INTRODUCCION Losrizosen unestanque,lossonidosmusicales, lostembloresssmicosproducidosporunterremoto; todos estos son fenmenos ondulatorios. Surgen ondas siempre que un sistema es perturbado de su posicindeequilibrioylaperturbacinpuedeviajaropropagarsedeunaregindelsistemaaotra.Al propagarse unaonda,transporta energa. La energa de las ondas dela luz solar calienta la superficie terrestre;laenergadelasondasssmicaspuederesquebrajarlacortezaterrestre. Enestaocasintrataremossobreondasmecnicas,ondasqueviajanporalgnmaterialllamadomedio. Comenzaremospordeducirlasecuacionesbsicasquedescribenalasondas,paraentendermejorlas ondasengeneral,examinaremoselsencillocasodelasondasqueviajanenunacuerdaestirada. Notodaslasondassonmecnicas.Lasondaselectromagnticasqueincluyenlaluz,lasondasderadio, lasradiacionesinfrarrojas yultravioleta ylosrayos x,se puedenpropagarinclusoenelespaciovaco, dondenohayunmedio.Exploramosestasyotrasondasnomecnicasenotraoportunidad.

OBJETIVOS PUNTOSPRINCIPALES Definicindeonda. Propagacindeunaperturbacin. Ondassenoidales. Rapidezdeondasencuerdas. Reflexinytransmisin. Rapidezdetransferenciadeenergaporondassenoidalesencuerdas. Laecuacinlinealdelaonda. Profundizarelconocimientosobrelapropagacindeunaperturbacin. Ampliarnuestrosconocimientossobreondassenoidales. Conocerlarapidezdeunaonda. Daraconocersobrereflexinytransmisin. Conocerlarapidezdetransferenciadeenergaporondassenoidales. Identificarlaecuacinlinealdelaonda.

IDEFINICIONDEONDA Ladefinicinmsgeneralestablecequelaondaconsisteenunaperturbacinquesepropagaconuna determinadadependenciaespaciotemporal.Laperturbacindeunamagnitudfsicaconsisteamenudo enunavariacinperidicaysobretodooscilatoria(repeticinentrevaloresextremosopuestos)porlo que,enparticular,laondaseconsideracomolapropagacindeunavibracinoriginadaenunpunto. Existeunaampliavariedaddemagnitudesfsicascuyaoscilacinconeltiemposepropagaenelespacio constituyendo ondas. Asimismo pueden ser muy diferentes los mecanismos de transmisin entre un puntoyotro.Veamosenuncasoparticularcomoeslapropagacindeldesplazamientoverticaldeun punto en una cuerda tensan. Una onda es una perturbacin de alguna propiedad de un medio, por ejemplo,densidad,presin, campoelctricoocampomagntico, quesepropagaatravsdelespacio transportandoenerga.Elmedioperturbadopuedeserdenaturalezadiversacomoaire,agua,untrozo demetaloelespacio,ultraaltovaco. Elementosdeunaonda Los elementos de una onda son los siguientes: la cresta, el valle, el nodo, la longitud de onda y la amplitud. Enlasondastransversalessepresentanlacrestayelvalle.Lacrestaeselpuntoqueocupalaposicin masaltaenunaondayelvalleeselpuntomasbajodelaonda. Elnodoeselpuntodelmediomaterialquenotienedesplazamientovertical,esdecir,notieneamplitud. EnlafigurasiguienteelpuntoCeselnodo. Lalongituddeondaesladistanciaentredoscrestasconsecutivasdeunamismaondaoentredosvalles consecutivos;generalmente,lalongituddeondaseconsideracomoladistanciaentredospuntosque estnenelmismoestadodevibracin. LaAmplitud:Cuandotumantienestensaunacuerdaqueestasujetaporelotroextremo,estacuerda estaenequilibrio.Silecomunicasunimpulsohaciaarriba,seproduceunaonda,porqueseoriginauna separacinenlapartequeestamsprximaasusmanos.Laseparacinentresuposicindeequilibrio ysumximaalturaeslaamplitud(A).

Tipodeondasprincipales

Ondas mecnicas: las ondas mecnicas necesitan un medio elstico (solido, liquido o gaseoso) para propagarse.Laspartculasdelmediooscilanalrededordeunpuntofijo,porloquenoexistetransporte neto de materia a travs del medio. Como en el caso de una alfombra o un ltigo cuyo extremo se sacude, la alfombra no se desplaza, sin embargo una onda se propaga a travs de ella. Dentro de las ondasmecnicastenemoslasondaselsticas,lasondassonorasylasondasdegravedad. Ondaselectromagnticas:lasondaselectromagnticassepropaganporelespaciosinnecesidaddeun mediopudiendo,portanto,propagarseenelvaco.Estoesdebidoaquelasondaselectromagnticas son producidas por las oscilaciones de un campo elctrico en relacin con un campo magntico asociado. IIPROPAGACIONDEUNAPERTURBACION Todas las ondas mecnicas requieren alguna fuente de perturbacin, un medio que pueda ser perturbado,yalgnmediofsicoatravsdelcualelementosdelmediopuedaninfluirunoalotro. Una forma de demostrar el movimiento de ondas es mover un extremo de una cuerda larga que se encuentra bajo tensin y tenga su extremo opuesto fijo. En esta forma, una sola sacudida (llamada pulso)seformaysedesplazaalolargodelacuerdaconunarapidezdefinida.Lacuerdaeselmedioa travsdelcualviajaelpulso.Elpulsotieneunaalturadefinidayunarapidezdefinidadepropagacina lo largo del medio (la cuerda). Como veremos un poco mas adelante, las propiedades de este medio particular que determinan la rapidez de la perturbacin son la tensin de la cuerda y su masa por longitudunitaria.Laformadelpulsocambiamuypococuandoviajaalolargodelacuerda. Concentremosprimeramentenuestraatencinenunpulsoquesemueveatravsdeunmedio.Unavez que hemos explorado el comportamiento de un pulso. Llevaremos de nuevo nuestra atencin a una onda,queesunaperturbacinperidicaquesedesplazaenunmedio. Unaondaviajeraopulsoquehacequeloselementosdelmedioperturbadosemuevanperpendiculares aladireccindepropagacinsellamaondatransversal.

Unaondaviajeraopulsoquehacequeloselementosdelmediosemuevanparalelosaladireccinde propagacin,sellamaondalongitudinal.

Algunas ondas en la naturaleza exhiben una combinacin de desplazamientos transversales y longitudinales. La s ondas en la superficie del agua son un buen ejemplo. Cuando onda en el agua se desplaza en la superficie de agua profunda, elementos del agua de la superficie se mueven en

trayectorias casi circulares, como se ve en la figura. Ntese que la perturbacin tiene componentes transversalesylongitudinales. Considereunpulsoquesedesplazaaladerechaenunlargoanillo,comoseveenlafigurasiguiente.La partea)delafigurarepresentalaformayposicindelpulsoeneltiempot=0.Enestetiempo,laforma del pulso, cualquiera que pueda ser, se representa por medio de alguna funcin matemtica que escribiremos como y(x,0) = f(x). Esta funcin describe la posicin transversal y del elemento de la cuerda situado en cada valor de x en el tiempo t = 0. Como la rapidez del pulso es , el pulso ha viajadoaladerechaunadistanciateneltiempot(partebdelafigura).Suponemosquelaformadel pulsonocambiaconeltiempo.Porlotantoeneltiempot,laformadelpulsoeslamismaquecomoera eneltiempot=0,comoenlaparteadelafigura.

En consecuencia un elemento de la cuerda en x en este tiempo tiene la misma posicin y que un elementosituadoenxtteniaeneltiempot=0. Y(x,t)=y(xt,0) Engeneral,entonces,podemosrepresentarlaposicintransversalyparatodaslasposicionesytiempos, medidaenunmarcoestacionarioconelorigen0,como Y(x,t)=f(xt) Anlogamente, si el pulso se desplaza a la izquierda, las posiciones transversales de elementos de la cuerdaestndescritospor Y(x,t)=f(x+t) IIIONDASSENOIDALES Se llama onda senoidal, porque la curva es igual a la de la funcin sen graficada contra . En una cuerda,unaondasenoidalpodraestablecersealmoverelextremodelacuerdahaciaarribayabajoen movimiento armnico simple. La onda senoidal es el ejemplo mas sencillo de una onda peridica continuaypuedeusarseparaconstruirondasmascomplejas. Sisecuentaelnumerodesegundosentrelasllegadasdedoscrestasadyacentesenunpuntodadoenel espacio,seestamidiendoelperiodoTdelasondas.Engeneral,elperiodoeselintervalonecesariopara quedospuntosidnticos(porejemplolascrestas)deondasadyacentespasenporunpunto.Elperiodo delaondaesigualqueelperiododeoscilacinarmnicasimpledeunelementodelmedio. Lamismainformacinsedaconmasfrecuenciaporelinversodelperiodo,quesellamafrecuencia.En general,lafrecuenciadeunaondaperidicaeselnumerodecrestasquepasaporunpuntodadoenun intervalodetiempounitario.Lafrecuenciadeunaondasenoidalestarelacionadaconelperiodoporla expresin.

Considerelaondasenoidaldelafigura,quemuestralaposicindelaondaent=0.Comolaondaes senoidal,esperamosquelafuncindeondaenesteinstanteseexpresecomoy(x,0)=Asenx,donde A es la amplitud y es una constante a determinar. En x = 0, vemos que y(0, 0) = A sen (0) = 0, consistenteconlafigura.Elsiguientevalordexparaelcualyesceroesx=/2.Porlotanto.

Para que esto sea verdadero, debemos tener (/2) = , o = 2/. En consecuencia, la funcin que describelasposicionesdeloselementosdelmedioporelquelaondasenoidalsedesplaza,seescribir como.

DondelaconstanteArepresentalaamplituddeondaylaconstanteeslalongituddeonda.Vemosque laposicinverticaldeunelementodelmedioesigualsiemprequexseaumentaenunmltiploentero de.Silaondasemuevealaderechaconunarapidez,entonceslafuncindeondaenalgntiempo posteriortes

Estoes,laondasenoidalviajerasemuevealaderechaunadistanciateneltiempot,comoseveenla figura. Ntese que la funcin de onda tiene la forma f(x t). Si la onda se moviera ala izquierda, la cantidad x tseriasustituidapor x+t,comocomprendimoscuandodesarrollamoslasecuaciones anteriores.

Por definicin, la onda viaja una distancia de una longitud de onda en el periodo T. Por lo tanto, la rapidezdelaonda,longituddeondayperiodoestnrelacionadaporlaexpresin

Alsustituirestaexpresinporenlaecuacinanteriorencontramosque

Estaformadelafuncindeondamuestralanaturalezaperidicadey.(confrecuenciausaremosyen lugar de y(x, t) como notacin breve). En cualquier tiempo dado t, y tiene el mismo valor en las

posicionesx,x+,x+2,yassucesivamente.Adems,encualquierposicinxdada,elvalordeyesel mismoenlostiempost,t+T,t+2T,yassucesivamente. Podemos expresar la funcin de onda en una forma conveniente al definir otras dos cantidades, el nmerodeondaangular(porlogeneralllamadosolonmerodeonda)ylafrecuenciaangular.

Con el uso de estas definiciones, vemos que la ecuacin se puede escribir en la forma compacta siguiente

Siusamoslasecuacionesanteriores,podemosexpresarlarapidezdelaondaoriginalmentedadaenla ecuacin,enlasformasalternativas.

Lafuncindeondadadaporlaecuacinanteriorsuponequelaposicinverticalydeunelementodel medioesceroenx=0yt=0.Estenotienequeserelcaso.Sinoloes,generalmenteexpresamosla funcindeondaenlaforma

Donde es la constante de fase, como aprendimos en el estudio de movimiento peridico. Esta constantesepuededeterminarapartirdelascondicionesiniciales. ONDASSENOIDALESENCUERDAS Silaondaestaformadaporunaseriedeondasidnticas,cualquieraqueseasuforma,secumplenlas relaciones = 1/T y = entre rapidez, frecuencia, periodo y longitud de onda. Podemos hacer planteamientos definidosacerca de lafuncin de onda si lafuente de las ondas vibraen movimiento armnicosimple.Lafigurasiguienterepresentafotografasdelaondacreadaenestaformaaintervalos deT/4.Comoelextremodelahojaoscilaenmovimientoarmnicosimple,cadaelementodelacuerda, porejemploeldeP,tambinoscilaverticalmenteconmovimientoarmnicosimple.

Silaondaent=0escomosedescribeenlapartebdelafiguraanterior,entonceslafuncindeondase puedeescribircomo

Enestemontaje,estamossuponiendoqueunelementodecuerdasiempreoscilaenunalneavertical. La tensin dela cuerdavariara si se dejaque un elementosemueva de lado.Estemovimiento hara muycomplejoelanlisis. Podemosusaresteexperimentoparadescribirelmovimientodecualquierelementodelacuerda.Un elementoenelpuntoP(ocualquierotroelementodelacuerda)semuevesoloverticalmente,porlo quesucoordenadaxpermanececonstante.Porlotanto,larapideztransversaly (noconfundirconla rapidezdelaonda)ylaaceleracintransversalydeelementosdelacuerdason

Enestasexpresiones,debemosusarderivadasparcialesporqueydependedexydet.enlaoperacin y/t,porejemplo,tomamosunaderivadaconrespectoatmientrasqueconservamosxconstante.Los mximos valores de la rapidez transversal y aceleracin transversal, son simplemente los valores absolutosdeloscoeficientesdelasfuncionescosenoyseno:

La rapidez transversal y la aceleracin transversal de elementos de la cuerda no alcanzan simultneamentesusvaloresmximos.Larapideztransversalalcanzasuvalormximo(A)cuandoy= 0,mientrasquelamagnituddelaaceleracintransversalalcanzasuvalormximo(2A)cuandoyA.

IVRAPIDEZDEONDASENCUERDAS Si una cuerda bajo tensin es jalada a los lados y luego soltada, la tensin es la causa de acelerar un elementoparticulardelacuerdadenuevoasuposicindeequilibrio.Deacuerdoconlasegundaleyde Newton, la aceleracin del elemento aumenta con una tensin creciente. Si el elemento regresa al equilibrioconmasrapidezdebidoaestamayoraceleracin,intuitivamentediramosquelarapidezdela ondaesmayor.Porlotanto,esperamosqueaumentelarapidezdelaondaconunatensincreciente. Del mismo modo, la rapidez de la onda debe disminuirse cuando aumenta la masa por unidad de longituddelacuerda.Estoesporqueesmsdifcilacelerarunelementograndedelacuerdaqueuno ligero.SilatensindelacuerdaesTysumasaporlongitudunitariaes,entonces,comoveremos,la rapidezdelaondaes

Primero, verifiquemos que esta expresin sea dimensionalmente correcta. Las dimensiones de T son ML/T2, y las dimensiones de son M/L. por lo tanto, las dimensiones de T/ son L2/T2; en consecuencia,lasdimensionesde / sonL/T,lasdimensionesderapidez.Nohayotracombinacin de T y que sea dimensionalmente correcta, y si suponemos que estas son las nicas variables relevantesalasituacin,larapidezdebeserproporcionala / . Elpequeoelementodelacuerdadelongitudsqueseilustraenlafigurasiguiente,yqueseamplifica en la figura (parte b), forma un arco aproximado de un circulo de radio R. en nuestro marco de referencia mvil (que se mueve a la derecha a una rapidez a lo largo del pulso), el elemento

sombreadosemuevealaizquierdaconrapidez.Esteelementotieneunaaceleracincentrpetaigual a2/R,queesproporcionadaporcomponentesdelafuerzaTcuyamagnitudeslatensinenlacuerda. LafuerzaTactasobreambosladosdelelementoytangentealarco,comosemuestraenlapartebde lafigura.

LoscomponenteshorizontalesdeTsecancelan,ycadacomponenteverticalTsenactaradialmente hacia el centro del arco. Por lo tanto, la fuerza radial total sobre el elemento es 2T sen . Como el elementoespequeo,espequea,ypodemosusarlaaproximacindengulopequeosen.Por lotanto,lafuerzaradialtotales

El elemento tiene una masa m = s.Cuando el elemento forma parte de un circulo y subtiende un ngulo2enelcentro,s=R(2),encontramosque

SiaplicamoslasegundaleydeNewtonaesteelementoenladireccinradial,tenemos

Por lo tanto, concluimos que un pulso de cualquier forma se desplaza a lo largo de la cuerda con velocidad= / .Sinningncambioenlaformadelpulso. VREFLEXIONYTRANSMISION Hemosestudiadoondasquesedesplazanporunmediouniforme.Ahoraconsideramoslaformaenque unaondaviajeraesafectadacuandoseencuentrauncambioenelmedio.Porejemplo,considere un pulsoquesedesplazaenunacuerdaqueestargidamenteunidaaunsoporteenunextremo,comose veenlafigurasiguiente.Cuandoelpulsollegaalsoporte,ocurreungrancambioenelmedio;lacuerda termina.Elresultadodeestecambioesqueelpulsoexperimentareflexin,esdecir,elpulsoregresapor lacuerdaenladireccincontraria.

Ntese que el pulso reflejado esta invertido. Esta inversin se puede explicar como sigue. Cuando el pulso llega al extremofijode la cuerda,esta produce unafuerza hacia arriba sobre elsoporte.Porla terceraleydeNewton,elsoportedebeejercersobrelacuerdaunafuerzadereaccindeigualmagnitud yendireccinopuesta(haciaabajo).Estahaciaabajohacequeelpulsoseinviertaenlareflexin. Por ultimo, podemos tener una situacin en la que la frontera es indeterminada entre estos dos extremos. En este caso, parte de la energa del pulso incidente se refleja y parte experimenta transmisin, es decir, parte de la energa pasa por la frontera. Por ejemplo, suponga que una cuerda ligeraestaatadaaunacuerdamaspesada,comoenlafigurasiguiente.

Cuando un pulso que viaja en la cuerda ligera llega a la frontera entre las dos, parte del pulso es reflejadoeinvertidoypartesetransmitealacuerdamaspesada.Elpulsoreflejadoseinvierteporlas mismasrazonesdescritasantesenelcasodelacuerdargidamenteunidaaunsoporte. Ntesequeelpulsoreflejadotieneunamenoramplitudqueelpulsoincidente.Enlaseccinanterior demostramosquelaenergatransportadaporunaondaestarelacionadaconsuamplitud.Deacuerdo conelprincipiodelaconservacindelaenerga,cuandoelpulsosedescomponeenunpulsoreflejadoy un pulso transmitido en la frontera, la suma de las energas de estos dos pulsos debe ser igual a la energa del pulso incidente. Como el pulso reflejado contiene solo parte de la energa del pulso incidente,suamplituddebesermenor. Cuandounpulsoquesedesplazaenunacuerdapesadaincideenlafronteraentrelacuerdapesaday unamasligera,comoenlafigurasiguiente,denuevopartesereflejaypartesetransmite.Enestecaso, elpulsoreflejadonoseinvierte.

En cualquier caso, las alturas respectivas de los pulsos reflejado y transmitido dependen de las densidades relativas de las dos cuerdas. Si las cuerdas son idnticas, no hay discontinuidad en la fronteraynotienelugarningunareflexin. Larapidezdeunaondaenunacuerdaaumenta,cuandodisminuyelamasaporlongitudunitariadela cuerda. En otras palabras, una onda se desplaza con ms lentitud en una cuerda pesada que en una cuerdaligerasiambasestnbajolamismatensin.Lasiguientereglageneralaplicaaondasreflejadas. CuandounaondaopulsosedesplazadeunmedioAaunmedioByA A(estoes,cuandoBesmas densaqueA),seinviertaalreflejarse.CuandounaondaopulsosedesplazadeunmedioAaunmedioB yAA(estoes,cuandoAesmasdensaqueB),noseinviertealreflejarse. VIRAPIDEZDETRANSFERENCIADEENERGIAPORONDASSENOIDALESENCUERDAS Lasondastransportanenergacuandosepropaganporunmedio.Podemosfcilmentedemostraresto alcolgarunobjetodeunacuerdaestiradayluegoenviarunpulsoporlacuerda,comoseveenlaparte a dela siguiente figura. Cuando el pulso se encuentra con el objeto suspendido, este se desplaza momentneamentehaciaarriba,comoenlapartebdelafigura.Enelprocesosetransfiereenergaal objetoyaparececomo unaumentoenla energapotencialgravitacionaldelsistemaobjetotierra.En esta seccin examinamos la rapidez con la que se transporta energa a lo largo de una cuerda; supondremosunaondasenoidalunidimensionalenelcalculodelaenergatransferida. Considereunaondasenoidalqueviajaenunacuerda.Lafuentedelaenergaesalgnagenteexterno situadoenelextremoizquierdodelacuerda,querealizatrabajoalproduciroscilaciones

Concentremosnuestraatencinenunelementodelacuerdadelongitudxymasam.Cadaunode estos elementos se mueve verticalmente con movimiento armnico simple. Por lo tanto, podemos

modelar cada elemento de la cuerda como un oscilador armnico simple, con la oscilacin en la direcciny.todosloselementostienenlamismafrecuenciaangularylamismaamplitudA.laenerga cintica K asociada con una partcula en movimiento es K = m2. Si aplicamos esta ecuacin a un elementodelongitudxymasam,vemosquelaenergacinticaKdeesteelementoes

Donde y es la rapidez transversal del elemento. Si es la masa por longitud unitaria de la cuerda, entonces la masa m del elemento de longitud x es igual a x. por lo tanto podemos expresar la energacinticadeunelementodelacuerdacomo

Cuando la longitud del elemento de la cuerda se contrae a cero, esta se convierte en una relacin diferencial:

Sustituimosporlarapidezgeneraltransversaldeunosciladorarmnicosimple:

Sitomamosunafotografadelaondaeneltiempot=0,entonceslaenergacinticadeunelemento dadoes

Integramosestaexpresinsobretodosloselementosdelacuerdaenunalongituddeondadelaonda, quenosdaralaenergacinticatotalKenunalongituddeonda:

Ademsdeenergacintica,cadaelementodelacuerdatieneenergapotencialasociadaaeldebidoa sudesplazamientodesdelaposicindeequilibrioylasfuerzasrestauradorasdeloselementosvecinos. UnanlisissimilaralqueaparecelneasantesparalaenergapotencialtotalUenunalongituddeonda darexactamenteelmismoresultado:

Laenergatotalenunalongituddeondadelaondaeslasumadelasenergaspotencialycintica:

Cuandolaondasemuevealolargodelacuerda,estacantidaddeenergapasaporunpuntodadoenla cuerda durante un intervalo de un periodo de la oscilacin. Por lo tanto, la potencia o rapidez de transferenciadeenergaasociadaconlaonda,es

Estaexpresinmuestraquelarapidezdetransferenciadeenergadeunaondasenoidalenunacuerda esproporcionala(a)elcuadradodelafrecuencia,(b)elcuadradodelaamplitud,y(c)larapidezdela onda.Enrealidad;larapidezdetransferenciadeenergaencualquierondasenoidalesproporcionalal cuadradodelafrecuenciaangularyelcuadradodelaamplitud. VIILAECUACIONLINEALDELAONDA Todaslasfuncionesdeonday(x,t)representansolucionesdeunaecuacinllamadaecuacinlinealde onda. Esta ecuacin da una descripcin completa del movimiento de una onda, y de ella se puede obtenerunaexpresinparalarapidezdelaonda.Enestaseccinderivamosestaecuacincuandose apliqueaondasencuerdas.

Suponga que una onda viajera se propaga a lo largo de una cuerda que esta bajo la tensin T. consideremos un pequeo elemento de cuerda de longitud x (figura anterior). Los extremos del elementoformanpequeosngulosAyBconelejex.Lafuerzanetaqueactasobreelelementoenla direccinverticales

Comolosngulossonpequeos,podemosusarlaaproximacindengulopequeosentanpara expresarlafuerzanetacomo

Imagine experimentar un desplazamiento infinitesimal hacia fuera desde el extremo del elemento de cuerdadelafiguraanterioralolargodelalneaazulquerepresentalafuerzaT.Estedesplazamiento tienecomponentesxeyinfinitesimalesysepuederepresentarconelvectordxi+dyj.Latangentedel nguloconrespectoalejexparaestedesplazamientoesdy/dx.Comoestamosevaluandoestatangente en un instante particular de tiempo, necesitamos expresar esto en forma parcial como y/x. sustituyendoporlastangentesenlaecuacinanteriortendremos:

AhoraaplicamoslasegundaleydeNewtonalelemento,conlamasadelelementodadaporm=x:

Combinandolasecuacionesanteriores,tenemos:

Elladoderechodeestaecuacinsepuedeexpresarenunaformadiferentesinotamosqueladerivada parcialdecualquierfuncinsedefinecomo

Si asociamos f(x +x) con (y/x) B y f(x) con (y/x) A, vemos que, en el limite x0, la ecuacin anteriorseconvierteen

Esta es la ecuacin lineal de la onda como aplica a ondas en una cuerda. Ahora demostramos que la funcinsenoidaldeonda,representaunasolucindelaecuacinlinealdeonda.Sitomamoslafuncin senoidaldeondacomolaformay(x,t)=Asen(xt),entonceslasderivadasapropiadasson

Sustituyendoestasexpresionesenlaecuacinanterior,obtenemos

Esta ecuacin debe ser verdadera para todos los valores de las variables x y t para que la funcin senoidaldeondaseaunasolucindelaecuacindeonda.Ambosladosdelaecuacindependendexy t a travs de la misma funcin sen (x t). Como esta funcin se divide, en realidad tenemos una identidad,siempreque

Siusamoslarelacin=/enestaexpresin,vemosque

Estaderivacinrepresentaotrapruebadelaexpresinparalarapidezdelaondaenunacuerdatensa. Laecuacinlinealdeondaseescribeavecesenlaforma

Estaexpresinaplicaengeneralavariostiposdeondasviajeras.Paraondasencuerdas,yrepresentala posicin vertical de elementos de la cuerda. Para ondas de sonido, y corresponde a la posicin longitudinaldeelementosdeairedesdeelequilibrioovariacionesyaseadelapresinoladensidaddel gas o travs del que se propagan las ondas de sonido. En el caso de ondas electromagnticas, y correspondeacomponentesdecampoelctricoomagntico. Hemosdemostradoquelafuncinsenoidaldeondaesunasolucindelaecuacinlinealdeonda.Aun cuandonolodemostramosaqu,laecuacinlinealdeondasesatisfaceparacualquierfuncindeonda quetengalaformay=f(xt).Adems,hemosvistoquelaecuacinlinealdeondaesconsecuencia directadelasegundaleydeNewtonaplicadaacualquierelementodeunacuerdaquetransporteuna ondaviajera.

CONCLUSIONES Unaondaesunaperturbacinquesepropaga. Enunaondalaenergasetransmitedeunaspartculasaotra. Enunmovimientodeondassetransfiereenergaaciertadistanciaperonomateria. Lasfuncionesdeondasonsolucionesaunaecuacindiferencialllamadaecuacinlinealde onda. Unaondaestotaloparcialmentereflejadacuandollegaalextremodelmedioenelquese propaga.