70 Capitulo 30 El potencial eléctrico

todavía presentes. Al poner a q2 en posición se genera una energía potencial q iq2l4n€0r l2. Finalmente, al traer a q3 desde el infinito hasta su posición da dos términos más: qxqi l4n€{ir n y q2q3l4K€0r23, los cuales dan, la energía potencial de q3 en los campos de q¡ y de q2 respectivamen-te. Podemos continuar este proceso para reunir cualquier distribución arbitraria de carga. La energía potencial re-sultante es independiente del orden en el que reunamos las cargas.

Cuando un agente externo mueve las cargas desde la separación infinita para reunir o armar una distribución como la mostrada en la figura 3, el agente realiza un trabajo al ejercer una fuerza que se opone a la fuerza electrostática. El agente externo está, en efecto, almace-nando energía en el sistema de cargas. Esto puede verse más fácilmente si se considera el caso especial en que todas las cargas tengan el mismo signo. Las cargas que ya están en su lugar, ejercen una fuerza de repulsión sobre las cargas nuevas que se incorporen, y el agente externo debe empujar las nuevas cargas a su posición. En efecto, el agente externo debe gastar energía para armar la distribución de carga. La energía se almacena en el campo eléctrico del sistema, y lo explicamos en términos de la energía potencial eléctrica de la distribu-ción resultante. Si liberáramos súbitamente las sujecio-nes que mantienen a las cargas en sus posiciones, éstas obtendrían energía cinética al separarse el sistema; la energía cinética total de todas las partículas en una separación infinita es, por la conservación de la energía, igual a la energía proporcionada por el agente externo para reunir al sistema. Si las cargas tuviesen signos diferentes, de modo que la energía potencial total fuese negativa, las partículas tenderían a acercarse entre sí al ser liberadas de sus posiciones. En este caso el agente externo necesitaría proporcionar una energía adicional en forma de trabajo para desarmar al sistema y mover a las cargas a una separación infinita.

Resumimos este aspecto como sigue:

La energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales fija s es igual al trabajo que debe realizar un agente externo para armar al sistema, trayendo cada carga desde una distancia infinita. Las cargas están en reposo en sus posiciones iniciales y en sus posiciones finales.

En esta definición queda implícito que hemos considerado al punto de referencia de la energía potencial como la separación infinita entre las cargas, y tomamos a la ener-gía potencial como cero en este punto de referencia.

Para distribuciones continuas de carga, la energía po-tencial puede calcularse mediante una técnica similar, es decir, dividiendo la distribución en pequeños elementos y tratando a cada elemento como una carga puntual. No consideraremos en este texto tales problemas.

Problema muestra 2 En el sistema que se muestra en la figura3, asumamos que rn = r l3 = r23 = d = 12 cm, y que

Q\ =+Q, = y q3=s+ 2q,

en donde q = 150 nC. ¿Cuál es la energía potencial del sistema?

Solución Al emplear la ecuación 8 , obtenemos

L,_ * / (+gX~4g) (+qX+2q) (~4q)(+2q)\4 it€0 \ d d d )

1 0 q24n€od(8.99 X 109 N-m2/C2X10X150 X 10"9 C ) 2

0.12 m— —1.7 X 10- 2 J = —17 mJ.

En este caso, la energía potencial negativa significa que, para armar esta estructura, deberá realizarse un trabajo negativo por un agente externo, comenzando con las tres cargas separadas infinitamente y en reposo. Dicho de otro modo, un agente externo tendría que llevar a cabo +17 mJ de trabajo para desarmar la estructura completamente.

30-3 POTENCIAL ELÉCTRICO

La fuerza entre dos partículas cargadas depende de la magnitud y signo de cada carga. Nos fue de gran utilidad introducir una cantidad vectorial, el campo eléctrico, de-finido (véase la Ec. 2b) como la fuerza por unidad de carga de prueba. Con esta definición podemos ahora hablar del campo eléctrico asociado con una sola carga.

En muchas aplicaciones hallamos útil el trabajar con una cantidad escalar relacionada, la cual se obtiene a partir de la energía potencial de una manera semejante. Esta cantidad se llama potencial eléctrico y se define como la energía potencial por unidad de carga de prueba.

Supongamos que tenemos un conjunto de cargas y deseamos determinar su potencial eléctrico en un punto P en particular. Situamos una carga de prueba q0 positiva a una distancia infinita del conjunto de cargas, en donde el campo eléctrico es cero. Luego desplazamos una carga de prueba desde esa separación infinita hasta P , y en el proceso la energía potencial cambia de 0 a Up. El potencial eléctrico Vp en P debido al conjunto de cargas se define entonces como

Obsérvese de la ecuación 9 que el potencial debe ser un escalar, pues éste se calcula a partir de cantidades escala-res U y q.

Definido de esta manera, el potencial es independiente de la magnitud de la carga de prueba, como lo es el campo

Sección 30-3 Potencial eléctrico 71

eléctrico definido de acuerdo con la ecuación 2b. (Como lo hicimos en el caso del campo eléctrico, suponemos que q0 es una carga muy pequeña, de modo que tiene un efecto insignificante sobre el conjunto de cargas cuyo poten-cial deseamos medir.) La ecuación 9 proporciona úna base operativa para medir el potencial; como fue el caso con el campo eléctrico, más adelante establecemos proce-dimientos matemáticos más convenientes para calcular V.

Dependiendo de la distribución de las cargas, el poten-cial Vp puede ser positivo, negativo, o cero. Supongamos que el potencial es positivo en un cierto punto; de acuerdo con la ecuación 9, la energía potencial en ese punto es positiva. Si fuésemos a mover una carga de prueba posi-tiva desde el infinito hasta ese punto, el campo eléctrico realizaría un trabajo negativo, lo cual indica que, en promedio, la carga de prueba ha experimentado una fuerza de repulsión. Por lo tanto, el potencial cerca de una cargapositiva aislada es positivo. Si el potencial en un punto es negativo, sucede lo contrario: cuando traemos a una carga de prueba positiva desde el infinito, el campo eléctrico realiza un trabajo positivo y, en promedio, la fuerza es de atracción. Por lo tanto, el potencial cerca de una carga negativa aislada es negativo.

Si el potencial es cero en algún punto, el campo eléctri-co no realiza ningún trabajo neto al moverse la carga de prueba desde el infinito, aunque la carga de prueba haya pasado a través de una región en que haya experimentado fuerzas eléctricas de atracción o de repulsión. Un poten-cial de cero en un punto no necesariamente significa que el campo eléctrico sea cero en dicho punto. Conside-remos, por ejemplo, un punto situado en medio de dos cargas iguales y opuestas. Los potenciales en ese, punto debidos a las dos cargas individuales tienen magnitudes iguales y signos opuestos, y así el potencial total en dicho punto es cero. Sin embargo, los campos eléctricos de las dos cargas tienen el mismo sentido en ese punto, e indu-dablemente el campo eléctrico total no es cero.

En lugar de hacer referencia a un punto en el infinito, a menudo deseamos determinar la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos o y & en un campo eléctrico. Para hacerlo, movemos una carga de prueba q0 desde a hasta b. La diferencia de potencial eléctrico se define por una extensión de la ecuación 9 como

A V = V i - V a = - i ^ U‘ . (10)Qo

El potencial en b puede ser mayor que, menor que, o igual que el potencial en a, dependiendo de la diferencia en la energía potencial entre los dos puntos o, equivalentemen-te, del negativo del trabajo realizado por el campo eléctri-co conforme una carga de prueba positiva se mueve entre los puntos. Por ejemplo, si b está a un potencial más elevado que a (Vb - Va > 0), el campo eléctrico realiza un trabajo negativo conforme la carga de prueba se mueve desde a hasta b.

La unidad del potencial en el SI que se infiere de la ecuación 9 es el joule/coulomb. Esta combinación ocurre tan a menudo que se emplea una unidad especial, el volt (abreviado V) para representarla, es decir,

1 volt = 1 joule/coulomb.

A menudo se emplea el nombre común de “voltaje” para referimos al potencial en un punto o a la diferencia de potencial entre puntos. Cuando tocamos con las dos pun-tas de prueba de un vóltmetro a dos puntos de un circuito eléctrico, estamos midiendo la diferencia de potencial (en volts) o el voltaje entre dichos puntos.

La ecuación 10 puede escribirse así

A U = q A V , (11)

lo que afirma que cuando cualquier carga q se mueve entre dos puntos cuya diferencia de potencial sea AV, el sistema experimenta un cambio de energía potencial AU dado por la ecuación 11. La diferencia de potencial A V se genera por otras cargas que se mantienen en reposo, de modo que el movimiento de la carga q no cambia la diferencia de potencial AV. Al usar la ecuación 11, cuando A V se expresa en volts y q en coulombs, AU resulta en joules.

De la ecuación 11 puede verse que el electrón-volt, unidad presentada previamente como una unidad de ener-gía, se deduce directamente de la definición del potencialo de la diferencia de potencial. Si A V se expresa en volts y q en unidades de la carga elemental e, entonces AU se expresa en electrón-volts (eV). Por ejemplo, considérese un sistema en el cual un átomo de carbono del cual se han retirado los seis electrones (q = +6e) se mueve a través de un cambio en potencial de A V - +20 kV. El cambio en la energía potencial es

A U = q A V = (+6e)(+20 kV) = +120 keV.

Es muy conveniente hacer tales cálculos en unidades de eV cuando se trata con átomos o con núcleos, en los que la carga se expresa fácilmente en términos de e.

Téngase en cuenta que las diferencias de potencial son de primordial importancia y que la ecuación 9 depende de la asignación arbitraria del valor cero al potencial en la posición de referencia (el infinito); este potencial de refe-rencia igualmente pudo haber sido elegido como cual-quier otro valor, digamos -100 V. De manera similar, podría haberse elegido cualquier otro punto acordado como una posición de referencia. En varios problema se toma a la Tierra como una referencia del potencial y se le asigna el valor cero. La situación del punto de referencia y el valor del potencial se eligen por conveniencia; otras elecciones cambiarían en todas partes el potencial en la misma magnitud pero no cambiarían los resultados para la diferencia de potencial.

72 Capítulo 30 El potencial eléctrico

Ya hemos explicado que el campo eléctrico es un cam-po conservativo, y por lo mismo la diferencia de energía potencial entre los puntos a y b depende únicamente de las ubicaciones de los puntos y no de la trayectoria seguida para mover a uno de los puntos hacia el otro. La ecuación 1 0 sugiere, por consiguiente, que la diferencia de poten-cial es similarmente independiente de la trayectoria: la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera de un campo eléctrico es independiente de la trayectoria por la que se mueve la carga de prueba al viajar de un punto a otro.

Problema muestra 3 En un acelerador nuclear, una partícula alfa (q = +2e) se mueve desde una terminal de potencial Va = +6.5 x 10® V a otra de potencial V„ = 0. (a) ¿Cuál es el cambio correspondiente en la energía potencial del sistema? (b) Supo-niendo que las terminales y sus cargas no se mueven y que ninguna fuerza externa actúa sobre el sistema, ¿cuál es el cambio en la energía cinética de la partícula?

Solución (a) De la ecuación 11, tenemos que

A U = U b- Ua = q(Vb- V a)= (+2)(1.6 X 10“ 19 C)(0 - 6.5 X 106 V)= -2 .1 X 10~ 12 J.

(b) Si no actúa ninguna fuerza externa sobre el sistema, entonces su energía mecánica E = U + K debe permanecer constante. Es decir, AE = AU + AK = 0, y así

A K = -A U = + 2 A X 10~1 2 J.

La partícula alfa adquiere una energía cinética de 2.1 x 10 ’ 2 J, de la misma manera en que una partícula cayendo en el campo gravitatorio de la Tierra adquiere energía cinética.

Para ver las simplificaciones que resultan, intente resolver este problema nuevamente pero ahora con las energías expre-sadas en unidades de eV.

30-4 CÁLCULO DEL POTENCIAL A PARTIR DEL CAMPO

Dado el campo eléctrico E podemos calcular el potencial V, y dado V podemos calcular E. Aquí estudiaremos el cálculo de V a partir de E; el cálculo de E a partir de V se verá en la sección 30-9.

Digamos que a y b son en la figura 4 dos puntos en un campo eléctrico uniforme E, creado por una disposi-ción de cargas no mostrada, y dejemos que a sea una distancia L en la dirección del campo desde b. Supon-ga que una carga de prueba positiva q0 se mueve desde a hasta b a lo largo de la línea recta que las une.

La fuerza eléctrica sobre la carga es q0E y apunta en la dirección x negativa. Cuando una carga de prueba se mueve desde a hasta b en la dirección de ds, el trabajo

X

Figura 4 Una carga de prueba q0 se mueve una distancia L desde a hasta b en un campo eléctrico uniforme E.

realizado por el campo eléctrico (constante) está dado por

W+ - Fx A x = (~qoE)(L) - - qoEL. (12)

Usando la definición de la diferencia en la energía poten-cial, AU = -W , podemos combinar las ecuaciones 10 y 12 para obtener

y b - V a = = Z ^ b = EL' (13)Qo Qo

Esta ecuación muestra la relación entre la diferencia de potencial y ía intensidad del campo para un simple caso especial. Nótese en ella que otra unidad para E en el SI es el volt/metro (V/m). Es posible que desee usted compro-bar que el volt/metro es idéntico a un newton/coulomb (N/C); esta última unidad fue la primera presentada para E en la sección 28-2.

En la figura 4, b tiene un potencial más elevado que a. Esto es razonable pues el campo eléctrico realiza un trabajo negativo sobre la carga de prueba positiva al moverse desde a hasta b. La figura 4 podría utilizarse tal cual para ilustrar el acto de levantar una piedra desde a hasta b en un campo gravitatorio uniforme cerca de la superficie de la Tierra. Lo único que necesitamos es reemplazar la carga de prueba q0 por una masa de prueba m0 y reemplazar el campo eléctrico E por el campo gravi-tatorio g.

¿Cuál es la relación entre V y E en el caso más común en que el campo no es uniforme y en que el cuerpo de

Sección 30-5 El potencial debido a una carga puntual 73

Figura 6 Problema muestra 4. Una carga de prueba q0 se mueve a lo largo de la trayectoria acb a través de un campo eléctrico uniforme E.

Figura 5 La carga de prueba q0 se mueve desde a hasta b en el campo eléctrico no uniforme E.

prueba se mueve a lo largo de una trayectoria que no es recta, como en la figura 5? El campo eléctrico ejerce una fuerza qi}E sobre la carga de prueba, como se muestra. Un desplazamiento infinitesimal a lo largo de la trayectoria se representa por ds. Para encontrar el trabajo total Wab realizado por el campo eléctrico cuando la carga de prueba se mueve desde a hasta b, sumamos (es decir, integramos) las contribuciones del trabajo para todos los segmentos infinitesimales en que está dividida la trayectoria. Esto conduce a

W,ab = j F -ds = q0 j E • ds. (14)J a Ja

Tal integral se llama lineal, como lo estudiamos en la sección 7-3.

Con Vh - Va = (Uh - U J/q, = - W J q w la ecuación 14 da

Vb - V a = - [ b E-ds. (15)

Frecuentemente conviene elegir que el punto a sea el punto de referencia en °°, en donde Va se considera que es cero. Podemos entonces determinar el potencial en cual-quier punto arbitrario P usando la ecuación 15:

- í : E f ds. (16)

Estas dos ecuaciones nos permiten calcular la dife-rencia de potencial entre dos puntos cualesquiera o el potencial en cualquier punto de un campo eléctrico conocido E.

Problema muestra 4 En la figura 6 , dejemos que una carga de prueba q0 sea llevada desde a hasta b a lo largo de la trayectoria acb. Calcule la diferencia de potencial entre a y b.

Solución Para la trayectoria ac tenemos, según la ecuación 15,

Vc — Va = —J E ’ds = — J E ds eos (n —6)

= E co s0 J ds.

La integral es la longitud de la línea ac, lo cual es L/cos 6. Entonces

V - V = E eos e eos 6 — EL.

Los puntos b y c tienen el mismo potencial porque no se ha realizado ningún trabajo al mover una carga entre ellos, E y ds se encuentran en ángulo recto para todos los puntos sobre la línea cb. Así pues,

Vb~ Va = (Vb- V c) + (Vc - V a) = 0 + EL = EL.

Éste es el mismo valor encontrado para una trayectoria directa que une a a y b, un resultado que era de esperarse pues la diferencia de potencial entre dos puntos es independiente de la trayectoria._______________________________________

30-5 EL POTENCIAL DEBIDO AUNA CARGA PUNTUAL

La figura la muestra dos puntos a y b cerca de una carga puntual q positiva y aislada. Para simplificación, supone-mos que a, b, y q se encuentran sobre una línea recta.

74 Capítulo 30 El potencial eléctrico

Figura 7 (a) Una carga de prueba q0se mueve desde a hasta b a lo largo de una línea radial desde una carga positiva q que crea un campo eléctrico E. (b) La carga de prueba se mueve ahora desde b hasta c a lo largo del arco de un círculo centrado en q.

Calculemos la diferencia de potencial entre los puntos a y b, suponiendo que una carga positiva de prueba q0 semueve a lo largo de una línea radial desde a hasta b.

Er la figura l a , tanto E como ds (= dr) tienen única-mente una componente radial. Entonces E • dr = E dr, yal sustituir este resultado en la ecuación 15 nos da

Vb - V a = - Í V í f e -r E d r .J a J r a

Usando la expresión para el campo eléctrico de una carga puntual, E - q¡4n€Qr 2, obtenemos

La ecuación 17 da la diferencia de potencial entre los puntos a y b. Hemos simplificado la integración al elegir mover la carga de prueba a lo largo de una trayectoria radial, pero el potencial es independiente de la trayectoria, de modo que la ecuación 17 se cumple para cualquier trayectoria entre a y b. Esto es, la diferencia de potencial es una propiedad de los puntos a y b en sí mismos y no dela trayectoria ab.

Además, la ecuación 17 se cumple para la diferencia depotencial entre dos puntos aun cuando no se encuentren

sobre la misma línea radial. La figura Ib muestra los puntos arbitrarios a y c. Ya que la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria, estamos en libertad de elegir la trayectoria que sea más sencilla para la cual podamos calcular la diferencia de potencial. Elegimos la trayectoria abe, en la cual ab es radial y be está a lo largo del arco de un círculo centrado en q. El campo no realiza ningún trabajo a lo largo de be, ya que E es perpendicular a ds en todas partes sobre be, y así la diferencia de potencial entre a y c es también dada por la ecuación 17.

Si deseamos calcular el potencial en cualquier punto (en lugar de la diferencia de potencial entre dos puntos), es ya costumbre elegir un punto de referencia en el infinito. Elegimos que a esté en el infinito (esto es, hacemos que ra -*• °°) y definimos a Va como 0 en esta posición. Al realizar estas sustituciones en la ecuación 17 y al eliminar el subíndice b, nos da

La ecuación 18 es también válida para cualquier distribu-ción esféricamente simétrica de la carga total q, siempre y cuando r sea mayor que el radio de la distribución. Obsérvese que la ecuación 18 pudo también haberse ob-tenido directamente de la ecuación 16.

La ecuación 18 muestra que a grandes distancias el po-tencial debido a una carga puntual positiva es cero y crece hacia valores positivos grandes conforme nos aproxi-mamos a la carga. Si q es negativa, el potencial tiende a valores negativos grandes cerca de la carga. La figura 8 muestra las gráficas de la ecuación 18, generadas por computadora, para una carga puntual positiva y una nega-tiva. Nótese que estos resultados no dependen, en absolu-to, del signo de la carga de prueba empleada en el cálculo.

Problema muestra 5 ¿Cuál debe ser la magnitud de una carga puntual positiva aislada para que el potencial eléctrico a 15 cm de la carga sea de +120 V?

Solución Al resolver la ecuación 18 para q obtenemos

q = V4ne0r = (120 VX4ttX8.9 X 10"12 C2/N-m2X0.15 m)- 2.0 X 10~9 C - 2.0 nC.

Esta carga es comparable a las cargas que se generan por fricción, como al frotar un globo.

Problema muestra 6 ¿Cuál es el potencial eléctrico en la superficie de un núcleo de oro? El radio es de 7.0 * 10' 15 m, y el número atómico Z es 79.

Solución El núcleo, supuesto esféricamente simétrico, se comporta eléctricamente, para puntos externos, como si fuese una carga puntual. Por consiguiente, podemos usar la ecuación 18, la cual da, con q = +19e,

Sección 30-6 Potencial debido a un conjunto de cargas puntuales 75

f = f , + f 2 + + v h

V(r)

Figura 8 Gráfica del potencial V(r) en un plano cerca de una carga puntual (a) positiva y (b) negativa, generada por computadora.

1 q _ (9.0 X 109 N-m 2/C 2X79X1.6 X 10~ 19 C)4rec0 r 7.0 X 10“ 15 m

= 1.6 X 107 V.Este gran potencial positivo no tiene efecto fuera de un átomode oro porque está compensado por un potencial negativo igualmente grande de los 79 electrones atómicos del oro.

30-6 POTENCIAL DEBIDO A UN CONJUNTO DE CARGAS PUNTUALES

1 r t Íí4ne0 r, ’ (19)

o, usando la ecuación 18,N

^ = 2 K -» - 1

donde q¡ es el valor (en magnitud y signo) de la carga iésima y r, es la distancia de esta carga desde el punto en cuestión. Una vez más, vemos el beneficio obtenido al usar el potencial, que es un escalar: la suma utilizada para calcular Fes una suma algebraica y no una suma vectorial como la empleada para calcular E para un grupo de cargas puntuales (véase la Ec. 5 del capítulo 28). Es una impor-tante ventaja de calculo el usar el potencial en vez del campo eléctrico.

El potencial en un punto debido a una de las cargas no se afecta por la presencia de las otras cargas. Para hallar el potencial total, sumamos los potenciales debidos a cada una de las cargas como si fuese la única presente. Éste es el principio de superposición, que se aplica al potencial y al campo eléctrico.

Problema muestra 7 Calcule el potencial en el punto P, ubicado en el centro del cuadrado de cargas puntuales mostrado en la figura 9a. Suponga que d = 1.3 m y que las cargas son

0i = + 12nC, g3 = +31nC ,

q7 = —24 nC, g4 = + 17nC.

Solución De la ecuación 19 tenemos

T/ _ V 1 1 / _ 1 A l + 0 2 + 0 3 + <?4

F $ ' 4tt€o R

La distancia R de cada carga desde el centro del cuadrado es d //2 , o sea 0.919 m, de modo que

_ (8.99 X 109 N-m 2/C2)(12 - 2 4 + 31 + 17) X 10" 9 C r 0.919 m

= 3.5 X 102 V.

Cerca de cualquiera de las tres cargas positivas de la figura 9a, el potencial puede tener valores positivos muy grandes. Cerca de la única carga negativa en esa figura, el potencial puede tener valores negativos grandes. Entonces debe haber otros puntos dentro de los límites del cuadrado que tienen el mismo potencial que el del punto P. La línea de trazos en la figura 9b une a otros puntos en el plano que tienen el mismo valor del potencial. Como se verá más adelante, en la sección 30-8, tales superficies equipotenciales proporcionan una manera útil de visualizar los potenciales de varias distribuciones de carga.______________

El potencial en cualquier punto debido a un grupo de N cargas puntuales se encuentra ( 1 ) al calcular el potencial V¡ debido a cada carga, como si las demás cargas no estuviesen presentes, y (2 ) al sumar las cantidades así obtenidas:

El potencial debido a un dipolo

Dos cargas iguales de signo opuesto, ±q, separadas por una distancia d , constituyen un dipolo eléctrico; véase la

76 Capítulo 30 El potencial eléctrico

V = 3 5 0 V

Figura 9 Problema muestra 7. (a) Cuatro cargas se mantienen en las esquinas de un cuadrado, (b) La curva une los puntos que tienen igual potencial (350 V) que el punto P en el centro del cuadrado.

(a) (6)

sección 28-3. El momento eléctrico dipolar p tiene la magnitud qd y apunta de la carga negativa a la carga positiva. Aquí deduciremos una expresión para el poten-cial eléctrico V debido a un dipolo.

En la figura 10 se especifica un punto P dando las cantidades r y 6. Por simetría, es claro que el potencial no cambia cuando el punto P gira alrededor del eje z, siendo fijos r y 6. (En forma equivalente, considérese lo que sucedería si el dipolo girara alrededor del eje z: físicamen-te no se distinguiría un caso del otro.) De este modo, si determinamos V para los puntos en el plano de la figura 10 habremos encontrado a V para todos los puntos en el espacio. Al aplicar la ecuación 19 obtenemos

v , = 2 K = v , + v 2

= r - ( - + - ) =47re0 \r , r2 )ry - r .

4n€c(20)

V 2

la cual es una relación exacta.Para dipolos que existen en estado natural, como mu-

chas moléculas, el punto de observación P está ubicado muy lejos del dipolo, de modo que r » d. En esta condi-ción, podemos deducir de la figura 10 que

r2 ~ Ti ~ d eos 8

y el potencial se reduce a

q d eos 8 _ 1 p eos 847T€0 r2 4tt€0 r2 (21)

Nótese que V = 0 en todas partes en el plano ecuatorial (0 « 90°). Esto significa que el campo eléctrico del dipolo no realiza trabajo cuando una carga de prueba se muevedesde el infinito a lo largo de una línea que se encuentresobre el plano que está en medio del dipolo (por ejemplo, el eje x en la Fig. 10). Para una r dada, el potencial tiene su máximo valor positivo para 6 - 0o y su máximo valor negativo para 6 = 180°. Nótese que V no depende por separado de q y d, sino únicamente de su producto p.

Si bien ciertas moléculas, como el agua, poseen mo-mentos dipolares eléctricos permanentes (véase la Fig. 18 del capítulo 28), los átomos individuales y muchas otras moléculas no. Sin embargo, pueden inducirse momentos dipolares si cualquier átomo o molécula se coloca dentro de un campo eléctrico externo. La función del campo, como lo muestra la figura 11, es la de separar los cen-tros de las cargas positiva y negativa. Decimos que el átomo se polariza y adquiere un momento dipolar eléctri-co inducido. Los momentos dipolares inducidos desapa-recen cuando el campo eléctrico cesa.

Los dipolos eléctricos son importantes en otras situa-ciones además de las atómicas y moleculares. Las antenas de radio y de TV tienen a menudo la forma de un alambreo varilla de metal en la cual los electrones se mueven en oleadas de un lado a otro periódicamente. En cierto instante un extremo del alambre o de la varilla es negativo y el otro extremo positivo. Un semiciclo después, la polaridad de los extremos se invierte exactamente. Esto

Figura 10 Un punto P en el campo de un dipolo eléctrico.

Sección 30-7 El potencial eléctrico de las distribuciones de carga continua 77

z

Figura 12 Problema muestra 8 . Un cuadripolo eléctrico, que consta de dos dipolos eléctricos dirigidos opuestamente.

Figura 11 (a) El átomo está representado por su núcleo cargado positivamente y su difusa nube de electrones cargada negativamente. Los centros de las cargas positiva y negativa coinciden, (b) Cuando el átomo se sitúa en un campo eléctrico externo, las cargas positiva y negativa experimentan fuerzas en sentidos opuestos, y los centros de las cargas positiva y negativa ya no coinciden. El átomo adquiere un momento dipolar inducido.

es un dipolo eléctrico oscilatorio. Se le llama así porque sus momentos dipolares cambian de manera periódica con el tiempo.

espacio, de modo que sus efectos eléctricos en puntos distantes no se cancelan por completo, y (2 ) un cuadripolo está formado por dos dipolos iguales y opuestos que no precisamente coinci-den en el espacio de modo que, otra vez, sus efectos eléctricos en puntos distantes no se cancelan totalmente. Podemos conti-nuar construyendo conjuntos más complejos de cargas eléctri-cas. Este proceso nos es útil, porque el potencial eléctrico de cualquier distribución de carga puede representarse median-te una serie de términos de potencias crecientes de 1/r. La parte 1 /r, llamada el término monopolar, depende de la carga neta de la distribución, y los términos siguientes (1 / r 2, el término dipolar, 1/ r 3, el término cuadripolar, y así sucesivamente) indican cómo está distribuida la carga. Este tipo de análisis se llama una expansión o desarrollo en multipolos.___________

30-7 EL POTENCIAL ELÉCTRICO DE LAS DISTRIBUCIONES DE CARGA CONTINUAProblema muestra 8 Un cuadripolo eléctrico consta de dos

dipolos eléctricos dispuestos de tal manera que, aunque no totalmente, casi se cancelan entre sí en sus efectos eléctricospara puntos distantes (véase la Fig. 12). Calcule V(r) para lospuntos en el eje de este cuadripolo.

Solución Al aplicar la ecuación 19 a la figura 12 se obtiene

v = y v ,=— í —-—Y 47t€ 0 \ r — d r r + d )

1 2 qd2 _ 1 2 dq24tt€ 0 ri?2 ~ d2) 4ne0 r3(l — d2/r2) '

Puesto que d r, podemos despreciar d2¡r2 comparada con 1, en cuyo caso el potencial es

en donde Q (= 2 qd2) es el momento cuadripolar eléctrico del conjunto de cargas de la figura 12. Nótese que V varía (1) como 1/r para una carga puntual (véase la Ec. 18), (2) como 1/r2 para un dipolo (véase la Ec. 21), y (3) como 1/r3 para un cuadripolo (véase la Ec. 22).

Adviértase además que (1) un dipolo está formado por dos cargas iguales y opuestas que no precisamente coinciden en el

Para calcular el potencial eléctrico de una distribución de carga continua, seguiremos el mismo método que se em-pleó en la sección 28-5 para calcular el campo eléctrico de una distribución de carga continua. El cálculo es más sencillo en el caso del potencial, porque el potencial es un escalar, y por lo tanto no es necesario tomar en cuenta las diferentes direcciones de las contribuciones de cada uno de los distintos elementos de carga.

Por analogía con la sección 28-5, suponemos que tene-mos ya sea una línea de carga con densidad lineal de cargas X, o una superficie de carga con densidad superfi-cial de carga o, o un volumen de carga con densidad volumétrica de carga p. Dividimos al objeto en pequeños elementos de carga dq, en donde

dq = X ds, dq = a dA, o dq — p dv,

de acuerdo con la geometría del problema.*

* Escribimos el elemento de volumen como dv, de modo que no se confunda con el elemento diferencial de potencial dV.

78 Capítulo 30 El potencial eléctrico

Figura 13 Un anillo cargado uniformemente. Para encontrar el potencial en P, calculamos el efecto total de todos los elementos de carga como dq.

Cada elemento dq puede considerarse como una carga puntual, con una contribución dV al potencial calculada de acuerdo con la ecuación 18, obteniéndose

d V = 1 dq4ne0 r (23)

Para determinar el potencial debido a toda la distribución, es necesario integrar las contribuciones individuales de todos los elementos, o sea

<24>

En muchos problemas, el objeto está cargado uniforme-mente, de modo que la densidad de carga es uniforme y sale de la integral.

Como ejemplo, hallemos el potencial eléctrico en el punto P, a una distancia z a lo largo del eje de un anillo uniforme de radio R y carga total q (Fig. 13). Conside-remos un elemento de carga dq sobre el anillo. El poten-cial dV debido a este elemento está dado por la ecuación 23. Sin embargo, todos estos elementos del anillo están a la misma distancia r del punto P, y así, cuando integramos sobre el anillo, r permanece constante y se puede sacar de la integral. La integral restante J dq, da simplemente la carga total q en el anillo. El potencial en el punto P puede, entonces, expresarse así

V =1

47T€ 0 J R 2 + z2

puesto que r = V R2 + z2.

(anillo de carga), (25)

Problema muestra 9 Calcule el potencial en un punto sobre el eje de un disco circular de plástico de radio R, en el cual una superficie tiene una densidad uniforme de carga a.

Solución En la figura 14 se muestra el disco. Consideremos un elemento de carga dq que consta de un anillo circular de radio w y anchura dw, para el cual

dq = cr(2nw)(dw),

en donde (2nw)(dw) es el área superficial del anillo. La contri-bución de este anillo al potencial en P está dada por la ecua-ción 25:

dV= 1 dq 1 alnw dw4n€0 r 4ne0 Vw2 + z2

El potencial V se halla al integrar para todos los anillos en los que se divide el disco, o sea

- \ i v = k í(w2 + z 2) ~ 1/2 w dw,

lo cual da

V — (JR2 + z2 — z) (disco cargado uniformemente). (26)¿ € q

Este resultado general es válido para todos los valores positivos de z. En el caso especial de z » R, la cantidad J R2 + z2 puede aproximarse como:

y lW T “z(,+f r =z(i+í R2+ z 4-&2z ’

en donde la cantidad dentro del paréntesis en el segundo miem-bro de esta ecuación se ha desarrollado mediante el teorema del binomio. Al usar esta aproximación, la ecuación 26 se reduce a

r/~ a l j - R2 \ anR2V ~ - — \ z + - ----z I = ------- 2 e0 \ 2 z ) 4n€0z

1 Q4 ne0 z 5

en donde q (= anR2) es la carga total en el disco. Era de esperarse este resultado limitante, ya que el disco se comporta como una carga puntual cuando z » R.___________________________

Figura 14 Problema muestra 9. Un disco de plástico de radio R tiene una densidad uniforme de carga a sobre una superficie. El elemento de carga dq es un anillo cargado uniformemente.