¿Es la dimensión del Universo, una dimensión fraccionaria o decimal?

La dificultad …Uno de los conceptos matemáticos que presenta mayor dificultad en el avance de los y las estudiantes, en la educación básica, es el de las fracciones.

Este obstáculo incluso se arrastra y llega a ser insuperable en la vida adulta.

“El aprendizaje de las fracciones está inmerso en procesos de parcelación y descontextualización histórica-epistemológica. Las continuas dificultades en torno al aprendizaje de este concepto (Newstead y Murray, 1998) y su presencia como uno de los mayores obstáculos para la maduración matemática de los estudiantes (Behr, Lesh, Post y Silver, 1983), las han transformado en uno de los temas más estudiados en la matemática educativa (Fandiño, 2005) y han llevado a preguntarse por la propia naturaleza del concepto.” (Peña y Rojas, 2013)

Mapa de la Capacitación:

Fracciones

Conjuntos Numéricos

Connotaciones de Q

Historia

Notación Actual

Babilonios

Egipcios

Hindúes

Al-Jwarizmi y Leonardo de Pisa

Emerger de las Fracciones

(Distintas Construcciones de las Fracciones)

5 Significados Principales (Modelo Kier 1988)

1)Fracción como parte-todo o partes de una unidad (ampliado).2) Fracción como división o cociente.3) Fracción como resultado de una medida.4) Fracción como operador.5) Fracción como razón.

Fracciones en el Currículum

Campos de Problemas

Método SINGAPUR

Fracciones y Decimales

Estudio de Casos

Conjuntos Numéricos

Conjunto Símbolo Imagen Comentarios

Naturales IN Numeros que usamos “naturalmente” para contar.

Cardinales INo

Enteros Z

Racionales Q

Irracionales Q* Los que NO pueden expresarse como fracciones. Raíces inexactas,

Reales IR El contínuo

Imaginarios II Emergen de las respuestas a la ecuación: Números de la forma

Complejos C Números de la forma:

Conjuntos Numéricos

Conjunto QNacen de la necesidad de expresar medidas que no se ajustan de forma perfecta a números enteros.

Formado por todos los números de la forma fraccionaria

se llama NUMERADOR, se llama DENOMINADOR.

Q: viene de “Quebrados” o de “Quotient”, cuociente en Inglés.

Q es ORDENADO: Entre dos racionales existen tres posibilidades: que el primero sea mayor al segundo, que sean iguales o que el segundo sea mayor que el primero.

Q es DENSO (pero NO continuo): Que sea denso en si mismo o simplemente denso, significa que entre dos racionales distintos SIEMPRE hay otro número racional y por ende hay INFINITOS.

En lenguaje decimal, está formado por los Decimales Finitos, los Decimales Infinito Periódicos y los Infinito Semi Periódicos.

Las infinitas fracciones Propias, aquellas en las cuales el numerador el menor que el denominador, están todas acumuladas en el intervalo:

Cultura BabilónicaEn el año 2.500 a.c. los babilonios registran el primer uso de las fracciones.

Su origen está profundamente ligado a la facilitación de sus INTERCAMBIOS COMERCIALES y a sus precisas OBSERVACIONES ASTRONÓMICAS.

En el comercio observaron lo común que era encontrar cantidades que no eran enteras, como por ejemplo (en las convenciones de la época) tenían una longitud que era de 7 codos y un tercio de codo.

Su sistema de numeración era SEXADECIMAL o en base 60. La medida del período orbital de marte era: 12,59;57,17

La cifra moderna para el período de Marte es de 779,936 días.

Cultura Egipcia

“En el papiro del Rhin, o papiro de Ahmés, documento de hace casi 4.000 años, es posible apreciar la costumbre egipcia de expresar toda fracción como una suma de fracciones unitarias (de numerador uno).

Aparece por ejemplo la descomposición de la fracción 2/47:

Este procedimiento explica como hacían las reparticiones: Por ejemplo, si querían repartir 4 panes en partes iguales entre 7 personas, los egipcios dividían cada parte en 2 y entregaban medio pan a cada persona. El medio restante lo dividían en siete partes, cada una de las cuales corresponde a de pan y repartían una de ellas a cada persona.

Por lo tanto, cada invitado recibía: , en nuestra notación actual.” (Peña y Rojas, 2013)

Cultura Hindú“Fueron los hindúes quienes resolvieron el problema de la notación, escribiendo el numerador sobre el denominador. De hecho, los antecedentes más antiguos acerca de la resolución de operaciones con números fraccionarios data de Aryabhata, en el siglo VI d.C. y de Bramagputa , en el siglo VII d.C.” (Peña y Rojas, 2013)

Al-Jwãrizmi y Leonardo de Pisa o Fibonacci.

“No es sino hasta el siglo XII que la obra de Aljwärizmi es traducida al latín, y uno de sus grandes difusores –Leonardo de Pisa- comienza a hacer uso de la línea horizontal para representar divisiones originando la notación actual.” (Peña y Rojas, 2013)

Notación ACTUAL:

Emerger de las Fracciones (Construcción de Fracciones)

“Varios autores han señalado la multitud de significados en que el objeto fracción se ve involucrado, y los problemas de aprendizaje que esta polisemia trae consigo (Kieren, 1976). En un estudio reciente, Flores 2001) sistematiza diversos modelos o concepciones de las fracciones con los que se ha estado trabajando en las últimas décadas, señalando que existen hasta 14 significados de fracción en el discurso matemático escolar. Sin embargo, es el modelo propuesto por Kieren (1988) el que concentra los principales significados de fracción, sobre la base de comprensión del número racional. Este modelo contempla 5 significados principales.” (Peña y Rojas, 2013)

Modelo de Kieren (1988)

Nombre del Modelo DescripciónModelo 1 Fracción como parte-todo o partes de una unidad. Considera a la fracción como la relación que existe entre un todo “b”

continuo o discreto dividido en partes alícuotas, y una parte “a” que indica cierto número de partes alícuotas del todo.

Modelo 2 Fracción como división o cuociente. La fracción es el resultado de una situación de reparto donde se busca conocer el tamaño de cada una de las partes resultantes al distribuir “a” unidades en “b” partes iguales.

Modelo 3 Fracción como resultado de una medida. Se relaciona con el su origen histórico correspondiente a expresar una medida tal que no se puede cuantificar con una cantidad entera de unidades de medida. En este caso la unidad de medida se ha dividido en “b” subunidades iguales y se ha repetido “a” veces para completar la medida deseada. Por lo tanto representa “a” veces “b”.

Modelo 4 Fracción como operador. La fracción es un objeto que modifica un valor multiplicándolo por “a” y dividiéndolo por “b”, en que a y b son números enteros positivos.

Modelo 5 Fracción como razón. La fracción indica una comparación entre dos cantidades a y b citadas en el mismo orden en que han sido comparadas.

Mapa Fracciones Enseñanza Básica1ro 2do 3ro 4to 5to 6to

RepartoEquitativo

Demostrar que comprenden las fracciones de uso común: 1/4 , 1/3 , 1/2 , 2/3 , 3/4 :* explicando que una fracción representa la parte de un todo4, de manera concreta,pictórica, simbólica, de forma manual y/o con software educativo* describiendo situaciones, en las cuales se puede usar fracciones comparando fracciones de un mismo todo, de igual denominador

Demostrar que comprende las fracciones con denominadores 100, 12, 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2:* explicando que una fracción representa la parte de un todo o de un grupo de elementos y un lugar en la recta numérica* describiendo situaciones en las cuales se puede usar fracciones* mostrando que una fracción puede tener representaciones diferentes* comparando y ordenando fracciones (por ejemplo: 1/100, 1/8, 1/5, 1/4, 1/2) con material concreto y pictórico Resolver adiciones y sustracciones de fracciones con igual denominador (denominadores 100, 12, 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2) de manera concreta y pictórica en el contexto de la resolución de problemas. Identificar, escribir y representar fracciones propias y los números mixtos hasta el 5 de manera concreta, pictórica y simbólica, en el contexto de la resolución de problemas. Describir y representar decimales (décimos y centésimos):* representándolos en forma concreta, pictórica y simbólica, de manera manual y/o con software educativo* comparándolos y ordenándolos hasta la centésima Identificar, escribir y representar fracciones propias y los números mixtos hasta el 5 de manera concreta, pictórica y simbólica, en el contexto de la resolución de problemas.

Demostrar que comprenden las fracciones propias4:* representándolas de manera concreta, pictórica y simbólica* creando grupos de fracciones equivalentes –simplificando y amplificando– de maneraconcreta, pictórica y simbólica, de forma manual y/o con software educativo* comparando fracciones propias con igual y distinto denominador de manera concreta,pictórica y simbólica. Demostrar que comprenden las fracciones impropias de uso común de denominadores 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 y los números mixtos asociados:* usando material concreto y pictórico para representarlas, de manera manual y/o consoftware educativo* identificando y determinando equivalencias entre fracciones impropias y números mixtos* representando estas fracciones y estos números mixtos en la recta numérica Resolver adiciones y sustracciones con fracciones propias con denominadores menores o iguales a 12:* de manera pictórica y simbólica* amplificando o simplificando Determinar el decimal que corresponde a fracciones con denominador 2, 4, 5 y 10. Comparar y ordenar decimales hasta la milésima. Resolver adiciones y sustracciones de decimales, empleando el valor posicional hasta la milésima.Resolver problemas rutinarios y no rutinarios, aplicando adiciones y sustracciones de fraccionespropias o decimales hasta la milésima.

Demostrar que comprenden el concepto de razón de manera concreta, pictórica y simbólica,en forma manual y/o usando software educativo. Demostrar que comprenden el concepto de porcentaje de manera concreta, pictórica ysimbólica, de forma manual y/o usando software educativo. Demostrar que comprenden las fracciones y números mixtos:* identificando y determinando equivalencias entre fracciones impropias y númerosmixtos, usando material concreto y representaciones pictóricas de manera manual y/o con software educativo* representando estos números en la recta numérica

Resolver adiciones y sustracciones de fracciones propias e impropias y números mixtos connumeradores y denominadores de hasta dos dígitos. Demostrar que comprenden la multiplicación y la división de decimales por númerosnaturales de un dígito, múltiplos de 10 y decimales hasta la milésima de manera concreta, pictórica y simbólica. Resolver problemas rutinarios y no rutinarios que involucren adiciones y sustracciones defracciones propias, impropias, números mixtos o decimales hasta la milésima.

Tercero Básico:

Demostrar que comprenden las fracciones de uso común: 1/4 , 1/3 , 1/2 , 2/3 , 3/4: o explicando que una fracción representa la parte de un todo, de manera concreta, pictórica y simbólica, de forma manual y/o con software educativo o describiendo situaciones en las cuales se puede usar fracciones o comparando fracciones de un mismo todo, de igual denominador.

Campos de Fracciones:“… recoger, integrar y articular distintos tipos de tareas con sus respectivas técnicas y conceptos, constituye un verdadero “Terreno de trabajo” denominado campo.” (Espinoza y Mitrovich, 2001).

Familias de Problemas:“Un conjunto amplio de problemas puede estar relacionado con una misma tarea matemática. A este conjunto de problemas le llamaremos Familia de Problemas” (Espinoza y Mitrovich, 2001).

MAGNITUD: es todo aquello susceptible de aumentar o disminuir. CANTIDAD: es cada estado particular de la magnitud mensurable (lo que ocurre en un momento determinado).EJEMPLOS: Magnitud: asistentes a los partidos de fútbol del R. Madrid. Cantidad: asistentes al último partido de la liga jugado por el R. Madrid.

Tareas en torno a las Fracciones (Hasta 4to. Básico):Tareas: Sub-Tareas:

T1: Partir Equitativamente una (o varias) cantidad de magnitud en un número de partes.

T11: Partir en partes iguales una cantidad de magnitud dada.T12: Identificar en notación fraccionaria, que parte de la unidad representa una o más partes de ella.T13: Identificar, en notación fraccionaria, qué parte de la unidad representa una o más partes de una parte de ella.

T2: Comparar por diferencia distintas Cantidades.

T21: Ordenar dos o más fracciones que correspondan a las medidas de ciertas cantidades de una misma magnitud.T22: Comparar las medidas de distintas cantidades de magnitud, y cuantificar las diferencias entre las cantidades dadas.

T3: Representar gráficamente distintas fracciones en la recta numérica.

T31: Ubicar una o más fracciones en la recta numérica.T32: Representar en la recta numérica un intervalo que cumpla una determinada condición.

T4: Cuantificar la cantidad de magnitud que corresponde a una parte de ella.

T41: Calcular la cantidad de magnitud total que se tiene cuando es conocida la cantidad de magnitud que corresponde a una fracción de ella.T42: Calcular la cantidad de magnitud que corresponde a una fracción de una cantidad total conocida.T43: Dadas ciertas cantidades de magnitud de una cantidad conocida, calcular la fracción que corresponde a la cantidad de magnitud restante (complemento de la unidad).

T5: Determinar fracciones que cumplen ciertas condiciones de orden respecto de otras dadas.

T51: Intercalar fracciones en un intervalo dado de extremos enteros o fraccionarios.T52: Dada una o más fracciones, determinar intervalos que las contengan con una determinada precisión.

T6: Transformar unidades de medidas. T61: Dadas ciertas cantidades de una misma magnitud en unidades de medida distinta, transformarlas a la misma unidad.

Espinoza, L. y Mitrovich, D. (2001)

Matriz de Técnicas:

Es el conjunto de gestos que se realizan para abordar y resolver un problema. Más que un algoritmo o rutina es una “manera de hacer”.

Técnicas relativas a Fracciones hasta 8avo. básico

T1 Operaciones con Fracciones

T2 Fraccionar

T3 Fracciones Equivalentes

T4 Comparar por cociente

T5 Complemento a la unidad

T6 Comparación de Fracciones

T7 Ecuaciones lineales de primer grado

T8 Cambio de unidad de medida

T9 Intercalar fracciones

T10 Cociente

T11 Transformar a escritura equivalente

Método SINGAPUR• El Método SINGAPUR trabaja bastante menos contenidos que el

currículum chileno, pero en profundidad. • Según mi opinión personal, el Método SINGAPUR está orientado,

esencialmente, a una cierta efectividad en el testeo Nacional/Internacional.

El método Singapur es un sincretismo de visiones de Psicología Cognitiva y Didácticas que tienen ya historia, podríamos decir que es una mixtura de elementos relevantes y probos en estas materias. Tres pensadores en el ámbito de lo educativo tienen especial relevancia en el método Singapur.

a) 3ro. Básico: Fracciones SINGAPUR

b) 3ro. Básico: Fracciones SINGAPUR:

c) 3ro.Fracciones SINGAPUR:

Un estudio de casos:

• Andrea: Señorita yo entendí que 1/2 es equivalente a 2/4, porque si un entero lo dividimos en cuartos, dos de esos cuartos es la mitad del entero.

• Carmen Luz: ¿Y qué es lo que no entiendes Andrea?

• Andrea: Es que antes, cuando yo decía es igual a, poníamos un signo igual. Si yo decía cuatro menos 3 es 1, escribía cuatro-menos-tres-igual-1.

• Carmen Luz: Eso está perfecto, pero ¿cuál es tu duda?

• Andrea: Mi duda es que si dos cuartos es un medio, y escribo uno-partido-dos-igualdos-partido-cuatro, ¿por qué decimos equivalentes?, ¿por qué el signo igual, en este caso, se lee como equivalente?, ¿por qué no decimos igual?

• Carmen Luz: Es que es cierto que son el mismo número, un medio y dos cuartos, pero como fracciones son distintas.

• Andrea: Eso no lo entiendo. Como fracción un medio es distinto de dos cuartos, pero como número son el mismo. ¿Es decir la fracción un medio no es lo mismo que el número un medio?

• Carmen Luz: Exacto. El número un medio y la fracción un medio, son cosas distintas. Por eso decimos que las fracciones son equivalentes y que los números son iguales.

• Andrea: Entonces cuando escribimos uno-partido-dos-igual-dos-partido-cuatro, estamos pensando las fracciones como números, pero de todos modos decimos equivalentes. Es raro ¿no? Entonces, si yo no digo en qué estoy pensando, si en números o en fracciones, es correcto decir un medio es igual a dos cuartos.

• Carmen Luz: Eso es. La profesora, ya cansada y viendo las caras de aburridos del resto del curso, remata: Si te queda alguna duda, me puedes buscar en la sala de profesores de matemáticas.

Bibliografía:

1) Peña, R. P. y Rojas S. F. (2013) Resignificación del algoritmo para operar aditivamente con fracciones. Instituto Politécnico de México y Centro Felix Klein.

2) Stewart, I. (2013) Historia de las Matemáticas –en los últimos 10.000 años. CRÍTICA – Barcelona. Drakontos.

3) Espinoza, L. y Mitrovich, D. (2001) Colaboradores Barbé, J. ; Gálvez, G. ; Venegas, M. Estudiar Matemáticas en el segundo ciclo Básico: Campos de problemas en torno a las fracciones. Programa P-900, Ministerio de Educación, República de Chile.

4) Reyes, C. (2011) Estudio de casos en la formación de profesores de matemáticas: Integrando matemáticas y pedagogía. J.C. Sáez editor. Dirección del Proyecto Fondef D051-10211. Herramientas para la Formación de Profesores de Matemáticas.

5) Fong Ho Kheong, Dr. (2011). Pensar sin Límites – Matemática Método Singapur - ·B Libro del alumno. Marshall Cavendish Education, Galileo Educación, SBS Software and Books Solutions.

6) MATEMATICA, Programa de Estudio, 1ro. a 6to. Básico, Decreto Nro. 2960/2012, Unidad de Currículum y Evaluación, Enero 2013, MINEDUC.