Flujo Interno

FLUJO INTERNO

FLUJO INTERNO

OBJETIVOS: Analisis de flujos en tuberas, ductos y accesorios en forma experimental.

Verificacin de ecuaciones, tablas, diagramas que rigen a los flujos.FUNDAMENTO TEORICO:Tuberas

Fig.1 (Tuberas en una sala de calderas)

Las tuberas son elementos de diferentes materiales que cumplen la funcin de permitir el transporte el agua u otros fluidos en forma eficiente. Cuando el lquido transportado es petrleo, se utiliza la denominacin especfica de oleoducto.

Tambin es posible transportar mediante tuberas materiales que, si bien no son un fluido, se adecan a este mtodo: cemento, hormign, gas, documentos, etctera.

Materiales

Las tuberas se construyen en diversos materiales en funcin de consideraciones tcnicas y econmicas. Suele usarse el acero, el polipropileno, el PVC, el PEAD,etctera.

Flujo en tubera

La ecuacin de continuidadLa conservacin de la masa de fluido a travs de dos secciones (sean stas S1 y S2) de un conducto (tubera) o tubo de corriente establece que: la masa que entra es igual a la masa que sale.

Definicin de tubo de corriente: Superficie formada por las lneas de flujo que parten de una curva cerrada.

Corolario 1: No hay flujo a travs de la superficie del tubo de corriente.

Corolario 2: Solo hay tubo de corriente si V es diferente de 0.

La ecuacin de continuidad se puede expresar como:

1.S1.V1 = 2.S2.V2

Cuando 1 = 2, que es el caso general tratndose de agua, y flujo en rgimen permanente, se tiene:

o de otra forma:

(El caudal que entra es igual al que sale)

Donde:

Q = caudal (m3 / s)

V = velocidad (m / s)

S = seccin del tubo de corriente o conducto (m2)

Que se cumple cuando entre dos secciones de la conduccin no se acumula masa, es decir, siempre que el fluido sea incompresible y por lo tanto su densidad sea constante. Esta condicin la satisfacen todos los lquidos y, particularmente, el agua.

En general la geometra del conducto es conocida, por lo que el problema se reduce a estimar la velocidad media del fluido en una seccin dada.

El Principio de BernoulliA estos efectos es de aplicacin el Principio de Bernoulli, que no es sino la formulacin, a lo largo de una lnea de flujo, de la Ley de conservacin de la energa. Para un fluido ideal, sin rozamiento, se expresa

h + (v2 / 2g) + (P / ) = constantedonde :

g aceleracin de la gravedad

peso especfico del fluido

P presin

Se aprecia que los tres sumandos son, dimensionalmente, una longitud (o altura), por lo que el Principio normalmente se expresa enunciando que, a lo largo de una lnea de corriente la suma de la altura geomtrica, la altura de velocidad y la altura de presin se mantiene constante.

Cuando el fluido es real, para circular entre dos secciones de la conduccin deber vencer las resistencias debidas al rozamiento con las paredes interiores de la tubera, as como las que puedan producirse al atravesar zonas especiales como vlvulas, ensanchamientos, codos, etc. Para vencer estas resistencias deber emplear o perder una cierta cantidad de energa o, con la terminologa derivada del Principio de Bernoulli de altura, que ahora se puede formular, entre las secciones 1 y 2:

, o lo que es igual

,

Donde perdidas (1,2) representa el sumando de las prdidas continuas (por rozamiento contra las paredes) y las localizadas (al atravesar secciones especiales)

Prdidas continuas

Las prdidas por rozamiento son funcin de la rugosidad del conducto, de la viscosidad del fluido, del rgimen de funcionamiento (flujo laminar o flujo turbulento) y del caudal circulante, es decir de la velocidad (a ms velocidad, ms prdidas).

Si es L la distancia entre los puntos 1 y 2 (medidos a lo largo de la conducto), entonces el cociente (prdidas (1,2)) / L representa la prdida de altura por unidad de longitud de la conduccin se le llama pendiente de la lnea de energa. Denominmosla J

Cuando el flujo es turbulento (Nmero de Reynolds superior a 8.000), lo que ocurre en la prctica totalidad de los casos, existen varias frmulas, tanto tericas (Ecuacin de Darcy-Weisbach), como experimentales (ecuacin de Hazen-Williams, ecuacin de Manning, etc), que relacionan la pendiente de la lnea de energa con la velocidad de circulacin del fluido. Quizs la ms sencilla y ms utilizada sea la frmula de Manning:

donde :V = Velocidad del agua (m/s)

K = Coeficiente de rugosidad, depende del material de la tubera y del estado de esta.

Existen varias expresiones para este coeficiente calculados en forma experimental por varios investigadores como: Manning; Bazin; Kutter; Strickler, entre otros.

Rh = Radio hidrulico de la seccin = rea mojada / Permetro mojado (Un cuarto del dimetro para conductos circulares a seccin llena) (m) J = gradiente de energa (m/m)

Prdidas localizadas

En el caso de que entre las dos secciones de aplicacin del Principio de Bernoulli existan puntos en los que la lnea de energa sufra prdidas localizadas (salidas de depsito, codos, cambios bruscos de dimetro, vlvulas, etc), las correspondientes prdidas de altura se suman a las correspondientes por rozamiento. En general, todas las prdidas localizadas son solamente funcin de la velocidad, viniendo ajustadas mediante expresiones experimentales del tipo:

donde pl es la prdida localizada

Los coeficientes K se encuentran tabulados en la literatura tcnica especializada, o deben ser proporcionados por los fabricantes de piezas para conducciones.

Proceso de clculo

En el diseo y clculo prctico de conducciones de agua, se parte de que la geometra de la conduccin, es decir las alturas geomtricas h, son conocidas. Se hace coincidir la primera seccin de clculo con un punto en que las condiciones de velocidad y presin son tambin conocidas, por ejemplo la lmina de un depsito (presin nula sobre la presin atmosfrica y velocidad nula).

Conocida la presin o la velocidad en cualquier otro punto de la conduccin (por ejemplo en un punto de toma, presin nula), aplicando los conceptos expuestos se puede determinar la velocidad y consecuentemente el caudal.

Por supuesto el proceso es iterativo. Inicialmente se supone que el conjunto de prdidas localizadas (sumatorio de coeficientes K) es nulo, con lo que se determina una velocidad inicial de circulacin V0. A partir de esta velocidad se introducen las perdidas localizadas, obteniendo V1 y as sucesivamente, hasta que (Vi - Vj) de las dos ltimas iteraciones sea tan pequeo como se desee. Normalmente se obtiene convergencia suficiente con un par de iteraciones.

Ecuacin de Darcy-Weisbach

La ecuacin de Darcy-Weisbach es una ecuacin ampliamente usada en hidrulica. Permite el calculo de la prdida de carga debida a la friccin dentro una tubera.

La ecuacin fue inicialmente una variante de la ecuacin de Prony, desarrollada por el francs Henry Darcy. En 1845 fue refinada por Julius Weisbach, de Sajonia, hasta la forma en que se conoce actualmente:

donde hf es la prdida de carga debida a la friccin, calculada a partir de la friccin (trmino este conocido como factor de friccin de Darcy o coeficiente de rozamiento), la relacin entre la longitud y el dimetro de la tubera L/D, la velocidad del flujo v, y la aceleracin debida a la gravedad g que es constante.

El factor de friccin vara de acuerdo a los parmetros de la tubera y la velocidad del flujo, y puede ser conocido con una gran exactitud dentro de ciertos regmenes de flujo. Sin embargo, los datos acerca de su variacin con la velocidad eran inicialmente desconocidos, por lo que esta ecuacin fue inicialmente superada en muchos casos por la ecuacin emprica de Prony.

Aos ms tarde se evit su uso en diversos casos especiales en favor de otras ecuaciones empricas, principalmente la ecuacin de Hazen-Williams, ecuaciones que, en la mayora de los casos, eran significativamente ms fciles de calcular. No obstante, desde la llegada de las calculadoras la facilidad de clculo no es mayor problema, por lo que la ecuacin de Darcy-Weisbach es la preferida.

Ecuacin de Colebrook-WhiteFrmula usada en hidrulica para el clculo del factor de friccin de Darcy tambin conocido como coeficiente de rozamiento. Se trata del mismo factor que aparece en la ecuacin de Darcy-Weisbach.

La expresin de la frmula de Colebrook-White es la siguiente:

Donde Re es el nmero de Reynolds, k / D la rugosidad relativa y el factor de friccin.

El campo de aplicacin de esta frmula se encuentra en la zona de transicin de flujo laminar a flujo turbulento y flujo turbulento. Para la obtencin de es necesario el uso de mtodos iterativos. Otra forma ms sencilla y directa de obtener el valor de es hacer uso del diagrama de Moody.

Para el caso particular de tuberas lisas la rugosidad relativa, es decir la relacin entre la rugosidad en las paredes de la tubera y el dimetro de la misma, es muy pequeo con lo que el trmino k / D es muy pequeo y puede despreciarse el primer sumando situado dentro del parntesis de la ecuacin anterior. Quedando en este caso particular la ecuacin del siguiente modo:

Para nmeros de Reynolds muy grandes el segundo sumando situado dentro del parntesis de la ecuacin de Colebrook-White es despreciable. En este caso la viscosidad no influye en la prctica a la hora de determinar el coeficiente de friccin, este nicamente depende de la rugosidad relativa k / D de la tubera. Esto se manifiesta en el diagrama de Moody en que en la curva para valores elevados de Re se hacen rectas.

Diagrama de MoodyEl diagrama de Moody es la representacin grfica en escala doblemente logartmica del factor de friccin en funcin del nmero de Reynolds y la rugosidad relativa de una tubera.

En la ecuacin de Darcy-Weisbach aparece el trmino que representa el factor de friccin de Darcy, conocido tambin como coeficiente de friccin. El clculo de este coeficiente no es inmediato y no existe una nica frmula para calcularlo en todas las situaciones posibles.

Se pueden distinguir dos situaciones diferentes, el caso en que el flujo sea laminar y el caso en que el flujo sea turbulento. En el caso de flujo laminar se usa una de las expresiones de la ecuacin de Poiseuille; en el caso de flujo turbulento se usa la ecuacin de Colebrook-White.

En el caso de flujo laminar el factor de friccin depende nicamente del nmero de Reynolds. Para flujo turbulento, el factor de friccin depende tanto del nmero de Reynolds como de la rugosidad relativa de la tubera, por eso en este caso se representa mediante una familia de curvas, una para cada valor del parmetro k / D, donde k es el valor de la rugosidad absoluta, es decir la longitud (habitualmente en milmetros) de la rugosidad directamente medible en la tubera.

En la siguiente imagen se puede observar el aspecto del diagrama de Moody.

Fig.2 (Diagrama de Moody)CALCULOS Y RESULTADOS:Volumen utilizado para el tiempo = 5 litros = 5000 cm3 (En todos las tuberias) En la tubera de 1 (A = 7,9173 cm2P (Psi)(h (cm H2O)Tiempo (seg)Q (cm3/s)Velocidad (cm/s)Ref

265.410.3000485.436961.313420491.56610.0252

247.08.3000602.409676.087825429.29290.0212

227.98.1500613.496977.488225897.31670.0231

2011.36.7300742.942193.837831361.53500.0225

1814.65.9600838.9262105.961135413.27700.0228

1617.65.4100924.2144116.733539013.51770.0227

Tabla.1 (Datos y Resultados de la tubera 1)

Grafica.1 (hf vs Q en la tubera 1)De la grfica se obtiene que:

Ln(C) = 1.4317 ( C = 4.1858 y n = 0.242

En la tubera de 1 (A = 5.067 cm2P (Psi)(h (cm H2O)Tiempo (seg)Q (cm3/s)Velocidad (cm/s)Ref

266.116.0600311.332561.443216427.93660.0227

2413.710.7000467.289792.222224657.25820.0226

2226.87.4600670.2413132.275835366.30860.0215

2031.76.8000735.2941145.114338798.92090.0211

1837.26.0500826.4463163.103743608.70450.0196

1640.05.8300857.6329169.258545254.31600.0196



Ln(C) = 1.8225 ( C = 6.1873

n = 0.3591

En la tubera de 3/4 (A = 2.85 cm2P (Psi)(h (cm H2O)Tiempo (seg)Q (cm3/s)Velocidad (cm/s)Ref

2821.113.9000359.7122126.214825309.35440.0139

2729.015.1600329.8153115.724723205.80650.0228

2630.414.8100337.6097118.459623754.22190.0228

2548.011.2600444.0497155.806931243.34160.0208

2480.08.1300615.0062215.791643271.83600.0181



Ln(C) = 2.666 ( C = 14.3823n = 0.3169 En la tubera de 1/2 (A = 1.267 cm2P (Psi)(h (cm H2O)Tiempo (seg)Q (cm3/s)Velocidad (cm/s)Ref

28117.63419.8500251.8892198.807626577.39080.0209

27152.71818.1000276.2431218.029329147.02800.0225

26264.16013.5000370.3704292.320739078.60800.0217

25454.0259.3300535.9057422.972156544.60960.0178

24584.0418.6300579.3743457.280461131.07850.0196

23666.5917.9800626.5664494.527666110.42700.0191



Ln(C) = 4.4033 ( C = 81.7201

n = 0.3782

En el codo de radio corto Ro 1 1/4

De Tablas (D = 3.175cm)

Longitud equivalente = 1.6m =160cm

Sabemos que: Hs = K.V2/2g

P (Psi)(((((((( ((((((((Tiempo (seg)Q (cm3/s)Velocidad (cm/s)ReK

26114.1354.609944.789314969.0160.97802612

241.69.64518.672265.511221894.5160.73145544

221.57.33682.128286.156728794.4240.39647166

204.66.86728.86392.059530767.221.06492644

185.55.89848.8964107.220435834.1480.93865683

166.35.73872.6003110.214436834.7521.01756666

Tabla.5 (Datos y Resultados en el codo de radio corto)

Graficando K vs Re:

Grafica.5 (K vs Re en el codo de radio corto) En el codo de radio largo Ro 3

De Tablas (D = 3.175cm)

Longitud equivalente = 1.3m = 130cmP (Psi)(((((((( ((((((((Tiempo (seg)Q (cm3/s)Velocidad (cm/s)ReK

260.416.81297.44237.568612555.8080.55604376

240.810.5476.190560.145620101.2510.43389162

221.37.91632.111379.839226683.0760.40013819

201.86.8735.294192.871831038.6960.40945274

182.26.15813.0081102.687534319.2080.4093422

162.65.83857.6329108.323936202.9380.43473417

Tabla.6 (Datos y Resultados en el codo de radio largo)

Graficando K vs Re:

Grafica.6 (K vs Re en el codo de radio largo) En el VenturiA = 2.85 cm2De:

P (Psi)(((((((( ((((((((Tiempo (seg)Q (cm3/s)Velocidad (cm/s)ReCf

2613.20817.3200288.6836101.292520311.77980.2272

2433.02010.6800468.1648164.268332940.07740.2894

2256.1347.2000694.4444243.664748861.11480.3524

2059.4367.5800659.6306231.449346411.61300.3435

1879.2486.1800809.0615283.881256925.57060.3804

1689.1546.2300802.5682281.602956468.70410.3788

Tabla.7 (Datos y Resultados en el Venturi)

Graficando Cf vs Re:

Grafica.7 (Cf vs Re en el Venturi) En el cambio de seccin

A = 2.85 cm2De:

P (Psi)(((((((( ((((((((Tiempo (seg)Q (cm3/s)Velocidad (cm/s)ReCf

2635.110.3600482.6255169.342333957.53150.2938

2450.78.1500613.4969215.262143165.64740.3312

2244.28.8000568.1818199.362039977.27570.3188

2067.67.0300711.2376249.557050042.67800.3566

1884.55.9200844.5946296.349059425.68010.3886

1681.96.2200803.8585282.055656559.48980.3792

Tabla.8 (Datos y Resultados en el cambio de seccin)

Graficando Cf vs Re:

Grafica.8 (Cf vs Re en el Venturi)_1238780134.xlsGrfico6

1.6863989536

1.9459101491

2.0668627595

2.4248027257

2.6810215287

2.867898902

ln(hf)=ln(C)+n.ln(Q)

ln(Q)

ln(hf)


Hoja1

7.91730.1263

5000.0000

3.1750

355.00000.0028

P (Psi)Dh (cm H2O)Tiempo (seg)Q (cm3/s)Velocidad (cm/s)Refe/D

0.057726.000013.208017.3200288.683636.462412186.09300.17430.0007521595

0.093624.000033.020010.6800468.164859.131919762.46540.16570.0002859939

0.138922.000056.13407.2000694.444487.712329314.32370.12800.0001299808

0.131920.000059.43607.5800659.630683.315127844.74020.15030.0001440631

0.161818.000079.24806.1800809.0615102.189134152.61020.13320.0000957615

0.160516.000089.15406.2300802.5682101.368933878.51220.15220.0000973174

1.68639895366.1850493102

1.94591014916.4009376126

2.06686275956.4191752112

2.42480272576.6106181144

2.68102152876.7321227407

2.8678989026.8289440794


265.410.3485.436961.313420491.56610.0252

2478.3602.409676.087825429.29290.0212

227.98.15613.496977.488225897.31670.0231

2011.36.73742.942193.837831361.5350.0225

1814.65.96838.9262105.961135413.2770.0228

1617.65.41924.2144116.733539013.51770.0227

Hoja1

0

0

0

0

0

0


ln(Q)

ln(hf)


Hoja2

Hoja3

_1238780613.xlsGrfico9

0.2272142812

0.2893503035

0.3524060214

0.3434590511

0.3803779478

0.3788484766

Re

Cf

Cf vs Re

Hoja1

2.85000.3509

5000.0000

1.9050

355.00000.0028

P (Psi)Dh H mc(2)OTiempo (seg)Q (cm3/s)Velocidad (cm/s)ReCfe/D

0.05772613.20817.32288.6836027714101.292492200520311.77981038050.22721428120.0993599517

0.09362433.0210.68468.1647940075164.268348774632940.07737039230.28935030350.0780230735

0.13892256.1347.2694.4444444444243.664717348948861.11476608190.35240602140.0640624695

0.13192059.4367.58659.6306068602231.449335740446411.61297042080.34345905110.0657312711

0.16181879.2486.18809.0614886731283.881224095856925.57060126040.38037794780.0593514953

0.16051689.1546.23802.5682182986281.602883613556468.70406352960.37884847660.0595911067

1.80828877125.7408614729

2.61739583286.1469494079

3.28840188756.5076377968

3.45631668096.6002705552

3.61630876136.7171349424

3.68887945416.7541761525


266.116.06311.332561.443216427.93660.0227

2413.710.7467.289792.222224657.25820.0226

2226.87.46670.2413132.275835366.30860.0215

2031.76.8735.2941145.114338798.92090.0211

1837.26.05826.4463163.103743608.70450.0196

16405.83857.6329169.258545254.3160.0196

Hoja1

0

0

0

0

0

0


ln(Q)

ln(hf)


Hoja2

0

0

0

0

0

0

Re

Cf

Cf vs Re

Hoja3

_1238780705.xlsGrfico10

0.9780261187

0.7314554436

0.3964716606

1.0649264432

0.9386568339

1.0175666645

Re

K

K vs Re

Hoja1

2.85000.3509

5000.0000

1.9050

355.00000.0028

P (Psi)Dh (cm H2O)Tiempo (seg)Q (cm3/s)Velocidad (cm/s)ReKe/D

0.070926114.1354.609944.789314969.01640.97802611870.0004984843

0.1037241.69.64518.672265.511221894.51560.73145544360.000233007

0.1364221.57.33682.128286.156728794.42440.39647166060.0001347168

0.1458204.66.86728.86392.059530767.22021.06492644320.0001179948

0.1698185.55.89848.8964107.220435834.14780.93865683390.0000869852

0.1745166.35.73872.6003110.214436834.75231.01756666450.0000823234

1.80828877125.7408614729

2.61739583286.1469494079

3.28840188756.5076377968

3.45631668096.6002705552

3.61630876136.7171349424

3.68887945416.7541761525


266.116.06311.332561.443216427.93660.0227

2413.710.7467.289792.222224657.25820.0226

2226.87.46670.2413132.275835366.30860.0215

2031.76.8735.2941145.114338798.92090.0211

1837.26.05826.4463163.103743608.70450.0196

16405.83857.6329169.258545254.3160.0196

Hoja1

0

0

0

0

0

0


ln(Q)

ln(hf)


Hoja2

0

0

0

0

0

0

Re

Cf

Cf vs Re

Hoja3

0

0

0

0

0

0

Re

K

K vs Re

_1238780244.xlsGrfico11

0.5560437604

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0.4093422028

0.4347341689

Re

K

K vs Re

Hoja1

2.85000.3509

5000.0000

1.9050

355.00000.0028

P (Psi)Dh (cm H2O)Tiempo (seg)Q (cm3/s)Velocidad (cm/s)ReKe/D

0.0595260.416.81297.44237.568612555.80790.55604376040.0007085165

0.0952240.810.5476.190560.145620101.25050.43389162430.0002764345

0.1264221.37.91632.111379.839226683.07590.40013818890.00015688

0.1471201.86.8735.294192.871831038.69570.40945274060.0001159397

0.1626182.26.15813.0081102.687534319.20830.40934220280.0000948342

0.1715162.65.83857.6329108.323936202.93840.43473416890.0000852219

1.80828877125.7408614729

2.61739583286.1469494079

3.28840188756.5076377968

3.45631668096.6002705552

3.61630876136.7171349424

3.68887945416.7541761525


266.116.06311.332561.443216427.93660.0227

2413.710.7467.289792.222224657.25820.0226

2226.87.46670.2413132.275835366.30860.0215

2031.76.8735.2941145.114338798.92090.0211

1837.26.05826.4463163.103743608.70450.0196

16405.83857.6329169.258545254.3160.0196

Hoja1

0

0

0

0

0

0


ln(Q)

ln(hf)


Hoja2

0.9780261187

0.7314554436

0.3964716606

1.0649264432

0.9386568339

1.0175666645

Re

Cf

Cf vs Re

Hoja3

0

0

0

0

0

0

Re

K

K vs Re


0.2937850493

0.3312308387

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0.3566415233

0.3886410897

0.3791528949

Re

Cf

Cf vs Re

Hoja1

2.85000.3509

5000.0000

1.9050

355.00000.0028

P (Psi)Dh (cm H2O)Tiempo (seg)Q (cm3/s)Velocidad (cm/s)ReCfe/D

0.096526.000035.100010.3600482.6255169.342333957.53150.29380.0768452991

0.122724.000050.70008.1500613.4969215.262143165.64740.33120.0681579049

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0.160816.000081.90006.2200803.8585282.055656559.48980.37920.0595432616

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2.61739583286.1469494079

3.28840188756.5076377968

3.45631668096.6002705552

3.61630876136.7171349424

3.68887945416.7541761525


266.116.06311.332561.443216427.93660.0227

2413.710.7467.289792.222224657.25820.0226

2226.87.46670.2413132.275835366.30860.0215

2031.76.8735.2941145.114338798.92090.0211

1837.26.05826.4463163.103743608.70450.0196

16405.83857.6329169.258545254.3160.0196

Hoja1

0

0

0

0

0

0


ln(Q)

ln(hf)


Hoja2

0

0

0

0

0

0

Re

Cf

Cf vs Re

Hoja3


3.0492730405

3.36729583

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3.8712010109

4.3820266347


ln(Q)

ln(hf)


Hoja1

7.91730.1263

5000.0000

3.1750

355.00000.0028


0.057726.000013.208017.3200288.683636.462412186.09300.17430.0007521595

0.093624.000033.020010.6800468.164859.131919762.46540.16570.0002859939

0.138922.000056.13407.2000694.444487.712329314.32370.12800.0001299808

0.131920.000059.43607.5800659.630683.315127844.74020.15030.0001440631

0.161818.000079.24806.1800809.0615102.189134152.61020.13320.0000957615

0.160516.000089.15406.2300802.5682101.368933878.51220.15220.0000973174

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24808.13615.0062215.791643271.8360.0181

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Hoja1

0

0

0

0

0


ln(Q)

ln(hf)


Hoja2

Hoja3


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6.1181522626

6.3699711858

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ln(Q)

ln(hf)


Hoja1

7.91730.1263

5000.0000

3.1750

355.00000.0028


0.057726.000013.208017.3200288.683636.462412186.09300.17430.0007521595

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Hoja1

0

0

0

0

0

0


ln(Q)

ln(hf)


Hoja2

Hoja3


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3.4563166809

3.6163087613

3.6888794541


ln(Q)

ln(hf)


Hoja1

7.91730.1263

5000.0000

3.1750

355.00000.0028


0.057726.000013.208017.3200288.683636.462412186.09300.17430.0007521595

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3.61630876136.7171349424

3.68887945416.7541761525


266.116.06311.332561.443216427.93660.0227

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Hoja1

0

0

0

0

0

0


ln(Q)

ln(hf)


Hoja2

Hoja3

_1238778388.unknown

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