Flujo en Tuberias 3 Golpe de Ariete

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MECANICA DE FLUIDOS II HUGO AMADO ROJAS RUBIO

MOVIMIENTO NO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS

Considerando que en todo fenómeno transitorio de un flujo a presión, en un

conducto cerrado, se presenta la ocurrencia simultanea de las fuerzas de peso y

de elasticidad; se puede inferir que hay dos clases de oscilaciones mencionadas

que se superponen: Las oscilaciones debidas al peso, que se manifiestan por

ejemplo en una chimenea de equilibrio de una central hidroeléctrica (figura 1)

debido a las oscilaciones que ocurren en la columna de agua cuando esta se

encuentra comunicado a través de una galería (túnel casi horizontal) con un

embalse o reservorio, ambos a superficie libre. Las oscilaciones se deben a la

predominancia del peso del fluido.

Asimismo, en la tubería forzada de la misma central se producen oscilaciones dela presión debido a la maniobra de las válvulas, En este fenómeno predominan

las acciones elásticas.

La distinción física entre ambos fenómenos es notoria, debido a que la

velocidad de propagación de las acciones del peso es del orden del metro por

segundo, mientras que la propagación de las ondas elásticas es la del sonido, es

decir de aproximadamente 1,420 m/seg.

Figura 1. Esquema general de una central hidroeléctrica

62




GOLPE DE ARIETE

Golpe de ariete (Water Hammer). es la variación pulsatoria de la presión encima

y debajo de la presión normal, resultante de la rápida aceleración o

desaceleración de la velocidad de flujo debido a la interrupción de la corriente

por el cierre o apertura brusca de una válvula o por el arranque y parada de

una bomba o por operaciones análogas.

Cualquier variación en el caudal de una tubería producido por las acciones

mencionadas u otras como la rotura intempestiva de una tubería, originan un

cambio de la cantidad de movimiento del flujo, dando origen a una fuerza de

impulso que se conoce comúnmente como golpe de Ariete. El cambio súbito del

gasto en una tubería puede originar esfuerzos de suficiente magnitud, quepodrían exceder las presiones normales de servicio contempladas en el diseño

y resultar perjudicial al sistema.

La teoría del golpe de ariete fue desarrollada por N.J. Zhukovsky(1898), de la

siguiente manera:

Formula de Allieve:

Simbología:

C = Velocidad de la onda

E = Modulo de elasticidad del Material del tubo

e = Espesor de la tubería

D = Diámetro de la tubería

L = Longitud de la tubería

63

α

P.R.




x = Distancia de una sección a lo largo del eje, medido desde la sección de

cambio de flujo

t = Tiempo medido del origen del cambio de flujo

Htx = Carga total de la sección x en el tiempo t.

Qtx = Descarga de la sección x en el tiempo t.

Vtx = Velocidad de la sección x en el tiempo t.

V = Velocidad inicial antes del tiempo 0 (Veloc. Inicial)

ε = Modulo de elasticidad del agua (2.07 x 104 kg/cm2)

g = aceleración de la gravedad

ρ = densidad del flujo.

γ = Peso especifico del fluido

A = Sección transversal del conducto

• consideraremos para el análisis una tubería corta L < 1 000 mt.

Z0 + Ho0 + g

V

2

2

0 = ZX + H0X + g

V X

2

2

H0X = Ho0 - ∫ X

d Sen0α α + g

X V X

2

22

0 −

x

Z Z X 0

−= Senα

64

A/ρρ AdxU gAdxSendx

x

p p p =−

∂∂

+− α

-A dx x

p

∂∂

- /ρρ AdxU gAdxSen =α

x

p

x ∂

∂

ρ

1

= -g Senα -/

U ............... (I)

Pero ρ = γ H ∂ p = γ ∂ H

ρ= g

γ

dx x

H H

∂

∂+

dx x

uu

∂

∂+




x

p x ∂∂ρ

1= ρ

1

γ x H ∂∂ = g

x H ∂∂

dt

dU U =/ , U/ = φ (x,t) ,

x

U U

t

U U

∂∂

+∂∂

=/

En (I) g x

H

∂∂

= -gSenα - [ x

U U

t

U

∂∂

+∂∂

]

t

U

e x

U

∂∂

=∂∂ 1

, {U x

U

∂∂

(puede ser despreciable)}

g x

H

∂∂

= - gSenα -t

U

∂∂

t

U

∂

∂= - gSenα - g

x

H

∂

∂..................(1)

Ecuación de continuidad :

Masa : - ρA dxdt x

U

∂∂

.......... (2)

( )

dt t

Adx

∂

∂ ρ

= Adx t

p

∂

∂

dt +ρ

dx dt t

A

∂

∂

........... (3)

65




Compresión del agua

t ∂∂ ρ

dt = dt t

H

∂∂

γ ε

ρ ........... (4)

ε = -

∀∀∂d

p

=

∀∂∀∂− H γ

m = ∀ρ = 1 0=∂

+∀∂∀

ρ

ρ

Por consiguiente : ε = ρ

ρ

γ

∂∂ H

( ) H ∂=∂ε

ργ ρ

( ) H ∂=∂ε

ργ ρ

.:t ∂

∂ ρ dt = dt

t

H

∂∂

γ ε

ρ (4)

ECUACIONES GENERALES DEL MOVIMIENTO EN UNA TUBERÍA CIRCULAR

ELASTICA.

Se adoptan las siguientes hipótesis:

• El fluido es perfecto y ligeramente compresible

•La tubería es cilíndrica y elástica.

El esfuerzo longitudinal se expresa por:

e

pD

2=σ

2eσ = pD

2[edσ + σde] = Ddp + pdD

66




p

dp

D

dD

e

ded +=+

σ

σ

e

dey

D

dDdespreciable ,

p

dpd =

σ

σ

dσ = σ p

dpdσ =

p

dp x

e

pD

2= dp

e

D

2

E =

D

dD

d σ

D

dD

E

d =

σ

( )

( ) D

dD

E

d

π

π σ = (dD) = D

E

d σ

dσ = dpe

D

2

Pero

A :4

2 Dπ

dD D

dA2

π =

xdDeE

DdD

2

2

=

dt t

p x

eE

D A

t

A

∂

∂=

∂

∂ dt

t

H x

eE

ADdt

t

A

∂

∂=

∂

∂ γ )( ................ (5)

p = γ H

Luego la variación de la masa será :

67

dD = D x E

dp x

e

D

2

dD = xdpeE

D

2

2

dA = dpeE

D x

D

24

2 2π

dA = A dp Ee

D




( ) dt t

H

eE

DdxAdt

t

H Adxdt Adx

t dxdt

x

U A

∂∂

+∂∂

=∂∂

=∂∂

γ ρ γ ε

ρ ρ ρ

Simplificando :

t

H

eE

D

t

H x

eE

D

t

H x

x

U

∂∂

+=

∂∂

+∂∂

=∂∂

−ε

γ γ ε

γ 1

t

H

eE

D

x

U

∂∂

+=

∂∂

−ε

γ 1

Si llamamos :2

11ceE

D =

+ε

ρ

(6) .:t

H

C

g

x

U

∂∂

=

∂∂

−2

+

=

eE

DC

ε ρ

1

1

+

=

E x

e

DC

ε

ε

ρ 1

1

+

=

E x

e D

C

ε ρ

ε

1

+−

−−=

++−+=

c

xt f

c

xt F

c

g V U

c

xt f

c

xt F H H

oxtx

oxtx )()(

68

C : Celeridad o velocidad dedesplazamiento de la

onda en el fluido

C0 = ρ

ε , C0 = 1.422 m/seg (para el agua)




Modulo de elasticidad para algunos Materiales : (E)

Material E x 106(P.S.I.)

Acero 30

F°F° 15

Aluminio 10

Asbesto Cemento 3

Concreto 2.5

Madera 1.5

Agua 0.31 (2.07 x 104 Kg/cm2)

Algunos valores de la celeridad de la onda de presión en el agua:

+

=

e

D x

E

C ε

1

1665,4

pies/seg

+=

e D x

E

C ε

1

1422,1

m/seg

Tiempo critico de cierre : tc =C

L2

Tc = Tiempo que tarda una onda en ir y volver

Exceso de presión : CV p ρ =' en cierre instantáneo total de la

válvula

La presión en la tubería oscilara dentro del intervalo:

69




'0 p p p ±=

Donde la presión p0, es igual a la presión en la válvula abierta (condición inicial

para flujo en estado permanente)

+

=

e

D x

E

V pε

1

16.63/

(lb/pulg2) P.S.I. (V en pies/seg)

donde : V = velocidad de desplazamiento inicial.

Ó

+

=

e

D x

E

V pε

1

1150,9/

lb/pie2 (V en pies/seg)

Cierre lento de la válvula:

El tiempo de cierre de una válvula no es realmente igual a cero, sino a un cierto

periodo finito t. La presion del golpe de ariete aumenta gradualmente con la

velocidad de cierre de la válvula. Dependiendo de que t sea menor o mayor a tc,

se establece la diferencia entre el cierre rapido y el cierre lento.

Si t es menor que tc, la presion de la onda de choque alcanzara su máximo valor

p’. Por lo tanto, el cierre rapido es equivalente al cierre instantáneo. Si t excede

a tc, no se desarrollara plenamente la presion máxima p’ debido a que las ondas

negativas reflejadas que llegan a la válvula después del tiempo tc, la

contrarrestaran. Para cierre lento de una válvula, la presion máxima de la onda

se puede calcular por la expresión de Allieve:

++= N

N N p p

42

2

0

/en lb/pie2

en donde: N =

2

0

t p

LV ρ t = Tiempo de cierre de la válvula en seg.

70




Tapertura

Tcritico

t

tc

t

C L

P

P ==

2

max Joukowsky (1898)

Tambien:ct LV P ρ =' = sobre presión en cierre lento de una válvula tubería

rígida.

El cálculo de la sobre presión depende del tiempo de cierre tc de la válvula.

Ejercicio de Aplicación:

Se tiene una tubería: L = 800m. ( aproximadamente 2500 pies)

Presión estática = 130 P.S.I ( 9.1 Kg/ cm2 )

Velocidad inicial = 2.81 pie/seg. (0.85 m/seg)

Material de la tubería : asbesto – cemento

D = 6”

e = 1/8”

tiempo de cerrado : 8 segundos

E H20 = 3 x 105 P.S.I

+

=

8/1

6

103

1031

1665,4

6

5

x x

xC

71

C = 1937.03 pies/seg = 590.4 m/seg




+

=

8/1

6

103

1031

181.26.63

6

5

/

x x

x x p

Tc =03.1937

25002 x= 2.58 seg

p = pmax.t

C L2

= p máx. tc/t

p = 146.9 x8

58.2= 47.37 P.S.I

Presión total = Pr = 130 + 47.37 = 177.37 P.S.I.

Apuntes de clases sujeto a revisión

72

146.9 P.S.I = 10.3 Kg/cm2

= 51.45 m



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