Fracciones y racionales
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1
Concepto de fracción
Unidad fraccionaria
La unidad f raccionar ia es cada una de las par tes que se ob t ienen a l d iv id i r l a
un idad en n par tes igua les .
Concepto de fracción
Una f racción es e l cociente de dos números enteros a y b , que representamos de
la s igu ien te fo rma:
b, denominador , ind ica e l número de par tes en que se ha d iv id ido la un idad.
a, numerador , ind ica e l número de un idades f racc ionar ias e leg idas .
Representación de fracciones
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La fracción como partes de la unidad
Un todo se toma como un idad. La f racción expresa un valor con re lac ión a ese todo.
Un depós i to cont iene 2 /3 de gaso l ina .
E l todo: e l depós i to . La unidad equ iva le a 3/3 , en es te caso; pero en genera l ser ía
una f racción con e l mismo número en e l nu merador y e l denominador .
2 /3 de gaso l ina expresa la re lac ión ex is ten te en t re la gaso l ina y la capac idad de l
depós i to . De sus t res par tes dos es tán ocupadas por gaso l ina .
La fracción como cociente
Repar t i r 4 € en t re 5 amigos .
La fracción como operador
Para ca lcu la r la f racción de un número , mu l t ip l i camos e l numerador por e l número y
e l resu l tado lo d iv id imos por e l denominador .
Calcu lar los 2 /3 de 60 € .
2 · 60= 120
120 : 3 = 40 €
La fracción como razón y proporción
Cuando comparamos dos cant idades de una magn i tud , es tamos usando las
f racciones como razones .
As í , cuando dec imos que la proporción en t re ch icos y ch icas en e l Ins t i tu to es de 3
a 2 , es tamos d ic iendo que por cada 3 ch icos hay 2 ch icas , es dec i r , que de cad a c inco
es tud ian tes , 3 son ch icos y 2 son ch icas .
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Un caso par t icu la r de ap l icac ión de las f racciones como razón son los porcenta jes ,
ya que és tos no son más que la re lac ión de proporc iona l idad que se es tab lece en t re un
número y 100 ( tan to por c ien to) , un n úmero y mi l ( tan to por mi l ) o un número y uno ( tan to
por uno) .
Luís compra una camisa por 35 € , le hacen un descuento de l 10%. ¿Cuánto pagará
por la camisa?
35 · 10 = 350
350 : 100 = 3 .5
35 − 3 .5 = 31.5 €
Clasificación de fracciones
Fracciones propias
Las f racciones propias son aque l las cuyo numerador es menor que e l
denominador . Su va lo r comprend ido en t re cero y uno
Fracciones impropias
Las f racciones impropias son aque l las cuyo numerador es mayor que e l
denominador . Su va lo r es mayor que 1 .
Número mixto
El número mixto o f racción mixta es tá compues to de una parte entera y o t ra
f raccionar ia .
Para pasar de número mixto a f racción impropia , se de ja e l mismo denominador y
e l numerador es la suma del producto de l en tero por e l denominador más e l
numerador , de l número mixto .
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4
Para pasar una f racción impropia a número mixto , se divide e l numerador por e l
denominador . E l cociente es e l entero del número mixto y e l resto e l numerador de la
f racción , s iendo e l denominador e l mismo .
Fracciones unitarias
Las f racciones uni tar ias t ienen e l numerador igual a l denominador .
Fracciones decimales
Las f racciones decimales t ienen como denominador una potencia de 10 .
Fracciones equivalentes
Dos f racciones son equivalentes cuando e l producto de extremos es igual a l
producto de medios .
a y d son los ex t remos; b y c , los med ios .
Ca lcu la s i son equ iva len tes las f racc iones:
4 · 12 = 6 · 8 48 = 48 Sí
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S i se mul t ip l i ca o d iv ide e l numerador y denominador de una f racc ión por un número
en tero , d is t in to de cero , se ob t iene o t ra f racc ión equ iva len te a la dada.
A l p r imer caso le l lamamos ampl ia r o ampl i f i car .
Simplificar fracciones
Simpl i f icar una f racción es t rans formar la en una f racción equivalente más s imp le .
Para simpl i f icar una f racción d ivid imos numerador y denominador por un mismo
número .
Empezaremos a simpl i f icar p robando por los pr imeros números pr imos : 2 , 3 , 5 , 7 ,
. . . Es dec i r , p robamos a divid ir numerador y denominador en t re 2 m ien t ras se pueda,
después pasamos a l 3 y as í suces ivamente .
Se rep i te e l p roceso has ta que no haya más d iv isores comunes .
S i los té rminos de la f racción te rminan en ceros , empezaremos qu i tando los ceros
comunes f ina les de l numerador y denominador .
S i e l número por e l que d iv id imos es e l máximo común denominador de l numerador
y denominador l legamos a una f racción ir reducible .
Fracciones irreducibles
Las f racciones i r reducibles son aque l las que no se pueden simpl i f icar , es to
sucede cuando e l numerador y e l denominador son pr imos en t re s í , .
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Reducción de fracciones a común denominador
Reducir var ias f racciones a común denominador cons is te en conver t i r las en o t ras
equivalentes que tengan e l mismo denominador . Para e l lo :
1º Se de termina e l denominador común , que será e l mínimo común múlt ip lo de los
denominadores .
2º Es te denominador común , se divide por cada uno de los denominadores ,
mult ip l icándose e l cociente obten ido por e l numerador cor respond ien te .
12 = 22 · 3
9 = 32
m.c .m. (3 . 12 . 9 ) = 22 ·3
2 = 36
Ordenar fracciones
Fracciones con igual denominador
De dos f racciones que t ienen e l mismo denominador es menor la que t iene menor
numerador .
Fracciones con igual numerador
De dos fracciones que t ienen e l mismo numerador es menor e l que t iene mayor
denominador .
Con numeradores y denominadores distintos
En pr imer lugar las tenemos que poner a común denominador .
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Es menor la que t iene menor numerador .
Números racionales
Se l lama número racional a todo número que puede representarse como e l cociente
de dos enteros , con denominador d is t in to de cero . Se representa por .
Representación de números racionales
Los números rac ionales se representan en la rec ta jun to a los números enteros .
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Para representar con prec is ión los números rac ionales :
1Tomamos un segmento de long i tud la un idad, por e jemplo .
2Trazamos un segmento aux i l ia r desde e l o r igen y lo d iv id imos en las par tes que
deseemos. En nues t ro e jemplo , lo d iv id imos en 4 par tes .
3Unimos e l ú l t imo punto de l segmento aux i l ia r con e l ex t remo de l o t ro segmento y
t razamos segmentos para le los en cada uno de los puntos , ob ten idos en la par t i c ión de l
segmento aux i l ia r .
En la p rác t ica se u t i l i zan número rac ional y f racción como sinónimos .
Suma y resta de fracciones
Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mant iene e l denominador .
Con distinto denominador
En pr imer lugar se reducen los denominadores a común denominador , y se suman
o se restan los numeradores de las f racciones equivalentes ob ten idas.
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Multiplicación de fracciones
La mult ip l icación de dos f racciones es o t ra f racción que t iene :
Por numerador e l producto de los numeradores .
Por denominador e l producto de los denominadores .
División de fracciones
La divis ión de dos f racciones es o t ra f racción que t iene :
Por numerador e l producto de los extremos .
Por denominador e l p roduc to de los medios .
.
Potencias de fracciones
Potencias de exponente entero y base racional
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Propiedades
1.
2.
3. Producto de potencias con la misma base :
Es o t ra potenc ia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes .
4. Divis ión de potencias con la misma base :
Es o t ra po tenc ia con la misma base y cuyo exponente es la d i fe renc ia de los
exponentes .
5. Potencia de una potencia :
Es o t ra po tenc ia con la misma base y cuyo exponente es e l produc to de los
exponentes .
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6. Producto de potencias con e l mismo exponente :
Es o t ra potenc ia con e l mismo exponente y cuya base es e l p roduc to de las bases
7. Cociente de potencias con e l mismo exponente :
Es o t ra potenc ia con e l mismo exponente y cuya base es e l coc ien te de las bases .
Operaciones combinadas con fracciones
Prioridades
1º .Pasar a f racción los números mixtos y decimales .
2º .Calcu lar las potencias y ra íces
3º .Efec tuar las operac iones en t re paréntesis , corchetes y l laves. .
4º .Efec tuar los productos y cocientes .
5º .Real izar las sumas y restas .
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Pr imero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis .
Operamos en e l p r imer paréntesis , qu i tamos e l segundo, s imp l i f i camos en e l te rcero
y operamos en e l ú l t imo.
Rea l izamos e l producto y lo simpl i f icamos .
Rea l izamos las operaciones del paréntesis .
Hacemos las operaciones de l numerador , divid imos y simpl i f icamos e l resu l tado.
Fracción generatriz
Un número decimal exacto o per iódico puede expresarse en fo rma de f racción ,
l lamada f racción generatr iz , de las fo rmas que ind icamos:
Pasar de decimal exacto a fracción
Si la f racción es decimal exacta , la f racción t iene como numerador e l número
dado sin la coma , y por denominador , la unidad segu ida de tan tos ceros como ci f ras
decimales tenga.
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Pasar de periódico puro a fracción generatriz
Si la f racción es per iódica pura , la f racción generatr iz t iene como numerador e l
número dado sin la coma , menos la parte entera , y por denominador un número
fo rmado por tan tos nueves como ci f ras t iene el per íodo .
Pasar de periódico mixto a fracción generatriz
Si la f racción es periódica mixta , la f racción generatr iz t iene como numerador e l
número dado sin la coma , menos la parte entera segu ida de las ci f ras decimales no
per iódicas , y por denominador , un numero fo rmado por tan tos nueves como c i f ras tenga
e l per íodo , segu idos de tan tos ceros como c i f ras tenga la parte decimal no per iódica .