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Concepto de fracción

Unidad fraccionaria

La unidad f raccionar ia es cada una de las par tes que se ob t ienen a l d iv id i r l a

un idad en n par tes igua les .

Concepto de fracción

Una f racción es e l cociente de dos números enteros a y b , que representamos de

la s igu ien te fo rma:

b, denominador , ind ica e l número de par tes en que se ha d iv id ido la un idad.

a, numerador , ind ica e l número de un idades f racc ionar ias e leg idas .

Representación de fracciones

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La fracción como partes de la unidad

Un todo se toma como un idad. La f racción expresa un valor con re lac ión a ese todo.

Un depós i to cont iene 2 /3 de gaso l ina .

E l todo: e l depós i to . La unidad equ iva le a 3/3 , en es te caso; pero en genera l ser ía

una f racción con e l mismo número en e l nu merador y e l denominador .

2 /3 de gaso l ina expresa la re lac ión ex is ten te en t re la gaso l ina y la capac idad de l

depós i to . De sus t res par tes dos es tán ocupadas por gaso l ina .

La fracción como cociente

Repar t i r 4 € en t re 5 amigos .

La fracción como operador

Para ca lcu la r la f racción de un número , mu l t ip l i camos e l numerador por e l número y

e l resu l tado lo d iv id imos por e l denominador .

Calcu lar los 2 /3 de 60 € .

2 · 60= 120

120 : 3 = 40 €

La fracción como razón y proporción

Cuando comparamos dos cant idades de una magn i tud , es tamos usando las

f racciones como razones .

As í , cuando dec imos que la proporción en t re ch icos y ch icas en e l Ins t i tu to es de 3

a 2 , es tamos d ic iendo que por cada 3 ch icos hay 2 ch icas , es dec i r , que de cad a c inco

es tud ian tes , 3 son ch icos y 2 son ch icas .

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Un caso par t icu la r de ap l icac ión de las f racciones como razón son los porcenta jes ,

ya que és tos no son más que la re lac ión de proporc iona l idad que se es tab lece en t re un

número y 100 ( tan to por c ien to) , un n úmero y mi l ( tan to por mi l ) o un número y uno ( tan to

por uno) .

Luís compra una camisa por 35 € , le hacen un descuento de l 10%. ¿Cuánto pagará

por la camisa?

35 · 10 = 350

350 : 100 = 3 .5

35 − 3 .5 = 31.5 €

Clasificación de fracciones

Fracciones propias

Las f racciones propias son aque l las cuyo numerador es menor que e l

denominador . Su va lo r comprend ido en t re cero y uno

Fracciones impropias

Las f racciones impropias son aque l las cuyo numerador es mayor que e l

denominador . Su va lo r es mayor que 1 .

Número mixto

El número mixto o f racción mixta es tá compues to de una parte entera y o t ra

f raccionar ia .

Para pasar de número mixto a f racción impropia , se de ja e l mismo denominador y

e l numerador es la suma del producto de l en tero por e l denominador más e l

numerador , de l número mixto .

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Para pasar una f racción impropia a número mixto , se divide e l numerador por e l

denominador . E l cociente es e l entero del número mixto y e l resto e l numerador de la

f racción , s iendo e l denominador e l mismo .

Fracciones unitarias

Las f racciones uni tar ias t ienen e l numerador igual a l denominador .

Fracciones decimales

Las f racciones decimales t ienen como denominador una potencia de 10 .

Fracciones equivalentes

Dos f racciones son equivalentes cuando e l producto de extremos es igual a l

producto de medios .

a y d son los ex t remos; b y c , los med ios .

Ca lcu la s i son equ iva len tes las f racc iones:

4 · 12 = 6 · 8 48 = 48 Sí

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S i se mul t ip l i ca o d iv ide e l numerador y denominador de una f racc ión por un número

en tero , d is t in to de cero , se ob t iene o t ra f racc ión equ iva len te a la dada.

A l p r imer caso le l lamamos ampl ia r o ampl i f i car .

Simplificar fracciones

Simpl i f icar una f racción es t rans formar la en una f racción equivalente más s imp le .

Para simpl i f icar una f racción d ivid imos numerador y denominador por un mismo

número .

Empezaremos a simpl i f icar p robando por los pr imeros números pr imos : 2 , 3 , 5 , 7 ,

. . . Es dec i r , p robamos a divid ir numerador y denominador en t re 2 m ien t ras se pueda,

después pasamos a l 3 y as í suces ivamente .

Se rep i te e l p roceso has ta que no haya más d iv isores comunes .

S i los té rminos de la f racción te rminan en ceros , empezaremos qu i tando los ceros

comunes f ina les de l numerador y denominador .

S i e l número por e l que d iv id imos es e l máximo común denominador de l numerador

y denominador l legamos a una f racción ir reducible .

Fracciones irreducibles

Las f racciones i r reducibles son aque l las que no se pueden simpl i f icar , es to

sucede cuando e l numerador y e l denominador son pr imos en t re s í , .

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Reducción de fracciones a común denominador

Reducir var ias f racciones a común denominador cons is te en conver t i r las en o t ras

equivalentes que tengan e l mismo denominador . Para e l lo :

1º Se de termina e l denominador común , que será e l mínimo común múlt ip lo de los

denominadores .

2º Es te denominador común , se divide por cada uno de los denominadores ,

mult ip l icándose e l cociente obten ido por e l numerador cor respond ien te .

12 = 22 · 3

9 = 32

m.c .m. (3 . 12 . 9 ) = 22 ·3

2 = 36

Ordenar fracciones

Fracciones con igual denominador

De dos f racciones que t ienen e l mismo denominador es menor la que t iene menor

numerador .

Fracciones con igual numerador

De dos fracciones que t ienen e l mismo numerador es menor e l que t iene mayor

denominador .

Con numeradores y denominadores distintos

En pr imer lugar las tenemos que poner a común denominador .

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Es menor la que t iene menor numerador .

Números racionales

Se l lama número racional a todo número que puede representarse como e l cociente

de dos enteros , con denominador d is t in to de cero . Se representa por .

Representación de números racionales

Los números rac ionales se representan en la rec ta jun to a los números enteros .

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Para representar con prec is ión los números rac ionales :

1Tomamos un segmento de long i tud la un idad, por e jemplo .

2Trazamos un segmento aux i l ia r desde e l o r igen y lo d iv id imos en las par tes que

deseemos. En nues t ro e jemplo , lo d iv id imos en 4 par tes .

3Unimos e l ú l t imo punto de l segmento aux i l ia r con e l ex t remo de l o t ro segmento y

t razamos segmentos para le los en cada uno de los puntos , ob ten idos en la par t i c ión de l

segmento aux i l ia r .

En la p rác t ica se u t i l i zan número rac ional y f racción como sinónimos .

Suma y resta de fracciones

Con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mant iene e l denominador .

Con distinto denominador

En pr imer lugar se reducen los denominadores a común denominador , y se suman

o se restan los numeradores de las f racciones equivalentes ob ten idas.

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Multiplicación de fracciones

La mult ip l icación de dos f racciones es o t ra f racción que t iene :

Por numerador e l producto de los numeradores .

Por denominador e l producto de los denominadores .

División de fracciones

La divis ión de dos f racciones es o t ra f racción que t iene :

Por numerador e l producto de los extremos .

Por denominador e l p roduc to de los medios .

.

Potencias de fracciones

Potencias de exponente entero y base racional

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Propiedades

1.

2.

3. Producto de potencias con la misma base :

Es o t ra potenc ia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes .

4. Divis ión de potencias con la misma base :

Es o t ra po tenc ia con la misma base y cuyo exponente es la d i fe renc ia de los

exponentes .

5. Potencia de una potencia :

Es o t ra po tenc ia con la misma base y cuyo exponente es e l produc to de los

exponentes .

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6. Producto de potencias con e l mismo exponente :

Es o t ra potenc ia con e l mismo exponente y cuya base es e l p roduc to de las bases

7. Cociente de potencias con e l mismo exponente :

Es o t ra potenc ia con e l mismo exponente y cuya base es e l coc ien te de las bases .

Operaciones combinadas con fracciones

Prioridades

1º .Pasar a f racción los números mixtos y decimales .

2º .Calcu lar las potencias y ra íces

3º .Efec tuar las operac iones en t re paréntesis , corchetes y l laves. .

4º .Efec tuar los productos y cocientes .

5º .Real izar las sumas y restas .

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Pr imero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis .

Operamos en e l p r imer paréntesis , qu i tamos e l segundo, s imp l i f i camos en e l te rcero

y operamos en e l ú l t imo.

Rea l izamos e l producto y lo simpl i f icamos .

Rea l izamos las operaciones del paréntesis .

Hacemos las operaciones de l numerador , divid imos y simpl i f icamos e l resu l tado.

Fracción generatriz

Un número decimal exacto o per iódico puede expresarse en fo rma de f racción ,

l lamada f racción generatr iz , de las fo rmas que ind icamos:

Pasar de decimal exacto a fracción

Si la f racción es decimal exacta , la f racción t iene como numerador e l número

dado sin la coma , y por denominador , la unidad segu ida de tan tos ceros como ci f ras

decimales tenga.

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Pasar de periódico puro a fracción generatriz

Si la f racción es per iódica pura , la f racción generatr iz t iene como numerador e l

número dado sin la coma , menos la parte entera , y por denominador un número

fo rmado por tan tos nueves como ci f ras t iene el per íodo .

Pasar de periódico mixto a fracción generatriz

Si la f racción es periódica mixta , la f racción generatr iz t iene como numerador e l

número dado sin la coma , menos la parte entera segu ida de las ci f ras decimales no

per iódicas , y por denominador , un numero fo rmado por tan tos nueves como c i f ras tenga

e l per íodo , segu idos de tan tos ceros como c i f ras tenga la parte decimal no per iódica .