Forma, Espacio y Medida

Geometra y Medicin 1

Parte I La enseanza

de las matemticas: el papel del anlisis

de videos y de los libros de texto

Los once volmenes que conforman la serie Matemticas para la Educacin Normal fueron diseados para que los alumnos aprendan a aprender matemticas y desarrollen habilidades para extender sus conocimientos por s mismos. Para la consecucin de ese ambicioso propsito, se adopt la resolucin de problemas como un mtodo para que los alumnos desarrollaran su pensamiento matemtico y cultiva-ran habilidades para comunicar ideas matemticas. Los vi-deos a los que se hace referencia, proporcionan ejemplos de lo que consideramos un apropiado e innovador acercamiento a la enseanza de las matemticas.

Geometra y Medicin2

Qu es el Estudio de ClasesEl Estudio de Clases es un mtodo que se aplica en el trabajo colaborativo entre maestros que se renen para planear, po-ner en prctica y observar crticamente el proceso de ense-anza/aprendizaje en el aula. Dicho sucintamente, el Estudio de Clases es un estudio sistemtico para mejorar la prctica docente y la calidad de los aprendizajes de los alumnos. En el proceso de planear una clase, los maestros determinan el propsito que en ella se quiere lograr mediante un anlisis profundo del contenido de enseanza, enfocndose de ma-nera especial en lo que se pretende que aprendan los alum-nos. En la implementacin de la clase los maestros siguen estrictamente el plan que se dise y los observadores ana-lizan lo que ocurre en la clase en el marco de los propsitos de aprendizaje que se determinaron. Despus de la clase los maestros discuten con detalle las observaciones que se hicieron, hacen los ajustes correspondientes y lo sujetan a nuevas sesiones de observacin hasta lograr que los alum-nos muestren que han alcanzado de forma satisfactoria los propsitos de aprendizaje que se plantearon.

El Estudio de Clases se propone mejorar la enseanza por medio de la innovacin, no se centra en la crtica del des-empeo del maestro porque el plan de clase fue elaborado colegiadamente, no por un slo maestro. An siendo err-nea la conduccin del proceso de enseanza por parte del maestro, lo prioritario es lograr el propsito de aprendizaje, si ste no se alcanz, lo conducente es revisar de forma minuciosa el plan de clase, buscar alternativas y, colegiada-mente, hacer los ajustes del caso. En el Estudio de Clases se asume la premisa de que el conocimiento profesional de los maestros se enriquecer si tienen la disposicin para reunirse y discutir cmo generar mejores alternativas para lograr un propsito compartido.

En el Estudio de Clases tiene lugar un proceso de evalua-cin, pero no se centra en el desempeo del maestro que imparti una clase que fue observada, se enfoca en el logro del propsito de aprendizaje de la clase y el plan para lle-varla a cabo en el aula. En este sentido, la evaluacin tiene como finalidad mejorar el conocimiento profesional de los maestros y obtener ptimos aprendizajes de los alumnos. El concepto de Estudio de Clases sera sensiblemente distor-sionado si se entendiera como un instrumento para evaluar el desempeo del maestro.

Para preparar las sesiones del Estudio de Clases se invita a un destacado educador para que exponga los aspectos teri-cos; su exposicin se dirige a docentes en servicio, a futuros docentes y a sus maestros con la finalidad de construir cole-giadamente un marco conceptual que oriente las siguientes fases del Estudio de Clases. Los participantes ponen en juego lo mejor de su conocimiento profesional para formular pregun-tas orientadas a la definicin de los propsitos de la clase y las estrategias de enseanza para lograrlos. El conocimiento bsico que se requiere para participar en esas reuniones, est contenido en la parte IV de este volumen.

Actividades

Observa y discute el video Planificacin de las Clases, Profe-sor Takao Seiyama, Segundo Grado.www.dgespe.sep.gob.mx/sites/default/files/tc/capsula_JICA.zip

1. Observa el video del minuto 11:53 al 13:34. Toma nota de lo que est escrito en el pizarrn y discute su contenido con tus compaeros.2. Observa el video del minuto 13:34 al 15:03. El profesor Sei-yama us la expresin las matemticas son la ciencia de los patrones. Discute con tus compaeros qu es lo que quiso decir con esa expresin.

3. Observa el video del minuto 15:03 al 16:46. El profesor Ho-somizu cruz sus manos refirindose a algo ( 15:38 ). Qu es lo que quera explicar con ese gesto? 4. Observa el video del minuto 16:07 al 16:34. El profesor Sei-yama describi la secuencia de enseanza que haba dise-ado y los aprendizajes que espera que logren sus alumnos. Con base en esa descripcin explica su plan de enseanza y el propsito de la clase empleando tus propias palabras.5. Al inicio del video algunos nios se expresaron acerca del profesor Seiyama. Por qu los alumnos quieren a su profe-sor? Puedes explicar su respuesta a partir de la forma en que l prepara la clase?

Reflexiones adicionalesEl profesor Seiyama est planeando una clase cuyo propsito es que los alum-nos encuentren las reglas ocultas en la realizacin de ciertas operaciones (regularidades). En la se-cuencia de enseanza est considerando los ca-sos cuando la diferencia es 1, 2, 3 l considera que su plan de clase ser exitoso si los alumnos pueden explicar lo que ocurrir cuando la diferencia es 9 y est ansioso por realizar la clase y probar sus hiptesis. Cuando el profesor Seiyama explicaba lo anterior, el profesor Hosomizu hizo el gesto de cruzar sus manos. Con ese gesto sugiri lo que haran los nios cuando intenten encontrar el patrn.


Actividades

Ubica la seccin del video titulada: Seguimiento de clase/Observacin.1. Observa el video del minuto 16:49 al 17:37. Identifica la manera en que el profesor Seiyama presenta el problema (17:27) y explica su intencin y el propsito de su actividad de enseanza.2. Observa el video del minuto 17:38 al 18:08. El profesor em-pez la clase con el caso donde la diferencia es 3. As lo pla-ne originalmente? Explica por qu empez con este caso considerando lo que se muestra en el minuto 18:00.3. Observa el video del minuto 18:08 al 19:01. En el minuto 18:34 un nio dijo: Seor Seiyama, hay algo mal en las respuestas. Por qu dijo ese nio hay algo mal en las respuestas y mu-chos de sus compaeros estaban de acuerdo con l?4. Observa el video del minuto 19:01 al 19:40. Despus del caso donde la diferencia es 5, un nio dijo: si en el caso donde la diferencia es 1 (20:14). En qu se bas para decir eso?5. Al inicio del video los nios se expresaron acerca del pro-fesor Seiyama. Por qu quieren a su profesor? Por qu les gusta la clase de matemticas? Puedes explicar su respues-ta a partir de lo que has observado de la clase hasta ahora?

Reflexiones adicionales

El profesor Seiyama cambi su secuencia original para ini-ciar con el caso donde la diferencia es 3. No esperaba que los nios reordenaran las respuestas que daban, que eso les ayudara a encontrar el patrn y que desarrollaran por s mismos otros ejemplos. Por qu pudieron hacer eso los nios? Puedes encontrar una respuesta plausible al estudiar posteriormente la parte IV de este libro donde se analizan las lecciones sobre la resta.

Con base en lo que el profesor Hosomizu expres al cruzar sus manos, el profesor Seiyama comprendi que el orden es la clave para encontrar el patrn. Al observar el video se puede constatar que los nios se dieron cuenta que ordenar los casos es importante para encontrar el patrn.

Otro aspecto que es importante considerar es que los ni-os disfrutaron la clase y valoraron el esfuerzo de su profe-sor para conducirlos en el mundo de las matemticas. Esto muestra algo que es obvio, pero que con frecuencia se olvi-da: el primer paso para que los alumnos disfruten en la clase de matemticas es que entiendan lo que estn haciendo.

Actividades

Ubica en el video la seccin: Evaluacin y reflexin sobre la clase.

1. Observa el video del minuto 20:14 al 22:30. Discute con tus compaeros y tu profesor cul es la dificultad que presentan las actividades que se emplearon en la clase y por qu es me-jor iniciar con el caso donde la diferencia es 3, que cuando la diferencia es 1.

2. Observa el video del minuto 22:30 al 23:26. El profesor Tsu-bota hizo importantes observaciones acerca del propsito de aprendizaje. Cul fue el propsito de aprendizaje que pro-puso el profesor Tsubota?3. Al inicio del video los nios se expresaron acerca del pro-fesor Seiyama. Por qu quieren a su profesor? Por qu les gusta la clase de matemticas? Puedes explicar su respues-ta a partir de lo que has observado de la clase hasta ahora?

Reflexiones adicionalesEn la discusin de la clase hubo dos intervenciones que

destacaron. La primera fue la del profesor Hosomizu, l es-tuvo de acuerdo con el propsito planteado por el profesor Seiyama, pero argument que debi empezar con el caso donde la diferencia es 1 porque es ms sencillo. El profesor Seiyama contra argument explicando que, an siendo ms difcil, el caso donde la diferencia es 3 es mejor para iniciar, porque condujo a los nios a ordenar las operaciones, as-pecto que les ayud a identificar el patrn. Por consiguiente, consider que los casos donde la diferencia es 1 o 2 no son los ms apropiados.

La segunda intervencin estuvo a cargo del profesor Tsu-bota, quien fue ms crtico. l no estaba de acuerdo con la forma en que el profesor Seiyama condujo la actividad para lograr el propsito de la clase. Argument que la clase fue exitosa porque los nios ya saban de la importancia de ordenar los casos, eso lo aprendieron en el primer grado. Recomend al profesor Seiyama que si el propsito es que todos los nios encontraran el patrn, debi problematizar la situacin de manera que los alumnos aprendan cmo encon-trarlo, no a que lo logren porque eventualmente uno de ellos observ que las operaciones estaban desordenadas. Indic que si hubiera iniciado con el caso donde la diferencia es 5, el profesor podra decir al grupo que escogera a cinco alum-nos al azar para que escribieran cada uno una respuesta en el pizarrn, que as sera muy probable que las respuestas estuvieran en desorden, e incluso que algunas se repitieran. Esto inducira en los nios la necesidad de ordenar las opera-ciones y observar la regla oculta que trataban de encontrar: si agregas 1 al minuendo y al sustraendo la diferencia no cambia. Esta es una propiedad importante de la resta.

Volviendo al asunto de por qu les gusta a los nios la forma en que ensea el profesor Seiyama, una respuesta plausible es porque l acude a lo que los nios han aprendido previa-mente y esto les permite aplicar lo que saben para entender las ideas nuevas. Entender siempre es estimulante.

Geometra y Medicin4

Por qu los nios pudieron decir hay algo que est mal?

El potencial de un libro de texto bien secuenciado.

El desarrollo de esta seccin se orientar por la siguiente pregunta:por qu el profesor Seiyama pensaba que los ni-os encontraran el patrn?

1) Un ao antes, cuando esos nios estaban en primer gra-do, el profesor Seiyama trabaj con ellos jugando con las tarjetas de la suma. Cada tarjeta tiene en una cara una suma y en la otra, el resultado.

En esa clase se dio un interesante intercambio de preguntas y respuestas entre el profesor y los nios. Al final de esta secuen-cia de enseanza los nios contestaron: detrs del 4 est 2+2, 3+1 y 1+3, en ese orden, 1+3 al ltimo. Podemos decir que los nios estaban considerando el orden en ese momento?

2) El profesor Seiyama pregunt a los nios cul de las res-puestas 2+2, 3+1 o 1+3 debera ir primero en la tarjeta 4. Entonces los nios comenzaron a reconocer que hay un orden en las tarjetas y explicaron por qu 1+3 debera ir primero en la tarjeta del 4. Encontraron esto observando verticalmente el arreglo y explicaron que primero deben ir las respuestas donde los sumandos empiezan con 1, despus con 2 y finalmente los que empiezan con 3. Posteriormente les pidi que en-contraran otras maneras para explicar usando el arreglo 1+1, 1+2 y 2+1 que tenan en el pizarrn. Entonces ellos usaron los trminos horizontalmente y simtricamente.

3) La clase continu con pregun-

tas y respuestas similares hasta llegar al caso de la tarjeta con el 6: 1+5, 2+4, 3+3 y 4+2, sin embargo, les faltaba la tarjeta con 5+1. Entonces el profesor Seiyama les pregunt por qu no haban incluido la tarjeta 5+1.

Actividades

Explica cmo pudo haber sido la explicacin que dieron los nios para responder esa ltima pregunta.

Reflexiones adicionalesEn esta clase los nios no intentaron ordenar las tarjetas,

ellos slo contestaron que para la tarjeta con el 4 las sumas eran 2+2, 3+1 y 1+3. Debido a la secuencia de pregun-tas que les hizo el profesor, los nios fueron identificando el orden de las tarjetas con la ayuda de los patrones que obser-vaban en el pizarrn. Las tres formas de explicacin que ellos formularon estn relacionadas con los patrones verticales, horizontales y diagonales que se observan en la imagen. Los nios relacionaron el arreglo diagonal con simetra y expre-saron que todos los arreglos presentan una bella estructura. El profesor Seiyama les dio tarjetas en blanco despus de que reconocieron el patrn. Usando estas tarjetas pudieron explicar la estructura siguiendo los patrones que visualiza-ban. Los nios mostraron que haban entendido cmo exten-der los patrones, pero no el orden. En trminos del Estudio de Clases, la atencin estaba enfocada en cmo inducir la idea de orden mediante el arreglo de las tarjetas.

El video nos permite afirmar que el profesor Seiyama logr que los alumnos apreciaran la belleza del patrn y que razo-naran para encontrarlo mediante un arreglo ordenado de las tarjetas. Vale la pena destacar que los hallazgos del profesor Seiyama fueron incorporados en los libros de texto, esto se muestra en las figuras 1, 2 y 3 (pg. 42, Tomo I y pgs. 88 y 89,Tomo II, Vol.1 de Matemticas para la Educacin Normal). El profesor Seiyama pronostic que si los alumnos usan esos libros de texto, seguramente aprendern a arreglar las tarjetas para encontrar la propiedad de la resta que podemos enunciar de manera general como sigue: a-b=a+c-(b+c), donde a, b y c son nmeros enteros.


Esta generalizacin es la conclusin a la que puede llegar-se al identificar el patrn propuesto para que los alumnos encontraran en esas lecciones. Con esta finalidad, en el libro de primer grado (Tomo I) se dedican cuatro lecciones para que los alumnos trabajen con tarjetas y aprendan las venta-jas de ordenarlas, en el segundo grado (Tomo II) se dedica una leccin que culmina con la propiedad antes mencionada para el caso particular a-b=a+1-(b+1). El profesor Seiyama construy la secuencia de las preguntas que se incluyen en esas lecciones con el apoyo de las observaciones generadas durante el Estudio de Clases y los ajustes que hizo a su plan de clase con base en ellas. Considerando lo antes expues-to, podemos afirmar que el tipo de trabajo en el aula que se realiz previamente es la principal razn por la cual los nios fueron capaces de identificar el patrn que se buscaba.

Fig.1

Fig. 2

Fig. 3

Geometra y Medicin6


Parte II Aprendiendo a aprender

matemticas

Si leemos los Tomos I a VI y establecemos las relaciones correspondientes entre los temas tratados en los distintos grados, es posible observar que se repiten ms de una vez ciertas secuencias de enseanza. Como veremos a conti-nuacin, esas secuencias tienen el propsito de ayudar a los alumnos a que aprendan por s mismos.

Hay tres propsitos centrales en la educacin matemtica de la escuela primaria en Japn: el primero, es promover el desarrollo de destrezas que son tiles para la vida diaria, y consiste en las destrezas matemticas mnimas para enten-dernos con los dems. El segundo, es propiciar el desarrollo del pensamiento matemtico, el cual ser til en la construc-cin de nuevos conocimientos y en la habilidad para formu-lar generalizaciones; este propsito est relacionado con el desarrollo de formas innovadoras para vivir. El tercer prop-sito se refiere a cultivar valores y actitudes para la vida. En las secciones de Geometra y Medicin (parte IV y V) se enfocan en el primer propsito. En la presente seccin nos referiremos al segundo y tercer propsitos en el marco de las actividades de enseanza que se presentan en los Tomos I a VI de la serie Matemticas para la Educacin Normal.

Geometra y Medicin8

Cmo podemos saber si los nios estn aprendiendo por s mismos?

Si los nios tienen el deseo de aprender ya estn en el um-bral para empezar a aprender a aprender matemticas por s mismos; de forma ms especfica, si han desarrollado la curiosidad intelectual que los conduce a hacer preguntas que van ms all de lo que muestra el material de enseanza o el profesor, si pueden formular conjeturas y buscan formas para validarlas, si se entusiasman cuando el profesor pregunta: de qu otras maneras podemos hacerlo?.

Para responder preguntas como esas los nios necesitan con-frontar en varias ocasiones tareas como las mencionadas en los renglones anteriores. Por ejemplo: si los alumnos han percibido a travs de su experiencia escolar que las matemticas son la ciencia de los patrones y que la actividad matemtica usual-mente est relacionada con la formulacin de generalizaciones, seguramente cultivarn el hbito de buscar regularidades que los conduzcan a proponer una generalizacin.

Los videos del profesor Seiyama muestran que es posible propiciar que los nios desarrollen su pensamiento matem-tico, como el que exhibieron al decir que es necesario orde-nar las operaciones aritmticas en la bsqueda de un patrn. Si usamos libros de texto bien secuenciados y el profesor entiende el objetivo de aprendizaje, es posible desarrollar competencias asociadas a los grandes propsitos de la edu-cacin matemtica: actitudes favorables, emplear herramien-tas para el pensamiento y aplicar destrezas matemticas.

Exploracin del entorno desde la perspectiva de las matemticas:

reificacin y comprensin

Actividades

1. Qu similitudes presentan las pginas 14, 44 y 56 del Tomo I de la serie?2. Por qu crees que el Tomo I contiene lecciones con esas similitudes?3. Puedes encontrar ms ejemplos como estos en los otros tomos de la serie?

Reflexiones adicionalesEn las pginas 14, 44 y 56 (Figs.1,2 y 3) se pide a los nios que dibujen para hacer libros de matemticas usando sus propias ideas. Esta actividad propicia que los alumnos del primer grado desarrollen habilidades para ver el mundo real desde las matemticas mediante la elaboracin de dibujos que usan para expresar apropiadamente sus ideas.

Fig.1

Fig. 2


En la pgina 44 los nios viven su primera experiencia a este respecto. Es conveniente que la tarea sea introducida por el profesor, de antemano se sabe que a los nios les gustar porque se trata de hacer dibujos y que disfrutarn presentando su trabajo al resto de sus compaeros. La opor-tunidad de ver y discutir el trabajo que hicieron los dems propicia que se genere una actitud de respeto entre ellos y esto los estimula para enfrentar exitosamente nuevos retos. Este es un mtodo bsico para que se comprendan y respe-ten unos a otros en el saln de clases, para que aprendan a escuchar a los dems y para que aprendan cmo actuar para ser escuchados.

En la pgina 44 el profesor empieza la clase recordando lo que han aprendido. Si los nios disfrutaron el trabajo que hicieron en la pgina 14, la pgina 44 les ser ms fcil por-que es su segunda experiencia. Entonces el profesor puede centrar su atencin en las expresiones que usan los nios, por consiguiente, ellos recrean las dos formas de abordar la suma que se resaltan en esa leccin. Si los nios aprendie-ron y disfrutaron del trabajo en las pginas 14 y 44, la acti-vidad de la pgina 56 les ofrecer una tercera oportunidad que tambin disfrutarn. Si el profesor hace un breve repaso de la pgina 44, seguramente los nios querrn hacer por s mismos la actividad de la pgina 56.

Esta secuencia se plane para ensearles a ver el mun-do en que viven relacionndolo con las matemticas y pro-piciar que asignen significados a los objetos matemticos. Con base en esos significados los nios encuentran cmo y dnde aplicar las matemticas que aprenden en la escuela.Esto se conoce como reificacin de sus conocimientos ma-temticos (Estndares curriculares, Japn, 1947). Podemos encontrar tareas similares despus de la multiplicacin, en el Tomo II, Vol. 2, y despus de la primera seccin sobre la divisin, en el Tomo III, Vol. 2.

El mundo de las matemticas:

belleza, simplicidad, precisin, eficiencia y generalizacin

Actividades

1. Qu similitudes se observan en las pginas 42, 52, 82 y 92 del Tomo I?2. Por qu crees que se incluy el contenido de esas pgi-nas en el Tomo I?3. Puedes encontrar otros ejemplos de ese tipo de actividades en los dems tomos de la serie?

Reflexiones adicionalesLos asuntos que discutiremos aqu son similares a los que abordamos en la seccin Aprendiendo a aprender mate-mticas. En la tarea 1 de la pgina 42 (Fig.4), se pide a los nios que recuerden las respuestas de ciertas sumas, en la tarea 2 se busca que los nios desarrollen destrezas para calcular eficientemente; y en la tarea 3 se pide a los nios que encuentren regularidades. Estas actividades se enmar-can en la hiptesis de que si los nios desarrollan destrezas para sumar de forma eficaz, entonces podrn apreciar la belleza de la estructura de la suma, de las formas equiva-lentes en que pueden expresar una suma y su resultado. En la pgina 52 aplican lo que han aprendido acerca de la suma para confrontar la operacin de restar. Debemos notar que en estas actividades se muestra que la suma y la resta no dependen de las estructuras matemticas que pue-den observarse en los arreglos de las tarjetas, razn por la cual los nios pueden extender los patrones que vieron en la pgina 42 y aplicar esos conocimientos en las actividades de la pgina 82. Los nios aprenden aqu que el mundo de las matemticas se puede extender y usan esa extensin en la pgina 92.

Fig.3

Fig. 4

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Dnde podemos ver actividades similares en los dems tomos?

En la leccin Multiplicacin 2, del Tomo II, Vol. 2, en cada fila de la tabla de multiplicar hay una tarea que realizar con las tarjetas de la multiplicacin. Esto conlleva el propsito de que los alumnos memoricen los resultados, como se hizo en los casos de la suma y la resta. Tambin en la pgina 21 hay un juego con tarjetas para desarrollar destrezas en el manejo de esta operaciones. En la pgina 24 (Fig. 1) hay una tabla de multiplicacin que los nios construyen usando la propiedad distributiva de la multiplicacin, ah se sugiere que la fila del 3 ms la fila del 2 da por resultado la fila del 5. Si los nios identifican esta estructura podrn construir por s mismos las filas de la tabla de multiplicacin ms all de la del 5. Esta extensin en el conocimiento de las tablas de multiplicar a partir de la fila del 6 ser reconocida por los nios y confirmar sus expectativas sobre este tipo de actividades. En la leccin Multiplicacin 4 se presenta el mundo de la tabla de la multiplicacin. La imagen de la pgina 40 (Fig.2) muestra la tabla simulada con monedas apiladas. El centro de gravedad de la pila de monedas es el centro de la tabla (55); entonces el peso total de las monedas es 2581. Si analizas cada fila se puede entender cmo calcular el peso de las monedas. Los nios podrn apreciar la belleza de la estructura de la tabla de multiplicar si los guiamos para que la identifiquen.

Actividades

Encuentra un tratamiento similar para la divisin en el Tomo III y describe la belleza de la estructura que en ella se observa.

Al revisar esas lecciones en los Tomos II y III se podr apreciar a qu nos referimos con la expresin el mundo de las mate-mticas. Es un error pensar que el estudio de las matemticas debe empezar con el anlisis de situaciones del mundo real para modelarlas matemticamente. Para que los nios aprecien la existencia del mundo de las matemticas, las situaciones ma-temticas son un mejor contexto que las situaciones del mundo real, porque es en las estructuras matemticas donde se pueden identificar regularidades (patrones) que de manera natural indu-cen procesos de generalizacin, esto es lo que permite extender el conocimiento matemtico y estar mejor preparado para com-prender dnde y cundo es necesario aplicarlo en situaciones del mundo real. Este tipo de habilidades son el paso previo a lo que en matemticas se conoce como modelacin.

Fig.1

Fig.2


Aprendiendo matemticas a partir de una situacin especfica:desarrollo del conocimiento

matemtico con comprensin

Actividades

Compara la secuencia de actividades en la leccin Suma (1), del Tomo I, con la secuencia en la leccin Resta (1) en ese mismo Tomo. Qu similitudes observas? Puedes encontrar otros ejemplos de esto en los otros Tomos?

Reflexiones adicionalesLa discusin es muy parecida a la de la seccin anterior. La se-cuencia de enseanza en la leccin Resta (1) es la misma que en las lecciones Suma (1), Suma (2) y Resta (2).

hicieron en el captulo 2); por esto los nios no encuentran difcil hacer la traduccin entre bloques y expresiones mate-mticas. Sin embargo, es necesario que el maestro se ase-gure que los nios aprendan cmo trabajar con los bloques, de otra manera muchos nios todava sumarn contando uno por uno.

Si el profesor se limita a que los nios realicen las actividades de esas pginas contando uno por uno los elementos a sumar, no aprovecharn la oportunidad de aprender cmo traducir entre las dos formas de representacin que hemos mencionado. En ese caso no estn aprendiendo a sumar, slo estarn contando. La tarea 3 de la pgina 37 (Fig. 4) es la primera en que se pide a los nios que calculen usando una expresin matemtica, podrn completar fcilmente esta actividad si entendieron cmo compo-ner y descomponer los nmeros en el Captulo 2; si no, tendrn que traducir entre la tarea y la situacin usando los bloques.

A continuacin analizaremos la secuencia de enseanza de la leccin Suma (1).

La leccin de la pgina 34 (Fig. 1) se inicia pidiendo a los nios que describan verbalmente la situacin que observan. En la pgina 35 (Fig. 2) se pide que describan la situacin verbalmente y que despus la representen usando los bloques que se les proporcionan. La opera-cin con bloques como dos conjuntos es una representa-cin de las acciones de componer y descomponer nme-ros que iniciaron en el Captulo 2.

En la pgina 36 (Fig.3) la situacin de operar con bloques se representa tambin mediante una expresin matemtica; es hasta esta pgina que se induce cmo representar me-diante una expresin matemtica las situaciones que han representado usando bloques. Aqu se les est enseando a los nios cmo traducir de una forma de representacin a otra. Debido a que la situacin se ubica en un contexto sig-nificativo para los nios, ellos manejan los nmeros como conjuntos que pueden componer y descomponer (como lo

Fig.1 Fig.2 Fig.3

Fig.4


En la pgina 37 del Tomo I se pide a los nios que propon-gan un problema a partir de una situacin que se les da. En esa leccin puede observarse una secuencia de enseanza como la siguiente:

En la leccin Suma (1) se repite esta secuencia una vez ms. Es hasta la pgina 38 (Fig. 1) que los nios abordan la situacin poner todos juntos, en la pgina 39 los nios con-frontan la suma en la situa-ciones del tipo agregar.

En lo que sigue analizare-mos la leccin Resta (1) y discutiremos cmo propiciar que los nios desarrollen habilidades para explorar el contenido matemtico en

contextos que les son significativos. Si los maestros logran que los nios disfruten la clase y dan seguimiento a la forma en que van aprendiendo, es muy probable que los nios for-talezcan sus aprendizajes y los apliquen en las situaciones que se presentan en lecciones posteriores.

Actividades

En las lecciones Suma (1) y Resta (1) se repite cuatro veces la secuencia de aprendizaje que mencionamos en el esquema anterior.1. Lee en los Tomos II y III la secuencia de enseanza en las lecciones Suma (2), Resta (2) y las de multiplicacin.2. Hay alguna relacin entre las secuencias de enseanza de esas lecciones en los Tomos II y III?

Extensin del mundo de las matemticas:desarrollo de las matemticas desde

las matemticas

Actividades

1. En las pginas 7 y 11 del Tomo III, Vol. 1, hay situaciones que ejemplifican la expresin desarrollo de las matemticas desde las matemticas. Haz la tarea 2 de la pgina 7 y lee las pginas 8 y 9. Despus de esto explica el papel que des-empea la tarea 2.2. Completa la tarea 2 de la pgina 11 y lee las pginas 12 a 14. Con base en esto confirma si tu explicacin fue apropiada.3. Hay unas tablas que los nios deben completar en la pgina 59 del Tomo III, Vol. 1, y en la pgina 2 del Tomo VI, Vol. 2. Explica el contenido de esas actividades.

Reflexiones adicionalesEn la seccin Conociendo el mundo de las matemticas,

discutimos que la enseanza de las matemticas no nece-sariamente debe partir de problemas que se relacionan con la vida cotidiana, en esta seccin abundaremos sobre esto.

Si los nios desarrollan pericia para calcular podrn percibir que las matemticas estudian el comportamiento de patrones en la bsqueda de generalizaciones, entonces probablemente indagarn por s mismos cmo funcionan los procedimientos para calcular, que usualmente se aprenden durante el proceso de extensin de la magnitud de los nmeros y los clculos aso-ciados a ellos. En la pgina 7 del Tomo III, Vol. 1, los nios ya saben sumar en la forma vertical con casos en que la suma de dos dgitos no sea mayor que 10.

Situacin

Composicin y descomposicin

SituacinRelato

Expresin

Clculos

Mundo real:situacin

Mundo de las matemticas

En la tarea 2 de la pgina 7 (Fig.2) los nios realizan varias sumas en la forma vertical y se les pide que piensen cmo las realizaron. La pregunta piensa cmo lo hiciste parece aplicarse slo a esta tarea, sin embargo, en las pginas 8 y 9 puede obser-varse que mediante esta pregunta se est induciendo a los nios a que extiendan sus conocimientos sobre el clculo de la suma en la forma vertical. En las pginas 8 y 9 las tareas se presentan en el siguiente orden: Shigeru, Susumu, Takeshi, Satoko y Yu-kie. Este orden est relacionado con la descomposicin de un

Fig.1

Fig.2


nmero mediante la estimacin anticipada de los resultados de las sumas parciales que ese clculo requerir. Lo que propone Satoko es en ese sentido, pero aparece un cero en las decenas. En la operacin de Yukie la respuesta es mayor que 1000. Se debe notar que la tarea 2 tiene el propsito de preparar a los nios de acuerdo con sus estilos de aprendizaje.

En la pgina 59 del Tomo III, Vol. 2 (Fig. 4), se formulan preguntas similares para introducir la multiplicacin de n-meros con dos dgitos. Si los nios completan correctamente los espacios en blanco, las actividades que siguen les sern relativamente fciles. Tambin pueden observar tareas simi-lares en la pgina 2 del Tomo VI, Vol. 2 (Fig.5).

Actividades

1. Revisa la tarea 2 de la pgina 7, Tomo III , Vol. 1. Explica de forma detallada la secuencia de actividades que ah se plantean en trminos de lo que pueden aprender los nios en cada actividad y en ellas en conjunto.2. Revisa la pgina 2 del Tomo VI, Vol. 2. Explica detallada-mente la secuencia de actividades que ah se plantean en tr-minos de lo que pueden aprender los nios en cada actividad y en ellas en conjunto.

La secuencia para extender sus conocimientos sobre la suma empieza con la suma en situaciones significativas para los nios, despus se aborda la suma en forma vertical hasta llegar a sumas de nmeros con tres dgitos, donde ninguna suma parcial es mayor o igual a 10. Posteriormente se ex-tiende a sumas que requieren descomponer y componer cier-tos nmeros porque hay sumas parciales que son mayores o iguales a 10.

Al concluir la tarea 2 habr maestros que puedan decir ahora mis alumnos entienden mejor la suma, saben cundo es necesario descomponer los nmeros porque pueden anti-cipar qu tan grandes son algunas respuestas. Si un maes-tro siente que no tiene evidencias suficientes para afirmar eso, entonces puede repasar lo que vieron en las tareas 2 y 3 y pedirles que hagan de nuevo las tareas 5, 6 y 7. Si los nios completan esas tareas exitosamente la tarea 2 tendr un significado diferente para el grupo.

Fig.3

Fig.4

Fig.5


Piensa cmo lo hiciste: desarrollo de ideas y su generalizacin

mediante representaciones formales

Actividades

En la pgina 23 del Tomo V, Vol. 1 (Fig. 1), hay un recuadro en blanco, qu papel desempea? Has visto ese tipo de recuadros en otras pginas desempeando el mismo papel?

La instruccin piensa cmo en los 11 volmenes de la serie, corresponde al propsito central de una leccin. Al ver la instruccin los nios saben que se ese el tema principal que van a estudiar. Completar el recuadro no equivale a responder la tarea que se plantea, esa actividad introduce una extensin para irse aproximando a la formulacin de generalizaciones. La instruccin piensa cmo hiciste los clculos usualmente incluye posibles formas para calcular (convencionales y no convencionales) y varias formas de explicacin mediante dis-tintas representaciones.

la calidad de los aprendizajes de sus estudiantes. Por esto es muy importante el trabajo que se desarrolle en las sec-ciones Piensa cmo calcular. Si los nios aprenden lo que se propone en estas secciones tendrn ms recursos para enfrentar con xito los retos no triviales que se incluyen en estos libros.

Debemos notar que la tarea de la pgina 26 es similar a la de la pgina 23. En la pgina 23 del Tomo V, Vol. 1, los nios responden preguntas cuya respuesta ya conocen, esta acti-vidad aparentemente sencilla los prepara para extender sus conocimientos sobre la multiplicacin con nmeros enteros al caso con nmeros decimales. En otras palabras, los conoci-mientos previos permiten traducir un problema nuevo (multi-plicacin con nmeros decimales) a un problema que antes han resuelto (multiplicacin con nmeros enteros). Este caso es un buen ejemplo de lo que queremos decir con la expre-sin extender los conocimientos. En la pgina 23, cuando los nios responden con un nmero entero reconocen que estn trabajando con la multiplicacin, que es una operacin que les es familiar. Si ellos responden con un nmero deci-mal lo identifican como algo que an no conocen bien, sin embargo, reconocern por analoga lo que aprendieron con la multiplicacin de nmeros enteros.

En la pgina 26 hay un diagrama de cinta, un recuadro en blanco y un diagrama de caja. En el proceso de resolucin del problema se muestra la relacin entre su representacin grfica (diagrama de cinta), la representacin matemtica (expresin matemtica) y los clculos que hay que realizar para resolverlos (diagrama de caja). Veamos dnde apren-dieron los nios acerca de esas representaciones antes del quinto grado.

Si los maestros reconocen la importancia de preparar a los alumnos para confrontar futuros conocimientos podrn aten-der este aspecto. Las secciones Piensa cmo calcular son una oportunidad para que los maestros hagan un recuento de lo que han aprendido sus alumnos previamente. En la p-gina 26 se usan distintas representaciones para explicar el enunciado del problema y relacionarlo con los significados que han asignado los alumnos a los nmeros y las operacio-nes. Es necesaria la traduccin entre esas representaciones para lograr un buen aprendizaje conceptual. Si los alumnos no entienden el significado de cada representacin es im-posible que puedan hacer la traduccin entre las distintas representaciones. Slo los alumnos que aprendieron en los grados anteriores a usar formalmente esas representaciones pueden emplearlas por s mismos como herramientas para resolver problemas. Aun si estas representaciones estn incluidas en el captulo suplementario, los maestros deben ensear a los nios cmo usarlas reflexionando sobre lo que previamente han aprendido.

La seccin Piensa cmo calcular es la preparacin para lo que se tratar en el captulo siguiente, el cual propone acti-vidades para extender lo que los nios previamente han es-tudiado. Los captulos donde se extienden los conocimientos previos sern ms difciles para los nios si no se atendi cuidadosamente lo que hicieron en Piensa cmo calcular. Esta seccin es un tipo de organizador avanzado en el sen-tido de Ausubel, no obstante, lo ms determinante para que los nios puedan avanzar es que hayan aprendido bien lo que estudiaron en los grados anteriores. La investigacin que se desarrolla en el marco del Estudio de Clases ha arrojado evidencias de que la mayora de los profesores que se con-centran en el trabajo de cada da no otorgan suficiente aten-cin a las lecciones donde se prepara a los alumnos para los conocimientos futuros; esto se refleja en un detrimento en

Fig.1


Uso de las representaciones como herramientas del pensamiento

Actividades

Veremos cmo construir la recta numrica proporcional. Para iniciar, realiza las siguientes actividades:1. Hay tres envases que contienen 1.8 litros cada uno, cun-tos litros hay en total? (pgina 23 Tomo V, Vol. 1)2. Si repartimos equitativamente 5.7 litros de leche entre tres alumnos, cuntos litros le tocan a cada uno? (pgina 78, Tomo V , Vol. 1)

Reflexiones adicionalesHay cuatro operaciones aritmticas, pero en el lgebra slo se consideran dos operaciones. Esto se debe a que al intro-ducir los nmeros negativos no es necesario distinguir entre la suma y la resta: a + - b = a - b ; y cuando se inicia el uso del inverso multiplicativo no es necesario distinguir entra la multi-plicacin y la divisin: a=1 aa a = 1 . El uso de grficas de cinta o de segmentos permite representar esas operaciones formalmente en los libros de texto. Los siguientes diagramas muestran relaciones parte-todo.

La construccin que se mues-tra en la figura puede realizarse como sigue: Traza un ngulo cualquiera y

llama 0 (cero) a su vrtice. Marca la longitud correspondiente a 1 en uno de los lados del ngulo y la longitud correspondiente a a en el otro lado. En el lado donde marcaste la longitud correspondiente a 1, marca la longitud b (con base en la unidad). Traza el segmento que une 1 con a. Traza la paralela a ese segmento que pasa por el extremo del segmento cuya longitud es b. Marca el punto donde la paralela que trazaste intersecta al otro lado del ngulo y llama a ese punto a b. La longitud del segmento cuyos extremos son 0 y a b es el resultado de multiplicar a por b.

Si recuerdas lo que aprendiste en tus cursos de geometra podrs hacer la demostracin que valida la representacin geomtrica del producto de dos nmeros cualesquiera. Tiem-po antes que Descartes, el matemtico italiano Galileo cons-truy un comps proporcional.

Actividades

1. Usa el concepto de recta numrica proporcional para re-presentar el problema: hay tres envases que contienen 1.8 litros cada uno, cuntos litros hay en total?2. Usa el concepto de recta numrica proporcional para re-presentar los datos, y las relaciones entre ellos, en el proble-ma Si repartimos equitativamente 5.7 litros de leche entre tres alumnos, cuntos litros le tocan a cada uno?

Reflexiones adicionales

La justificacin de la construccin de la recta numrica propor-cional es muy abstracta para los alumnos de la escuela primaria, sin embargo, debido a su utilidad didctica, se introduce su uso en las lecciones sin intentar explicar cmo se construye. Se usa este tipo de representacin (grficas de cinta) a partir del Tomo II, Vol. 2, cuando se estudia la multiplicacin; en las pginas 53 y 54 del Tomo III, Vol. 2 se explica cmo construir esas grficas.

Hay al menos dos razones importantes para ensear a los ni-os a usar este tipo de representaciones: la primera razn es que son herramientas para el pensamiento, y la segunda, porque se familiarizarn con ellas y esto les preparar para entender su uso con mayor facilidad en los cursos posteriores a la primaria. Para propiciar que los alumnos razonen por s mismos debemos dar-les las herramientas que les ayudarn en su futuro aprendizaje, los alumnos que aprendan lo que estn estudiando en las leccio-nes que mencionamos en el prrafo anterior podrn hacer un uso correcto de ese tipo de grficas.

En los Tomos I a VI se emplean las expresiones matemticas y las grficas en su carcter de representaciones formales. Los diagramas con bloques se utilizan para dar sentido y significa-do al sistema de numeracin de base 10, los nios usan esos diagramas y el material manipulable para construir sus propias ideas y producir respuestas, en otras palabras, los usan como herramientas para el pensamiento.

En los primeros grados de la educacin primaria se usan grficas de cinta, o segmentos, para representar situaciones aditivas o sustractivas. En casos excepcionales se representa la diferencia en situaciones sustractivas. En los ltimos grados se usan estas representaciones en las situaciones donde se involucran los conceptos de razn o fraccin. Los nios pue-den fcilmente dibujar esas grficas porque las ven con mucha frecuencia en los libros de texto, ellos empiezan a trabajar con esto desde el volumen 2 del Tomo II.

En Japn se llama a grficas como las siguientes lnea numrica proporcional. Como se observa en la figura estas grficas involucran el uso de dos rectas.

Una recta proporcional se cons-

truye aplicando conceptos de proporcionalidad, sin embargo, no es necesario explicar a los ni-os esos conceptos porque el diagrama slo se est usando aqu para preparar sus aprendizajes futuros. Por ejemplo, pode-mos proceder como sigue para representar geomtricamente la multiplicacin a b = c. Primero definimos la longitud a como la unidad, si b es la longitud dada en trminos de la unidad, la longitud del segmento a b corresponde al producto c.

El matemtico francs Ren Descartes us la siguiente figura para explicar la representacin geomtrica de a b. Los argumen-tos que se emplean para mostrar la validez de esta representacin se basan en la teora de la semejanza de tringulos.


Parte III Resolucin de

problemas: el gusto por las matemticas

Los profesores deben proponer tareas y hacer preguntas que propicien que sus alumnos aprendan por s mismos, lo cual apoyar el desarrollo de su pensamiento matemtico. Con este fin, en los Tomos I a VI se utilizan secuencias didcticas donde se abordan recursivamente los mismos procesos y for-mas de representacin, esto proporciona fundamentos para que los alumnos sustenten las nuevas ideas matemticas que se les proponen.


La resolucin de problemas se introdujo en los salones de clase de Japn siguiendo los principios que a continuacin se describen:

Los maestros empiezan la clase planteando un pro-blema que los estudiantes no han resuelto antes. En-tonces los alumnos trabajan en equipo para encontrar una solucin al problema. Minutos despus se pide a los alumnos a que presenten sus ideas al grupo; el gru-po discute lo que cada equipo propone, dando especial atencin a las formas de razonamiento interesantes y a los conceptos matemticos involucrados.

Stigler y Hiebert [1999] Cuando hablamos de mtodos de enseanza no nos refe-

rimos nicamente a la enseanza de las destrezas bsicas, sino tambin al saber cmo, los qu y los por qu, a travs de la reflexin de los alumnos sobre las actividades en el saln de clases. Este acercamiento no consiste slo en hacer preguntas y guiar el razonamiento de los alumnos para que produzcan las respuestas que espera escuchar el maestro. Hatsumon es la palabra en japons que significa preguntar en el contexto de la resolucin de un problema. Los profesores de educacin primaria en Japn usan ese trmino en el Estudio de Clases cuando su propsito es pro-piciar que los alumnos piensen por s mismos. Las clases orientadas al logro de este propsito se planean con especial atencin. El video del Profesor Seiyama es un ejemplo de cmo se planean estas clases.

Las preguntas que se preparan no son necesariamente las mismas que se hacen durante la puesta en prctica de la clase, el maestro las ajusta o las cambia sobre la marcha dependiendo de lo que ocurre en el curso de la clase.

El profesor debe escuchar con mucha atencin las ideas de sus alumnos y con base en ello decidir cul Hatsumon es ms adecuado para potenciar su razonamiento. El proceso descrito con anterioridad es un medio para evaluar la cali-dad de la enseanza. La habilidad para autoevaluarse es de la mayor importancia en la formacin de los maestros, tanto para su desarrollo profesional, como para mejorar la calidad de los aprendizajes de sus alumnos.

Es muy importante que los maestros elijan bien las pregun-tas que harn a sus alumnos en el contexto de resolucin de problemas; las preguntas deben servir para dar retroalimen-tacin al alumno, para que al contestarlas le sea evidente por qu lo que propone es correcto o incorrecto, para llevarlo ms all del punto al que ha llegado y vislumbre una posible generalizacin o una forma ms gil y elegante de resolver el problema. Si los alumnos se apropian del objetivo que persigue su maestro, reconocern el papel de la situacin problemtica con relacin al propsito de aprendizaje que se pretende alcanzar.

Las preguntas no deben conducir paso a paso a los alum-nos hasta que produzcan la respuesta esperada, en el Es-tudio de Clases las preguntas que hace el maestro son un aspecto que se discute a profundidad por los observadores. Isoda (2003) propone tres tipos de preguntas en la clase de matemticas: el primer tipo corresponde a aquellas preguntas para potenciar el pensamiento matemtico de los alumnos, que se formulan con la intencin de desarrollar, reconocer, o reorganizar el conocimiento matemtico de los alumnos, el mtodo de resolucin empleado y su pertinencia.

Este tipo de preguntas se emplea para ayudar a los nios a que se concentren en una tarea especfica y para estimular una forma particular de pensamiento.


El segundo tipo son las preguntas orientadas a cambiar las fases de enseanza en el saln de clases, por ejemplo: al-gunas fases en la resolucin de un problema son conducidas por el maestro y otras por los alumnos. La planeacin de las preguntas para cada fase est relacionada con la planea-cin del uso del pizarrn, esto se discutir ms adelante. Para guiar a los nios a que se muevan a la siguiente fase el maestro usa preguntas especficas.

El tercer tipo corresponde a las preguntas para favorecer que los nios aprendan a aprender matemticas, y que se repiten recursivamente en cada clase. Son preguntas que conducen a los alumnos a pensar matemticamente, por ejemplo: cmo podemos ir ms all de lo que vimos?, hay otras maneras de resolver este problema?, pueden encon-trar cmo hacerlo ms gilmente?, pueden encontrar cmo hacerlo ms eficientemente? Si los nios comprenden la re-levancia de este tipo de preguntas, las empezarn a formular a s mismos, y su maestro podr reducir los tipos de Hatsu-mon, porque los nios sern quienes hagan las preguntas retadoras (Isoda, M., 1997).

Actividades fructferas en la resolucin de problemas:

cmo podemos ir ms all?

Actividades

1. Realiza la operacin 37 3 = ____.2. Encontraste algo interesante?3. Si tu respuesta fue positiva, cmo puedes ir ms all del punto al que llegaste?

Reflexiones adicionalesUn principio bsico en la resolucin de problemas es favore-cer que los nios extiendan su conocimiento matemtico por s mismos. La actividad con que se inici esta seccin tiene el propsito de que indaguemos qu podemos desarrollar por nosotros mismos. Si pudiste extender esa actividad ya empe-zaste a aprender matemticas por ti mismo.

Para propiciar que los nios aprendan matemticas por s mismos es necesario que les enseemos cmo construir y desarrollar las ideas matemticas. Parece que hay pocas personas que disfrutan de las matemticas, que tienen un buen sentido numrico y saben cmo extender su conoci-miento matemtico (dar el paso que sigue). Si se propone esta tarea a nios que estn matemticamente bien nutri-dos, seguramente podrn generar el siguiente paso.

Actividades

Realiza lo siguiente: 37 3 =37 6 = __ =

Reflexiones adicionalesNo hay problema si los nios no pueden imaginarse el si-guiente paso cuando analizan la operacin 37 3. Si no pue-den avanzar por s mismos se les puede sugerir que exploren con 37 6 y 37 9 y pedirles que traten de encontrar el siguiente paso. Si para los nios no es un problema realizar los clculos, podrn notar algo interesante y empezarn a explicarse entre ellos lo que estn observando.

Hay que dar a los nios la oportunidad de que generen ideas para proponer el siguiente paso. Si el maestro les da tiempo, algunos nios podrn encontrar algo interesante y espontneamente lo mostrarn a sus compaeros y a su profesor. Es importante que el maestro escuche con aten-cin sus ideas y los aliente a continuar con expresiones sencillas como eso est muy bien!. Esto motivar a otros nios y continuarn explorando, eso se observar en el bri-llo de sus ojos. Si adems se preguntan por qu ocurre lo que observan, estarn experimentando un aprendizaje con calidad, porque encontrar y explicarse las reglas que go-biernan un patrn numrico es una accin que est en el corazn de las matemticas.


Tener curiosidad intelectual por desentraar los aspectos matemticos misteriosos es un buen punto de partida para que los nios vayan ms all de lo esperado y den el si-guiente paso, esto da lugar a situaciones que les ofrecen oportunidades para desarrollar su conocimiento matemtico por s mismos.

No debe ser motivo de preocupacin si los nios no mues-tran inters ni curiosidad, pero el maestro debe tomarlo en cuenta seriamente, porque ese desinters seguramente se debe a carencias en la enseanza que previamente recibie-ron y es importante que el maestro subsane este problema. El momento presente es el mejor para prepararlos y que pue-dan dar solos el paso que sigue. Como antes se ha dicho, los nios disfrutan la clase de matemticas cuando son cons-cientes de que estn desarrollando su pensamiento matem-tico. De ah en adelante se preguntarn por s mismos cul es el paso que sigue. Por ejemplo, en situaciones similares a la actividad 373, aun si tienen dificultades para hacer los clculos reconocern la belleza del patrn numrico que es-tn explorando, podrn apreciar la belleza que est detrs de los aparentemente fros clculos aritmticos. Por supuesto, todo esto ocurrir ms fcilmente si los nios no tienen pro-blemas para calcular, por esto es muy importante que hayan desarrollado destrezas para calcular gilmente.

Diferencias entre una tarea y un problema:

problematizacin

Actividades

Analiza las siguientes operaciones:

37 3 = 111 37 6 = 222 37 9 = 333 37 12 = 444 3715 =

a) Sin hacer los clculos di cul crees que ser el resultado de 37 15.b) Explica por qu se produce el patrn que se observa en los resultados.c) Formula las preguntas que consideres pertinentes para guiar esta actividad con alumnos de la escuela primaria.d) Formula las preguntas que consideres pertinentes para ayudar a los alumnos que encuentren dificultades para avan-zar en esta actividad.

Reflexiones adicionalesEn el enfoque de resolucin de problemas las tareas son

presentadas por los maestros, pero se espera que sean los alumnos quienes hagan las preguntas y expliquen las dificultades que encuentran para resolver los problemas matemticos que dan origen a esas tareas. Para distin-guirlo del problema original, llamaremos problemtica al nuevo problema que se plantea cuando los alumnos pro-ponen el siguiente paso, el cual est relacionado con sus expectativas en el marco de su contexto de aprendizaje. La problemtica no es igual al problema original, depende totalmente de las reacciones de los nios y con frecuencia se relaciona de forma directa con lo que previamente han aprendido. Si los alumnos cultivan el hbito de pensar por s mismos a travs de responder la pregunta: cul es el paso que sigue?, entendern mejor lo que estn haciendo. Por eso es importante que el maestro mantenga el inters de los alumnos en la tarea y que espere a que sean ellos quienes empiecen a plantear nuevas expectativas. Por ejemplo, si los alumnos pronostican que el resultado que sigue es 555, es conveniente que el maestro les pregun-te: ests seguro? Por qu? Usualmente los maestros son quienes asignan las tareas a realizar, pero es a travs de las preguntas que plantea el maestro, que los nios ha-cen suyo el problema; en otras palabras, la problemtica es una extensin del problema original que han planteado los alumnos. A este respecto, recomendamos enftica-mente que el maestro se proponga cambiar la actitud de sus alumnos si ellos creen que resolver un problema se trata slo de obtener una respuesta, para propiciar el de-sarrollo del pensamiento matemtico de los alumnos es de la mayor importancia que empiecen a proponer problemas por s mismos, problemas que sean una extensin de los problemas que el maestro les propone. Si se les pregun-ta: por qu crees que el siguiente resultado es 555?,


pueden responder: porque los resultados anteriores son 111, 222, 333 y 444, porque hay un patrn, porque hice el clculo, etc. Si el profesor pregunta: por qu?, los nios tendrn oportunidad de desarrollar sus habilidades para argumentar. Cuando se pregunta: ests seguro?, dar lugar a que el alumno se cuestione a s mismo para encontrar un fundamento claro para su respuesta. La for-ma en que se producen los resultados de esas multipli-caciones es un misterio que debe desentraarse, como si al lanzar tres dados muchas veces mostraran todos el mismo nmero de puntos. Incluso antes de que los nios consigan hacer clculos con lpiz y papel, pueden predecir que la siguiente respuesta es 555 y afirmarn que estn seguros que esa ser la respuesta para 37x15. Entonces, obtener la respuesta no es un problema que valga la pena resolver, lo valioso es explicar la causa de que 555 ser la siguiente respuesta.

Formulacin de preguntas y cambios de representacin

Actividades

Por qu se repiten los dgitos en las respuestas de 373, 376, 379, 3712 y 3715?

Reflexiones adicionalesPara explicar este hecho misterioso puede ser til un diagrama como el que se muestra a la derecha. En cada paso se agrega 3 al multiplicador (3, 6, 9, ). El producto se incrementa en 111, independientemente de que el multiplicador se incre-mente slo en 3. La flecha representa la estructura de este patrn. Si los nios com-prenden lo que indica esa flecha entendern que el diagra-ma muestra una relacin funcional, aun si ellos todava no conocen el concepto de proporcionalidad.

Es fructfero usar diagramas como ste para representar relaciones desde el primer grado. Si los nios estn fami-liarizados con esas formas de representacin el maestro puede hacer un diagrama en el pizarrn a partir de que los nios encuentran la relacin entre los multiplicadores (3, 6, 9, ), coloreando las flechas y escribiendo junto +3. Si los alumnos encuentran +111 en la flecha entre renglo-nes (), es conveniente pedirles que expliquen lo que indi-can las flechas para propiciar el surgimiento de la idea de proporcionalidad o el patrn que encontraron al multiplicar relacionndolo con sumas repetidas. A travs de conocer la relacin entre los dos tipos de flechas, los alumnos pueden explorar el concepto de proporcionalidad como antecedente para su posterior formalizacin.

Una vez que una explicacin como la anterior es posible, el maestro puede profundizar en el significado del problema replantendolo como sigue: siempre que el multiplicador se incremente en 3, las respuestas se incrementarn en 111 y todos sus dgitos sern iguales? Despus podemos pre-guntar: por qu en cada respuesta todos los dgitos son iguales? Los lectores ya habrn adelantado que lo anterior es cierto slo hasta que el multiplicador es 27, donde la respuesta es 999.

Esta actividad muestra la importancia de las preguntas que pueden formular los maestros y las representaciones que usan para favorecer que los alumnos piensen mate-mticamente. La representacin de las relaciones mediante flechas propicia que los nios identifiquen los patrones y expliquen por qu 37 (3 __) involucra la fila del 3 de la tabla de multiplicar (que son mltiplos de 3).


La razn por la cual los dgitos del producto son iguales es que 37 (3 __ ) = 37 3 __ , y 37 3 = 111; as puede explicarse que resulta lo mismo en 111 ___ . Esta es una oportunidad para darse cuenta que es posible reconocer un patrn con base en el primer elemento.

Para los nios es interesante notar que pueden utilizar lo que han aprendido para entender nuevas ideas. Usar los conocimientos previos es uno de los aspectos ms im-portantes en el razonamiento matemtico. La representacin que utiliza flechas es una clave para reconocer y entender los argumentos en el caso que acabamos de analizar. Esta forma de representacin permite comparar la relacin entre expresiones matemticas. Para desarrollar el razonamiento matemtico es til usar una representacin para expresar las ideas a travs de la visualizacin. La actividad que aqu analizamos da oportunidad para que los alumnos desen-traen el misterio usando la propiedad asociativa de la multiplicacin. Incluso si los alumnos no conocen esta propiedad, entendern la relevancia de poder cambiar el orden en la multiplicacin.

Extensin de las ideas previamente aprendidas

Actividades

El patrn de los dgitos idnticos termina despus de 37 27. Podr encontrarse algo interesante si se sigue multiplicando?

Reflexiones adicionalesCuando alguien usa la frase por ejemplo significa que ya em-pez a reconocer un patrn. En el caso de la actividad con la que inicia esta seccin, el patrn es que los dgitos de las decenas y las centenas son iguales. No solamente eso, si uno observa cuidadosamente podr notar que la suma de los dgi-tos de las unidades y los millares es igual al dgito de la dece-nas y al de las centenas, por ejemplo: en 1332, 1+2=3. Esto es interesante, por qu ocurre? La identificacin de un nuevo patrn produce una sensacin de sorpresa en los alumnos, entonces el maestro puede preguntarles: esto es cierto? Se conservar este patrn de aqu en adelante? Por qu?

A partir de este punto hay que hacer algunos clculos, al multiplicar en forma vertical con lpiz y papel en lugar de su-mar 111, podemos observar por qu el patrn presenta ese comportamiento. En general, cambiar y agregar otras formas de representacin es un buen recurso para encontrar nuevos elementos para formular una explicacin.

Si analizamos que 37 36 = 37 (3 12) = (37 3) 12 = 111 12 = 111 (10 + 2) = 1110 + 222, observaremos por qu los dgitos de las decenas y las centenas deben ser igua-les, y por qu estos dgitos son la suma de los dgitos de las unidades y los millares. Los dgitos idnticos se derivan de 37 (3 ___), asimismo, el hecho de que los dgitos de las decenas y las centenas sean la suma de los millares y el de las unidades del nmero que va en el espacio en blanco. Ahora tenemos totalmente identificadas las razones por las que se produce el nuevo patrn que observamos. Es intere-sante que este patrn haya surgido de otro que previamente se haba identificado. Ciertamente, 999 es 0999 y en 0, 9, 9, 9 observamos que 0+9=9. Observemos que 37 27 = 37 (3 09) = (37 3) 09 = 111 09 = 0000 + 999 = 0999, de esto tenemos que dos patrones aparentemente distintos, en realidad son el mismo. Pero an no sabemos hasta dnde se


presentar este patrn; cuando uno se propone disfrutar de las matemticas en esta forma parece ser que este tipo de actividades no tiene un punto final.

Algunos matemticos, como Devlin (1994), caracterizaron a las matemticas como la ciencia de los patrones. En el marco de esa caracterizacin, completar una tarea debiera ir ms all de lo que esa tarea aparentemente exige. Cuando uno va ms all puede descubrir fenmenos interesantes, por ejemplo: la existencia de patrones (regularidades). Al examinar si un pa-trn se conserva bajo cualquier circunstancia, o slo bajo cier-tas circunstancias, uno recrea o redescubre las matemticas que previamente conoca. Al identificar la existencia de patro-nes los alumnos aplican lo que previamente aprendieron y ex-perimentan una sensacin similar a la que vive un matemtico cuando descubre un resultado o resuelve un nuevo problema.

Desarrollo de la actitud para hacer matemticas como un matemtico

Actividades

15873 7 =Cmo se puede extender lo que se observa aqu?

Reflexiones adicionalesPudiste encontrar hasta dnde se extiende el patrn que se observa en 15873 7? Si lo hallaste, seguramente continuars explorando, si llegaste hasta el final, te sentirs muy satisfecho. Una vez que se observa que 15873 7 = 111111 es recomen-dable preguntarse: qu sigue de esto? Si lo hiciste, ya ests desarrollando una actitud favorable hacia la exploracin mate-mtica. Si disfrutaste la actividad y reflexionaste sobre su sig-nificancia, ests desarrollando actitudes que se requieren para cultivar los mtodos del pensamiento matemtico.

En la pgina inicial de la Parte II se mencion que hay tres propsitos prioritarios en la educacin matemtica de la escuela primaria en Japn: el primero es promover el de-sarrollo de destrezas que son tiles para la vida diaria, que consiste en las destrezas matemticas mnimas para enten-dernos con los dems. El segundo es propiciar el desarrollo del pensamiento matemtico que ser til en la construccin de nuevos conocimientos y en la habilidad para pensar en general, este propsito est relacionado con el desarrollo de formas innovadoras para vivir. El tercer propsito se refiere a cultivar valores y actitudes para la vida.

En el marco de esos propsitos nos preguntaremos cmo podemos saber que los alumnos estn aprendiendo por s mismos. La respuesta inicial que planteamos es: si los alum-nos muestran que tienen el deseo de aprender y que disfru-tan en la clase de matemticas.

En la Parte I se han discutido y ejemplificado esas ideas y las razones por las cuales la resolucin de problemas en un acercamiento promisorio para ayudar a que los alumnos aprendan a aprender matemticas por s mismos.


Fases de enseanza en la resolucin de problemas

Las fases de enseanza en el marco de la resolucin de problemas pueden esquematizarse como sigue:

Fase Presentacin del problemaEl maestro propone el problema, la problemtica se de-

sarrolla a partir de las nuevas ideas de los alumnos. La tarea simple es obtener la respuesta, a la cual se llega fcilmente si los alumnos cuentan las unidades cuadradas. La problemtica consiste en aplicar la frmula para calcu-lar el rea del rectngulo en una situacin nueva para los alumnos. La tarea principal del maestro es escuchar las ideas de los alumnos.

Fase Planeacin y prediccin de la solucinSi revisamos las lecciones anteriores identificaremos lo que los alumnos ya estudiaron y podremos observar que la pla-neacin y prediccin de la solucin no es difcil. Particular-mente en las pginas 7 y 8 aprendieron a reconfigurar una superficie mediante composicin y descomposicin mante-niendo el rea total invariante.

Fase Resolucin grupal/ resolucin independienteEl maestro sugiere algunas ideas a los alumnos que en-cuentran dificultades que detienen su trabajo. La dificultad en s misma es parte de la problemtica y es una buena oportunidad para enfrentar retos. El maestro no debe pro-porcionar la respuesta. Mientras camina entre las bancas

Fase

Presentacin del problema

Planeacin y prediccin de la solucin

Resolucin grupal /resolucin independiente

Explicacin y discusin /validacin y comparacin

Resumen/aplicacin y posteriores desarrollos

Participacin del maestro

Presenta el problema sin hacer explcito el objetivo de la clase.

Gua a los alumnos para que reconozcan el objetivo.

Apoya el trabajo individual.

Gua la discusin con base en el objetivo de la clase.

Gua la reflexin de los alumnos

Estatus de los alumnos

Abordan la tarea pero no necesariamente conocen el objetivo de la clase.

Tienen expectativas, conocen el objetivo de la clase, reconocen tanto los datos como las incgnitas, de qu se trata el problema y proponen ideas para abordarlo .

Tratan de resolver el problema con las ideas que compartieron. Establecen relaciones entre lo conocido y lo desconocido y tratan de representarlas en diferentes formas. Es suficiente si algunos alumnos proponen ideas, no debe esperarse hasta que todos los alumnos den respuestas correctas, porque responder correctamente no es el propsito principal de la clase. Si se dedica tiempo a esperar a todos, los alumnos pueden perder sus ideas y decrecer su motivacin para discutir las soluciones que se presenten.

Explican cada acercamiento y los comparan relacionando lo conocido con lo desconocido. Se comunican para entender las ideas de los dems considerando sus acercamientos. Valoran el esfuerzo de los dems y reconocen que es una meta a lograr mediante el trabajo en grupo.

Reorganizan lo que aprendieron durante la clase; valoran sus logros, formas de razonamiento e ideas.

A continuacin, se ejemplifican estas fases por medio de la leccin de la pgina 11, del Tomo IV, Vol. 2 (Fig.1).

Fig.1


del aula, el maestro debe planear qu preguntas debe hacer a esos alumnos para ayudarlos a que expliquen ms clara-mente en qu consiste la dificultad que enfrentan.

Fase Explicacin-discusin /validacin-comparacin El maestro pide a los alumnos que presenten al grupo sus ideas. Es conveniente que inicie planteando una idea senci-lla que escuch de un alumno y avance hacia las ideas ms generales y poderosas que los alumnos externaron. En la pgina 12 (Fig. 2) se sugieren varias ideas a este respecto.

Fase Resumen/aplicacin y posteriores desarrollosEn la pgina 12 se presentan cuatro ideas propuestas por los alumnos, no todas son correctas. Con base en esas ideas los alumnos pueden aprender a aplicar la frmula del rea del rectngulo mediante la composicin y descompo-sicin de la figura, la condicin es que el rea total se man-tenga invariante. En la tarea 6 los alumnos deben notar que la idea de Takeshi no se puede aplicar.

Fase explicacin-discusin /validacin-comparacinEsta fase es la ms difcil, por lo que se sugiere considerar los siguientes niveles:

Nivel del novato: Generalmente los profesores noveles seleccionan una o dos ideas de las distintas soluciones que presentan los alumnos y piden que las presenten al grupo. En este caso los dems nios se sienten marginados.

Nivel del experto: Los maestros que tienen ms experien-cia, y que estn mejor preparados, propician que los alumnos den tantas respuestas como les sea posible y tratan de reto-marlas todas. Los maestros se mantienen atentos y recepti-vos a todas las ideas de los alumnos, alientan a los alumnos a que las presenten al grupo y ellos disfrutan esto. Sin em-bargo, no siempre es posible que puedan aprovechar cada una de las ideas para lograr el propsito de la clase y al final de sta, el maestro presenta sus propias ideas sin conectar-las necesariamente con las de todos sus alumnos.

Nivel de resolucin de problemas: El maestro anticipa un plan considerando la discusin que se dar en la clase, trata de conec-tar varias ideas con la problemtica que desarrollarn los alumnos.

Nivel dialctico: Si los alumnos avanzan bien, los maes-tros y los alumnos comparan varias ideas valiosas para el pensamiento matemtico, como aplicabilidad, simplicidad, precisin, eficiencia, generalidad y belleza. Con este tipo de trabajo el maestro est propiciando que sus alumnos disfru-ten escuchar las ideas de otros y presentar las suyas, las comparan y aprecian que la discusin de las ideas matem-ticas es agradable y fructfera, ven en las matemticas una fuente de conocimientos que les permite generar nuevas ideas. En este tipo de trabajo es importante que el maes-tro haga evidente en qu momentos de la clase se observan las caractersticas de aplicabilidad, simplicidad, generalidad, precisin, eficiencia y belleza en las ideas matemticas. Para hacer un resumen al final de la clase es importante que el profesor no borre lo que se registr en el pizarrn, porque cada registro es objeto de reflexin en la sntesis del trabajo realizado en la sesin de aula. Este ltimo aspecto se discu-tir con mayor detalle en la siguiente seccin.

Valorar las ideas es una componente clave en el desarrollo del pensamiento matemtico, un documento para abundar en torno a la afirmacin anterior se encuentra en el siguiente sitio de Internet: http://e-archive.criced.tsukuba.ac.jp/result_data.php?idx_key=1959

Fig.2


Planeacin de la clase empleando el pizarrn

En la resolucin de problemas es importante que los nios pasen al frente y presenten sus ideas. El resumen del trabajo lo hacen entre los alumnos y el maestro. Para propiciar que estas acciones ocurran, el maestro debe planear cmo usar el pizarrn para desarrollar su clase. A continuacin, se muestra un ejemplo:

Actividades

Con base en la distribucin de los espacios del pizarrn que se muestra, disea cmo usaras tu pizarrn para desarro-llar una clase usando la leccin de las pginas 11 y 12 del Tomo IV, Vol. 2.

Reflexiones adicionalesEste es un buen ejemplo del uso del pizarrn, sin embargo, es necesario considerar lo siguiente:

1. Al planear el uso del pizarrn el maestro debe anticipar las respuestas que los alumnos pueden formular con base en lo que han aprendido previamente. El pizarrn no debe ser el lugar para escribir las explicaciones del profesor, es el espa-cio para registrar las ideas de los alumnos y sus procesos de razonamiento. Por esta causa, el profesor debe asignar un lugar en el pizarrn donde ubicar la secuencia de preguntas.

2. El maestro debe considerar el potencial de las ideas de los alumnos con relacin a la problemtica y al propsito de aprendizaje. La tarea ser apropiada slo si satisface las expectativas respecto a la problemtica que se anticip y al propsito de la leccin. Si la problemtica y el propsito coin-ciden, el profesor podr pedir a los alumnos que seleccionen

las mejores ideas que se presentaron. Con base en stas el maestro puede resumir lo que se aprendi durante la clase.

3. El maestro debe considerar las ideas tiles de los alum-nos y la forma de representarlas para resumir la clase de manera significativa. Para hacer el resumen de la clase, re-comendamos enfticamente que nunca se borre lo que est en el pizarrn, lo que se registr en l permite reflexionar sobre lo que ocurri de principio a fin.

4. Al usar de esta manera el pizarrn podemos compartir la interaccin que se dio entre los alumnos y el profesor, las preguntas que se hicieron y las ideas que se plantearon. Para hacer claro este proceso el maestro puede usar globos de texto para visualizar el contexto en que se dieron las pregun-tas y su relacin con las ideas que presentaron los alumnos.

5. El maestro debe tener en cuenta que los alumnos aprecian sus propias ideas y no es fcil que se desprendan de ellas para entender las ideas de los dems. Por esta razn, al final de la clase, cuando se les pide seleccionar las mejores ideas, muchos nios no eligen aquellas que otros propusieron. Para entender las ideas de los dems es necesario proponer tareas adicionales al final de la clase. Por ejemplo, en el formato de pizarrn que se mostr en la seccin anterior, se design un espacio para Ejercicios, ah pueden analizarse las ideas de Takeshi (tarea 6 de la pgina 12, Tomo IV, Vol. 2).

Lo que el maestro piensa

[Problema]

[Problemtica]

Expresin matemtica

Respuesta

Qu ideas?

Flujo de la leccin Nios que participanComentarios de los nios

Resolucin autnoma Resumen

[Ejercicios]

Lo que conocen!

Por encontrar! Seleccionen!

Hoja de presentacin 1





1. Presentacin del problema

4. Argumentos y comparacin 5. Resumen

3. Resolucin autnoma

2. Prediccin de la solucin

(a) Tarea que presenta el maestro

(c) Generar la problemtica que ser el propsito de

la leccin.

Registrar las preguntas en orden para generar

la problemtica.

Expresiones verbales y matemticas que plantean los nios para representar

el problema que corresponde a la problemtica.

El resumen se forma con las soluciones a la

problemtica o a las ideas que se generalizaron.

(e) Qu tipos de soluciones se presentarn para la tarea? En qu orden se harn las

preguntas a los nios? En qu orden se les pedir que presenten sus ideas? Qu se

discutir? Qu idea se generalizar?

Qu tipo de afirmaciones y pistas se remarcan en los nios para que escriban un resumen

posterior?

(b) Oportunidades que crea el maestro para que los

nios formulen conjeturas, expresiones matemticas

y respuestas.

(d) Ayudar a los nios al ir recorriendo el saln

Respuestas a Lo que conocen! o al Resumen


La distribucin de espacios en el pizarrn que se muestra es slo un ejemplo, el maestro debe planear cmo usar el pizarrn dependiendo de los aspectos que considere para anticipar las reacciones de los alumnos; la planeacin del uso del pizarrn es definida por las reacciones de los alumnos y las decisiones que el maestro toma durante el curso de la clase. Tambin debe an-ticiparse cmo se usar el pizarrn para organizar las fases del proceso de resolucin de problemas. En sntesis, no debe inten-tar generalizarse el ejemplo que mostramos para la distribucin de espacios en el pizarrn. Esa distribucin debe adaptarse de acuerdo al contenido de enseanza, al propsito de aprendizaje y a las acciones de los alumnos. La planeacin del uso del pizarrn proporciona recursos importantes para la toma de decisiones con base en la evaluacin que el maestro hace del desarrollo de su clase. Por ltimo, es necesario destacar que en el pizarrn no puede faltar un espacio para registrar la secuencia de preguntas que ha anticipado el profesor, esas preguntas son el vehculo que determinar en gran medida las acciones que ocurran en la clase.

Actividades

Disea un plan de clase para el cuarto grado. Planea cmo usar el pizarrn para conducir la clase usando la leccin de las pginas 11 y 12 del Tomo IV, Vol. 2 (Figs. 1 y 2). Otorga especial atencin a la definicin del propsito de la clase, la secuencia de preguntas que hars, las respuestas que creas que darn los alumnos y las preguntas que hars para guiar-los hacia la consecucin del propsito de aprendizaje.

Reflexiones adicionalesNota que hay una barra vertical al lado de algunas actividades, esta barra indica que son actividades enmarcadas en la reso-lucin de problemas, la barra tambin representa la instruccin Piensa cmo hacerlo. Esta instruccin es el objeto central de esta clase. Estas lecciones se presentan en dos pginas, de ma-nera que los alumnos vean ambas al tener el libro abierto. En la pgina de la derecha se sugieren varias respuestas. Esto hace obvio que el propsito de la clase no es obtener la respuesta, sino la seccin Piensa cmo hacerlo, el maestro debe dar nfasis a que los alumnos atiendan esa instruccin. En las lecciones hay globos de texto que sugieren ideas o preguntas interesantes a los alumnos. Por ejemplo, la tarea 5 de la pgina 11 es acerca de una figura en forma de L , antes de esta leccin los alumnos slo conocen la frmula para calcular el rea de un rectngulo. Cuntos centmetros? es la tarea inicial y piensa cmo ha-cerlo es el propsito principal, si los alumnos se plantean puedo calcular el rea si ya comprendieron el propsito de la clase. Todas las respuestas que se sugieren parecen ser apropiadas para la tarea 5, el maestro debe sealar que la composicin y descomposicin de las figuras se pueden hacer siempre que no se altere el rea total de la figura. El siguiente paso es que los alumnos confronten el reto de resolver la tarea 6, ah deben reco-nocer que de las ideas que se sugieren algunas son aplicables y otras no, la idea de Takeshi no funciona para la tarea 6. Entonces los alumnos deben revisar lo que hicieron en la tarea 5 y aprende-rn cuando una idea es aplicable o no. El libro de texto presenta una secuencia de enseanza que conduce a formalizar las ideas a travs de extender la experiencia que han tenido al componer y descomponer nmeros y no se intenta aplicar la frmula general desde el principio. Mediante esta secuencia los alumnos tienen la oportunidad de valorar cada idea y el maestro les debe orientar para que desarrollen su pensamiento matemtico por s mismos.

Fig. 1

Fig.2


Actividades

Disea un plan de clase para el primer grado. Planea cmo usar el pizarrn para conducir la clase usando la leccin de las pginas 77 y 78 del Tomo I (Figs. 1 y 2). Otorga especial atencin a la definicin del propsito de la clase, la secuen-cia de preguntas que hars, las respuestas que creas que los alumnos darn y las preguntas que hars en concordancia para guiarlos hacia la consecucin del propsito.

Reflexiones adicionalesComo sealamos antes, la barra vertical al lado de una acti-vidad indica que sta corresponde al enfoque de resolucin de problemas y que el objeto central de la leccin es Pien-sa cmo hacerlo.

La tarea en la pgina 77 es encontrar el nmero de nios, antes de esto, los alumnos han aprendido cmo componer y descomponer los nmeros, la suma y resta hasta 10 y los

nmeros hasta el 20. Cuntos hay? es la tarea inicial y Piensa cmo hacerlo es el propsito mayor de la lec-cin. Los alumnos pueden contestar de inmediato porque ya pueden contar, lo que se espera es que se pregunten cmo pueden formar un grupo de 10. Si ellos hacen esa pregunta han logrado el propsito de la clase. En la pgi-na 78 se sugieren varias soluciones. Todas las respuestas sugeridas son apropiadas para la tarea 1 pero el objeto de la clase es Piensa cmo hacerlo, en este caso, cmo ha-cer un grupo de 10. Entonces ellos discuten cmo lograrlo como parte del proceso para hacer el clculo que se les pide, aqu deben aplicar su experiencia en la composicin y descomposicin de nmeros. El libro presenta una secuen-cia de enseanza que se basa en lo que los alumnos han aprendido antes. Esto indica que esta clase est orientada a prepararlos para su futuro aprendizaje.

Fig.1

Fig.2


Actividades

Disea un plan de clase para el segundo grado. Planea cmo usar el pizarrn para conducir la clase usando la leccin de las pginas 31 y 32 del Tomo II, Vol. 1 (Figs. 1 y 2). Da especial atencin a la definicin del propsito de la clase, la secuen-cia de preguntas que hars, las respuestas que creas que los alumnos darn y las preguntas que hars en concordancia para guiarlos hacia la consecucin del propsito.

Reflexiones adicionales Como sealamos antes, la barra vertical al lado de una acti-vidad indica que sta corresponde al enfoque de resolucin de problemas y que el objeto central de la leccin es Piensa cmo hacerlo.

La tarea 3 de la pgina 31, Tomo II, Vol. 1, consiste en encontrar el nmero de libros. Antes de esto, los alumnos ya conocen los nmeros hasta el 1000, las representaciones del sistema de numeracin de base 10 con bloques y un pri-mer acercamiento a la forma vertical de la suma en el caso en que todas las sumas de los dgitos son menores que 10, es decir, no es necesario descomponer nmeros. Cun-tos hay? es la tarea original y Piensa cmo hacerlo es el objeto principal de la clase. Los alumnos pueden encontrar la respuesta usando los diagramas de bloques, lo que se les est pidiendo es que apliquen lo que aprendieron antes, se ha logrado el objetivo de la clase si los alumnos se dan cuenta que es necesario descomponer algunos nmeros y que tienen que pensar cmo pueden usar esto en la forma vertical de la suma. La pgina 32 sugiere varias soluciones usando la forma vertical. Todas las respuestas sugeridas son correctas para la tarea 3, pero el propsito de la clase es pensar cmo hacerlo. Los alumnos discuten sobre las distintas opciones sabiendo de antemano que son correctas todas y el maestro introduce la forma convencional con la ayuda de los diagramas de bloques. La leccin muestra la secuencia para formalizar las ideas matemticas y se abor-da la forma general hasta el final de la leccin. A travs de esta secuencia los alumnos tienen la oportunidad de apren-der por s mismos.

Fig. 1

Fig. 2


Actividades

Disea un plan de clase para el tercer grado. Planea cmo usar el pizarrn para conducir la clase usando la leccin de las pginas 45 y 46 del Tomo III, Vol. 2 (Figs. 1 y 2). Da es-pecial atencin a la definicin del propsito de la clase, la secuencia de preguntas que hars, las respuestas que creas que darn los alumnos y las preguntas que hars en con-cordancia para guiarlos hacia la consecucin del propsito.

Reflexiones adicionalesComo sealamos antes, la barra vertical al lado de una activi-dad indica que sta corresponde a la resolucin de problemas y que el objeto central de la leccin es Piensa cmo hacerlo.

La tarea 1 de la pgina 45, Tomo III, Vol. 2, consiste en en-contrar el nmero de bolsas. Antes de esta leccin los alumnos han estudiado la divisin sin residuo, la cual incluye la nocin de la multiplicacin como inversa de la divisin y el reparto uno a uno de los objetos hasta agotarlos. Cuntos hay? es la tarea original y Piensa cmo hacerlo es el objeto principal de la clase. Los alumnos pueden contestar mediante la simple inspeccin de la ilustracin, los globos de texto sugieren que hay que producir una expresin matemtica que represente los datos y sus relaciones en el problema, si los alumnos pro-ponen esto se ha alcanzado el propsito de la clase.

La pgina 46 sugiere varias soluciones mediante diagramas y expresiones matemticas. Todas las respuestas sugeridas son apropiadas para resolver el problema pero la discusin debe centrarse en el residuo y su tamao, esto se resalta en las expresiones matemticas que se sugieren. La leccin muestra la secuencia de enseanza para formalizar las ideas matemticas cuando se arriba al final de la leccin. A travs de esta secuencia los alumnos tienen la oportunidad de valo-rar cada idea y el maestro debe orientarlos para que desarro-llen su pensamiento matemtico por s mismos.

Fig.1

Fig.2


Actividades

Disea un plan de clase para el quinto grado. Planea cmo usar el pizarrn para conducir la clase usando la leccin de las pginas 23 y 24 del Tomo V, Vol. 1 (Figs. 1 y 2). Da especial atencin a la definicin del propsito de la clase, la secuen-cia de preguntas que hars, las respuestas que creas que da-rn los alumnos y las preguntas que hars en concordancia para guiarlos hacia la consecucin del propsito.

Reflexiones adicionalesComo sealamos antes, la barra vertical al lado de una actividad indica que sta corresponde al enfoque de resolucin de proble-mas y que el objeto central de la leccin es Piensa cmo hacer-lo. Adicionalmente, el libro incluye una seccin titulada Piensa cmo hacerlo. Esta seccin tiene como propsito preparar a los alumnos para el captulo siguiente que se enmarca en la resolucin de problemas. Algunas veces los alumnos olvidan lo que han aprendido antes y en algunos casos el profesor del grado anterior no se asegur que se apropiaran adecuadamen-te del conocimiento necesario para abordar los contenidos del grado siguiente. La seccin Piensa cmo hacerlo se incluye para prevenir que se presenten estos casos, en ella hay globos de texto que sugieren ideas para los maestros y los alumnos. Los maestros deben hacer preguntas apropiadas para que los alumnos aprovechen lo que se sugiere en los globos de texto.

La tarea de la pgina 23 del Tomo V, Vol. 1, prepara la extensin de la multiplicacin con nmeros enteros a la multiplicacin con nmeros decimales. Para hacer esto los alumnos tienen que re-definir la multiplicacin y aplicarla con nmeros decimales usando los conocimientos que antes adquirieron. Al inicio la tarea consis-te en completar el recuadro en blanco, antes de esto los alumnos han aprendido algunas cosas sobre los nmeros decimales pero no cmo multiplicar o dividir con ellos. A travs de completar los recuadros en blanco los alumnos pueden extender por su expe-riencia con nmeros enteros al caso de los nmeros decimales y preguntarse cmo calcular usando nmeros decimales. En la pgina 24 se sugieren varias formas de respuesta con base en lo que antes han aprendido acerca de los nmeros enteros. En la si-guiente leccin aplicarn esas ideas para el caso de los nmeros decimales. Dado que ya obtuvieron las respuestas en el captulo anterior, el objetivo principal es enfocarse en Piensa cmo hacer-lo en el contexto de la resolucin de problemas.

Fig.1

Fig.2


Actividades

Disea un plan de clase para el quinto grado. Planea cmo usar el pizarrn para conducir la clase usando la leccin de las pginas 53 y 54 del Tomo VI, Vol. 1 (Figs. 1 y 2). Da es-pecial atencin a la definicin del propsito de la clase, la secuencia de preguntas que hars, las respuestas que creas que darn los alumnos y las preguntas que hars en con-cordancia para guiarlos hacia la consecucin del propsito.

Reflexiones adicionales Como antes se ha sealado, la barra vertical al lado de una

actividad indica que corresponde a resolucin de problemas y que el objeto central de la leccin es Piensa cmo hacer-lo, los alumnos del sexto grado ya estn familiarizados con esta secuencia de enseanza y tienen claro que encontrar la solucin no es el objeto central de la leccin, sino que

deben concentrarse en encontrar varias maneras eficientes para resolver el problema y que al final de la clase todos los alumnos deben haberlas comprendido. Ya saben que en la siguiente pgina encontrarn varias soluciones y globos de texto en los que se les sugieren ideas interesantes. Saben que ellos debern analizar esas ideas y producir otras ideas propias. Para que esto ocurra los maestros deben haber anti-cipado qu preguntas pueden orientar mejor el desarrollo del pensamiento matemtico de los alumnos.

El propsito de la tarea 1 de la pgina 53, Tomo VI, Vol. 1, es introducir la nocin de volumen, no cmo calcular el volumen. Los alumnos ya conocen algunas medidas de ca-pacidad, como litros y decilitros, y cmo calcular reas. La tarea se centra en la actividad de comparar, primero median-te comparacin directa, posteriormente se hacen compara-ciones indirectas usando unidades arbitrarias y por ltimo, usando unidades convencionales. Los alumnos que han ve-nido trabajando con los volmenes anteriores estn familiari-zados con esta secuencia. Se recomienda que los maestros hagan estas comparaciones acudiendo a las longitudes y al rea total de la superficie de los slidos. En los espacios a completar de la pgina 54 se consideran las cuatro formas de comparacin que mencionamos en este prrafo. En el caso de la idea de Satoshi la comparacin acude a la nocin de la parte que queda, la cual puede tomarse como unidad para medir ambos objetos. La unidad de volumen no se limita slo al caso de las unidades cbicas, pero se da preferencia a la unidad cbica para realizar los clculos.

Fig.1

Fig.2


Una til lista de cotejo para planear la clase

Actividades

Toma como referencia cada una de las categoras que se mencionan en la lista que se muestra a continuacin para analizar las pginas 11 y 12 del Tomo IV, Vol. 2. Indica qu actividades de esas pginas se pueden asociar a las categoras que se mencionan en la lista, si una categora no puede aplicarse elige NA.

Fase 1. Presentacin del problema y predicciones (perspectivas para la solucin)

(1) Presentacin del problema para inducir que se genere la problemtica.

(2) Ubicacin del planteamiento del problema en el contexto cotidiano o el contexto matemtico que es de utilidad para el nio.(3) Propicia el desarrollo de la problemtica por parte los alumnos para que clarifiq

Forma, Espacio y Medida

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