Formulario de Estadística

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Datos sin agrupar Datos agrupados

media

x

x

n

ii

n

1

x

n c

n

i ii

m

1

m

n

c

i

i

: nº clases

: nº datos por clase

: marca de clase

desviación típica de la población

( )x

N

ii

N2

1

( )c n

N

i ii

m2

1

desviación típica muestral

s

x x

nn

ii

N

1

2

1

1

( )

,s

x x

nn

ii

N

( )2

1 s

c x n

nn

i ii

m

1

2

1

1

( )

,s

c x n

nn

i ii

m

1

2

1

1

( )

coeficiente de asimetría

C A

x

NC A

x x

n sC A

c x n

n s

ii

N

ii

n

n

i ii

m

n

. .

( )

. .

( )

( ). .

( )

( )

3

1

3

3

1

1

3

3

1

1

31 1,

coeficiente de curtosis

C Ap

x

NC Ap

x x

n sC Ap

c x n

n s

i

i

N

i

i

n

n

i i

i

m

n

. .

( )

. .

( )

( ). .

( )

( )

4

1

4

4

1

1

4

4

1

1

41 1- 3, - 3 - 3

Diagrama de cajas

L I QQ Q

L S QQ Q

. . . , . . .

1

3 1

3

3 11 52

1 52

Transformaciones lineales

y a bx s b si i y x

Teorema de Chebyshev

Independientemente de la forma de la distribución de frecuencias, o de probabilidad, de un conjunto de

datos:

p k X kk

( ) 11

2

2

Distribuciones bivariantes de frecuencias

distribución conjunta f x yn

nf x yr i j

ij

r i j( , ) ( , ) , i, j

1

distribuciones marginales f x f x y f y f x yr i r i j r j r i j( ) ( , ), ( ) ( , ) j i

distribuciones condicionales ........ f x yf x y

f yf y x

f x y

f xr i j

r i j

r j

r j i

r i j

r i

( )( , )

( ), ( )

( , )

( )

Covarianza Cov X Y f x y x x y yr i j i j( , ) ( , )( )( ) ij

Coeficiente de correlación ( , )( , )

X YCov X Y

s sx y

recta de regresión Y a bX a y bx bCov X Y

sx

, ,( , )

2

PROBABILIDAD

p A p A

p A B p A p B p A B

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

sucesos incompatibles p A B p A p B( ) ( ) ( ), A B =

sucesos condicionados p A Bp A B

p B( )

( )

( )

sucesos independientes p A B p A p B( ) ( ) ( )

Teorema de Bayes:

Si el espacio muestral lo podemos dividir en n sucesos Ai, disjuntos dos a dos, de los que

conocemos su probabilidad y la probabilidad condicionada p B Ai( ) , entonces

n

j

jj

ii

i

ApABp

ApABpBAp

1

)()(

)()()(

Fórmulas de combinatoria

nnnn

nPRnVR

m

mnC

mnm

nC

kn

nV

nn

n

m

mn

mmnmnkn

......n !.....!

!= n! =P =

1CR

)!(!

!

)!(

!

21

21

...

n,

,1mn,,,

21

3

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

Distribución de Bernoulli

acierto es si 1

fallo es si 0X

)1()( )( caso otro 0

1,0 )(

1

ppXVarpXEen

xqpxf

xx

Distribución binomial X= nº de aciertos

npqXVarnpXEen

nxqpCxf

xnx

xn

)( )( caso otro 0

,.....,2,1,0 )( ,

Distribución de Poisson X= nº de aciertos

)()(

caso otro 0

,.....,2,1,0 !)( XVarXE

en

nxx

exf

x

Distribución hipergeométrica X= nº de aciertos

1)( )(

población aciertos nº :k

caso otro 0

,.....,2,1,0 )(

,

,,

N

nNnpqXVar

N

knXE

en

nxC

CC

xfnN

xnkNxk

Distribución binomial negativa X: nº fracasos antes de obtener k éxitos

2

xk

p

p)-k(1=)(

p

p)-k(1=)(

n.,0,1,2,....= x qp x

1-x+k=),;(

XVarXE

pkxp

Valor medio de X: E X x f xx

( ) ( )

Mediana: p ( X m ) ½ p ( X m ) ½

p ( X m ) p ( X > m )

p ( X < m ) p ( X m )

Varianza: Var X E X x f xx

( ) ( ) ( ) 2 2

4

Propiedades

1

2

2 2

2 2

) ( ) ( )

, ,........,

( ........ ) ( ) ( ) ........ ( )

( ........ ) ( ) ( ) ........ ( )

E aX b aE X b

X X

E X X E E X E X

E X X E E X E X

n

n n

n n

a, b constantes

2) X v.a. independientes

X X

X X

1

1 1

1 1 3

4

5

2

2

2

2 2

) ( ) ( ) ( )

) ( ) ( )

) , ,........,

( ........ ) ( ) ( ) ........ ( )

Var X E E X

Var aX b a Var X

X X

Var X X Var Var X Var X

n

n n

X

X v.a. independientes

X X

2

1

1 1

Función de distribución )()( oo xXpXF

Función de probabilidad

f X p X x f x

x

( ) ( ) ( ) 1

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD

Función de probabilidad: 1 )( )( dxxfxf

dxxfbXapb

a )()(

Distribución uniforme

0

-

1

=)(

casootroen

bxaabxf

= 2

ba 2 =

12

)( 2ab

Distribución exponencial

2)( )(

0

0< x 0

0 1

)( )(

XVarXE

xexf

x

Distribución normal 2

1)( ),(

2

2)(

2

1

2 RxexfNx

E X Var X( ) ( ) 2

5

Teorema del límite central

Si X 1 , ,........,X Xn2 es una muestra aleatoria de una población cualquiera, y,

)1,0( )(

),(

),(

)( )(2

2

1

2

NX

n

nNX

nnNX

XVarXE

n

i

i

ii

Distribución chi-cuadrado

2=)(

)(

0<x 0

0

)2

(2

1

)(

21

2

22

nXVar

nXExexnxf

xn

n

n

Si X 1 , ,........,X Xn2 son v.a. que siguen una distribución normal tipificada

N(0,1), entonces X X Xn1

2

2

2 2 + ........ es una distribución n

2 , con n grados de

libertad.

Si X 1 , ,........,X Xn2 son una muestra aleatoria cuya media es x , entonces

( )x xi

i

n

2

1

2 sigue una una distribución n1

2 , con (n-1) grados de libertad

.

Distribución t de Student

Si X e Y son v.a. independientes, donde X sigue una dist. normal N(0, 1), e Y

una n

2 , entonces, la v.a. tX

Y

n

sigue una distribución t de Student con n grados de

libertad

Si X 1 , ,........,X Xn2 son una muestra aleatoria de una población

normal N( , 2 ) , entonces la variable x

sn

n

1

1 sigue una una distribución

tn1 , con (n-1) grados de libertad.

Función de distribución: F x p X x( ) ( )

6

DISTRIBUCIONES MULTIVARIANTES

Función de probabilidad f x y p X x Y y( , ) ( , )

f x y f x y dxdyx y

( , ) ( , ),

1 1

Función de distribución

F x y p X x Y y f x yF x y

x y( , ) ( , ) ( , )

( , )

2

Distribuciones marginales

f x f x y x f x y dy

f y f x y y f x y dx

y

x

1 1

2 2

( ) ( , ) ( ) ( , )

( ) ( , ) ( ) ( , )

f =

f =

Distribuciones condicionadas

p X x Y yp X x Y y

p Y yp Y y X x

p X x Y y

p X x

g x yf x y

f yg y x

f x y

f x

( )( , )

( )( )

( , )

( )

( )( , )

( )( )

( , )

( )

1

2

2

1

Variables aleatorias independientes f x y f x f y( , ) ( ) ( ) 1 2

Covarianza Cov X Y E X Y E XY E X E Yx y( , ) ( ) ( ) ( )

Correlación

( , )( , )

X YCov X Y

x y

Propiedades:

Var X Y Var X Var Y Cov X Y

Var aX bY c a Var X b Var Y abCov X Y

( ) ( ) ( ) ( , )

( ) ( ) ( ) ( , )

2

22 2

ESTIMACION

es insesgado si: )ˆ(E

Función de verosimilitud L x x f x f xn n

( ........ ) ( )............ ( )1 1

Intervalos de confianza:

7

para la media de una población cualquiera ( 2 conocida)

x

nx

n,

para la media de una población normal ( 2 conocida)

x z

nx z

n12

12

,

para la media de una población normal ( 2 desconocida, n<30)

x tS

nx t

S

n

n n

12

1

12

1,

para la media de una población normal ( 2 desconocida, n 30 )

x zS

nx z

S

n

n n

12

1

12

1,

para la varianza de una población normal ( y 2 desconocidas)

2 1

2

1

21 1

( ),( )n s

b

n s

a

n n

siendo a y b constantes dependientes de la distribución Ji-cuadrado.