerzas naturales, y entonces de estas fuerzas deducir otros fenmenos del movimiento. El genio de Newton lo gui en la eleccin de fenmenos a ser investigados, y la creacin de una herramienta matemtica fundamentalel clculo (simultneamente inventado por Gottfried Leibniz). El resultado fue su gigantesca obra, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Principios Matemticos de Filosofa Natural, normalmente llamados Principia simplemente que aparecieron en 1687. Aqu se asentaban unas nuevas fsicas que aplicaron igualmente bien a los cuerpos terrestres y a los celestiales. Coprnico, Kepler, y Galileo eran todos justicados por el anlisis de Newton de las fuerzas. Descartes fue absolutamente derrotado. As con sus tres leyes (de Newton) de movimiento y su principio de gravitacin universal le bast a Newton para explicar el nuevo cosmos. Newton crey sin embargo que eso era con la ayuda de Dios. La Gravedad, es ac-

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cin divina directa, como lo son todas las fuerzas. El espacio absoluto, para Newton, era esencial, porque el espacio era el el sensorium de Dios, y la morada divina la cual, necesariamente, debe ser el ltimo sistema de coordenadas. (Estas ideas muestran con claridad que Newton formul sus leyes de la Mecnica en un sistema privilegiado de referencia, sistemas que hoy en da se conocen como Sistemas inerciales de Referencia.) Finalmente, el anlisis de Newton de las perturbaciones mutuas de los planetas causado por sus campos gravitacionales individuales lo hicieron predecir el derrumbamiento natural del sistema solar, a menos que Dios actuara para corregir las cosas. La gran sntesis de Newton Kepler propuso sus tres leyes del movimiento de los planetas basndose en las regularidades que encontr en los datos de Brahe. Estas leyes se supona aplicaban slo al movimiento de los planetas, no teniendo relacin alguna con otros movimientos en el Universo. Adems eran completamente empricas, ellas daban buenos resultados, pero nadie saba la razn de porqu ellas funcionaban. Newton cambi todo eso. Primero l demostr que los movimientos de todos los cuerpos podan ser descritos mediante tres leyes. Ms detalles se indicarn en el captulo de Dinmica, pero las enunciaremos de todos modos en esta introduccin, para partculas de masa constante I Ley 1.1 (Primera.) Un cuerpo que no est sometido a fuerzas permanece en reposo o se mueve con velocidad constante. Como veremos as formulada esta ley no puede ser correcta. El concepto movimiento y por lo tanto el de velocidad es relativo, es decir es necesario especicar el sistema de referencia que se ha usado para enunciar la primera ley. Esto es si la primera ley es vlida en algn sistema de referencia, dejar de serlo respecto a un sistema de referencia que acelera respecto al primero. I Ley 1.2 ((Segunda)) La aceleracin que experimenta un cuerpo es la fuerza aplicada dividida por la masa F a= . (1.1) m

1.3 La difusin del mtodo cientco

15

I Ley 1.3 ((Tercera)) La fuerza de accin de un cuerpo sobre otro es igual y contraria a la fuerza de reaccin del segundo sobre el primero. Adems enunci la ley de gravitacin universal I Ley 1.4 ((Gravitacin)) la fuerza de atraccin entre dos cuerpos es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos F =G m1 m2 . d2 (1.2)

Luego pudo demostrar que las tres leyes de Kepler se deducen de sus leyes cuando la fuerza es la fuerza gravitacional. Los detalles de este proceso se explicarn en el captulo de dinmica de sistemas de partculas. Esta ley constituye una de las primeras unicaciones que ocurren en Fsica, lo que ocurre en la Tierra, caida de piedras, es gobernado por la misma ley que explica el movimiento de los astros en el Cielo. Sin embargo as formulada, requiere que esa accin a distancia se propage con velocidad innita. Si cambia la distancia, la fuerza gravitacional entre dos cuerpo cambiara en forma instantnea independientemente de la distancia entre ellos. Albert Einstein a comienzos del siglo 20 logr contruir una nueva teora de la Gravitacin, llamada Teora de la Relatividad General, donde el efecto gravitacional se propaga justamente a la misma velocidad que tiene la luz.

1.3.

La difusin del mtodo cientco

La publicacin del Principia marca la culminacin del movimiento iniciado por Coprnico y, como tal, siempre ha perdurado como el smbolo de la revolucin cientca. Existan, sin embargo, crticas similares en otros mbitos del conocimiento natural. En el mismo ao que Newton publicaba su gran volumen, apareca un libro igualmente importante en anatoma. Andreas Vesalius Del fabrica de corporis de humani (En el Tejido del Cuerpo Humano, llam el Del fabrica), aparece un examen crtico de la anatoma de Galeno en la que Vesalius utiliz sus propios estudios para corregir muchos de los errores de Galeno.

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Vesalius, como Newton, puso nfasis en los fenmenos observados, es decir, la descripcin exacta de hechos naturales. Esto culmin con el descubrimiento de la circulacin de la sangre por William Harvey cuyo trabajo fue publicado como Exercitatio Anatomica De Motu el et de Cordis Sanguinis en Animalibus (Un Ejercicio Anatmico Acerca del Movimiento del Corazn y Sangre en Animales ) . ste era como el Principia en siologa donde se estableci la anatoma y la siologa como ciencias con derecho propio. Harvey mostr que esos fenmenos orgnicos podran estudiarse experimentalmente y que algunos procesos orgnicos podan reducirse a sistemas mecnicos. El corazn y el sistema vascular podran ser considerados como una bomba y un sistema de caeras y que podan entenderse sin recurrir a espritus u otras fuerzas no susceptibles al anlisis. En otras ciencias el esfuerzo por sistematizar no tuvo tanto xito. En qumica, por ejemplo, el trabajo de los alquimistas modernos medievales haban conducido a nuevas substancias importantes y procesos, como los cidos minerales y destilacin, pero presentaron sus teoras en un lenguaje mstico casi incomprensible. Robert Boyle en Inglaterra intent disipar la maleza intelectual insistiendo en las descripciones claras, en la reproducibilidad de los experimentos, y concepciones mecnicas de los procesos qumicos. La qumica, sin embargo, no estaba todava madura para la revolucin. Nuevos instrumentos como el microscopio y el telescopio multiplicaron los mundos con los que el hombre tena que ver. Los viajes por el Mundo devolvieron un diluvio de nuevos especmenes botnicos y zoolgicos que agobiaron esquemas clasicadores antiguos. Lo mejor que poda hacerse era describir estas cosas nuevas con precisin y esperar que algn da alguien pudiera ajustarlas de una manera coherente. El diluvio creciente de informacin puso tensiones pesadas en las instituciones viejas y tradicionales. La informacin tuvo que ser extendida amplia y rpidamente. Ni el genio aislado de Newton pudo comprender un mundo en el que la nueva informacin estaba producindose ms rpidamente de lo que cualquier persona poda asimilar. Los lsofos naturales tenan que estar seguros de sus datos, y con ese n requirieron la conrmacin independiente y crtica de sus descubrimientos. Se crearon nuevos medios para lograr estos nes. Las sociedades cientcas empiezan en Italia en los primeros aos del siglo 17 y culminan en las dos grandes sociedades cientcas nacionales que marcan el cenit de la revolucin cientca: la Sociedad Real de Londres para la Promocin de Conocimiento Natural, creado por carta constitucional real

1.3 La difusin del mtodo cientco

17

en 1662, y las Acadmie des Ciencias de Pars, formadas en 1666. En estas sociedades y otras como ellas por el mundo, los lsofos naturales podran discutir, y podran criticar nuevos descubrimientos y las teoras antiguas. Para mantener una base rme en estas discusiones, las sociedades empezaron a publicar trabajos cientcos (papers). Las Transacciones Filoscas de la Sociedad Real que empezaron como una aventura privada de su secretaria fueron el primer peridico cientco profesional. Fue copiado pronto por el Mmoires de la academia francesa que gan igual importancia y prestigio. La antigua prctica de ocultar los nuevos descubrimientos en jerga comn, el idioma oscuro, o incluso los anagramas gradualmente dieron lugar al ideal de comprensin universal. Se inventaron nuevos cnones para informar y para que los experimentos y descubrimientos pudieran ser reproducidos por otros. Esto requiri nueva precisin en el idioma o lenguaje para compartir mtodos experimentales u observacionales. El fracaso de otros para reproducir resultados lanzaba serias dudas en los informes originales. As se crearon las herramientas para un ataque frontal a los secretos de naturaleza. Incluso con la revolucin cientca comenzando, faltaba an mucho por hacer. De nuevo, fue Newton quien mostr la manera. El Principia bastaba para el mundo macroscpico. Las tres leyes de Newton de movimiento y el principio de gravitacin universal eran todo lo necesario para analizar las relaciones mecnicas de cuerpos ordinarios, y el clculo como la herramienta matemtica esencial. Para el mundo microscpico, Newton proporcion dos mtodos. Primero, donde las leyes simples de accin ya haban sido determinadas de la observacin, como la relacin de volumen y presin de un gas (la ley de Boyle, pv = k ), Newton supuso fuerzas entre partculas que le permitieron derivar esa ley. l us estas fuerzas entonces para predecir otros fenmenos, en este caso la velocidad del sonido en el aire la cual poda medirse y contrastarse con la prediccin. Segundo, el mtodo de Newton hizo posible el descubrimiento de que las leyes de accin del mundo macroscpico. podran considerarse como el efecto de fuerzas microscpicas. Aqu el trabajo terminal de Newton no est en el Principia sino en su obra maestra de fsicas experimentales, el Opticks, publicado en 1704 en los que l mostr cmo examinar un asunto experimentalmente y descubrir las leyes del fenmeno. Newton mostr como el uso juicioso de una hiptesis puede llevar ms all la investigacin experimental hasta que una teora coherente fuese lograda. El

18


Opticks fue el modelo en los siglos 18 y comienzos del 19 para la investigacin del calor, la electricidad, el magnetismo, y los fenmenos qumicos.

1.3.1.

La edad clsica de la Ciencia

Como consecuencia de que el Principia precedi al Opticks, la mecnica tuvo ms desarrollo que otras ciencias en el siglo 18, que en este proceso se transform de una rama de la fsica en una rama de la matemticas. Se redujeron muchos problemas de la fsica en problemas matemticos, que mostraron su ductibilidad de ser resueltos por mtodos analticos cada vez ms sosticados. El matemtico suizo Leonhard Euler fue uno de los obreros ms fecundos y prolcos en matemtica y en la fsica matemtica. Su desarrollo del clculo de variaciones, una herramienta muy poderosa, le permiti tratar problemas muy complejos. En Francia, Jean Le de Rond Alembert y Joseph-Louis Lagrange tuvieron xito en reducir los problemas de la mecnica a un sistema axiomtico que requiere slo manipulacin matemtica. La base de la Mecnica de Newton era su congruencia con la realidad fsica. Al principio del siglo 18 ella se expuso a muchas pruebas rigurosas. El toque nal al edicio de Newton fue proporcionado por Pierre-Simon, marqus de Laplace cuyo Trait hbil del celeste del mcanique (17981827; las Mecnicas Celestiales) sistematiz todo lo que se haba hecho en mecnicas celestiales bajo la inspiracin de Newton. Laplace fue ms all de Newton, en sus creencias, mostrando que las perturbaciones de las rbitas planetarias causadas por las interacciones de gravitacin planetaria son de hecho peridicas y que el sistema solar es, por consiguiente, estable, no requiriendo ninguna intervencin divina para evitar su colapso. Esta armacin puede sin embargo ser discutida hoy en da con el desarrollo de la teora de los sistemas dinmicos donde se han abierto nuevas dudas en el asunto de la estabilidad del sistema Solar.

1.4.

El mtodo cientco

En trminos modernos, el mtodo cientco puede resumirse en un proceso que consta de los siguientes pasos o etapas 1 Observe aspectos del Universo que sean de su inters como investigador.

1.4 El mtodo cientco

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2 Invente alguna descripcin tentativa de los hechos observados, cuestin llamada una hiptesis, que sea consistente con todo lo que usted ha observado. 3 Utilice la hiptesis para efectuar predicciones de fenmenos en el mbito de los fenmenos descritos. 4 Contraste esas predicciones mediante nuevos experimentos o mediante nuevas observaciones, y redena su hiptesis a la luz de los nuevos resultados. 5 Repita los pasos 3 y 4 hasta que no existan discrepancias entre su teora o hiptesis y los experimentos u observaciones. Cuando se logre consistencia entre la hiptesis y los resultados, la hiptesis adquiere el rango de teora cientca la cual provee un conjunto coherente de proposiciones que explican una cierta clase de fenmeno. Una teora es entonces un artefacto mediante el cual se explican observaciones y se pueden hacer predicciones. Una gran ventaja del mtodo cientco est en la ausencia de prejuicios. Un investigador no tiene necesariamente que creer a otros. Los experimentos pueden ser repetidos y as determinar si los resultados son verdaderos o falsos, independientemente de creencias religiosas o de prejuicios existentes. Una teora cientca es adoptada o descartada sin consideracin al prestigio del proponente o a su poder de persuasin. Al estudiar el cosmos, no es posible realizar experimentos directamente, toda la informacin se obtiene mediante la observacin. Una crtica frecuente que se hace a los cientcos y en consecuencia al mtodo cientco es que muchas cosas que se crean imposibles en el pasado son hoy en da realidades. Esta crtica est basada en una mala interpretacin del mtodo cientco. Cuando una hiptesis pasa el test de su comprobacin experimental, entonces ella se adopta como la teora que explica correctamente los fenmenos observados. Sin embargo, cuando se explora un nuevo rango de fenmenos se utiliza la teora existente pero se tiene siempre en mente que la teora puede fallar al intentar explicar nuevos fenmenos. En estos casos, nuevas hiptesis son hechas hasta que emerge una nueva teora.

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1.5.1.5.1.

GravitacinDesarrollo de la teora gravitacional

Hasta los hallazgos de Newton, no se comprendi que el movimiento de los cuerpos celestiales y la cada libre de objetos en la Tierra eran determinados por la misma fuerza. Los lsofos griegos clsicos, por ejemplo, no crean que los cuerpos celestiales podan ser afectados de algn modo, puesto que ellos parecan perpetuamente seguir trayectorias sin caerse del cielo. Por esa misma razn, Aristteles pensaba que cada cuerpo celeste sigue un camino natural en su movimiento. Asimismo crea que los objetos materiales terrenales poseen una tendencia natural a acercarse al centro de la Tierra. Tres leyes de Kepler 1 Los planetas describen rbitas elpticas en las cuales el Sol el cual ocupa uno de sus focos. 2 La lnea que une un planeta al Sol barre reas iguales en tiempos iguales. 3 El cuadrado del periodo de revolucin de un planeta es proporcional al cubo de su distancia media al Sol. Una expresin moderna de esta ley es 4 2 3 T2 = (1.3) R, GM siendo G la constante de gravitacin Universal, M la masa del Sol, y R la distancia media al Sol. La aceleracin de gravedad Desde los estudios de Galileo, se acepta que los objetos en las vecindades de la supercie terrestre, caen con la misma aceleracin, llamada aceleracin de gravedad que tiene un valor aproximadamente g = 9,8 m s2 (1.4)

Por otro lado, Newton descubri una sorprendente relacin entre el movimiento de la Luna (inuenciada por la Tierra?) y el movimiento de cualquier

1.5 Gravitacin

21

cuerpo que cae sobre la Tierra. Primero que nada, mediante mtodos puramente matemticos y geomtricos, el descubri que un cuerpo que recorre una rbita circular de radio R en un tiempo ( perodo) T , est acelerado hacia el centro de la circunferencia con una magnitud igual a: a= 4 2 R. T2 (1.5)

De hecho, es posible obtener lo anterior por mtodos puramente geomtricos. En efecto considere la guraP1 s = Vt P2

r P2 ' h

Cuando el cuerpo pasa de P1 a P 02 el cuerpo ha cado, respecto a la trayectoria rectilnea, la distancia h que puede calcularse geomtricamente mediante el teorema de Pitgoras. En efecto h + r es la hipotenusa de un tringulo rectngulo, luego h + r = r2 + v2 t2 . En lo que sigue, estn los ingredientes fundamentales del llamado anlisis diferencial. Si el tiempo es cero, naturalmente h resulta cero. Si el tiempo es muy pequeo (pero no cero) podemos aproximar r v 2 t2 v 2 t2 h = r 1+ 2 r r 1+ 2 r r 2r 2 1v 2 t. = 2 r

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Expresin que nos indica que, para tiempos pequeos, la Luna cae con aceleracin de magnitud v2 a= r y como la rapidez es 2r , v= T se obtiene el resultado de Newton. Esto ocurre en cada punto de la rbita circular. Para Newton esta aceleracin debera ser causada por una fuerza. As supuso la presencia de una fuerza atractiva entre todos los cuerpos materiales, una fuerza que no requiere contacto directo y que acta a distancia. Haciendo uso de la ley de inercia es decir que los cuerpos no sometidos a fuerzas siguen con velocidad constante en una lnea recta, Newton concluy que una fuerza ejercida por la Tierra sobre la Luna es necesaria para que su movimiento sea circular en torno a la Tierra. l comprendi que esta fuerza debera ser, considerando las proporciones, igual que la fuerza con la que la Tierra atrae a objetos sobre su supercie. La expresin anterior permite determinar la aceleracin de cada de la Luna, esto es como el experimento de Galileo para piedras, pero con un objeto muchsimo ms lejos. Newton analiz el movimiento de la Luna la que tiene un periodo de T = 27,3 das (casi un mes) y una rbita de radio aproximadamente igual a RL = 384, 000 kilmetros (aproximadamente 60 radios de la Tierra RT ). De este modo la aceleracin de la Luna en su rbita es (dirigida hacia la Tierra) de magnitud ( 2RL )2 v2 4 2 RL 4 2 3,84 108 T a= = = = = 0,00272 m s2 , 2 2 RL RL T (27,3 24 3600) mucho menor que la encontrada por Galileo para cuerpos cayendo cerca de la supercie terrestre. La genialidad de Newton consiste en entender como la distancia inuye. Considere a 0,00272 = = 0,000 277 g 9,8 que sorprendentemente resulta igual a (RT /RL )2 = (1/60)2 = 0,000 277

1.5 Gravitacin

23

Cuando Newton descubri que la aceleracin de la Luna en su rbita es (1/60)2 = 1/3600 veces ms pequea que la aceleracin en la supercie de la Tierra, l tuvo la genial idea de suponer que la fuerza, llamada fuerza gravitatoria, entre dos cuerpos disminuye como el inverso del cuadrado de la distancia entre los cuerpos. As, si la distancia entre los cuerpos se dobla, se reduce la fuerza en ellos en cuatro veces. Un resultado que requiere suponer que la masa de la Tierra acta gravitacionalmente en sus alrededores como que si su masa se concentrara en el centro del planeta.

1.5.2.

Ley inversa al cuadrado de la distancia

Es tambin posible deducir la ley inversa al cuadrado de la distancia, de acuerdo a la tercera ley de Kepler. En efecto si en la expresin a= 4 2 R , T2

se reemplaza el periodo de acuerdo a la tercera ley de Kepler T 2 = kR3 4 2 R 4 2 = . kR3 kR2 Newton tambin dedujo que las fuerzas gravitacionales entre los cuerpos deberan depender de las masas de los cuerpos. Dado que un cuerpo de masa M que experimenta una fuerza F acelera a razn F/M, una fuerza proporcional a M sera consistente con la observaciones de Galileo de que los cuerpos aceleran bajo la gravedad terrestre con la misma magnitud. As y en forma resumida la teora gravitacional de Newton establece que a= F12 = G m1 m2 , (r12 )2 (1.6) se obtiene

donde F12 es la magnitud de la fuerza gravitatoria que acta entre las los cuerpos de masas m1 y m2 separadas una distancia r12 . La fuerza iguala el producto de estas masas y de G, una constante universal, dividida por el cuadrado de la distancia. Su teora gravitatoria permiti explicar las leyes de Kepler y estableci la ciencia cuantitativa moderna de la gravitacin. Tiene, como se explic antes el defecto que es de accin instantnea.

24


La constante de gravitacin universal tiene en el sistema SI, que se explica ms adelante, el valor G = 6,67259 1011 m3 kg1 s2 , (1.7)

y la fuerza gravitacional acta en la direccin de la lnea que une los dos cuerpos. Una expresin ms simple, permite calcular la aceleracin en la supercie en Tierra, la llamada aceleracin de gravedad. Sea MT la masa de la tierra y RT su radio, la aceleracin descendente de un cuerpo en la supercie es g= GMT . 2 RT

De aqu puede deducirse una expresin aproximada para la aceleracin de gravedad a una altura h sobre la supercie terrestre, pequea comparada con el radio terrestre: GMT (RT + h)2 MT MT G 2 + 2G 3 h RT RT 2h = g(0)(1 ). RT

g(h) =

(1.8)

Nota 1.1 Las matemticas nos informan que (1 + x)p 1 + px, cuando |x| es mucho menor que 1. Esto justica el resultado anterior.

1.5.3.

Cuerpos en rbita circular

De acuerdo a lo establecido por Newton la aceleracin de un cuerpo en movimiento circular de radio R, periodo T y rapidez v est dada por a= 4 2 R v2 = , T2 R

y por otro lado su ley de gravitacin Universal establece que la fuerza responsable de esa aceleracin es F12 = G m1 m2 , (r12 )2

1.5 Gravitacin

25

entonces si el cuerpo de masa m est en rbita alrededor de la Tierra de masa MT su segunda ley conduce a m v2 mMT =G 2 , R R

o sea el cuerpo debe tener una rapidez dada por r GMT . v= R

(1.9)

Como se ver ms adelante, la ley de Gravitacin universal cuando se aplica al movimiento de dos cuerpos que se atraen gravitacionalmente, conduce a tres posibles trayectorias u rbitas relativas entre los dos cuerpos. Ellas son elipses, de las cuales la circunferencia es un caso particular, hiprbolas y parbolas.

1.5.4.

Velocidad de escape

Un objeto lanzado hacia arriba desde la supercie de un planeta, despreciando el efecto del roce con la atmsfera, no regresa de cada si la velocidad excede el valor denominado velocidad de escape que puede ser determinado mediante r 2GM ve = , (1.10) R siendo M la masa del planeta, R su radio y G la constante de gravitacin. La frmula anterior es tambin vlida para lanzamientos desde cualquier altura y ser demostrada en el captulo de sistemas de partculas. Desde la supercie de la Tierra ese valor resulta ve = 11,18 km s1 = 40248,0 km h1 . Desde la supercie de la Luna resulta mucho menor ve = 2,4 km s1 = 8640 km h1 . Debemos mencionar tambin que si un cuerpo tiene la velocidad de escape respecto a la Tierra esa no es suciente para escapar de la atraccin gravitacional del Sol. Este resultado aplica adems para un objeto lanzado desde cualquier altura, siendo en este ltimo caso R la distancia desde el centro de la Tierra al punto de lanzamiento.

1.5.5.

Peso y masa

El peso W del cuerpo es denido por la fuerza igual y opuesta necesaria para prevenir la aceleracin descendente del cuerpo. El mismo cuerpo puesto

26


en la supercie de la Luna tiene la misma masa, pero, como la Luna tiene una masa de aproximadamente 1/81 veces el de la Tierra y un radio de aproximadamente 0,27 el de la Tierra, el cuerpo en la supercie lunar tiene un peso de slo 1/6 su peso de Tierra. Newton pudo demostrar que las tres leyes de Kepler, se desprenden matemticamente del uso de sus propias leyes de movimiento y de la ley de gravitacin. Estos aspectos sern tratados en el captulo de sistemas de partculas. En todas las observaciones del movimiento de un cuerpo celestial, slo el producto de G y la masa M aparece. Newton estim la magnitud de G suponiendo la densidad de masa de promedio de la Tierra alrededor de 5,5 veces la del agua lo que permite estimar la masa de la Tierra MT . Finalmente calcul G mediante2 gRT MT

G=

Usando las observaciones del movimiento de las lunas de Jpiter descubiertas por Galileo, Newton determin que Jpiter es 318 veces ms masivo que la Tierra pero tiene slo 1/4 de su densidad y un radio 11 veces ms grande que la Tierra.

obteniendo un valor cercano a 6,6726 1011 .

1.5.6.

Interaccin entre los cuerpos celestiales

Cuando dos cuerpos celestiales de masas comparables se atraen gravitacionalmente, ambos orbitan con respecto al centro de masa de los dos cuerpos. Ese punto queda entre los cuerpos en la lnea que los une en una posicin tal que las distancias a cada cuerpo multiplicadas por la masa de cada cuerpo son iguales. En frmulas M2 R, M1 + M2 M1 = R, M1 + M2

R1 = R2

1.5 Gravitacin

27

R1 R2 M1 CM

M2

R

As, la Tierra y el Sol estn orbitando en torno a su centro comn de masa CM. Con leves modicaciones las leyes de Kepler son vlidas para los sistemas de dos cuerpos de masas estando el foco de las rbitas elpticas en la posicin del centro de masa de los dos cuerpos. Ms adelante en el captulo 8 se encontrarn todas las posibles rbitas. Por ahora consideremos slo rbitas circulares. Cada cuerpo cumple con la segunda ley de Newton, es decir2 v1 M1 M2 =G , R1 R2 v2 M1 M2 M2 a2 = M2 2 = G , R2 R2 de donde como las velocidades son 2R1 2R2 v1 = , v2 = , T1 T2 se obtiene 42 R1 M2 = G 2, 2 T R 2 M1 4 R2 = G 2. 2 T R Si las sumamos considerando que R = R1 + R2 resulta la llamada tercera ley de Kepler G(M1 + M2 ) 2 T . (1.11) R3 = 4 2

M1 a1 = M1

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Esto es, el cuadrado del periodo T es proporcional al cubo de la distancia R entre los centros de los dos cuerpos. Esta frmula puede usarse para determinar las masas separadas de estrellas binarias. La frmula anterior determina la suma de las masas y si R1 y R2 son las distancias de las estrellas individuales del centro de masa, entonces M1 R1 = M2 R2 y la suma de las distancias es la distancia total R. Estas relaciones son sucientes para determinar las masas individuales. Las observaciones del movimiento orbital de las estrellas dobles, del movimiento dinmico de estrellas que mueven colectivamente dentro de sus galaxias, y del movimiento de las galaxias, verican que la ley de Newton de gravitacin es vlida, con un alto grado de exactitud a lo largo y ancho del universo visible. Newton tambin explic las mareas del ocano, fenmenos que envolvieron en misterio a los pensadores durante siglos, y que son una simple consecuencia de la ley universal de gravitacin. Ellas son causadas especcamente por la fuerza gravitatoria de la Luna y, en menor grado, del Sol sobre las aguas. Ya era conocido en tiempos de Newton que la Luna no tiene una rbita Kepleriana simple. Otras observaciones ms exactas sobre los planetas tambin mostraron diferencias con las leyes de Kepler. El movimiento de la Luna es particularmente complejo. Adems, la atraccin gravitatoria de los planetas explica casi todos los rasgos de sus movimientos. Las excepciones son no obstante importantes. Urano, el sptimo planeta del Sol, manifest importantes variaciones en su movimiento que no podan ser explicadas mediante perturbaciones de Saturno, Jpiter, y de los otros planetas. Dos astrnomos del siglo 19, John Couch Adams de Bretaa y Urbain-Jean-Joseph Le Verrier de Francia, supusieron independientemente la presencia de un octavo planeta inadvertido que podra producir las diferencias observadas. Ellos calcularon su posicin dentro de una precisin de un grado de donde se descubri Neptuno ms tarde en 1846.

1.5.7.

Medidas absolutas de la gravedad

Hay dos maneras bsicas de determinacin de la gravedad: cronometrando el cada libre de un objeto y cronometrando el periodo del movimiento de un

1.6 Unidades

29

pndulo bajo la gravedad , el cual para oscilaciones pequeas est dado por T = 2 s L . g (1.12)

En 1817 el fsico ingls Henry Kater construye y fue el primero en usar un pndulo reversible para hacer medidas absolutas de g.(Pndulo de Kater) El pndulo reversible se us para las medidas absolutas de gravedad desde los tiempos de Kater hasta los aos cincuenta. Los instrumentos electrnicos les han permitido a los investigadores medir con mucha precisin el tiempo de cada libre. Tambin es posible hacer medidas sumamente exactas que usan interferencia lser. Por consiguiente, las medidas directas de cada libre han reemplazado el pndulo para las medidas absolutas de gravedad. Hoy da los lasers sirven como fuentes luminosas para los interfermetros. El objeto que cae reeja un haz de luz lser. Se han usado versiones transportables de tal aparato para medir diferencias de gravedad en toda Tierra. La exactitud alcanzable en estas medidas es aproximadamente una parte en 108 .

1.5.8.

Datos actuales de las rbitas planetarias

Hoy se conocen bastante bien las caractersticas de los planetas y de sus rbitas, para lo cual se presenta la tabla siguiente con algunos datos tiles de algunos de ellos: Mercurio Venus Tierra Distancia al Sol, semi eje mayor km 57909175 108208930 149597890 Periodo orbital, aos terrestres 0,24084445 0,61518257 0,9997862 Masa kg 0,33022 1024 4,8690 1024 5,9742 1024 y para los ms alejados Marte Jpiter Saturno Distancia al Sol, semi eje mayor km 227936640 778412020 1426725400 Periodo orbital, aos terrestres 1,88071105 11,85652502 29,42351935 24 24 1898,7 10 568,51 1024 Masa kg 0,64191 10

1.6.1.6.1.

UnidadesMedicin

30


El tema de las mediciones en Fsica es uno de los aspectos centrales del mtodo cientco. Cualquier medicin involucra primero que nada la denicin de la propiedad fsica a ser medida y en segundo lugar involucra una comparacin (por algn mtodo bien denido) con una propiedad fsica conocida del mismo tipo, la unidad de medida. El proceso termina arrojando un nmero para la propiedad fsica que est siendo medida, ms alguna estimacin del error cometido. El error se dene como la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero, hipottico valor que posee la cantidad fsica. El proceso de medicin siempre involucra algn intercambio de energa entre el observador o el instrumento, con el objeto que est siendo medido. En muchos casos eso produce un efecto despreciable sobre la determinacin realizada, pero en otros casos produce un efecto no despreciable que limita la acuciosidad del valor logrado, sobre todo a nivel del mundo microscpico.

1.6.2.

Valor verdadero

Los errores en las mediciones estn bien denidos, aunque sean desconocidos, cuando el valor verdadero de la propiedad fsica que est siendo medida existe. Este punto no est absolutamente claro, pero se cree que hay ciertas cantidades fsicas que tienen valor verdadero. Por ejemplo la carga del electrn o del protn. La masa en reposo del electrn. La velocidad de la luz. Adems existen constantes en las leyes de la fsica, las cuales tienen presumiblemente un valor verdadero, por ejemplo la constante de gravitacin universal, la constante de Planck, etctera. Por otro lado, la corriente que circula por un dispositivo puede tener uctuaciones intrnsecas de causas desconocidas, que indeterminan el concepto de valor verdadero, y por lo tanto el concepto de error en su medicin. La aplicacin de teoras de errores o tratamiento estadstico de datos que se explica ms adelante, requiere tener claridad sobre estos aspectos.

1.7.

Cifras signicativas

Como resultado de un proceso de medicin, por ejemplo de una longitud, el resultado debe establecer los nmeros correctos y el primer nmero incierto. Con relacin a la gura la longitud determinada podra ser escrita

1.7 Cifras signicativas12

31

13

14

15

Incerteza L = 14,35 cm siendo incierto el ltimo dgito, de manera que sera igualmente vlido escribirlo como L = 14,34 cm As, las cifras signicativas de una medida, en este caso cuatro, son los dgitos correctos y el primer nmero incierto. Ejemplos G =6.672591011 m3 kg1 s2 tiene seis cifras signicativas. e = 1,602177331019 C tiene nueve cifras signicativas. L = 10,8345 m tiene seis cifras signicativas. L = 10,8345 106 m tiene seis cifras signicativas. L = 1,08345 106 m tiene seis cifras signicativas. 40100 m tiene cinco cifras signicativas. Sin embargo si se trata de un entero, 3800 manzanas, hay innitas cifras signicativas. 0,000401 tiene tres cifras signicativas. La velocidad de la luz en el vaco c = 299792458 m s1 se acepta hoy que es un valor exacto. Si se determinara con una mayor precisin, el valor de c se mantendra pero cambiara la denicin de la unidad de longitud, el metro. Esto es se preere mantener constante la velocidad de la luz en ese valor, y corregir la unidad de longitud para que as sea. Vea un poco ms adelante.

32 Operaciones con cifras signicativas


Al operar con resultados de mediciones, deben respetarse ciertas reglas. En la suma o resta de nmeros, debe redondearse el resultado de modo que el nmero de decimales sea el del que tenga menos cifras decimales. En la multiplicacin o divisin, el resultado debe redondearse de modo que el nmero de cifras signicativas del resultado, sea el del factor que tenga menos cifras signicativas. Ejemplos 0,123 0,1256 = 0,002 6 0,003 12,1 + 0,0017 = 12. 101 7 12,1 3,67 2,3 = 8. 441 8,4 0,0123/2,3 = 0,005 347 0,005 4

1.8.

Estandarizacin

Los primeros estndares de medicin aparecieron en las culturas mediterrneas y estaban basadas en partes del cuerpo humano, o en lo que algn animal poda tirar, o en el volumen de algn depsito. La unidad egipcia cubit se acepta que fue la unidad de longitud lineal ms extendida en el mundo antiguo a partir de ao 3000 bC, y consista en la longitud entre el codo del brazo hasta la punta de los dedos extendidos. Bueno, las cosas han avanzado progresivamente y hoy da de acuerdo a una convencin internacional realizada en Pars en 1960 acordaron el sistema internacional de unidades (SI) basado en siete unidades bsicas. Las letras SI representan al Systme International dUnits. Este es el sistema internacionalmente acordado para la mayor parte de los trabajos cientcos y tecnolgicos en la mayora de los pases. Las Unidades SI son de tres tipos base, suplementarias, y derivadas. Hay siete unidades base correspondientes a las siete cantidades fsicas dimensionalmente independientes, como se muestra en la tabla siguiente

1.8 Estandarizacin Unidades SI Cantidad fsica longitud masa tiempo corriente elctrica temperatura termodinmica cantidad de substancia intensidad luminosa Unidades Cantidad fsica ngulo plano ngulo slido base Nombre Smbolo metro m kilogramo kg segundo s Ampre A Kelvin K mol mol candela cd

33

SI suplementarias Nombre Smbolo radin rad estereorradin sr

Unidades SI derivadas Cantidad fsica Nombre Smbolo frecuencia Hertz Hz energa Joule J fuerza Newton N potencia Watt W presin Pascal Pa carga elctrica Coulomb C diferencia de potencial elctrico Volt V resistencia elctrica Ohm conductancia elctrica Siemens S capacidad elctrica Farad F ujo magntico Weber Wb inductancia Henry H densidad de ujo magntico 1.8 Tesla T ujo luminoso Lumen lm iluminacin Lux lx

*Tambin conocida como induccin magntica Unidades SI se usan con catorce prejos para formar mltiplos decimales y submltiplos de las unidades.

34 Prejos usados Nombre de Factor Prejo Smbolo 10 decada 102 hecto- h 103 kilok 106 mega- M 109 gigaG 12 10 teraT 1015 petaP 18 10 exaE .

Introduccin a la Fsica con unidades SI Nombre de Factor Prejo 101 deci102 centi3 10 mili106 micro9 10 nano12 10 pico1015 femto18 10 atto-

Smbolo d c m n p f a

1.9.

Las unidades bsicas

Las deniciones de las unidades bsicas, de espacio tiempo y masa, han experimentado cambios con el propsito de adecuarse a los avances en los mtodos experimentales, no existiendo razn alguna para suponer que las actuales deniciones son las denitivas. La excepcin consiste en la unidad de masa, el kilogramo, establecida en 1887. Hoy (1999), las deniciones aceptadas son las siguientes. Definicion 1.9.1 El kilogramo se dene como la masa de un cilindro fabricado con una aleacin de platino e Iridio que se conserva en la International Bureau of Weights and Measures, en Sevres Francia. Este patrn (primario) no se ha cambiado debido a la extraordinaria estabilidad de esa aleacin. Un duplicado (patrn secundario) se conserva en el National Bureau of Standards en Gaitherburg. Definicion 1.9.2 Un segundo es el tiempo que requiere un tomo de Cesio 133 para realizar 9.192.631.770 vibraciones, correspondientes a la transicin entre dos niveles hipernos de su estado fundamental. Esta denicin tiene la ventaja respecto a la denicin del kilogramo, de no requerir de patrones especcos guardados en algn lugar, para su realizacin.

1.10 Ejercicios

35

Definicion 1.9.3 El metro se dene como la distancia recorrida por la luz en el vaco en un intervalo de tiempo de 1/299,792,458 segundos. Esta denicin est basada en la extraordinaria precisin con que actualmente se puede medir la velocidad de la luz, la cual se acepta hoy en da que es exactamente 299,792,458 m s1 .

1.10.

Ejercicios

Ejercicio 1.1 Un cuerpo describe una rbita circular de radio R = 100 m en torno a un punto jo con rapidez constante dando una vuelta completa por segundo. Determine la magnitud de la aceleracin del cuerpo. Ejercicio 1.2 Si el cuerpo del ejercicio anterior, repentinamente siguiera en lnea recta, determine la rapidez de crecimiento de la distancia al punto jo en m s1 . Ejercicio 1.3 Las masas de la Tierra y de la Luna son aproximadamente MT = 5,98 1024 kg y ML = 7,36 1022 kg siendo la distancia promedio entre ellos 3,84 108 m. Determine la fuerza ejercida por la Tierra sobre la Luna y la ejercida por la Luna sobre la Tierra. Ejercicio 1.4 De los datos del ejercicio anterior, determine el tiempo empleado por la Luna en dar una vuelta completa en torno a la Tierra, en das. Ejercicio 1.5 Determine aproximadamente la fuerza que hace la Luna sobre una persona que est sobre la supercie terrestre y de masa 80 kg. Ejercicio 1.6 Si el radio de la Luna es 1,74106 m determine cuanto pesa un kg de oro en la Luna. Ejercicio 1.7 De acuerdo a los radios orbitales, evale los periodos orbitales usando la tercera ley de Kepler, comparando con los datos tabulados. Ejercicio 1.8 Determine a qu distancia entre la Tierra y la Luna, un cuerpo no es atrado hacia ninguno de los dos cuerpos. Ejercicio 1.9 Un pndulo de longitud L = 2 m efecta oscilaciones en la supercie terrestre. Determine el nmero de oscilaciones que efecta en cada segundo.

36


Ejercicio 1.10 Utilizando las leyes de Kepler, discuta la existencia del planeta X, hipottico planeta igual a la Tierra, en su misma rbita elptica en torno al Sol, pero que permanece siempre oculto detrs del Sol y por eso no ha sido observado. Ejercicio 1.11 Si la distancia promedio de la Tierra al Sol es aproximadamente 1,496 1011 m determine aproximadamente la masa del Sol. Ejercicio 1.12 Verique con los datos de la tabla, el cumplimiento de la tercera Ley de Kepler. Ejercicio 1.13 De acuerdo a las masas de los planetas, evale las velocidades de escape desde sus supercies, comparando sus valores con los tabulados. Ejercicio 1.14 De acuerdo a las masas de los planetas y sus radios, evale la aceleracin de gravedad en sus supercies, comparando sus valores con los tabulados. Ejercicio 1.15 Estudie si existe alguna ley que de cuenta de las distancias de los planetas al Sol. (Por razones histricas, considere unidades donde la distancia Tierra Sol sea 10). Si existe alguna discontinuidad en su ley, aventure alguna hiptesis. Ejercicio 1.16 Considere un satlite articial en rbita ecuatorial geoestacionaria, es decir que permanece siempre sobre el mismo punto de la supercie terrestre. Determine entonces la altura del satlite sobre la supercie terrestre y la rapidez de l en su rbita. Ejercicio 1.17 Respecto a la situacin del problema anterior, si la altura del satlite es reducida a la mitad pasando a otra rbita circular, determine el nmero de vueltas que da el satlite por da en torno a la Tierra. Ejercicio 1.18 Considere a una persona en el Ecuador terrestre. Producto de la rotacin terrestre esa persona est acelerada hacia el centro de la Tierra. Determine la magnitud de esa aceleracin. Si la persona se para sobre una balanza y ella tiene una masa de 80 kg determine la lectura de la balanza en kgf . (1 kgf = 9,8 N)

1.10 Ejercicios

37

Ejercicio 1.19 Determine el radio que debera tener un planeta con la misma masa terrestre, para que la velocidad de escape en su supercie fuera la velocidad de la luz. Ejercicio 1.20 Determine el radio que debera tener una estrella con la misma masa que el Sol, para que la velocidad de escape en su supercie fuera la velocidad de la luz. Ejercicio 1.21 Determine la velocidad de rotacin que debera tener un planeta como la Tierra, en vueltas por da, para que despegramos de la supercie en el Ecuador. Ejercicio 1.22 Las masas de la Tierra y de la Luina son aproximadamente MT = 5,98 1024 kg y ML = 7,36 1022 kg, siendo la distancia promedio entre sus centros 3,84 108 m. Determine a) El periodo orbital de la Luna considerando a la Tierra ja. b) El periodo orbital de la Luna considerando que ambos cuerpos orbitan en torno a su centro de masas. c) La magnitud de la aceleracin del centro de la Luna. Ejercicio 1.23 Las masas de la Tierra y de la Luina son aproximadamente MT = 5,98 1024 kg y ML = 7,36 1022 kg, siendo la distancia promedio entre sus centros 3,84 108 m. Los radios de la Tierra y la Luinas son aproximadamente RT = 6378 km y RL = 1740 km. Determine a) El peso de una kilhramo de masa en la syupercie de la Luna. b) La rapidez de un satlite en rbita circular en torno a la Tierra a la altura de 50 km sobre la supercie de la Tierra. c) Considerando que el satlitye est en rbita ecuatorial movindose en el sentido que lo hace la Tierra al rotar, determine el nemero de vueltas por da que da el satlite respecto

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