CAPITULO 2.- FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

Para el estudio del análisis de pruebas de presión es necesario conocer las soluciones de las ecuaciones diferenciales parciales las cuales describen el flujo de fluidos en medios porosos para diferentes condiciones de frontera.

2.1.- ECUACION DE CONTINUIDAD

L ecuación de continuidad también es conocida como la ley de la conservación de la masa y establece que para cualquier sistema:La masa acumulada es igual a la masa que entra menos la más que sale del sistema.

Considerando una sección cilíndrica de la roca de la formación de radio (r), extensión total del yacimiento ∆r y espesor h.

Suponiendo un flujo dimensional a través de la cara externa de la capa. La masa del fluido en la sección cilíndrica a la vez que la porosidad (φ) y el volumen de la secciones igual a 2πrhΔr, y están representadas por la densidad del fluido fluyente. Ocurre que esta masa se ve modificada a medida que avanza el tiempo al incrementar Δt entonces2:

La masa que fluye dentro de la coraza debe ser igual a la que esta fluyendo fuera de la misma para un radio r + Δr, la masa que fluye en dirección radial por unidad de área de superficie por tiempo es conocida como velocidad másica radial Vr y depende de la densidad. El área de superficie Ar está dada por 2πrh, para un radio r, el radio es modificado para las condiciones diferenciales y es igual a (r + Δr), provocando que el área se modifique a 2π(r + Δr)h.

Entonces la ley de conservación de la masa determina que:

Dividiendo entre 2πrhΔrΔt tenemos:

Tomando los límites en Δr y Δt 0 se obtiene:

LEY DE MOVIMIENTO

Es una relación de la velocidad con el gradiente de presiónes; la mas conocida, la cual se utiliza en el desarrollo de la ecuación de difusión, es la siguiente forma de la ley de darcy.

Válida para flujo laminar y NRe bajo, por lo tanto no es válida para:

Flujo turbulento Flujo de Gas Medio poroso que reaccione con el fluido Para ∆T

Donde: v = Velocidad de fluido por unidad de área. k = Permeabilidad ρ = Densidad μ = Viscosidad ∆Φ= Gradiente de potencial en la dirección de flujo

en la que se despresian los efectos gravitacionales; se considera que el flujo es isotérmico, en régimen laminar.

ECUACION DE ESTADO

Las ecuaciones de estado expresan las variaciones de la densidad

ECUACIÓN DE DIFUSIÓN.

La Ecuación de difusión es la combinación de tres ecuaciones ó principios de suma importancia en la ingeniería de yacimientos las cuales estudian el flujo de fluidos en el medio poroso, estas ecuaciones o principios son: Ecuación de Continuidad (que es el Principio de Conservación de Masas), la Ecuación de Movimiento considerando flujo laminar en el yacimiento (Ley de Darcy) y la Ecuación de Estado (Compresibilidad).

Esta ecuación gobierna las variaciones de presión contra tiempo en el yacimiento. La ecuación de difusión es la combinación de los principios que describen el proceso físico del movimiento de fluido dentro del yacimiento.

∇2 p=ϕμc t

k

∂ p

∂t

Las suposiciones hechas para obtener la ecuación anterior son:

• Flujo en una sola fase• Fluido ligeramente compresible• Ley de Darcy válida• Viscosidad constante• Medio homogéneo e isótropo• Efectos de gravedad despreciables• Gradientes de presión pequeños en el yacimiento• Flujo isotérmico

La Ecuación anterior es una ecuación diferencial en derivadas parciales y requiere para su solución establecer condiciones iniciales y de frontera.

La condición inicial es la siguiente:

p (r ,t=0 )=pi

La condición de frontera son las siguientes:

a) Gasto especificob) Presión especificada

Para obtener la solución de la ecuación de difusión aplicable para un caso particular es necesario definir bajo qué condiciones actúan las fronteras; es decir, si la frontera es impermeable o se mantiene constante o si hay producción a través de la frontera.

Esta ecuación puede expresarse según sea el caso a estudiar, en coordenadas cartesianas, radiales etc. Y para su solución se requiere de considerar condiciones de frontera en espacio y tiempo y así definir el comportamiento de flujo en el yacimiento.

Ejemplo de la Ecuación de Difusión en coordenadas cartesianas:

La compresibilidad isotérmica se define:

c=−1V ( ∂V∂ p )

T

Para un fluido ligeramente compresible:

ρ=ρo [1+c ( p−po ) ]

Ahora acoplando las ecuaciones de estado y movimiento en la ecuación de continuidad se tiene:

∂∂ x {ρo [1+c ( p−p0)]( kx

μ∂ p∂x )}+ ∂

∂ y {ρo [1+c ( p−p0)](−k y

μ∂ p∂ y )}+¿

∂∂ z {ρo [1+c( p−p0)](−kz

μ∂ p∂z )}=−∂

∂ t{∅ ρo [1+c ( p−p0)] }

Considerando:

Despreciando los efectos gravitacionales y cambiando los signos:

Si 𝞵 = constante, y el medio es isótropo:

Dividiendo entre: 1+c ( p−pc )

Sea:

Considerando que los gradientes de presión de son pequeños entonces:

Finalmente se obtiene:

Ecuación de difusión en coordenadas cartesianas

2.3.- VARIABLES ADIMENSIONALES

En la solución de la ecuación de difusión, generalmente se utilizan variables adimensionales las cuales tienen el objetivo de reducir el número de parámetros para resolver dicha ecuación. Se hace uso de las variables adimensionales para caracterizar las soluciones que representan el flujo de fluidos en un medio poroso.

Existen tres parámetros adimensionales importantes para flujo radialpD,tD,rD.

2.3.- SOLUCIONES A LA ECUACION DE DIFUSIÓN

Un ejemplo de la solución para flujo radial, yacimiento homogéneo e infinito y produciendo a gasto constante.

Se presenta la solución para las consideraciones mencionadas anteriormente partiendo de:

1r

∂∂r (r ∂ p

∂ r )=ϕμCtk

∂ p∂ t

La ecuación anterior representa la ecuación de difusión en coordenadas cilíndricas para la solución supondremos las siguientes condiciones de frontera.

P (r ,0 )=piCondición inicial.

(r ∂ p∂ r )

r=r w

= −qμ2πkh

Condición de frontera que considera gasto

constante en el pozo.

limr→∞

p (r , t )=p iCondición de frontera infinita.

Considerando las condiciones de frontera anteriores la solución de la ecuación de difusión es la siguiente:

p (r ,t )=pi+qμ4 πkh

E I (−ϕμCt r2

4 kt )Donde E1(x) es la función Integral Exponencial y se define como:

−Ei (−x )=∫x

∞e−u

udu

La ecuación anterior representa el comportamiento de presión en cualquier punto del yacimiento y a cualquier tiempo, esta solución de la ecuación de difusión es de las mas usadas en el análisis de pruebas de presión.

Expresada en variables adimensionales:

pD (rD ,tD )=−12

E1( rD2

4 tD )

Por definición de la integral exponencial

−Ei (−x )−∫x

∞e−x

xdx

Cuando: −x→0−Ei (−x )→∞

Cuando: −x→∞−E i (−x )→0

Cuando x<0.025−Ei (−x ) puede aproximarse

−Ei (−x )=ln (1.781 x )−Ei (−x )=ln (1.781 )+ ln ( x )

Donde:γ

γ=0.5772…… Constante de EulerCundo :

0.025≤ x≤10.9→−Ei (−x ) de tabla

x>10.9→−E i (−x ) = cero

x<0.025→−E i (−x ) con ecuación

Tabla de valores para función exponencial.

Por definición de la integral exponencial

−Ei (−x )−∫x

∞e−x

xdx

Cuando: −x→0−Ei (−x )→∞

Cuando: −x→∞−E i (−x )→0

Cuando x<0.025−Ei (−x ) puede aproximarse

−Ei (−x )=ln (1.781 x )−Ei (−x )=ln (1.781 )+ ln ( x )

Donde:γ

γ=0.5772…… Constante de EulerCundo :

0.025≤ x≤10.9→−Ei (−x ) de tabla

x>10.9→−E i (−x ) = cero

x<0.025→−E i (−x ) con ecuación

2.4.- YACIMIENTOS FINITOS

En los yacimientos finitos cerrados y con flujo radial en periodo de producción, la duración del comportamiento infinito se puede estimar con la siguiente ecuación:

Por su parte, el comienzo del periodo pseudoestacionario se estima a partir de la siguiente ecuación:

FACTOR Y FORMA DE LOS YACIMIENTOS FINITOS.