Fracciones Continuadas
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UNIVERSIDAD DE PANAMÁ
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA
ESCUELA DE MATEMÁTICA
“FRACCIONES CONTINUADAS”
POR:
ELSIE STHEPANIE MORENO GONZÁLEZ
PANAMÁ, REPÚBLICA DE PANAMÁ
2009
MONOGRAFÍA PRESENTADA COMO UN
REQUISITO PARA OPTAR POR EL TÍTULO
DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICA
Fracciones Continuadas
Índice General
Dedicatoria 3
Agradecimiento 4
Introducción 6-7
Sección 1.
Motivación Histórica 9-12
Sección 2.
Fracciones continuadas Simples Finitas 14-25
Algoritmo del desarrollo en fracción Continuada
Definición de Fracción Continuada Fracciones Continuadas Convergentes
Sección 3.
Fracciones Continuadas Infinitas 27-41
Representación de un Número Irracional utilizando Fracción Continuada
Fracción Continuada Periódicas
Sección 4.
Aproximación de Números Reales 43-52
Fracciones Continuadas y Ecuaciones Diofantinas Lineales
Método para Resolver la Ecuación de Pell utilizando Fracciones Continuadas
Algunos Desarrollos Notables
Conclusiones 53
Recomendaciones 54
2 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Bibliografía 55
Dedicatoria
Con todo mi amor dedico este trabajo a las personas más sacrificadas en este
largo y duro camino, a mi mamá quien es fuente de inspiración en el continuo
esfuerzo de cada día.
3 Teoría de Números
A Dios mi sacrificio y a la Universidad mis
recuerdos y a mi mamá Aida el triunfo que
orgullosamente obtengo.
Fracciones Continuadas
Agradecimiento
En primer lugar a Dios por darme la fuerza y el conocimiento necesario para
culminar con éxitos uno de mis mayores anhelos.
Al Dr. Jaime Gutiérrez del Departamento de Matemática por su efectivo
asesoramiento, por brindarme sugerencias, gracias a estas correcciones y aportes
este trabajo de graduación ha alcanzado los objetivos trazados.
De igual forma quiero agradecer a todas esas personas que de una u otra forma
contribuyeron y me incentivaron en la realización de este trabajo.
A Todos Mil Gracias
4 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Introducción
Hemos elaborado el siguiente trabajo como un requisito necesario para optar el
grado de Licenciatura en Matemática de la Universidad de Panamá, el cual está
basado en una serie de investigaciones.
La escogencia de nuestro tema “Fracciones Continuadas” se debe a que el
Algoritmo de las Fracciones Continuadas es un tema del Algebra pocas veces
contemplada en la enseñanza y constituye además una de las perfectas
sistematizaciones de los matemáticos de los siglos XVII y XVIII entre los que
podemos mencionar están:
Euler (1780)
Huygens (1680)
Lagrange (1774) y otros.
Este trabajo se ha presentado con la mayor formalidad posible, el cual consiste en
resaltar problemas con Fracciones Continuadas basándose en definiciones,
teoremas, métodos de resolución y ejemplos que ayuden a la comprensión de los
temas expuestos.
De ahí la importancia de presentar un trabajo que muestre de manera clara y
sencilla la aplicación de este tema, y de esta forma lograr el objetivo que se basa
en que el lector no vea las fracciones continuadas como un tema fuera de su
5 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
alcance más bien que comprenda su sencillez y su importancia como instrumento
de aproximación de números reales.
En este trabajo no se pretende solo adquirir la experiencia sino también la
importancia que tienen la Fracciones Continuadas como la Teoría de Números en
la disciplina matemática.
Solo nos resta esperar que el esfuerzo que hemos realizado, alcance los objetivos
trazados y que las naturales lagunas de este trabajo sean objeto de estudio de
futuros investigadores y manifestamos nuestro interés por todas las sugerencias
constructivas posteriores así como informaciones y observaciones de errores, las
cuales serán bien recibidas.
Finalmente presentaremos las conclusiones, recomendaciones y bibliografías.
6 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Sección 1.
Motivación Histórica de Las Fracciones
Continuadas
En un inicio el hombre tenía la necesidad de saber cuánto poseía, cuanto tenía, lo
cual dio comienzo al estudio, desarrollo y establecimientos de nuevos
procedimientos para dar respuesta a estas y otras tantas interrogantes.
Desde hace 5000 años las mayorías de las civilizaciones han contado como lo
hacemos hoy, sin duda la forma de escribir los números ha sido muy diversa y
variada.
Recordemos que durante el imperio romano se utilizaban los números romanos,
los hindúes contaban con el sistema de numeración en base diez, los babilonios,
chinos y egipcios tenían su propio sistema de numeración.
El estudio de las fracciones continuadas aparecen desde la creación del Algoritmo
de Euclides y comienzan a utilizarse en las primeras civilizaciones entre ellas
mencionaremos:
Civilización China: sus conocimientos están basados en una obra llamada
“Nueve Capítulos en el Arte Matemático”, el cual fue elaborado 200 A.C. a 200
7 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
D.C. Lo más interesante que constituye esta obra para la realización de nuestro
trabajo está basado en las reglas de simplificación de fracciones.
Civilización Babilónica: Las principales fuentes que nos revelan los
conocimientos son “Las tablillas de barro con Escritura Cuneiforme”.
Tenemos que existe la mitad de una tablilla de barro marcada como La Plimpton
322, en donde aparece una lista de ternas pitagóricas, lo cual demuestra el
conocimiento por parte de los babilónicos sobre este tema, ya que esta es una
forma indirecta del algoritmo de Euclides.
Civilización Griega: Euclides uno de los sabios de primera línea logró reunir los
principales conocimientos matemáticos de su época en su obra “Los Elementos”.
Los elementos es un texto introductorio que cubre toda la matemática elemental,
es decir:
La Aritmética
La Geometría Sintética
El Álgebra
Todo lo relacionado con la aritmética lo expresó en los libros VII, VIII, IX, X.
El libro VII comienza con dos proposiciones que juntas constituyen una famosa
regla de La Teoría de Números que conocemos hoy en día como El Algoritmo de
Euclides.
De esta manera podemos notar que el Algoritmo de Euclides aplicado a las
fracciones comunes y a irracionales cuadrática aparece en los libros VII y X de Los
Elementos de Euclides, constituyéndose esto en el fundamento del Algoritmo de
las Fracciones Continuadas.
8 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Por lo tanto, debido a su relación con las fracciones continuadas, la creación del
Algoritmo de Euclides significa el desarrollo inicial de las Fracciones Continuadas.
Civilización Hindú: El estudio más antiguo conocido de las denominadas
Ecuaciones Diofánticas de la forma:
ax + c = by
Es encontrado en el Tratado Aryabhatiya del famoso astrónomo hindú Aryabhata.
El matemático Aryabhata (476-550), utilizó una fracción continuada lineal para
resolver la ecuación indeterminada y también las usó para resolver ecuaciones
diofánticas así como para dar aproximaciones precisas de números racionales.
Brahmagupta (598-668), se dedicó más en el estudio de las ecuaciones de Pell.
Investigó la resolución de la ecuación x2 - 61y2 = 1 encontrando la menor solución:
X= 1 176 319 049
Y= 226 153 980
Bhaskara en el siglo XII mejoro el método; un algoritmo similar a las fracciones
continuadas, permitió resolver un caso general.
Tenemos referencias de que los griegos obtuvieron soluciones para ecuaciones
diofánticas de la forma:
X2 = DY2 + 1
Esta es la llamada ecuación de Pell, nombre dado por Euler, quien resolvió
ecuaciones de este tipo por medio de fracciones continuadas.
Los métodos de Euler y Lagrange para resolver la Ecuación de Pell están basados
en el desarrollo de √D en fracción continuada.
9 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Ahora veamos otros personajes que aportaron y trabajaron en el desarrollo de las
Fracciones Continuadas:
Rafael Bombelli (1562-1572), calculó aproximaciones de la raíz cuadrada de 13,
mediante un antecesor de las fracciones continuadas.
Pietro Antonio Cataldi (1548-1626), se dio cuenta de que el método de Bombelli
valía para todas las raíces cuadradas, lo utilizó para la raíz cuadrada de 18.
William Brouncker (1620-1684), utilizó una fracción continuada para construir
una sucesión que convergía a 4 / π, y aproximó π con 10 decimales significativos.
Christian Huygens (1629-1695), matemático y astrónomo holandés, fue el
primero en demostrar una aplicación práctica de las fracciones continuadas y
descubrió además que las fracciones continuadas son la herramienta ideal para
determinar el número de dientes.
El campo de las fracciones continuadas empezó a florecer cuando Leonard Euler
(1707-1783), Johan Heinrich Lambert (1728-1777) y Joseph Louis Lagrange
(1736-1813) adoptaron el tema.
Leonard Euler (1707-1783), demostró que si un número tiene una fracción
continuada periódica entonces es solución de una ecuación de segundo grado con
coeficientes enteros.
Manifestó que cada racional se puede expresar como una fracción continuada
simple, dio una expresión electrónica en forma de fracción continuada, la cual ha
utilizado para demostrar que e y e2 son irracionales y demostró también como
pasar de una serie a una fracción continuada y viceversa.
10 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Lagrange (1774), notó que su método de 1767 es esencialmente el mismo que el
de Bachet, sin embargo lo más interesante que encontramos es que utiliza las
fracciones continuadas para encontrar el valor irracional de las raíces.
También se demostró que una verdadera base de un cuadrático es una fracción
continuada periódica.
Probablemente en el siglo XIX puede ser escrita como la edad de oro de las
fracciones continuadas.
A principios del siglo XX, las fracciones han hecho sus apariciones en otros
ámbitos.
De esta manera podemos observar que el Algoritmo de Euclides aplicado a
fracciones comunes y a irracionales cuadrática aparecen en los libros VII y X de
los Elementos y constituyen el fundamento del Algoritmo de las Fracciones
Continuadas.
11 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Sección 2.
Fracciones Continuadas Simples Finitas
Es importante presentar un repaso del desarrollo de Las Fracciones Continuadas
simple finita y su representación, y como también sobre las fracciones continuadas
convergentes su definición y como calcular dichas fracciones lo cual veremos a
continuación:
Algoritmo del Desarrollo en Fracción Continuada
Este algoritmo forma parte del algoritmo de Euclides, el cual está compuesto de
varios pasos:
Se separa la parte entera del número.
Se resta la parte entera al número real de ser cero se concluye.
En caso contrario se busca el inverso de la diferencia y se repite.
Este proceso culminara siempre y cuando el número real sea racional.
12 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Podemos observar dos tipos de fracciones:
Cuando tenemos una fracción propia al emplearle la fracción continuada tenemos
que la parte entera será cero y los demás cocientes serán las divisiones sucesivas
realizadas en el algoritmo de Euclides.
En cambio cuando presentamos una fracción impropia su parte entera será
cualquier número distinto de cero y sus cocientes serán las divisiones sucesivas
realizadas en el algoritmo de Euclides.
Por lo tanto podemos concluir que un número real en fracción continuada es un
caso particular del algoritmo de Euclides el cual está comprendido por la
alternación de los pasos mencionados al principio.
Definición de Fracción Continuada
La fracción continuada es una expresión de la siguiente forma:
Donde a0 es la parte entera (a0 puede ser cero) y los ai y bi pueden ser números
reales positivos cualesquiera, pero si cada bi es igual a uno y cada ai ≠ 0,
para i> 0, entonces la fracción se denomina fracción continuada simple.
La cual se representara de la siguiente manera:
13 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
En donde los ai para i >0 son denominados cocientes incompletos de la fracción
continuada.
Si los elementos de una fracción continuada o cocientes incompletos es finito
entonces nos estamos refiriendo a una fracción continuada simple finita; pero si
los cocientes incompletos son infinitos entonces nos referimos a una fracción
continuada simple infinita.
Por lo tanto podemos expresar como fracción continuada simple a todos los
números racionales e irracionales.
Para representar de forma abreviada una fracción continuada se utiliza un
paréntesis cuadrado, en donde su primer elemento será el resultado de la división
directa, la cual estará separada por un punto y coma y los siguientes elementos
son el resultado de la división del inverso del residuo y el divisor, los cuales
estarán separados por coma.
Por lo tanto, una fracción continuada simple finita de un número racional p / q la
podemos expresar en forma abreviada como:
Donde a0 representará un número entero positivo o el cero y los a i con i >0
representaran números naturales.
14 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Ejemplo 1:
Expresar como una fracción continuada simple finita.
Esta fracción se puede representar en forma abreviada como:
La expresión obtenida es llamada fracción continuada de:
Teorema 1. Todo número racional puede ser expresado como una fracción
continuada.
Prueba.
Sea p/q cualquier número racional con q ≠ 0, luego por la afirmación de la
posibilidad de la división inexacta o entera, existen números enteros ai y ri tales que:
15 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Tenemos que r0, r1, ….., rs-1 es una sucesión decreciente de enteros positivos,
puesto que solo existe un número finito de enteros positivos menores que q, este
proceso debe culminar como se indico; esto es, solo existe un número infinito de
enteros positivos ri que satisfacen las ecuaciones dadas.
Por lo tanto, sustituyendo y utilizando los pasos del procedimiento anterior
obtenemos lo siguiente:
16 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Luego podemos deducir que solo un número finito de términos son usados; por lo
tanto, el número racional es representado de forma abreviada por una fracción
continuada simple finita, es decir:
[a0; a1, a2, a3,……, as].
Fracciones Continuadas Convergentes
Definición 1.
Se puede interrumpir una fracción continuada simple finita en determinado
elemento, por ejemplo [a0; a1, a2, a3,……, as] y eliminar los siguientes elementos,
17 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
como lo son [as+1, as+2]. El número que obtenemos de esta forma es llamada n-
ésima fracción convergente y se designa .
En particular para n=0 se tiene la fracción convergente .
Este concepto es introducido en las fracciones continuadas finitas en donde existe
la última fracción convergente que coincide con la misma fracción continuada finita
y también es introducido en las infinitas.
Ejemplo 2.
Encontrar las fracciones convergentes de .
18 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Formación de una Fracción Continuada Convergente
Para encontrar la n-ésima continuada convergente no hay necesidad de copiar
una fracción continuada de realizar un proceso voluminoso de contracción
sucesiva.
Existen fórmulas recurrentes bastantes simples para el cálculo de .
Evidentemente:
A fin de pasar de a , es necesario sustituir a a1 por , una vez
realizadas ciertas transformaciones poco complicadas obtenemos:
Si examinamos esta fórmula podemos observar la siguiente estructura:
19 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Podemos observar escribiendo separadamente, el numerador y el denominador de
la n-ésima fracción continuada convergente obtenemos:
Para n >2.
Determinación de una Fracción Continuada Convergente
En esta sección vamos a considerar las fracciones continuadas convergentes de
los órdenes nulos y primero; las fracciones respectivamente para las cuales
tenemos que:
Consideremos entonces las fracciones continuadas convergentes de los órdenes
2, 3,…, s.
Como podemos observar en el Ejemplo 2, la fracción convergente de segundo
orden para la fracción la expresamos de diferentes maneras, donde todas estas
expresiones constituyen un mismo número escrito mediante distintos
procedimientos.
20 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Por lo tanto, el número tendrá como fracción continuada convergente de
segundo orden el valor de .
Luego observamos entonces que el numerador y el denominador de cada fracción
continuada convergente están exactamente definidos.
Todo esto se desprende de la siguiente demostración del teorema.
Teorema 2.
Si , donde es la n-ésima fracción convergente de la fracción continuada
simple , entonces
Prueba.
Las expresiones para pueden obtenerse según la definición de
fracción convergente.
21 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Para y donde n>2, se demuestra por inducción matemática. Como ya hemos
observado que las relaciones son verdaderas para n=2.
Luego, asumimos que también son válidas para todo entero desde 3 hasta un
valor fijo k. Entonces:
Donde;
(**)
Entonces;
Por lo tanto, podemos observar que para pasar de a hace falta sustituir
por en las fórmulas (**)
Entonces,
22 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Sustituyendo los paréntesis por su valor en (**), se tiene lo siguiente:
Por lo tanto, hemos obtenido las fórmulas (**) con la sustitución de k por k+1.
Con lo cual hemos demostrado que las fórmulas son válidas también para n≥2, lo
cual queríamos demostrar.
También observamos que los denominadores de las fracciones convergentes
crecen estrictamente, es decir, , para n= 2, 3,…
La comparación de con nos brinda: ,
de donde se observa que y puede resultar igual a .
Tenemos definitivamente que:
23 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Estas sucesiones pueden ser finitas o infinitas en función de que sea finita o
infinita la fracción continuada dada.
Cálculo de Fracciones Convergentes
Este cálculo lo realizamos aplicando el Teorema 2.
Ejemplo 3.
Dada la fracción continuada simple finita encuentre las fracciones
continuadas convergentes.
Solución.
Aplicando el Teorema 2 tenemos:
Entonces,
24 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Sección 3.
Fracciones Continuadas Infinitas
25 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Esta sección presenta las fracciones continuadas simples infinitas como calcular
su valor numérico y la determinación de fracciones continuadas periódicas la cual
es una importante sustitución en estas fracciones.
Representación de un Número Irracional utilizando Fracción
Continuada
En primer lugar definiremos ¿Qué son los números irracionales?
Como definición tenemos que los números irracionales son aquellos que no
pueden ser expresados de la forma de m/n, en donde m y n son números enteros.
Entonces tendremos que definir una variable cualesquiera en este caso
utilizaremos β como un número irracional al cual le pertenecerá la siguiente
fracción continuada:
[a0; a1, a2, a3,……, as].
El procedimiento que se lleva a cabo para representar en fracción continuada
simple un número irracional es parecido al proceso utilizado anteriormente.
26 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Teorema 3. Todo número irracional puede ser expresado como una fracción
continuada simple infinita única.
Prueba.
Sea β cualquier número irracional, el cual puede ser expresado de la siguiente
manera:
Donde a0 es el mayor entero menor o igual a β y
Luego, supongamos que β1 sea un número racional, entonces lo podemos
expresar como una fracción continuada simple finita; luego β lo podemos
representar como una fracción continuada simple finita y β está determinado por
un número racional.
Luego, esto es contrario a la hipótesis, por lo tanto, β1 es un número irracional.
Por lo tanto, podemos representar β1 como:
Donde a1 es un entero positivo y β2 es un número irracional.
Este procedimiento se extenderá indefinidamente. Por lo tanto, para cada β i, existe
un número irracional ai+1, tal que:
27 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Donde tenemos que ai+1 es un entero positivo y xi+1 es un número irracional.
Por lo tanto, tenemos ahora que β= [a0; a1, a2, a3,………]
Luego, de todo lo expresado podemos concluir que la representación en fracción
continuada de un número irracional es única.
Procedimiento 1.
Indicar entre que números enteros positivos está comprendido el número
irracional.
Se indicará solo el número menor.
Ejemplo 4.
Expresar como una fracción continuada simple infinita.
Solución:
Entonces empleando este procedimiento tenemos que 2< < 3, luego el número
menor es el 2, así:
28 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Observamos entonces que la expresión es repetida nuevamente.
Por lo tanto al expresar este desarrollo como una fracción continuada es la
siguiente:
Entonces escribiremos la fracción continuada de como:
29 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Pero, como los elementos se repiten indefinidamente conviene escribir la fracción
continuada de la siguiente manera:
La representación de como fracción continuada simple infinita es un ejemplo de
una fracción continuada simple infinita periódica, donde la sucesión de los
términos 1 y 4 es el periodo y la longitud de periodo es dos puesto que se repiten
cada dos términos.
Teorema 4. Toda fracción continuada simple infinita representa un número
irracional.
Prueba.
Consideremos β cualquier fracción continuada simple infinita.
Luego por Teorema 1, β no puede ser un número racional, por lo tanto, β es un
número irracional.
Ejemplo 5.
Determinar el número irracional que representa la fracción continuada simple
infinita .
Solución:
Como β= , luego:
30 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Entonces:
La representación simple infinita dentro del paréntesis es la representación simple
de β – 4.
Así que:
31 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Entonces, la fracción continuada simple infinita representa el número
irracional
Un irracional cuadrático es un número irracional que es solución de una ecuación
cuadrática de la forma a β2 + β + c = 0, donde a, b, c son enteros distinto de cero.
Existen procedimientos sofisticados que permitir obtener una expresión en fracción
continuada para otros números irracionales.
Por ejemplo:
= [1; 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1]
е = [2; 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8]
π= [3; 7, 15, 1, 293, 1,….].
Ejemplo 6.
32 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
En este ejemplo ilustraremos una forma para representar el número irracional
como una fracción continuada simple infinita.
Solución:
Sea , luego
33 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Hemos observado que los elementos se repiten indefinidamente, por lo tanto,
Fracciones Continuadas Periódicas
Una importante sustitución de una determinada fracción continuada simple infinita
es la determinación de fracciones continuadas periódicas.
Decimos que una fracción continuada es periódica si es de la forma:
Donde la secuencia de los términos que se repiten forma el periodo, es decir,
Si la fracción continuada periódica es de la forma se le denomina
fracción continuada periódica pura.
Pero debemos recordar que un irracional cuadrático es un número irracional, que
es una solución de una ecuación cuadrática a , donde, a, b y c son
enteros. Esto es que todo irracional cuadrático es un número real que es de la
34 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
forma , donde r y son números racionales, s ≠ 0, y k es un número entero
positivo que no es un cuadrado perfecto. Las fracciones continuadas periódicas
difieren de otras fracciones continuadas en que ellas representan irracionales
cuadráticos.
Ejemplo 7.
Esta fracción continuada es un ejemplo de una fracción continuada periódica pura.
Teorema 5. Toda fracción continuada periódica representa un irracional
cuadrático.
Prueba.
Consideremos la fracción continuada periódica
Luego, sea:
(*)
Donde
35 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Luego,
Por lo tanto,
(**)
El valor de la fracción continuada en (**) es igual a la (m + 1) n–ésima
convergente.
Sea la i-ésima convergente de la fracción continuada en (**). Entonces,
Esta fórmula liga los cocientes completos con las convergentes.
Por lo tanto de lo anterior tenemos que:
Las raíces de esta ecuación cuadrática con cocientes enteros son números
irracionales, donde “y” satisface la ecuación y “y” es representada por una
fracción continuada simple infinita. Por lo tanto, “y” es irracional cuadrático.
Sea donde r y s son números racionales, y k es un entero
positivo el cual no es un cuadrado perfecto.
36 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
El valor de la fracción continuada en (*) es igual a la (n + 1)- ésima convergente.
Sea , la i-ésima convergente de la fracción continuada en (*). Entonces,
Reemplazando “y” por , obtenemos:
Donde A, B, C, D son números racionales. Por lo que racionalizando obtenemos lo
siguiente:
37 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Donde son números racionales. Además y X es representada por una
fracción continuada simple infinita. Por lo tanto, X es un irracional cuadrático y
toda fracción continuada periódica representa un irracional cuadrático.
Ejemplo 8.
Dada la fracción continuada simple infinita , determine el irracional
cuadrático.
Solución.
Sea y . Entonces y sus dos primeras
convergentes son 3 y 4 respectivamente.
Por lo tanto:
Como,
Entonces,
38 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Donde la raíz de interés es:
Entonces para tenemos que:
Por lo que sus dos primeras convergentes son: 1 y respectivamente.
Así obtenemos entonces lo siguiente:
Esto es:
39 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Teorema 6. Todo irracional cuadrático puede ser expresado como una fracción
continuada periódica.
Prueba.
El proceso que utilizamos para expresar un irracional cuadrático como una
fracción continuada periódica es básicamente igual al ilustrado en el Teorema 3.
Ejemplo 9.
Exprese como una fracción continuada periódica.
Donde como 2 es el mayor entero menor que .
Solución:
40 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Luego, notemos que la expresión aparece nuevamente. La expansión de
dicha expresión como una fracción continuada se repite.
Por lo tanto:
Entonces:
41 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Sección 4.
Aproximación de Números Reales
En esta sección hacemos una revisión sobre la aproximación de números reales.
El cual presenta que una aproximación se basa cuando en algunas ocasiones hay
que reemplazar cierto objeto por otra de su misma naturaleza.
Definición 2.
Llamamos aproximación cuando en distintas ocasiones nos vemos en la
necesidad de sustituir cierto objeto (número, función, etc.) por otra naturaleza,
pero de una manera más simple y suficientemente próximo al objeto dado.
Del conjunto de los números reales separamos un subconjunto de fracciones con
denominadores q, la distancia ente β y la fracción:
La aproximación de un número en forma de una fracción con denominador q
significa hallar entre todas las fracciones con el denominador q la más próxima al
número .
42 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Si en el eje numérico están marcadas todas las fracciones con el denominador q,
entonces, el número β estará entre dos de estas:
De dichas fracciones se escoge la más próxima. Puede suceder el caso de que β
coincida con el punto medio de segmento:
En este caso el problema tiene dos soluciones, pero, por convención eligiéremos
el extremo izquierdo.
En la aproximación de β podemos utilizar fracciones con cualquier denominador.
En la aproximación de números irracionales, debemos tener presente el error de
aproximación.
En el error de aproximación de β mediante la fracción surge un error, denotado
por ∆. El error es el valor exacto menos el aproximado:
43 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Si la aproximación es con defecto, entonces, el error es positivo. Pero si el error es
con exceso, entonces, el error es negativo.
En el error de aproximación de β mediante la fracción surge un error, denotado
por ∆. El error es el valor exacto menos el aproximado:
Si la aproximación es con defecto, entonces, el error es positivo. Pero si el error es
con exceso, entonces, el error es negativo.
Llamamos error absoluto al valor absoluto del error. Podemos observar que el
error absoluto en la aproximación no puede ser mayor que es decir:
Donde será el límite superior del error absoluto.
La sustitución aproximada del número β por una fracción es necesario si dicha
fracción, siendo el denominador pequeño, brinda una alta precisión. Es decir, si el
error absoluto es considerablemente menor que su límite superior.
Para poder caracterizar la utilidad de la aproximación hace falta comparar el error
absoluto real y el límite superior del error absoluto:
44 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Si consideramos la mitad de esta magnitud y la denominamos error reducido.
Llamemos a este error reducido “z”.
Entonces:
Mientras más pequeño sea “z”, más conveniente será la aproximación.
Por otro lado, si designamos por al coeficiente de utilidad, este indicará cuantas
veces el error absoluto real es menor que el valor máximo posible.
Entonces cuando mayor sea , más útil será la aproximación.
Para tener una visión más clara de lo anterior examinemos una tabla de aproximaciones para el
valor π, utilizando denominadores de 1 a 10.
q Valor
Aproximado
Límite Superior
del Error
Absoluto
Z
1 0,1416 0,1416 3,5
2 0,1416 0,2832 1,8
45 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
3 0,1416 0,4248 1,2
4 0,1084 0,4336 1,2
5 0,0584 0,2920 1,7
6 0,0251 0,1504 3,3
7 0,0013 0,0089 56,5
8 0,0166 0,1327 3,8
9 0,0303 0,2743 1,8
10 0,0416 0,4159 1,2
Podemos observar que el coeficiente de utilidad para es el mayor, por lo tanto,
el valor de π estará más cerca de que de cualquiera de los otros valores
aproximados.
Fracciones Continuadas y Ecuaciones Diofánticas Lineales
La teoría de las fracciones continuadas puede ser utilizada para obtener las
soluciones de una ecuación diofántica lineal
El último convergente Cn fracción continuada simple finita
46 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Es igual a:
Luego
Como tenemos:
Multiplicando por tenemos:
Entonces una solución particular x0 y y0 de la ecuación diofántica es el par:
Nota:
(*) Si x0, y0 es una solución particular de la ecuación,
47 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Entonces, la solución general de la ecuación diofántica está dada por:
(**) Si (a, b)=g entonces, la solución general sería:
Ejemplo 10.
Utilizar las fracciones continuadas para determinar la solución general de la
siguiente ecuación diofántica lineal:
Solución:
Dividiendo la ecuación original entre dos obtenemos:
Como (7,11)=1, existen soluciones de la ecuación diofántica lineal.
Por lo tanto la fracción continuada simple finita que representa es la siguiente:
Los convergentes son:
48 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
k 0 1 2 3 4
0 1 1 1 2
0 1 1 2
1 1 2 3
0 1
Luego la solución particular de la ecuación diofántica dada:
Comprobando la ecuación tenemos:
Así por (*) obtenemos la solución general de la ecuación diofántica dada por:
49 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Método utilizado para Resolver La Ecuación de Pell mediante
Fracciones Continuadas
Para determinar las soluciones de La Ecuación de Pell mediante fracciones
continuadas depende de la expansión de en fracciones continuadas.
De acuerdo a la Teoría de Lagrange:
Si tiene el siguiente desarrollo:
Y posee un periodo “t” entonces, el término es la solución más pequeña a la
ecuación de Pell, en donde .
Ejemplo 11.
Utilizar el método de las fracciones continuadas para determinar la solución de la
ecuación:
Solución:
, tiene el siguiente desarrollo en fracción continuada:
50 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Como su periodo es entonces el término es la solución más pequeña,
entonces:
Luego se tiene que:
Verificando se tiene
Podemos observar más detalladamente el Desarrollo de la Ecuación de Pell en el
Capítulo IX.
Algunos Desarrollos Notables en Fracciones Continuadas
51 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Número π
Número e
Número Áureo
Número
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Fracciones Continuadas
Conclusiones
Al finalizar este trabajo de investigación concluimos que:
Las fracciones Continuadas tratan de dar una expresión a los números
reales más convenientes para estudiar sus propiedades aritméticas que la
expresión en decimales.
Las Fracciones Continuadas es un tema muy interesante y de gran
importancia ya que su desarrollo se remontan desde los tiempos de
Euclides y establecemos la posibilidad de la utilización del Algoritmo de las
fracciones continuadas por parte de los matemáticos con lo cual esperamos
que sirva de motivación para muchos lectores y poder así dar un aporte
significativo al campo de las matemáticas.
53 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Recomendaciones
Promover cursos en donde los estudiantes entren en contacto con temas
como este, el cual le sirva de motivación para seguir trabajando en el
campo de la investigación.
Resaltar la importancia que tienen las fracciones continuadas para la
solución de números racionales e irracionales.
Sugerir la incorporación del uso de software especializados para el estudio
detallado en especial en los cursos de la Licenciatura en Matemática.
Considerar este trabajo como parte de la bibliografía para los cursos en el
área de la Licenciatura en Matemática.
54 Teoría de Números
Fracciones Continuadas
Bibliografía
Douglas, Carl; 1963, Continued Fractions
Khinchin, Alexander; 1997, Continued Fractions
Vinogradov; 1977, fundamentos de la Teoría de Números, Editorial Mir,
Moscú
Weil, Andre’; 2006, Number Theory an Approach through History from
Hammurapi to Legendre
Beckmann; 1989, A History of pi
Jaen, Gloria; 1974, Introducción a las Fracciones Continuadas y a Las
Ecuaciones Diofánticas, Tesis, Universidad de Panamá
Brown, Roger; 2008, An Introduction to the Theory of Numbers; Oxford
University Press
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