Lgica de primer orden (I)

Lorenzo Mandow, Ezequiel Lpez-Rubio y Enrique Domnguez

Depto. de Lenguajes y Ciencias de la Computacin

Universidad de Mlaga

Contenidos

6.1 Motivacin

6.2 Sintaxis

6.3 Semntica

1. Motivacin

La lgica proposicional no es concisa cuando hay muchos objetos.

Tampoco permite ciertos razonamientos. Por ejemplo:

Todos los hombres son mortales Thm

Scrates es hombre Sh

Scrates es mortal Sm

no es un argumento vlido en lgica proposicional.

1. Motivacin

La lgica de primer orden es ms expresiva:

Analiza la estructura de las oraciones (sujeto y predicado, o en general, predicado y objetos sobre los que predica).

Ej. Scrates es hombre

6 es divisible por 2

El sucesor de 5 es divisible por 2

Considera la posibilidad de objetos genricos (variables) y los conceptos de todo y alguno (cuantificadores)

Ej. Todos los hombres son mortales

Contenidos

6.1 Motivacin

6.2 Sintaxis

6.3 Semntica

2. Sintaxis

Los elementos sintcticos bsicos de la lgica de primer orden son: smbolos de constante, funcin y predicado. Comenzarn siempre con mayscula.

Cada funcin o predicado tiene una aridad fija.

Representaremos a las variables mediante cualquier cadena alfanumrica que empiece por minscula.

2. Sintaxis

S tomo

S | (SS) | (SS) | (SS) | (SS)

Esta parte es igual que en lgica proposicional, pero ahora los tomos tienen estructura

2. Sintaxis

Trmino Variable | Constante | Funcin (Trmino*)

tomo Predicado(Trmino*) | Trmino = Trmino

S tomo

S | (SS) | (SS) | (SS) | (SS)

por ltimo, aadimos los cuantificadores sobre variables.

2. Sintaxis

Trmino Variable | Constante | Funcin (Trmino*)

tomo Predicado(Trmino*) | Trmino = Trmino

S tomo

S | (SS) | (SS) | (SS) | (SS)

Variable S

Variable S

Contenidos

6.1 Motivacin

6.2 Sintaxis

6.3 Semntica

6.3 Semntica

Recordemos: En la lgica proposicional: 1. Cada proposicin puede ser verdadera o falsa. 2. Una interpretacin asigna valores de verdad a las

proposiciones atmicas 3. El valor de verdad de las proposiciones compuestas

se compone a partir de los valores de las proposiciones atmicas, siguiendo las reglas semnticas de las conectivas lgicas.

6.3 Semntica

En lgica de primer orden:

1. Debemos establecer un dominio de objetos del mundo real.

2. Una interpretacin establece una correspondencia entre:

1. Las constantes y los objetos del dominio. 2. Los predicados y las relaciones entre dichos objetos. 3. Las funciones y las funciones sobre dichos objetos.

6.3 Semntica

Cada trmino se refiere a un objeto del dominio, y su semntica viene determinada por la interpretacin.

Una expresin atmica es verdadera, si la relacin a que hace referencia el predicado es cierta entre los objetos del dominio a los que hacen referencia sus argumentos.

El valor de verdad de las expresiones compuestas mediante conectivas lgicas, se compone a partir de los valores de las expresiones atmicas (igual que en la lgica proposicional).

6.3 Semntica

Una frmula cuantificada universalmente x P es verdadera, si P sigue siendo verdadera tras

interpretar que x se refiere a cada uno de los objetos del dominio.

Una frmula cuantificada existencialmente x P es verdadera si P es verdadera para al menos una

interpretacin de x como un objeto del dominio.

6.3 Semntica

Los cuantificadores se pueden anidar. Si combinamos existenciales con universales, el orden es muy importante:

Todo el mundo ama a alguien: x y Loves(x,y)

Existe alguien que es amado por todo el mundo: y x Loves(x,y)

Reglas de De Morgan para frmulas cuantificadas:

x P x P

x P x P

6.3 Semntica

Usaremos el predicado de igualdad = para indicar que dos trminos se refieren al mismo objeto Si queremos expresar que el objeto al que se

refiere Father(John) y el objeto al que se refiere Henry son el mismo, escribimos:

Father(John)=Henry

Ricardo tiene al menos dos hermanos:

x,y Brother(x,Richard) Brother(y,Richard) (x=y)

6.3 Semntica (Ejemplo)

Dominio: El rey Ricardo Corazn de Len; su hermano menor, el

malvado rey Juan; las piernas izquierdas de Ricardo y Juan; y una corona (en total 5 objetos)

Relaciones: Hermandad={, } Sobre la cabeza={}

Funciones: Pierna izquierda={ La pierna izquierda de Ricardo, La pierna izquierda de Juan }

6.3 Semntica (Ejemplo) Smbolos de constante: Richard, John

Smbolos de predicado: Brother, OnHead, Person, King, Crown

Smbolo de funcin: LeftLeg

Una posible interpretacin (entre otras muchas) : Richard se refiere a Ricardo Corazn de Len y John se refiere al

malvado rey Juan

Brother se refiere a la relacin de hermandad; OnHead se refiere a la relacin sobre la cabeza; Person, King y Crown se refieren a los conjuntos de objetos que son personas, reyes y coronas, respectivamente

LeftLeg se refiere a la funcin pierna izquierda

6.3 Semntica (Ejemplo)

6.3 Semntica (Ejemplo)

Ejemplos de trminos:

Richard

LeftLeg(John)

LeftLeg(LeftLeg(Richard)) (!)

Ejemplos de tomos:

Brother(Richard,John) Person(LeftLeg(Richard))

6.3 Semntica (Ejemplo)

Ejemplos de frmulas compuestas con conectivas lgicas (todas ellas son verdaderas en nuestro ejemplo de modelo bajo la interpretacin considerada anteriormente): Brother(LeftLeg(Richard),John) Brother(Richard,John) Brother(John,Richard) King(Richard) King(John) King(Richard) King(John)

6.3 Semntica (Ejemplo)

Todos los reyes son personas: x King(x) Person(x) (correcto)

x King(x) Person(x) (error!)

El significado de la segunda expresin es:

Todos los objetos son reyes y personas

6.3 Semntica (Ejemplo)

El rey Juan tiene una corona sobre su cabeza : x Crown(x) OnHead(x,John) (correcto)

x Crown(x) OnHead(x,John) (error!)

El significado de la segunda expresin es:

Existe un objeto que o no es una corona o est sobre la cabeza del rey Juan