INTRODUCCION

En el captulo anterior se vio que las fuerzas externas que actan sobre un cuerpo rgido pueden reducir se a un sistema a fuerza par en un punto arbitrario O. Cuando la fuerza y el par son iguales a cero, las fuerzas externas forman un sistema equivalente a cero y se di ce que el cuerpo rgido se encuentra en equilibrio.

Por tanto, las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rgido se pueden obtener igualando a cero a R y a MRO en las relaciones F = 0 MO =(r x F) =0.

Si se descompone ca da fuerza y cada momento en sus componentes rectangulares, se pueden expresar las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rgido por medio de las seis ecuaciones es ca la res que se presentan a continuacin:

Fx =0 Fy = 0 Fz =0

Mx = 0 My = 0 Mz = 0

Las ecuaciones obtenidas se pueden emplear para determinar fuerzas desconocidas que estn aplicadas sobre el cuerpo rgido o reacciones desconocidas ejercidas sobre ste por sus puntos de apoyo. Se observa va que las ecuaciones expresan el hecho de que las componentes de las fuerza externas en las direcciones x, y y z estn en equilibrio; las ecuaciones expresan a su vez que los momentos de las fuerzas externas con respecto a los ejes x, y y z tambin estn en equilibrio. Por tanto, para un cuerpo rgido en equilibrio el sistema de fuerza es esencial identificar primero to das las fuerzas que actan sobre dicho cuerpo y, entonces, dibujar el diagrama de cuerpo libre correspondiente. En este captulo se considerar primero el equilibrio de estructuras bidimensionales sujetas a fuerzas contenidas en sus planos y se aprender cmo dibujar sus diagramas de cuerpo libre. Adems de las fuerzas aplicadas sobre una estructura, se considerarn las reacciones ejercidas sobre esta ltima por sus pun tos de apoyo. Se asociar un tipo especfico de reaccin con cada tipo de apoyo. Se aprender cmo determinar si una estructura est apoyada apropiadamente, de forma que se pue da saber de antemano si las ecuaciones de equilibrio podrn resolverse para determinar las fuerzas y reacciones desconocidas.

En la ltima parte del captulo se considerar el equilibrio de estructuras tridimensionales y se realizar el mismo tipo de anlisis para estas estructuras y para sus puntos de apoyo.

I.--FUNDAMENTO TERICOTodos los cuerpos enel universointeraccionan los unos con los otros, influyndose mutuamente en sus movimientos. Pero podramos imaginarnos una situacin tal en que sobre uncuerpono se ejerciera unainteraccino en que el efecto combinado de varias se anulara; tendramos entonces lo que se llama " partcula libre".

La experiencia nos ensea que si en un instante dado cesa laaccinque se ejerce sobre una partcula, de modo que sta se convierta en libre, sumovimientoapartirde ese instante ser rectilneo uniforme con lavelocidadque tena en el momento en que dejaron de actuar los agentes exteriores. Esta tendencia de un cuerpo a mantener su velocidad cuando no se ejercenaccionessobre l se llama

INERCIA.

Por ejemplo, cuando un vehculo que se mueve a cierta velocidad se detiene bruscamente, y cesa por tanto la accin impulsora que ejerce sobre los pasajeros, stos se sienten lanzados hacia adelante a causa de su propia inercia.Consideremos ahora una bola situada sobre elpisoplano, horizontal y pulimentado de una habitacin. La bola permanecer en reposo a menos que ejerzamos alguna accin sobre ella. Supongamos que golpeamos la bola. Esta es una accin que se ejerce sobre el cuerpo slo durante untiempomuy pequeo y a consecuencia de la cual la bola adquiere cierta velocidad. Despus del golpe la bola es nuevamente un cuerpo libre. La experiencia nos ensea que conserva la velocidad adquirida, continuando en movimiento rectilneo uniforme por ms o menos tiempo (decimos ms o menos tiempo porque la ms mnima friccin entre a bola y el piso retrasar gradualmente su movimiento). Si queremos cambiar ladireccindel movimiento de la bola, debemos ejercer unanuevaaccin sobre ella.

III.- DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE Al resolver un problema relacionado con el equilibrio de un cuerpo rgido es esencial que se consideren todas las fuerzas que actan sobre ste; adems, es importante excluir cualquier fuerza que no est dada directamente sobre dicho cuerpo. Omitir o agregar una fuerza extraa podra destruir las condiciones de equilibrio. Por tan to, el primer paso en la solucin del problema es matizar un diagrama de cuerpo libre del cuerpo rgido en con si de racin. Los diagramas de cuerpo libre ya fueron utiliza dos en muchas ocasiones. Sin embargo, en vista de su importancia para la solucin de problemas de equilibrio, aqu se resumen los diferentes pasos que se deben seguir al momento de dibujar un diagrama de cuerpo libre.1. Se debe to mar una decisin acertada en relacin con la se leccin del cuerpo libre que ser utilizado. Despus se debe separar al cuerpo del suelo y de todos los de ms cuerpos. As, se realiza un croquis del contorno del cuerpo ya aislado.2. Todas las fuerzas externas deben indicarse en el diagrama de cuerpo libre. Es tas fuerzas representan las acciones ejercidas sobre el cuerpo libre por el suelo y por los cuerpos que han sido separados del mismo; estas fuerzas deben aplicarse en los diversos puntos sobre los que el cuerpo libre estaba apoyado en el suelo o estaba conecta do a otros cuerpos. Tambin se debe incluir entre las fuer zas ex ternas el pe so del cuerpo libre, puesto que representa la atraccin ejercida por la tierra sobre las distintas partculas que lo constituyen. De gravedad del cuerpo. Cuando el cuerpo libre est constituido por varias partes, las fuerzas que dichas partes ejercen entre s no deben incluirse entre las fuerzas externas; siempre que se considere completo al cuerpo libre, son fuerzas internas.3. Las magnitudes y las direcciones de las fuerzas externas que son conocidas deben sealarse con claridad en el diagrama de cuerpo libre. Cuando se indiquen las direcciones de dichas fuerzas, se debe recordar que stas son las ejercidas sobre, y no por, el cuerpo libre. Por lo general, las fuerzas externas conocidas incluyen el peso del cuerpo libre y las fuerzas aplicadas con un propsito en particular.4. Las fuerzas externas desconocidas consisten en las reacciones a travs de las cuales el suelo y otros cuerpos se oponen a un posible movimiento del cuerpo libre. Las reacciones lo obligan a permanecer en la misma posicin y, por esta razn, algunas veces reciben el nombre de fuerzas de restriccin. Las reacciones se ejercen en los puntos donde el cuerpo libre est apoyado o conectado a otros cuerpos y deben indicarse con claridad.

IV.- EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES

4.1. REACCIONES EN LOS PUNTOS DE APOYO Y CONEXIONES DE UNA ESTRUCTURA BIDIMENSIONAL

En la primera parte de este captulo se considera el equilibrio de una estructura bidimensional, esto es, se supone que la estructura que se est analizando y las fuerzas aplicadas sobre la misma estn contenidas en el mismo plano. De la forma ms clara, las reacciones necesarias para mantener a la estructura en la misma posicin tambin estarn contenidas en el mismo plano.Las reacciones ejercidas sobre una estructura bidimensional pueden ser divididas en tres grupos que corresponden a tres tipos de apoyos (puntos de apoyo) o conexiones:

1. Reacciones equivalentes a una fuerza con una lnea de accin conocida. Los apoyos y las conexiones que originan reacciones de este tipo incluyen rodillos, balancines, superficies sin friccin, eslabones o bielas y cables cortos, collarines sobre barras sin friccin y per nos sin friccin en ranuras lisas. Ca da uno de estos apoyos y conexiones pueden impedir el movimiento slo en una direccin.Cada una de estas reacciones involucra a una sola incgnita, es decir, la magnitud de la reaccin; dicha magnitud debe re presentar se con una letra apropiada. La lnea de accin de la reaccin es conocida y debe indicarse con claridad en el diagrama de cuerpo libre.

2. Reacciones equivalentes a una fuerza de magnitud y direccin desconocidas. Los apoyos y las conexiones que originan reacciones de este tipo incluyen pernos sin friccin en orificios ajustados, articulaciones o bisagras y superficies rugosas. stos pueden impedir la traslacin del cuerpo rgido en todas direcciones pero no pueden impedir la rotacin del mismo con respecto a la conexin. Las reacciones de este grupo involucran dos incgnitas que usualmente se representan por sus componentes x y y. En el caso de una superficie rugosa, la componente perpendicular a la superficie debe dirigirse alejndose de sta.

3. Reacciones equivalentes a una fuerza y un par. Estas reacciones se originan por apoyos fijos, los cuales se oponen a cualquier movimiento del cuerpo libre y, por tanto, lo restringen por completo. Los soportes fijos producen fuerzas sobre toda la superficie de contacto; sin embargo, estas fuerzas forman un sistema que se puede reducir a una fuerza y un par. Las reacciones de este grupo involucran tres incgnitas, las cuales consisten en las dos componentes de la fuerza y en el momento del par.

4.2. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RGIDO EN DOS DIMENSIONES

Las condiciones establecidas para el equilibrio de un cuerpo rgido se vuelven ms simples para casos de estructuras bidimensionales. Al seleccionar a los ejes x y y en el plano de la estructura, se tiene que.

Fz = 0 Mx = My = 0 Mz = MO

Para cada una de las fuerzas aplicadas sobre la estructura.

F x =0 F y = 0 MO =0

Y a las tres identidades triviales 0=0. Como se debe cumplir que MO=0 sin importar la eleccin del origen O, se pueden escribir las ecuaciones de equilibrio para una estructura bidimensional en la forma ms general

Fx = 0 Fy = 0 MA = 0

Donde A es cualquier punto en el plano de la estructura. Las tres ecuaciones obtenidas pueden resolverse para un mximo de tres incgnitas.En la seccin anterior se vio que las fuerzas desconocidas incluyen reacciones y que el nmero de incgnitas correspondientes a una reaccin depende del tipo de apoyo o conexin que origina dicha reaccin.Pueden ser empleadas para determinar las reacciones asociadas con dos rodillos y un cable, un apoyo fijo o un rodillo y un perno en un orificio ajustado, etc.

4.3. REACCIONES ESTTICAMENTE INDETERMINADAS.

RESTRICCIONES PARCIALES

En los dos ejemplos considerados en la seccin anterior los tipos de apoyos usados fueron tales que era imposible que el cuerpo rgido se moviera bajo la accin de las car gas da das o bajo cualquier otra condicin de carga. En casos como stos, se dice que el cuerpo rgido tiene restriccin completa. Tambin se debe recordar que las reacciones correspondientes a estos apoyos involucraban tres incgnitas, las cuales podan determinarse resolviendo las tres ecuaciones de equilibrio. Cuando se presenta una situacin como sta, se dice que son reacciones estticamente determinadas.

En ocasiones se hace referencia a los cuerpos con restriccin parcial como inestables.Sin embargo, para evitar confusiones entre este tipo de inestabilidad, debida a un nmero insuficiente de restricciones y el tipo de inestabilidad considerada, la cual est relacionada con el comportamiento de un cuerpo rgido cuando se perturba su equilibrio, se reservar el uso de las palabras estable e inestable para este ltimo caso.

Los apoyos que involucran reacciones estticamente indeterminadas deben utilizarse con cuidado en el diseo de estructuras y con pleno conocimiento de los problemas que pueden causar. Por otra parte,es usual que el anlisis de estructuras con reacciones estticamente indeterminadas se realice en forma parcial por medio de los mtodos de la esttica. Por ejemplo, en el caso de la arma dura de la las componentes verticales de las reacciones en A y B se obtuvieron a partir de las ecuaciones de equilibrio.Por razones obvias, los apoyos que originan restricciones parciales o impropias se deben evitar en el diseo de estructuras estacionarias.Sin embargo, una estructura restringida en forma parcial o impropia no necesariamente se colapsar; bajo ciertas condiciones de carga en particular, se puede mantener el equilibrio. Por ejemplo, las armaduras que estarn en equilibrio si las fuerzas aplicadas P, Q y S son verticales. Adems, las estructuras diseadas para moverse slo deben estar parcialmente restringidas. Por ejemplo, un carrode ferrocarril sera de poca utilidad si estuviera completamente restringido por tener sus frenos aplicados en forma permanente.

4.4. EQUILIBRIO DE UN CUERPO SUJETO A DOS FUERZAS

Un caso particular de equilibrio que es de considerable inters es el de un cuerpo rgido sujeto a la accin de dos fuerzas. Por lo general, un cuerpo que se encuentra en estas circunstancias recibe el nombre de cuerpo sujeto a dos fuerzas. A continuacin se demostrar que si un cuerpo sujeto a dos fuerzas est en equilibrio entonces las dos fuerzas que actan sobre ste deben tener la misma magnitud, la misma lnea de accin y sentidos opuestos. Considrese una placa en ngulo sujeta a dos fuerzas F1 y F2 que actan, respectivamente, en A y B. Si la placa est en equilibrio, la suma de los momentos de F1 y F2 con respecto a cualquier eje de be ser igual a cero. Primero se suman momentos con respecto a A. Como, obviamente, el momento de F1 es igual a cero, el momento de F2 tambin de be ser igual a cero y la lnea de accin de F2 debe pasar a travs de A.

En forma similar, sumando momentos con respecto a B se demuestra que la lnea de accin de F1 debe pasar a travs de B. Por tanto, ambas fuerzas tienen la misma lnea de accin (que resulta ser la lnea AB). A partir de cual quiera de las ecuaciones Fx =0 y Fy =0 se observa que las fuerzas tambin deben tener la misma magnitud pero sentidos opuestos.

Si varias fuerzas actan en dos puntos A y B, las fuerzas que actan en A pueden ser reemplazadas por su resultante F1 y las de B pueden reemplazarse por su resultante F2. Por tanto, en una forma ms general, un cuerpo sujeto a dos fuerzas puede definirse como un cuerpo rgido sujeto a fuerzas que actan nicamente en dos puntos. Entonces, las resultantes F1 y F2 deben tener la misma magnitud, la misma lnea de accin y sentidos opuestos. En el estudio de estructuras, marcos y mquinas se ver que saber identificar los cuerpos sometidos a la accin de dos fuerzas simplifica la solucin de ciertos problemas.

4.5. EQUILIBRIO DE UN CUERPO SUJETO A TRES FUERZAS

Otro caso de equilibrio que es de gran inters es aquel de un cuerpo rgido sujeto a tres fuerzas, esto es, un cuerpo rgido sobre el que actan tres fuerzas o, en forma ms general, un cuerpo rgido sometido a fuerzas que actan slo en tres puntos. Considrese un cuerpo rgido bajo un sistema de fuerzas que puede reducirse a tres fuerzas F1, F2 y F3 que actan, respectivamente, en A, B y C (figura 4.9a). A continuacin se demostrar que si el cuerpo est en equilibrio, las lneas de accin de las tres fuerzas deben ser concurrentes o paralelas. Como el cuerpo rgido est en equilibrio, la suma de los momentos de F1, F2 y F3 con respecto a cualquier eje debe ser igual a cero.

Suponga que las lneas de accin de F1 y F2 se intersecan y al representar su punto de interseccin con D, se suman momentos con respecto a D Como los momentos de F1 y F2 con respecto a D son iguales a cero, el momento de F3 con respecto a D tambin debe ser igual a cero y la lnea de accin de F3 debe pasar a travs de D. Por tanto, las tres lneas de accin son concurrentes.

La nica excepcin se da cuando ninguna de las lneas de accin se interseca; entonces, dichas lneas son paralelas. Aunque los problemas relacionados con cuerpos sujetos a tres fuerzas se pueden resolver por medio de los mtodos generales, la propiedad que se acaba de establecer puede utilizarse para resolverlos en forma grfica o matemtica a partir de relaciones trigonomtricas o geomtricas simples.

EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES

4.6.- EQUILIBRIO DE UN CUERPO RGIDO EN TRES DIMENSIONES

En la seccin 4.1 se explic que, para el caso general de tres dimensiones, se requieren seis ecuaciones escalares para expresar las condiciones de equilibrio de un cuerpo rgido:

Fx =0 Fy =0 Fz = 0

Mx = 0 My =0 Mz = 0

Estas ecuaciones pueden resolverse para un mximo de seis incgnitas que, generalmente, representarn reacciones en los apoyos o las conexiones. En la mayor parte de los problemas, las ecuaciones escalares y (4.3) se obtendrn de modo ms prctico si primero se expresan en forma vectorial las condiciones para el equilibrio del cuerpo rgido considerado.Para ello se escribe

F = 0 MO = (r x F) = 0

y se ex pre san las fuer zas F y los vectores de posicin r en trminos de componentes escalares y vectores unitarios. Despus, se calculan todos los productos vectoriales, ya sea mediante clculo directo o con determinantes. Se observa que a travs de una seleccin cuidadosa del punto O se pue den eliminar de los clculos hasta tres componentes desconocidas de las reacciones. Al igualar a cero los coeficientes de los vectores unitarios en cada una de las dos relaciones, se obtienen las ecuaciones escalares deseadas.

4.7. REACCIONES EN PUNTOS DE APOYO Y CONEXIONES PARA UNA ESTRUCTURA TRIDIMENSIONAL

En una estructura tridimensional, las reacciones abarcan desde una sola fuerza de direccin conocida, que ejerce una superficie sin friccin, hasta un sistema fuerza par ejercida por un apoyo fijo. Por tanto, en los problemas que involucran el equilibrio de una estructura tridimensional pueden existir entre una y seis incgnitas asociadas con la reaccin correspondiente a cada apoyo o conexin. Se muestran varios tipos de apoyos y conexiones con sus respectivas reacciones. Una forma sencilla de determinar tanto el tipo de reaccin correspondiente a un apoyo o conexin dado, como el nmero de incgnitas involucradas, consiste en establecer cules de los seis movimientos fundamentales (traslacin en las direcciones x, y y z y rotacin con respecto a los ejes x, y y z) estn permitidos y cules de estos movimientos estn restringidos.Por ejemplo, los apoyos de bola y cuenca o de rtula, las superficies sin friccin (lisas) y los cables slo impiden la traslacin en una direccin y, por tanto, ejercen una sola fuerza cuya lnea de accin es conocida; as, cada uno de estos apoyos involucra una incgnita, la cual est dada por la magnitud de la reaccin. Los rodillos sobre superficies rugosas y las ruedas sobre rieles impiden la traslacin en dos direcciones; por consiguiente, las reacciones correspondientes consisten en dos componentes de fuerza desconocidas. Las superficies rugosas en contacto directo y las rtulas (bola y cuenca) impiden la traslacin en tres direcciones; por tanto estos apoyos involucran tres componentes de fuerza desconocidas.Algunos apoyos y conexiones pueden impedir la rotacin y la traslacin; en estos casos, las reacciones correspondientes incluyen tanto pares como fuer zas. Por ejemplo, la reaccin en un apoyo fijo, la cualimpide cualquier movimiento (tanto de rotacin como de traslacin), consiste en tres fuerzas y tres pares, to dos des co no ci dos. Una junta universal diseada para permitir la rotacin alrededor de dos ejes ejercer una reaccin que consiste en tres componentes de fuerza y un par, todos desconocidos.

Otros apoyos y conexiones se usan primordialmente para impedir traslaciones; sin embargo, su diseo es tal que tambin impiden algunas rotaciones. Las reacciones correspondientes consisten en componentes de fuerza pero tambin pueden incluir pares. Un grupo de apoyos de este tipo incluye las bisagras y los cojinetes diseados para soportar slo cargas radiales (por ejemplo, las chumaceras y los cojinetes de rodillos). Las reacciones correspondientes consisten en dos componentes de fuerza pero pueden incluir tambin dos pares. Otro grupo incluye apoyos de pasador y mnsula, bisagras y cojinetes diseados para soportar tan to un empuje axial como una carga radial (por ejemplo, los cojinetes de bola). Las reacciones correspondientes consisten en tres componentes de fuerza pero pueden incluir dos pares. Sin embargo, estos apoyos no ejercern pares apreciables bajo condicionesnormales de uso. Por tanto, en su anlisis slo se deben incluirlas componentes de fuerza a menos que se encuentre que los pares son necesarios para mantener el equilibrio del cuerpo rgido o si se sabe que el apoyo ha sido diseado especficamente para ejercer un par.

Si las reacciones involucran ms de seis incgnitas, hay ms incgnitas que ecuaciones y algunas de las reacciones son estticamente indeterminadas.Si las reacciones involucran menos de seis incgnitas, existen ms ecuaciones que incgnitas y pueden no cumplirse algunas de las ecuaciones de equilibrio bajo una condicin general de carga, en tales circunstancias, el cuerpo rgido slo est parcialmente restringido. Sin embargo, bajo condiciones especficas de carga correspondientes a un problema dado, las ecuaciones adicionales se reducen a identidades triviales, como 0= 0 y pue den descartar se; as, aunque el cuerpo rgido slo est parcialmente restringido, ste permanece en equilibrio). A pesar de que se tengan seis o ms incgnitas, es posible que no se cum plan algunas de las ecuaciones de equilibrio. Esto puede ocurrir cuando las reacciones asociadas con los apoyos son paralelas o intersecan a la misma lnea; entonces, el cuerpo rgido tiene restriccin impropia.V.- DEFINICIN DE CUERPO RGIDO.Diremos que un cuerpo de masamesun cuerpo rgido, cuando:a)Su geometra y su distribucin de masa no cambian bajo la aplicacin de fuerzas.b)Las caractersticas de su movimiento dependen de las fuerzas aplicadas y de sus puntos de aplicacin.

VI.- MOMENTO DE UN PARConsideremos un cuerpo rgidombajo la accin de dos fuerzasy; diremos que sobremacta un PAR. Supongamos queyse aplican como se muestra en las siguientes figuras:a)(b)(c)

(a)(b)(c)

Observemos que:En todos los casos considerados se cumple que:,Sedice quemse encuentra en equilibrio de traslacin.En los casos (a), (b), (c), las lneas de accin deycoinciden, se dice que sonFuerzascolineales, y se observa experimentalmente quemmantiene su estado de reposo. Diremos quemse encuentra enequilibrio de traslacin y de rotacin.En los casos (a), (b), (c), las lneas de accin deyno coinciden, estn separadas la distanciad, se dice que lasFuerzas son nocolineales, y se observa experimentalmente quemtiende a girar alrededor de un eje perpendicular al plano donde quedan contenidas, de tal forma que, en los casos (a) y (c)mtiende a girar en sentido de las manecillas del reloj mientras que en el caso (b)mtiende a girar en sentido contrario al de las manecillas del reloj.Experimentalmente se observa que la tendencia de rotacin demes mayor para valores mayores dey ded. En particular parad=0, es decir fuerzascolineales,mno presenta tendencia de .rotacin.Se defineel momento del PARformado porycomo la cantidadcuya magnitud es:.Dondedes la distancia de separacin de las lneas de accin dey.Se considerar que el momento M es positivo si el par aplicado tiende a hacer girar amen sentido contrario a las manecillas del reloj, y negativo en el caso contrario, es decir.,simtiende a girar en sentido contrario al reloj.,simtiende a girar en sentido del reloj.Experimentalmente se observa que el equilibrio de rotacin demse logra bajo la aplicacin de pares, tales que:a)Todos los pares seancoplanares.b)La suma algebraica de los momentos de los pares aplicados sea cero.

En el caso en que todas las fuerzas aplicadas amseancoplanares, se dice quemse comporta como un cuerpo rgido plano.Consideraremos el caso del equilibrio de cuerpos rgidos planos.

VII.- DEFINICIN DE TORCAConsideremos un cuerpo rgidombajo la accin de una fuerza. Respecto de unS.R. tal quequeda contenida en el plano XY, seala posicin del punto de aplicacin de.Se define latorcaejercida porsobrem, respecto de O (el origen delS.R. dado) como lacantidad, cuya magnitud est dada por:.Dondees el ngulo entrey.Algunas observaciones sobre la torca.I)Observemos que:,Donde:,Esla componente deperpendicular a.Observar que, dependiendo de la orientacinderespecto de, m tiende a girar, respecto de un eje que pasa por O, en sentido contrario a las manecillas del reloj (caso (a)) o en sentido de las manecillas del reloj (caso (b)).

(a)

==))=)=)=En el primer caso, se dice queespositivay en el segundo casonegativo, es decir:,mtiende a girar ensentido contrario al reloj;,mtiende a girar ensentido del reloj.II) Observar que:

Dondees la componente deperpendicular a; ase le llama el brazo de palanca de.

III)Dado elS.R.O, sean:Y.

Obsrvese que:

,

Esdecir:.IV)Relacin entre elmomento de un par,y latorca ejercida porlas fuerzasy.Consideremos un cuerpomsometido a un pary.Tomemos unS.R. tal que:,yseanylas posiciones de los puntos de aplicacin de las fuerzasy.

Las torcas ejercidas porysobrem, respecto de O son:y.Obsrvese que:Y.Entonces:Y.Por otro lado el momento del par est dado por:.Es decir, el momento del par,es igual a la suma algebraica de las torcas ejercidas porysobrem, respecto de O.Observar que la suma algebraica de las torcas producidas poryes la misma para cualquier sistema de referenciaO, respecto del cual se calculen las torcas; la suma algebraica solo depende deyque son constantes en todos losS.R. Por lo tanto, la condicin para elequilibrio de rotacin:Que la suma algebraica de los momentos de todos los pares aplicados sea cero,esequivalente a:Que la suma algebraica de las torcas ejercidas por todas las fuerzas aplicadas sea cero, respecto decualquiersistema de referencia O VIII.- Condiciones de Equilibrio para un Cuerpo Rgido.Consideremos un cuerpo rgido planomy sean,,...,,N fuerzascoplanaresque actan sobre l. Sea O el origen decualquiersistema de referencia inercial tal que el plano x-y coincide con el plano de accin de las fuerzas, de tal forma que en eseS.R.,,...,son las posiciones de los puntos de aplicacin de las N fuerzas y:

Se dice que el cuerpo rgidom se encuentra en equilibriocuando se cumple:a)Condicin para el equilibrio de Traslacin:b)Condicin para elequilibrio de Rotacin:.Dondees la torca ejercida porsobremrespecto de O, para, es decir:.IX.-Apoyos Simples y Articulados.Los apoyos son dispositivos a travs de los cuales se pueden ejercer fuerzas sobre un cuerpo rgido. Consideraremos dos tipos de apoyos:Apoyos simples y Apoyos articulados.a) Apoyo Simple.Cuando un cuerpo rgidominteracciona con otro a travs de un apoyo simple, sobremse ejerce, por contacto con el apoyo, una fuerza perpendicular a la superficie demen el punto de contacto, en el sentido del apoyo hacia el cuerpom, como se muestra en los siguientes casos:

En todos los casos, N es la fuerza ejercida por el apoyo simple sobrem.b) Apoyo Articulado.Cuando un cuerpo rgidominteracciona con otro a travs de un apoyo articulado, sobremse ejerce, por contacto con el apoyo, una fuerza cuyamagnitud, direccin y sentido estn indeterminados y quedan determinados por la distribucin de otras fuerzas que acten sobrem, como se muestra en los siguientes casos:

En todos los casos,es la fuerza que el apoyo articulado ejerce sobrem. Tanto la magnitudde esa fuerza, como su ngulo de direccin, son desconocidos sus valores quedarn determinados por las ecuaciones de equilibrio dem. Al plantear las ecuaciones de equilibrio paramen trminos deyse obtendr un sistema deecuaciones no linealesya quese incorpora como una variable no lineal, p. e., en el primer caso de los ejemplos considerados, respecto de unS.R.usualsetendra.Dada la geometra del cuerpo, se podra plantear, adems, la ecuacin, con lo cual se completara el sistema de ecuaciones suficientes para calcular las incgnitas R, T suponiendo conocidasm,g, el inconveniente de plantear las ecuaciones de equilibrio en trminos de R yse observa al resolverlas para calcularpues el lgebra necesaria se puede complicar.Es por eso que, de manera equivalente, se acostumbra suponer que el apoyo articulado ejerce sobremuna fuerza que presenta dos componentes cartesianasy, en lugar de R y, como se muestra en las siguientes figuras.

De esta forma, las ecuaciones de equilibrio de traslacin en el primer caso son:.Ahora las incgnitasRx,Ry, son variables lineales y su clculo puede ser ms simple. Ya calculadasRxyRy,se podran calcular R yde la siguiente forma:,.Condiciones de Equilibrio

Las condiciones para que un cuerpo rgido se encuentre en equilibrio son:Primera Condicin de Equilibrio:(Equilibrio de traslacin)La suma vectorial de todas las fuerzas que actan sobre el slido es igual a cero. Esto ocurre cuando el cuerpo no se traslada o cuando se mueve a velocidad constante; es decir cuando la aceleracin lineal del centro de masa es cero al ser observado desde un sistema de referencia inercial. = `D1 + `F2 +`F3 +..... + `FN = 0En esta ecuacin de equilibrio no aparecen las fuerzas internas ya que ellas se cancelan mutuamente en pares debido a la tercera Ley de Newton. Si las fuerzas estuvieran en el espacio, la ecuacin anterior ha de ser expresada por las siguientes relaciones:= F1x + F2x + F3x +. + Fx = 0= F1y + F2y + F3y +..... + FNy = 0= F1z + F2z + F3z +..... + FNz = 0

Obviamente en dos dimensiones (o sea en el plano) tendramos solamente dosecuacionesy en una dimensin se tendra una nica ecuacin.Segunda Condicin de Equilibrio(Equilibrio de rotacin) La suma vectorial de todos los torques o momentos de las fuerzas que actan sobre el cuerpo, relativos a cualquier punto dado, sea cero. Esto ocurre cuando la aceleracin angular alrededor de cualquier eje es igual a cero.`ti = `ti +`t2i +`t3i + .... + `tni = 0

Si todas las fuerzas estuvieran en el plano XY, la ecuacin deequilibrioanterior se reducira a la simple expresin algebraica:`tiz = `t1z +`t2z +`t3z + .... + `tnz = 0Donde los momentos son paralelos o colineales con el eje Z.Para que se cumpla la segunda condicin de equilibrio se deben realizar los siguientes pasos:

1. Se identifica todas las fuerzas aplicadas al cuerpo.2. Se escoge un punto respecto al cual se analizar el torque.3.Se encuentran los torques para el punto escogido4.Se realiza la suma de torques y se iguala a cero.Hay que tener en cuenta, que lo expuesto anteriormente se refiere slo al caso cuando las fuerzas y las distancias estn sobre un mismo plano. Es decir, no es un problema tridimensional. La suma de los torques respecto a cualquier punto, dentro o fuera del cuerpo debe ser igual a cero.

* Nota:Llamamos cuerpo rgido a aquel en que se cumple que la distancia entre dos puntos cualesquiera del cuerpo permanece invariante en eltiempo.

X.--OBJETIVOS1.Estudiarelcomportamientode las fuerzas concurrentes y fuerzas paralelas.2. Establecer las condiciones necesarias para que unsistemase encuentra enequilibrio.

XI.- CONCLUSIONESEstelaboratoriosirvi para comprobar experimentalmente lo sabido porteora. Se ha probado que la resultante de dos fuerzas concurrentes es igual en mdulo ydireccin, ms no en sentido que la fuerza que puede equilibrar el sistema. (Fuerza equilibrante).

Se encontr tericamente elvalorde la fuerza equilibrante de dos fuerzas concurrentes, por la ley de cosenos, por la ley de senos o de Lamy y por descomposicin rectangular, y los valores hallados se compararon con los valores hallados experimentalmente, resultando calores casi similares.Se experiment tambin acerca delcomportamientode las fuerzas paralelas.De lo experimentado se concluye que para que un cuerpo est en equilibrio absoluto, ste debe cumplir Equilibrio de Traslacin y Equilibrio de Rotacin.

XII.-BIBLIOGRAFIA

LIBRO DE BEER JOHNSTON ESTATICA (MECANICA VECTORIAL PARA INGENIEROS) NOVENA EDICION CONDICIONES DE EQUILIBRIO PARA UNA PARTICULA Y UN CUERPO RIGIDO