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En 1856, en la ciudad francesa de Dijon, el ingeniero Henry Darcy fue encargado del estudio de la red de abastecimiento a la ciudad. Parece que tambin deba disear filtros de arena para purificar el agua, as que se interes por los factores que influan en el flujo del agua a travs de los materiales arenosos, y present el resultado de sus trabajos como unapndice a su informe de la red de distribucin. Ese pequeo apndice ha sido la base de todos los estudios fsicomatemticos posteriores sobre el flujo del agua subterrnea.FLUJO EN MEDIOS POROSOS LEY DE DARCY

En los laboratorios actuales disponemos de aparatos muy similares al que utiliz Darcy, y que se denominan permemetros de carga constante (Figura 1)Q = Caudalh = Diferencia de Potencial entre A y Bl = Distancia entre A y B

Darcy encontr que el caudal que atravesaba el permemetro era linealmente proporcional a la seccin y al gradiente hidrulico

(K =constante. Ver Figura 1 para el significado de las otras variables)

Si utilizamos otra arena (ms gruesa o fina, o mezcla de gruesa y fina, etc.) y jugando de nuevo con todas las variables, se vuelve a cumplir la ecuacin anterior, pero la constante de proporcionalidad lineal es otra distinta. Darcy concluy, por tanto, que esa constante era propia y caracterstica de cada arena. Esta constante se llam permeabilidad (K) aunque actualmente se denomina conductividad hidrulica.Actualmente, la Ley de Darcy se expresa de esta forma:

donde: q = Q /seccin (es decir: caudal que circula por m2 de seccin)K = Conductividad Hidrulicadh/dl = gradiente hidrulico expresado en incrementos infinitesimales(el signo menos se debe a que el caudal es una magnitud vectorial, cuya direccin es hacia los h decrecientes; es decir, que h o dh es negativo y, por tanto, el caudal ser positivo)

Velocidad real y velocidad de DarcySabemos que en cualquier conducto por el que circula un fluido se cumple que:

Caudal = Seccin x Velocidadvelocidad a partir del caudal y de la seccin, que son conocidos, obtendremos una velocidad falsa, puesto que el agua no circula por toda la seccin del permemetro, sino solamente por una pequea parte de ella. A esa velocidad falsa (la que llevara el agua si circulara por toda la seccin del medio poroso) se denomina velocidad Darcy o velocidad de flujo:Velocidad Darcy = Caudal / Seccin total

La parte de la seccin total por la que puede circular el agua es la porosidad eficaz; si una arena tiene una porosidad del 10% (0,10), el agua estara circulando por el 10% de la seccin total del tubo. Y para que el mismo caudal circule por una seccin 10 veces menor, su velocidad ser 10 veces mayor. Por tanto, se cumplir que:

(5)

En la figura 3 se muestra un tubo de longitud L1 lleno de arena por el que se hace circular agua.Calculamos la velocidad lineal media mediante las expresiones anteriores y con esa velocidad evaluamos el tiempo de recorrido a lo largo del tubo de dicha figura (tiempo=L1 /velocidad).Si despus medimos experimentalmente ese tiempo de recorrido aadiendo un colorante al agua, obtendramos un tiempo ligeramente superior, ya que la distancia recorrida ha sido mayor: no L1 sino L2 (que es desconocidaSi llamamos velocidad real a la registrada a lo largo de un recorrido a travs de un medio poroso, sera igual a:

Velocidad Real = Velocidad lineal media coeficiente

Ese coeficiente depende de la tortuosidad del medio poroso, y aproximadamente puede ser de 1,0 a 1,2 en arenas.En la prctica, habitualmente se utiliza la expresin (5) diciendo que hemos calculado la velocidad real, pero debemos ser conscientes del error que se comente al despreciar la tortuosidad del recorrido.FLUJO A TRAVS DE VARIAS CAPAS: PERMEABILIDAD EQUIVALENTEEn un medio estratificado, con frecuencia se produce el flujo a travs de varias capas, y deseamos aplicar la ley de Darcy globalmente al conjunto de capas. Los dos casos ms sencillos son cuando consideramos el flujo paralelo a los contactos entre las capas o el flujo perpendicular a las capas.

Permeabilidad (o conductividad hidrulica) equivalente es un valor promedio que podemos asignar al conjunto de capas considerado como una unidad. Y hablaremos de K equivalente horizontal (Kh) o K equivalente vertical (Kv) refirindonos respectivamente a los dos casos citados.

El caudal total ser la suma del que circula a travs de todas las capas consideradas:

(el gradiente est fuera del sumatorio ya que es comn a todas las capas)

Tambin podemos calcular el caudal total aplicando la ley de Darcy a todas las capas conjuntamente, utilizando una Kh equivalente (cuyo valor an desconocemos); llamamos: B= bi

Igualando las dos expresiones anteriores y despejando Kh obtenemos:

Teniendo en cuenta que K*espesor = K*B=T (transmisividad), la frmula obtenida equivale a decir que la transmisividad equivalente del conjunto es igual a la suma de las transmisividades de cada capa.Si el flujo es perpendicular a las capas, tambin podemos calcular la permeabilidad equivalente (Kv). En este caso consideremos el caudal vertical que atraviesa una seccin unidad (q= caudal especfico o caudal por m2 de seccin):Caudal que atraviesa verticalmente el conjunto de capas:

Caudal que atraviesa verticalmente la capa n 1:

Los dos caudales anteriores son iguales, luego:

Y despejando h1 resulta:

Aplicando la ltima expresin a todas las capas y sumando:

Como la diferencia de potencial de todo el conjunto es la suma de las diferencias de potencial de cada una de las capas

Finalmente, despejando Kv : En flujo horizontal: Kh = 136 m/da, la fina capa intermedia es irrelevante, la conductividad hidrulica equivalente se aproxima a la media de las dos capas muy permeables. La capa impermeable influye poco.

En el flujo vertical: Kv = 1,09 m/da. Un metro de material poco permeable influye ms en el valor global que 10 metros de materiales muy permeables.

Ejemplo: Consideramos tres capas con los siguientes valores (dos capas de arenas gruesas con una intercalacin de limos) :

1 capa: 5 m, 200 m/da. 2 capa: 1 m, 0,1 m/da, 3 capa: 5 m, 100 m/da .

Con las dos expresiones de Kh y Kv obtenemos:

LIMITACIONES DE LA LEY DE DARCY

La Ley de Darcy puede no cumplirse por las siguientes razones:

1). La constante de proporcionalidad K no es propia y caracterstica del medio poroso, sino que tambin depende del fluido.El factor K puede descomponerse as:

donde: K = conductividad hidrulica k = Permeabilidad intrnseca (depende slo del medio poroso) = peso especfico del fluido = viscosidad dinmica del fluidoEsta cuestin es fundamental en geologa del petrleo o en el flujo de contaminantes, donde se estudian fluidos de diferentes caractersticas.En el caso del agua, la salinidad apenas hace variar el peso especfico ni la viscosidad. Solamente habra que considerar la variacin de la viscosidad con la temperatura, que se duplica de 35 a 5 C, con lo que la permeabilidad de Darcy (K) sera la mitad y tambin se reducira en la misma proporcin el caudal circulante por la seccin considerada del medio poroso.Las aguas subterrneas presentan mnimas diferencias de temperatura a lo largo del ao en un mismo acufero, pero en otros entornos s pueden producirse diferencias de temperatura notables. Por tanto, aunque sabemos que K depende tanto del medio como del propio fluido, como la parte que depende del fluido normalmente es despreciable, para las aguas subterrneas a efectos prcticos asumimos que la K de Darcy, o conductividad hidrulica es una caracterstica del medio poroso.2). En algunas circunstancias, la relacin entre el caudal y el gradiente hidrulico no es lineal. Esto puede suceder cuando el valor de K es muy bajo o cuando las velocidades delflujo son muy altas.En el primer caso, por ejemplo, si aplicamos la Ley de Darcy para calcular el flujo a travs de una formacin arcillosa, el caudal que obtendramos sera bajsimo, pero en la realidad, si no se aplican unos gradiente muy elevados, el agua no llega a circular, el caudal es 0.

En el segundo caso, si el agua circula a gran velocidad, el caudal es directamente proporcional a la seccin y al gradiente, pero no linealmente proporcional, sino que la funcin sera potencial:

donde el exponente n es distinto de 1.Para estudiar este lmite de validez de la ley de Darcy se aplica el nmero de Reynolds.Este coeficiente se cre para canales abiertos o tuberas, y en general valores altos indican rgimen turbulento y valores bajos indican rgimen laminar. Para medios porosos se aplica la frmula utilizada para canales o tubos, sustituyendo el dimetro de la conduccin por el dimetro medio del medio poroso y considerando la velocidad Darcy:

Donde: = densidad del fluido (Kg/m3)v =velocidad de Darcy (m/s)d = dimetro medio de los granos (m) = viscosidad dinmica (Pascalm = Kg/(m2 s) ) = viscosidad cinemtica (= / ) (m2/s)Es imposible conocer el grado de turbulencia del flujo a travs de un medio poroso, pero se ha comprobado que deja de cumplirse la Ley de Darcy (el caudal deja de ser linealmente proporcional al gradiente) cuando R alcanza un valor que vara entre 1 y 10. (Es decir: R10, no se cumple Darcy; R entre 1 y 10, puede cumplirse o no).

Esa indefinicin del valor lmite probablemente sea debida a otros factores diferentes del dimetro medio de los granos: heterometra, forma, etc.En el flujo subterrneo las velocidades son muy lentas y prcticamente siempre la relacin es lineal, salvo en las proximidades de captaciones bombeando en ciertas condiciones.