FÍSICA BLOQUE 0: REVISIÓN DE CONCEPTOS MECÁNICA 2º...

BLOQUE 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA

Se revisan los conceptos básicos de la mecánica de Newton que se estudiaron en elprimer curso: cinemática, dinámica, trabajo y energía.

Rafael Artacho Cañadas

FÍSICA2º CURSO

FÍSICA2º

Rafael Artacho Cañadas 2 de 53

Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA ÍNDICE

CONTENIDOS

1. Las magnitudes cinemáticas. 2. Movimientos rectilíneos. 3. Movimientos en dos dimensiones.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE

1. Representar gráficamente las magnitudesvectoriales que describen el movimiento en unsistema de referencia adecuado.

1.1. Describe el movimiento de un cuerpo a partirde sus vectores de posición, velocidad yaceleración en un sistema de referencia dado.

2. Reconocer las ecuaciones de los movimientosrectilíneo y circular y aplicarlas a situacionesconcretas.

2.1. Obtiene las ecuaciones que describen lavelocidad y la aceleración de un cuerpo a partir dela expresión del vector de posición en función deltiempo.2.2. Resuelve ejercicios prácticos de cinemática endos dimensiones (movimiento de un cuerpo en unplano) aplicando las ecuaciones de losmovimientos rectilíneo uniforme (M.R.U) ymovimiento rectilíneo uniformemente acelerado(M.R.U.A.).

3. Interpretar representaciones gráficas de losmovimientos rectilíneo y circular.

3.1. Interpreta las gráficas que relacionan lasvariables implicadas en los movimientos M.R.U.,M.R.U.A. y circular uniforme (M.C.U.) aplicando lasecuaciones adecuadas para obtener los valores delespacio recorrido, la velocidad y la aceleración.

: CINEMÁTICA

FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 1. Las magnitudes cinemáticas

Un objeto se encuentra en movimiento si cambia su posición respecto a otro quese considera fijo, denominado origen de sistema de referencia.

Un sistema de referencia está formado por un punto, denominado origen,respecto del que se establece la posición de un móvil, y de unos ejescartesianos que se cortan en él.

Ԧ𝑟

Ƹ𝑖

Ƹ𝑗

O X

Y

Ԧ𝑟

Ƹ𝑖

Ƹ𝑗

𝑘

X

Y

Z

Un objeto puede moverse en una, dos o tres dimensiones. Su posición estáreferida a un sistema de coordenadas dado por el origen y los vectoresunitarios ( Ƹ𝑖, Ƹ𝑗, 𝑘).

: CINEMÁTICA

FÍSICA2º



1.1. Vector posición, vector desplazamiento y trayectoria

• Se define la posición como el vector que une el origen del sistema dereferencia elegido con el punto ocupado por el cuerpo.

• La unidad de posición en el SI es el metro (m).

Ԧ𝑟 = 𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑧𝑘 → 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑦 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝛾

𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛾 = 1

X

Y

Z

Ԧ𝑟

𝑥 Ƹ𝑖

y Ƹ𝑗

𝑧 𝑘

O

Donde 𝑥, 𝑦, 𝑧 son componentes cartesianas:

𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽 y 𝑐𝑜𝑠𝛾 se denominan cosenosdirectores y se cumple que:

: CINEMÁTICA

FÍSICA2º



Ԧ𝑟(𝑡) = 𝑥(𝑡) Ƹ𝑖 + 𝑦(𝑡) Ƹ𝑗 + 𝑧(𝑡)𝑘

X

Y

Z

Ԧ𝑟𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

O

Ԧ𝑟𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

∆Ԧ𝑟

∆𝑠

𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎

• Se define el desplazamiento comola variación de la posición:

∆Ԧ𝑟 = Ԧ𝑟𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − Ԧ𝑟𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

൞

𝑥 = 𝑥(𝑡)y = 𝑦(𝑡)z = 𝑧(𝑡)

Ecuaciones paramétricas del movimiento

∆Ԧ𝑟 = 𝑥(𝑡) Ƹ𝑖 + 𝑦(𝑡) Ƹ𝑗 + 𝑧(𝑡)𝑘 −

𝑥(𝑡0) Ƹ𝑖 + 𝑦(𝑡0) Ƹ𝑗 + 𝑧(𝑡0)𝑘

En general:

∆Ԧ𝑟 ≠ ∆𝑠 (𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎)

• Cuando un cuerpo se mueve, cambia su posición.

• El vector de posición como función del tiempo nos da la ecuación de latrayectoria:

: CINEMÁTICA

FÍSICA2º



1.2. Velocidad

• Se define velocidad media como la rapidez con que varía la posición.

• La unidad de velocidad en el SI es el metro por segundo (m s–1).

Ԧ𝑣𝑚 =∆Ԧ𝑟

∆𝑡

La velocidad media es un vector cuyadirección y sentido coincide con losdel vector desplazamiento.

Ԧ𝑣𝑚 =Δ𝑥

Δ𝑡Ƹ𝑖 +

Δ𝑦

Δ𝑡Ƹ𝑖 +

Δ𝑧

Δ𝑡Ƹ𝑖

X

Y

Z

Ԧ𝑟𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

O

Ԧ𝑟𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

∆Ԧ𝑟Ԧ𝑣𝑚

∆𝑠

La celeridad media se define como ladistancia, medida a lo largo de latrayectoria, que recorre en un tiempo:

𝑐𝑚 =∆𝑠

∆𝑡

En general se cumple que: Ԧ𝑣𝑚 ≠ 𝑐𝑚

: CINEMÁTICA

FÍSICA2º



• Cuando la velocidad media se calcula para intervalos muy pequeños de tiempo, se convierte en velocidad instantánea:

Ԧ𝑣 = lim∆𝑡→0

∆Ԧ𝑟

∆𝑡=𝑑Ԧ𝑟

𝑑𝑡

Ԧ𝑣 =𝑑Ԧ𝑟

𝑑𝑡=𝑑𝑥

𝑑𝑡Ƹ𝑖 +

𝑑𝑦

𝑑𝑡Ƹ𝑗 +

𝑑𝑧

𝑑𝑡𝑘

Ԧ𝑣 = 𝑣𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑣𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑣𝑧 𝑘 → 𝑣 = 𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦

2 + 𝑣𝑧2

La celeridad instantánea será:

𝑐 = lim∆𝑡→0

Δ𝑠

Δ𝑡=𝑑𝑠

𝑑𝑡

Se cumple que: Ԧ𝑣 = 𝑣 = 𝑐

X

Y

Z

Ԧ𝑟0

O

∆Ԧ𝑟

∆Ԧ𝑟∆Ԧ𝑟

dԦ𝑟

Ԧ𝑣

𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎

Ԧ𝑣 = 𝑣ො𝑢𝑡

: CINEMÁTICA

FÍSICA2º



1.3. Aceleración

• Se define aceleración media como la rapidez con que varía la velocidad.

• La unidad en el SI es el metro por segundo en cada segundo (m s–2).

Ԧ𝑎𝑚 =∆ Ԧ𝑣

∆𝑡

Ԧ𝑣0

Ԧ𝑣

Ԧ𝑣0

Ԧ𝑣

∆ Ԧ𝑣

Ԧ𝑎𝑚

Cuando la aceleración media se calcula paraintervalos muy pequeños de tiempo, seconvierte en aceleración instantánea:

Ԧ𝑎 = lim∆𝑡→0

∆ Ԧ𝑣

∆𝑡=𝑑 Ԧ𝑣

𝑑𝑡=𝑑𝑣𝑥𝑑𝑡

Ƹ𝑖 +𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡Ƹ𝑗 +

𝑑𝑣𝑧𝑑𝑡

𝑘

La aceleración instantánea es un vectordirigido a la parte cóncava de la trayectoria.

Ԧ𝑎 = 𝑎𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑎𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑎𝑧 𝑘 → 𝑎 = 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦

2 + 𝑎𝑧2

Ԧ𝑎 =𝑑2 Ԧ𝑟

𝑑𝑡2=𝑑2𝑥

𝑑𝑡2Ƹ𝑖 +

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2Ƹ𝑗 +

𝑑2𝑧

𝑑𝑡2𝑘

: CINEMÁTICA

FÍSICA2º



Componentes intrínsecas

Ԧ𝑎

Ԧ𝑎 Ԧ𝑎𝑐

Ԧ𝑎𝑐

Ԧ𝑎𝑡

Ԧ𝑎𝑡

La aceleración se puede expresar en función de lascomponentes (componentes intrínsecas) referidas aun sistema de ejes en cada punto de la trayectoria:

Ԧ𝑎 = Ԧ𝑎𝑡 + Ԧ𝑎𝑐 →

• La aceleración tangencial, at, produce cambiosen el módulo de la velocidad.

𝑎 = 𝑎𝑡2 + 𝑎𝑐

2

Ԧ𝑎𝑡 =𝑑𝑣

𝑑𝑡ො𝑢𝑡

• La aceleración centrípeta o normal, ac, producecambios en la dirección de la velocidad sinafectar al módulo.

Ԧ𝑎𝑐 = −𝑣2

𝑟ො𝑢𝑟

Ԧ𝑎 =𝑑 Ԧ𝑣

𝑑𝑡=𝑑(𝑣ො𝑢𝑡)

𝑑𝑡=𝑑𝑣

𝑑𝑡ො𝑢𝑡 −

𝑣2

𝑟ො𝑢𝑟

: CINEMÁTICA

FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 1. Las magnitudes cinemáticas: CINEMÁTICA

ACTIVIDADES1. El vector de posición de un movimiento viene dado por:

Determinar: i) La ecuación de la trayectoria; ii) La velocidad media entre los instantes 𝑡 = 1 y 𝑡 = 3 𝑠; iii) El vector velocidad instantánea en función del tiempo y su módulo; iv) La aceleración en función del tiempo y su módulo; v) Las componentes intrínsecas de la aceleración en 𝑡 = 1𝑠; vi) El radio de curva en el instante 𝑡 = 1 𝑠.Sol: i) 𝑦 = 3 (𝑥 + 1)/2; ii) Ԧ𝑣𝑚 = 8 Ƹ𝑖 − 3 Ƹ𝑗 𝑚 𝑠−1; iii) Ԧ𝑣 = 4𝑡 Ƹ𝑖 − 3 Ƹ𝑗 𝑚 𝑠−1; 𝑣 =16𝑡2 + 9; iv) Ԧ𝑎 = 4 Ƹ𝑖 𝑚 𝑠−2; 𝑎 = 4 𝑚 𝑠−2; v) 𝑎𝑇 = 3,2 𝑚 𝑠−2; 𝑎𝑁 = 2,4 𝑚 𝑠−2; vi) 𝑟 =

10,42 𝑚

2. Un cuerpo se mueve según la ecuación: Ԧ𝑟 𝑡 = 𝑡2Ԧ𝑖 + 6𝑡Ԧ𝑗 − 4𝑘 (𝑚). i) ¿En qué planose mueve el cuerpo?; ii) ¿Cuál la ecuación de su trayectoria?; iii) Determina lascomponentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura de la trayectoriaa los 5 𝑠.Sol: ii) 𝑦 = 6 𝑥; iii) 𝑎𝑇 = 1,71 𝑚 𝑠−2; 𝑎𝑁 = 1,04 𝑚 𝑠−2, 𝑟 = 130,77 𝑚

Ԧ𝑟 𝑡 = 2𝑡2 − 1 Ԧ𝑖 − 3𝑡Ԧ𝑗 + 4𝑘 (𝑚)

FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 2. Movimientos rectilíneos

2.1. Movimiento rectilíneo y uniforme

Ox0

x

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡⟹ 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡 ⟹ න

𝑥0

𝑥

𝑑𝑥 = න𝑡0

𝑡

𝑣𝑑𝑡 ⇒ 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣(𝑡 − 𝑡0)

𝒙 = 𝒙𝟎 ± 𝒗𝒕

t

x

x0

Móvil que se dirige hacia valores

positivos de la posición

t

x

x0

Móvil que se dirige hacia valores

negativos de la posición

Ecuación del MRU.

Un móvil describe un movimiento rectilíneo y uniforme cuando su aceleraciónnormal y su aceleración tangencial son nulas.

: CINEMÁTICA

FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA

2.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Un móvil describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado si sutrayectoria es una línea recta (𝑎𝑛 = 0) y la velocidad cambia su módulo demanera uniforme (𝑎𝑡 = 𝑐𝑡𝑒. ).

Quedará perfectamente definido cuando se conozca:

• La ecuación de la velocidad en función del tiempo.

• La ecuación de la posición en función del tiempo.

Ox0

x

t t

: CINEMÁTICA 2. Movimientos rectilíneos

FÍSICA2º



Ecuación de la velocidad

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡⟹ 𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡 ⟹ න

𝑣0

𝑣

𝑑𝑣 = න𝑡0

𝑡

𝑎𝑑𝑡 ⟹ 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎 𝑡 − 𝑡0

𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕 Ecuación de la velocidad del MRUA

Ecuación de la posición

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡⟹ 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡 ⟹ න

𝑥0

𝑥

𝑑𝑥 = න𝑡0

𝑡

𝑣𝑑𝑡 = න𝑡0

𝑡

(𝑣0 + 𝑎𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑣0න𝑡0

𝑡

𝑑𝑡 + 𝑎න𝑡0

𝑡

𝑡𝑑𝑡

𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎𝒕 +𝟏

𝟐𝒂𝒕𝟐 Ecuación de la posición del MRUA

Velocidad en función del desplazamiento

𝑡 =𝑣 − 𝑣0𝑎

𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +1

2𝑎𝑡2 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 ·

𝑣 − 𝑣0𝑎

+1

2𝑎

𝑣 − 𝑣0𝑎

2

= 𝑥0 +𝑣2 − 𝑣0

2

2𝑎

𝒗𝟐 − 𝒗𝟎𝟐 = 𝟐𝒂∆𝒙 Ecuación de la velocidad en función del desplazamiento


FÍSICA2º



Gráficas del MRUA

t

v

v0x0

x

t t

a

a

x0

v0

-a’𝑣0 > 0; 𝑎 > 0

𝑣0 > 0; 𝑎 < 0

𝑣0 > 0; 𝑎 > 0

𝑣0 > 0; 𝑎 < 0

𝑎 > 0

𝑎 < 0


FÍSICA2º



Movimientos acelerados en la naturaleza

Los cuerpos en la superficie terrestre o de planetas se encuentran sometidos auna aceleración (𝑔, en la superficie terrestre 𝑔 = −9,8 𝑚 𝑠−2) debido al campogravitatorio, independiente de la masa de los cuerpos.

• Para alturas pequeñas (ℎ << 𝑅𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎), la aceleración es constante.

Las ecuaciones del MRUA serán:

𝑣 = ±𝑣0 − 𝑔𝑡

𝑦 = 𝑦0 ± 𝑣0𝑡 −1

2𝑔𝑡2

Caída libre Lanzamiento vertical𝑣2 − 𝑣0

2 = 2𝑔∆y

Ejemplos: caída libre y lanzamiento vertical.


FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA : CINEMÁTICA 2. Movimientos rectilíneos

ACTIVIDADES3. Dos corredores de atletismo se encuentran separados inicialmente una distancia

de 10 𝑚, y ambos salen simultáneamente al oír el pistoletazo de salida. El corredormás adelantado arranca con una aceleración de 0,27 𝑚 𝑠−2 que mantieneconstante durante 30 𝑠, al cabo de los cuales sigue corriendo uniformemente con lavelocidad alcanzada. El segundo corredor arranca con una aceleración constantede 0,29 𝑚 𝑠−2durante 30 𝑠, transcurridos los cuales se mueve uniformemente con lavelocidad lograda. Determina: i) Cuánto tarda el segundo corredor en dar alcanceal primero?; ii) ¿A qué distancia de la línea más atrasada le da alcance?Sol:i) 31,67 𝑠; ii) 145 𝑚

4. Dos pelotas son lanzadas verticalmente con una velocidad de 30 𝑚 𝑠−1, con unintervalo de tiempo de 0,3 𝑠 entre el primer y segundo lanzamiento. i) ¿A qué alturase cruzan y en qué tiempo lo hacen desde que se lanzó la primera?; ii) ¿Qué alturamáxima alcanzan?Dato: 𝑔 = 9,8 𝑚 𝑠−2

Sol: i) 45,81 𝑚; 3,21 𝑠; ii) 45,92 𝑚

FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 3. Movimientos en dos dimensiones

3.1. Movimientos de trayectoria parabólica

Los movimientos parabólicos pueden ser considerados como la composición dedos movimientos rectilíneos, uno de ellos acelerado.

Movimiento descrito por un cuerpo lanzado con una velocidad inicial, v0, queforma un ángulo con la horizontal.

v0

y0

y

x

𝑦 = 𝑦0 ± 𝑣0𝑡𝑠𝑒𝑛𝛼 −1

2𝑔𝑡2

𝑥 = 𝑣0𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑣𝑦 = ±𝑣0𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑔𝑡

𝑣𝑥 = 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝛼

Las ecuaciones del movimiento vienen dadas por:

• En el punto más alto de la trayectoria, la componente vy, de la velocidad sehace cero.

• En el punto de aterrizaje del objeto (alcance máximo), la altura se hace cero.

: CINEMÁTICA

FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 3. Movimientos en dos dimensiones: CINEMÁTICA

ACTIVIDADES5. Desde una altura de 20 𝑚 se lanza una piedra con una velocidad de 60 𝑚 𝑠−1 y un

ángulo de inclinación respecto a la horizontal de 300. i) Calcula la ecuación de latrayectoria; ii) ¿Qué altura máxima alcanza medida desde el suelo?; iii) ¿A quédistancia, medida desde la vertical del punto de lanzamiento impacta sobre elsuelo?; iv) ¿Qué tiempo tarde en llegar al punto de impacto?; v) ¿Con qué velocidadllega al punto de impacto?; vi) ¿Qué ángulo forma el vector velocidad con lahorizontal?Dato: 𝑔 = 9,8 𝑚 𝑠−2

Sol: i) 𝑦 = 20 + 0,577𝑥 − 0,0018𝑥2 ; ii) 𝑦𝑚 = 65,92 𝑚 ; iii) 𝑥𝑚 = 349,62 𝑚 ; iv) 𝑡 =6,73 𝑠; v) Ԧ𝑣 = 51,96 Ƹ𝑖 − 35,94 Ƹ𝑗 m 𝑠−1 ; 𝑣 = 63,18 𝑚 𝑠−1; vi) 𝛽 = −34,670

6. En un partido de voleibol, un jugador hace un saque desde una distancia de8,10 𝑚 de la red, de modo que la pelota sale desde una altura de 2 𝑚 con unavelocidad de saque de 43,7 𝑘𝑚 ℎ−1 y un ángulo de elevación de 200. Si la alturareglamentaria de la red es de 2,43 𝑚, ¿logra el jugador que la pelota pase al campocontrario?Sol: Si, a una altura de 2,48 𝑚

FÍSICA2º



3.2. Movimientos de trayectoria circular

Los movimientos circulares son acelerados, pues siempre tienen aceleraciónnormal o centrípeta.Para describirlos necesitamos:• La posición angular, 𝜃. Es el ángulo descrito en radianes.• La velocidad angular, 𝜔. Es la rapidez con la que se describe el ángulo.• La aceleración angular, 𝛼. Es la rapidez con la que cambia la velocidad

angular.

s

r

∆𝜃 =∆𝑠

𝑟𝜔 =

𝑑𝜃

𝑑𝑡𝛼 =

𝑑𝜔

𝑑𝑡

Magnitud lineal Magnitud angular Relación

Distancia recorrida 𝑠 (𝑚)

Ángulo descrito𝜃 (𝑟𝑎𝑑)

𝑠 = 𝜃 · 𝑟

Velocidad𝑣 (𝑚 𝑠−1)

Velocidad angular𝜔 (𝑟𝑎𝑑 𝑠−1)

𝑣 = 𝜔 · 𝑟

Aceleración𝑎 (𝑚 𝑠−2)

Aceleración angular 𝛼 (𝑟𝑎𝑑 𝑠−2)

𝑎𝑇 = 𝛼 · 𝑟𝑎𝑁 = 𝜔2 · 𝑟

Relación entre las magnitudes lineales y angulares

3. Movimientos en dos dimensiones: CINEMÁTICA

FÍSICA2º



Carácter vectorial de la velocidad y aceleración angulares

Ԧ𝑣 = 𝜔 × Ԧ𝑟 Ԧ𝑎𝑡 = Ԧ𝛼 × Ԧ𝑟

Las relaciones 𝑣 = 𝜔 · 𝑟 y 𝑎𝑇 = 𝛼 · 𝑟 solo sonposibles si existen las siguientes relacionesvectoriales:

Movimiento circular y uniforme

El movimiento circular uniforme es un movimiento de trayectoria circular en elque la velocidad angular, 𝜔, es constante.

• El período es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa, 𝑇 =Τ2𝜋 𝜔.

• La frecuencia es el número de vueltas que da el móvil en cada segundo. Semide en 𝑠−1, que también se denomina Hertz o hercio (Hz).

𝜔 =𝑑𝜃

𝑑𝑡⟹ 𝑑𝜃 = 𝜔𝑑𝑡 ⟹ න

𝜃0

𝜃

𝑑𝜃 = න𝑡0

𝑡

𝜔𝑑𝑡 ⟹ 𝜽 = 𝜽𝟎 +𝝎𝒕 Ecuación del MCU

Ԧ𝑎𝑛 = 𝜔 × Ԧ𝑣

𝜔

Ԧ𝑟

Ԧ𝑣Ԧ𝑎𝑡

Ԧ𝑎𝑛 Ԧ𝑣

Ԧ𝛼


FÍSICA2º



Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)

El movimiento circular uniformemente acelerado es un movimiento detrayectoria circular, las aceleraciones angular, 𝛼, y tangencial, 𝑎𝑡, permanecenconstantes.

𝛼 =𝑑𝜔

𝑑𝑡⟹ 𝑑𝜔 = 𝛼𝑑𝑡 ⟹ න

𝜔0

𝜔

𝑑𝜔 = න𝑡0

𝑡

𝑎𝑑𝑡 ⟹ 𝜔 − 𝜔0 = 𝛼𝑡

𝝎 = 𝝎𝟎 + 𝜶𝒕 Ecuación de la velocidad en el MCUA

𝜔 =𝑑𝜃

𝑑𝑡⟹ 𝑑𝜃 = 𝜔𝑑𝑡 ⟹ න

𝜃0

𝜃

𝑑𝜃 = න𝑡0

𝑡

𝜔𝑑𝑡 = න𝑡0

𝑡

𝜔0 + 𝛼𝑡 𝑑𝑡

𝜽 = 𝜽𝟎 +𝝎𝟎𝒕 +𝟏

𝟐𝜶𝒕𝟐 Ecuación del movimiento del MCUA

𝝎𝟐 −𝝎𝟎𝟐 = 𝟐𝜶∆𝛉 Ecuación de la velocidad en función del ángulo descrito


FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 3. Movimientos en dos dimensiones: CINEMÁTICA

ACTIVIDADES7. Un disco de 50 𝑐𝑚 de radio gira con una velocidad de 50 𝑟𝑝𝑚. En un determinado

momento se frena hasta que se detiene en 10 𝑠. i) Calcula la aceleración angularsupuesta constante; ii) ¿Cuántas vueltas ha dado en esos 10 𝑠?; iii) Calcula lascomponentes intrínsecas de la aceleración a los 5 𝑠 de iniciar el frenado; iv) ¿Quévelocidad lineal lleva en 𝑡 = 5 𝑠 un punto distante a 25 𝑐𝑚 del centro?Sol: i) 𝛼 = − Τ𝜋 6 𝑟𝑎𝑑 𝑠−2 ; ii) 𝑁 = 4,16 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 , iii) 𝑎𝑇 = −0,26 𝑚 𝑠−2 ; 𝑎𝑁 =3,43 𝑚 𝑠−2; iv) 𝑣 = 0,65 𝑚 𝑠−1

8. Una atracción de feria consiste en unos coches que giran con una velocidad demódulo constante de 3 𝑚 𝑠−1, describiendo una circunferencia de 8 𝑚 de radio enun plano horizontal. i) Calcula las componentes intrínsecas de la aceleración; ii) Sila velocidad de los coches se reduce de manera uniforme hasta 1 𝑚 𝑠−1 en 10 𝑠,calcula la aceleración angular y tangencial en ese tiempo; iii) El número de vueltasque ha dado en ese tiempo.Sol: i) 𝑎𝑛 = 1,1 𝑚 𝑠−2; ii) 𝛼 = −0,025 𝑟𝑎𝑑 𝑠−2; 𝑎𝑡 = −0,2 𝑚 𝑠−2; iii) 𝑁 = 0,40

FÍSICA2º



CONTENIDOS

4. Leyes de la dinámica de Newton. 5. El momento lineal de una partícula. 6. Fuerzas elásticas orestauradoras. 7. Resolución de problemas.


4. Reconocer el papel de las fuerzas como causade los cambios en la velocidad de los cuerpos yrepresentarlas vectorialmente.

4.1. Identifica las fuerzas implicadas enfenómenos cotidianos en los que hay cambios enla velocidad de un cuerpo.4.2. Representa vectorialmente el peso, la fuerzanormal, la fuerza de rozamiento y la fuerzacentrípeta en distintos casos de movimientosrectilíneos y circulares.

5. Utilizar el principio fundamental de la Dinámicaen la resolución de problemas en los queintervienen varias fuerzas.

5.1. Identifica y representa las fuerzas que actúansobre un cuerpo en movimiento tanto en un planohorizontal como inclinado, calculando la fuerzaresultante y la aceleración.

6. Distinguir entre sistemas de referenciainerciales y no inerciales.

6.1. Analiza el movimiento de un cuerpo ensituaciones cotidianas razonando si el sistema dereferencia elegido es inercial o no inercial.

: DINÁMICA

FÍSICA2º



CONTENIDOS


7. Resolver situaciones desde un punto de vistadinámico que involucran planos inclinados y /opoleas.

7.1. Resuelve supuestos en los que aparezcanfuerzas de rozamiento en planos horizontales oinclinados, aplicando las leyes de Newton.7.2. Relaciona el movimiento de varios cuerposunidos mediante cuerdas tensas y poleas con lasfuerzas actuantes sobre cada uno de los cuerpos.

8. Reconocer las fuerzas elásticas en situacionescotidianas y describir sus efectos.

8.1. Determina experimentalmente la constanteelástica de un resorte aplicando la ley de Hooke.

: DINÁMICA

FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 4. Leyes de la dinámica de Newton

4.1. Primera ley: ley de inercia

Un cuerpo sobre el que no actúan fuerzas, o la resultante de todas las queactúan es nula, permanecerá en reposo o moviéndose con velocidad constante.

4.2. Segunda ley: definición de fuerza

Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo no es nula, laaceleración producida es directamente proporcional a la fuerza neta einversamente proporcional a la masa.

Ԧ𝐹 ≠ 0 ⟹ Ԧ𝑎 =σ Ԧ𝐹

𝑚⟹ Ԧ𝐹 = 𝑚 Ԧ𝑎

• La fuerza es una magnitud vectorial que describe las interacciones entre loscuerpos. Su unidad en el SI es el newton (N).

• La masa inercial es una propiedad inherente a la materia que mide laresistencia natural que oponen los cuerpos a cambiar su estado demovimiento. Su unidad en el SI es el kilogramo (kg).

Ԧ𝐹 = 0 ⟹ Ԧ𝑣 = 𝑐𝑡𝑒.

: DINÁMICA

FÍSICA2º



4.3. Tercera ley: principio de “acción y reacción”

Cuando dos cuerpos interaccionan, se ejercen mutuamente fuerzas iguales y desentidos contrarios (aplicadas en cuerpos distintos).

Ԧ𝐹12 = − Ԧ𝐹21

4. Leyes de la dinámica de Newton: DINÁMICA

FÍSICA2º



sistema de referencia del vagón sistema de referencia del observador situado en la tierra

𝑂

𝑂′

Ԧ𝑟

Ԧ𝑟′

Ԧ𝑟𝑂

La posición para el observador O’:Ԧ𝑟′ = Ԧ𝑟 − Ԧ𝑟𝑂

La velocidad para el observador O’:

𝑑Ԧ𝑟′

𝑑𝑡=𝑑Ԧ𝑟

𝑑𝑡−𝑑 Ԧ𝑟𝑂𝑑𝑡

⟹ Ԧ𝑣′ = Ԧ𝑣 − Ԧ𝑣𝑂

4.5. Sistemas de referencia inerciales y no inerciales


FÍSICA2º



sistema de referencia del vagón sistema de referencia del observador situado en la tierra

𝑂

𝑂′

Ԧ𝑟

Ԧ𝑟′

Ԧ𝑟𝑂

4.5. Sistemas de referencia inerciales y no inerciales

La aceleración para el observador O’:

𝑑 Ԧ𝑣′

𝑑𝑡=𝑑 Ԧ𝑣

𝑑𝑡−𝑑 Ԧ𝑣𝑂𝑑𝑡

⟹ Ԧ𝑎′ = Ԧ𝑎 − Ԧ𝑎𝑂

• Si Ԧ𝑣𝑂 = 𝐶𝑡𝑒. , entonces, Ԧ𝑎′ = Ԧ𝑎 (sistema referenciainercial)

• Si Ԧ𝑣𝑂 ≠ 𝐶𝑡𝑒., entonces, Ԧ𝑎′ = Ԧ𝑎 − Ԧ𝑎𝑂 (sistema referenciano inercial), aparecen fuerzas de inercia, Ԧ𝐹𝑖 = −𝑚 Ԧ𝑎𝑂


FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 4. Leyes de la dinámica de Newton: DINÁMICA

ACTIVIDADES9. La ecuación de la posición de un cuerpo de 3 kg es: Ԧ𝑟 = 𝑡 Ƹ𝑖 + 4𝑡 Ƹ𝑗 − 2𝑡2 𝑘 𝑚 . i)

¿Cuál es su aceleración?; ii) ¿Qué fuerza se ejerce sobre el cuerpo?Sol: i) Ԧ𝑎 = −4𝑘 𝑚 𝑠−2; ii) Ԧ𝐹 = −12𝑘 𝑁

10. Un protón penetra en un campo magnético con una velocidad de 4 · 106 𝑚 𝑠−1, detal forma que se ve sometido a una fuerza centrípeta de módulo 6,4 · 10−15 𝑁, quele hace describir un movimiento circular y uniforme. Calcular: i) El radio de latrayectoria que describe el protón; ii) El periodo y la frecuencia.Dato: 𝑚𝑝 = 1,67 · 10−27 𝑘𝑔

Sol: i) 𝑅 = 4,2 𝑚; ii) 𝑇 = 6,6 · 10−6 𝑠; 𝑓 = 1,5 · 105 𝑠−1

FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 5. Momento lineal de una partícula

La masa es la medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo.

A causa de su gran inercia, no es fácil desviar el barco de su

curso

Un cuerpo en movimiento tiende a permanecer en

movimiento

Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en

reposo

El momento lineal o cantidad de movimiento es la magnitud que caracterizael estado de movimiento de un cuerpo.

La unidad en el SI es el kilogramo por metro por segundo (kg m s–1)

Ԧ𝑝 = 𝑚 Ԧ𝑣

: DINÁMICA

FÍSICA2º



5.1. Momento lineal y leyes de Newton

Establece que el momento lineal de una partícula permanece constante en eltiempo, a menos que actúe una fuerza externa sobre ella.

1ª ley de Newton

2ª ley de Newton

Ԧ𝐹 = 𝑚 Ԧ𝑎 = 𝑚𝑑 Ԧ𝑣

𝑑𝑡=𝑑(𝑚 Ԧ𝑣)

𝑑𝑡=𝑑 Ԧ𝑝

𝑑𝑡(𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑚 = 𝑐𝑡𝑒. )

La variación del momento lineal de una partícula con respecto al tiempo es iguala la fuerza resultante que actúa sobre la partícula.

Impulso mecánicoA partir de la 2º ley de Newton:

𝑑 Ԧ𝑝 = Ԧ𝐹𝑑𝑡 ⟹ න𝑝1

𝑝2

𝑑 Ԧ𝑝 = න𝑡1

𝑡2Ԧ𝐹 𝑑𝑡 ⟹ Ԧ𝐼 = ∆ Ԧ𝑝 = Ԧ𝐹∆𝑡 (𝑠𝑖 Ԧ𝐹 = 𝑐𝑡𝑒. )

El impulso es transferencia de cantidad de movimiento causada por la fuerzasobre la partícula.

5. Momento lineal de una partícula: DINÁMICA

FÍSICA2º



5.2. Conservación del momento lineal de un sistema aisladoEs una consecuencia de la 3ª ley de Newton.

Si sobre una partícula no actúan fuerzas o la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella es cero, su momento lineal permanece constante.

Ԧ𝐹 = 0 ⟹𝑑 Ԧ𝑝

𝑑𝑡= 0 ⟹ Ԧ𝑝 = 𝑐𝑡𝑒.

El momento lineal de un sistema de partículas es la suma vectorial de losmomentos de todas las partículas que lo forman:

Ԧ𝑝𝑇 = Ԧ𝑝1 + Ԧ𝑝2 + Ԧ𝑝3 +⋯ =

𝑖=1

𝑛

Ԧ𝑝𝑖

Ejemplo: colisión de dos partículas no sometidas a otras interacciones

Ԧ𝑝1+ Ԧ𝑝2 = Ԧ𝑝1′ + Ԧ𝑝2

′ ⟹ ∆ Ԧ𝑝1 = −∆ Ԧ𝑝2

El momento lineal que pierde una partícula lo gana la otra, de modo que elmomento en su conjunto no habrá variado.

Ԧ𝐹12 = − Ԧ𝐹21 ⟹𝑑 Ԧ𝑝1𝑑𝑡

= −𝑑 Ԧ𝑝2𝑑𝑡

⟹𝑑( Ԧ𝑝1+ Ԧ𝑝2)

𝑑𝑡= 0 ⟹ Ԧ𝑝1+ Ԧ𝑝2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

5. Momento lineal de una partícula: DINÁMICA

FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 5. Momento lineal de una partícula: DINÁMICA

ACTIVIDADES11. Un cuerpo de 2 kg de masa está sometido a una fuerza Ԧ𝐹 = −3 Ƹ𝑖 + 7 Ƹ𝑗 𝑁 durante 3

s. Sabiendo que su velocidad inicial es Ԧ𝑣0 = 12 Ƹ𝑖 − 16 Ƹ𝑗 𝑚 𝑠−1, calcula: i) El impulsomecánico que recibe; ii) El momento lineal después de aplicar la fuerza.Sol: i) Ԧ𝐼 = −9 Ƹ𝑖 + 21 Ƹ𝑗 𝑁 𝑠; ii) Ԧ𝑝𝐹 = 15 Ƹ𝑖 − 11 Ƹ𝑗 (𝑘𝑔 𝑚 𝑠−1)

12. Tenemos dos bolas de billar de la misma masa, una azul y otra roja. Si lanzamos labola azul en la dirección X con una velocidad de 4 𝑚 𝑠−1 contra la bola roja queestá inicialmente parada, esta, tras el choque, sale disparada con una velocidad de2 𝑚 𝑠−1 y un ángulo de 450 con el eje X. ¿Qué velocidad y dirección adquirió la bolaazul después del choque?Sol: 𝛼 = −28,820; 𝑣′1 = 2,93 𝑚 𝑠−1

13. Un objeto de masa 5 kg que se mueve a 20 𝑚 𝑠−1choca contra otro objeto de masadesconocida que estaba en reposo. Después del impacto, el primer objeto semueve en el mismo sentido que antes, pero con una velocidad de 2 𝑚 𝑠−1, mientrasque el segundo lo hace también en ese sentido, pero con una velocidad de12 𝑚 𝑠−1. ¿Qué masa tenía el segundo objeto?Sol: 𝑚 = 7,5 𝑘𝑔

FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 6. Fuerzas elásticas o restauradoras

La fuerza restauradora que un muelle o resorte ejerce sobre un cuerpo esproporcional a la deformación producida, y actúa oponiéndose a dichadeformación (ley de Hooke):

𝐹𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 = −𝑘∆𝑥

F

deformación

límite de proporcionalidad

límite de elasticidad

comportamiento plástico límite de rotura

: DINÁMICA

FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 7. Resolución de problemas

Procedimiento:

1. Identificación de los cuerpos queintervienen en el problema.

2. Identificación de las fuerzas que actúansobre cada uno de ellos, dibujándolas enun diagrama.

3. Descomponer todas las fuerzas posiblesen sus componentes cartesianas.

4. Hallar la resultante de las componentesde las fuerzas en la dirección delmovimiento y aplicamos la 2ª ley deNewton a cada uno de los cuerpos (tantasecuaciones como cuerpos se tengan):

5. Calcular la aceleración.

𝑖=1

𝑛

Ԧ𝐹𝑖 = 𝑚 Ԧ𝑎

mm’Ԧ𝐹 𝐹′

𝐹′

Ԧ𝑃

𝑁

𝑃′

𝑁′

Ԧ𝐹𝑅 𝐹′𝑅

𝐹𝑎 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 −𝐹𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑚𝑎

: DINÁMICA

FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 7. Resolución de problemas: DINÁMICA

ACTIVIDADES14. Los cuerpos A y B de la figura, de masas 5 y 3 kg, respectivamente, están unidos

mediante una cuerda inextensible de masa despreciable sobre un plano inclinado300. El coeficiente de rozamiento de A con la superficie es de 0,2, y el de B es de0,3. Determina la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda.Dato: 𝑔 = 9,8 𝑚 𝑠−2

Sol: 𝑎 = 2,88 𝑚 𝑠−2; 𝑇 = 1,58 𝑁

15. Un cuerpo de 0,5 kg se lanza hacia arriba por un plano inclinado, que forma 300

con la horizontal, con una velocidad inicial de 5 m s–1. El coeficiente de rozamientoes 0,2. i) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, cuandosube y cuando baja por el plano, y calcule la altura máxima alcanzada por elcuerpo; ii) Determine la velocidad con la que el cuerpo vuelve al punto de partida.Dato: 𝑔 = 9,8 𝑚 𝑠−2

Sol: i) ℎ = 0,95 𝑚; ii) 𝑣 = 3,52 𝑚 𝑠−1

A

B

FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 8. Trabajo mecánico: TRABAJO Y ENERGÍA

CONTENIDOS

8. Trabajo mecánico. 9. Energía mecánica. 10. Colisiones entre cuerpos. 11. Trabajo y energía potencial:fuerzas conservativas. 12. Conservación de la energía mecánica.


9. Aplicar el principio de conservación delmomento lineal a sistemas de dos cuerpos ypredecir el movimiento de los mismos a partir delas condiciones iniciales.

9.1. Establece la relación entre impulso mecánico ymomento lineal aplicando la segunda ley deNewton.9.2. Explica el movimiento de dos cuerpos encasos prácticos como colisiones.

10. Establecer la ley de conservación de la energíamecánica y aplicarla a la resolución de casosprácticos.

10.1. Aplica el principio de conservación de laenergía para resolver problemas mecánicos,determinando valores de velocidad y posición, asícomo de energía cinética y potencial.10.2. Relaciona el trabajo que realiza una fuerzasobre un cuerpo con la variación de su energíacinética y determina alguna de las magnitudesimplicadas.

11. Reconocer sistemas conservativos comoaquellos para los que es posible asociar unaenergía potencial y representar la relación entretrabajo y energía.

11.1. Clasifica en conservativas y noconservativas, las fuerzas que intervienen en unsupuesto teórico justificando las transformacionesenergéticas que se producen y su relación con eltrabajo.

FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 8. Trabajo mecánico

8.1. Trabajo de una fuerza constanteԦ𝐹

∆Ԧ𝑟

El trabajo mecánico realizado por una fuerzaconstante que actúa sobre un cuerpo que realizaun desplazamiento es igual al producto escalarentre la fuerza y el desplazamiento. La unidad detrabajo en el SI es el Julio (J), que se define comoel trabajo realizado por la fuerza de 1 N queactúa en la dirección del movimiento y produceun desplazamiento de 1 m. Así 𝟏 𝑱 = 𝟏 𝑵 · 𝟏 𝒎.

𝑊 = Ԧ𝐹 · ∆Ԧ𝑟 = 𝐹 · ∆𝑟 · 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝐹𝑇 · ∆𝑟

𝑥

𝐹𝑇

𝑥0 𝑥1∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0

𝑊

Para una fuerza constante,el área encerrada bajo lagráfica de F entre x0 y x1representa el trabajorealizado.

• Si Ԧ𝐹 ⊥ ∆Ԧ𝑟, 𝑊 = 0

• Si Ԧ𝐹 ∥ ∆Ԧ𝑟, 𝑊 = ±𝐹 · ∆𝑟

: TRABAJO Y ENERGÍA

FÍSICA2º



8.2. Trabajo realizado por fuerzas variables• La mayoría de las fuerzas que existen en la naturaleza varían con la posición.• El área encerrada bajo la gráfica entre las posiciones inicial y final representa

el valor del trabajo.

𝑥

𝐹𝑇

𝑥0 𝑥 𝑥

𝐹𝑇

𝑥0 𝑥𝑥

𝐹𝑇

𝑥0 𝑥𝑥’ 𝑥’’ 𝑥’’’ ….

𝑑𝑊 = Ԧ𝐹 · 𝑑 Ԧ𝑥

El trabajo realizado por una fuerza variable al desplazar un cuerpo desde laposición inicial, Ԧ𝑟0, hasta la posición final, Ԧ𝑟, es igual a la integral definida entreԦ𝑟0 y Ԧ𝑟 del producto Ԧ𝐹 · 𝑑 Ԧ𝑟:

𝑊 = න𝑟0

𝑟

𝑑𝑊 = න𝑟0

𝑟

Ԧ𝐹 · 𝑑 Ԧ𝑟

8. Trabajo mecánico: TRABAJO Y ENERGÍA

FÍSICA2º



8.3. Trabajo realizado por varias fuerzas

Ԧ𝐹1 Ԧ𝐹2

Ԧ𝐹3

Ԧ𝐹4

∆Ԧ𝑟∆Ԧ𝑟

𝑊𝑇 =

𝑖=1

𝑛

𝑊𝑖 = න𝑟0

𝑟

Ԧ𝐹1 · 𝑑 Ԧ𝑟 + න𝑟0

𝑟

Ԧ𝐹2 · 𝑑 Ԧ𝑟 + ⋯+න𝑟0

𝑟

Ԧ𝐹𝑛 · 𝑑 Ԧ𝑟 =

= න𝑟0

𝑟

Ԧ𝐹1 + Ԧ𝐹2 +⋯+ Ԧ𝐹𝑛 · 𝑑 Ԧ𝑟 = න𝑟0

𝑟

Ԧ𝐹𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 · 𝑑 Ԧ𝑟

Cuando varias fuerzas actúan sobre un cuerpo, el trabajo total realizado portodas ellas al desplazar un cuerpo un 𝑑Ԧ𝑟 equivale al que efectuaría la resultantede dichas fuerzas.


FÍSICA2º



8.4. Potencia

Se define como potencia a la rapidez con que se realiza un trabajo

𝑃 =𝑑𝑊

𝑑𝑡=

Ԧ𝐹 · 𝑑 Ԧ𝑟

𝑑𝑡= Ԧ𝐹 · Ԧ𝑣

La unidad de potencia es el Vatio (W).

1 𝑊 =1 𝐽

1 𝑠

Otras unidades:

1 𝑘𝑊 = 103 𝑊 1 𝐶𝑉 = 735𝑊


FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 8. Trabajo mecánico: TRABAJO Y ENERGÍA

ACTIVIDADES16. Determina el trabajo realizado por una fuerza del tipo:

donde 𝑘 es una constante, en un desplazamiento entre una posición inicial 𝑥0 =20 𝑚 a otra final 𝑥=10 𝑚.Sol: 𝑊 = Τ𝑘 20 𝐽

17. Determina el trabajo realizado por una fuerza restauradora al desplazar el extremolibre de un muelle desde su posición de máximo estiramiento hasta su posición deequilibrio. Halla su valor si el alargamiento del muelle ha sido de 10 𝑐𝑚 y el valor dela constante recuperadora k del muelle es de 150 𝑁 𝑚−1.Sol: 𝑊 = 0,75 𝐽

𝐹 = −𝑘

𝑥2

FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 9. Energía mecánica

La energía mecánica es la capacidad que tienen los cuerpos de realizar untrabajo en virtud de su movimiento y/o de estar en una posición distinta de la deequilibrio. La unidad de energía en el SI es el julio (J).

Energía Mecánica

Energía cinética

(asociada al movimiento)Energía potencial

(asociada a la posición)

9.1. Trabajo y energía cinética

𝑊 = න𝐴

𝐵

Ԧ𝐹 · 𝑑 Ԧ𝑟 = න𝐴

𝐵

𝐹𝑇 · 𝑑𝑠 = න𝐴

𝐵

𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡𝑑𝑠 = න

𝐴

𝐵

𝑚𝑑𝑣𝑑𝑠

𝑑𝑡= න

𝐴

𝐵

𝑚𝑣𝑑𝑣 = 𝑚න𝐴

𝐵

𝑣 𝑑𝑣

=1

2𝑚𝑣𝐵

2 −1

2𝑚𝑣𝐴

2

1

2𝑚𝑣2 se denomina

𝐞𝐧𝐞𝐫𝐠í𝐚 𝐜𝐢𝐧é𝐭𝐢𝐜𝐚

Sea cual sea la naturaleza de la fuerza o fuerzas queactúen sobre un cuerpo, el trabajo total realizado altrasladarlo entre dos puntos es igual a la variaciónde la energía cinética:

𝑊 = ∆𝐸𝐶


FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 10. Colisiones entre cuerpos

En un sistema aislado, el momento lineal permanece constante. En unacolisión:

𝑖=1

𝑛

Ԧ𝐹𝑖 =𝑑 Ԧ𝑝

𝑑𝑡= 0 ⟹ Ԧ𝑝 = 𝐶𝑡𝑒. ⟹ 𝒑𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 = 𝒑𝒅𝒆𝒔𝒑𝒖é𝒔

Colisiones

Elástica(se conserva la e.

cinética)

Inelástica(no se conserva la e.

cinética)

Plástica(totalmente inelástica)


FÍSICA2º



En las colisiones elásticas se conservan el momento lineal y la energía cinéticadel sistema.

Ԧ𝑣1 Ԧ𝑣2𝑚1 𝑚2 Ԧ𝑣1′ Ԧ𝑣2′

𝑚1 𝑚2

(antes de la colisión) (después de la colisión)

La conservación de la cantidad de movimiento y de la energía cinética:𝑚1𝑣1 +𝑚2𝑣2 = 𝑚1𝑣1

′ +𝑚2𝑣2′ ⟹ 𝑚1 𝑣1 − 𝑣′1 = 𝑚2(𝑣′2 − 𝑣2)

1

2𝑚1𝑣1

2 +1

2𝑚2𝑣2

2 =1

2𝑚1𝑣1′

2 +1

2𝑚2𝑣2′

2 ⟹ 𝑚1 𝑣12 − 𝑣′1

2 = 𝑚2(𝑣2′2 − 𝑣2

2)

Dividiendo ambas expresiones y teniendo en cuenta que:𝑣2 − 𝑣′

2= 𝑣 − 𝑣′ 𝑣 + 𝑣′

Se obtiene: 𝑣1 + 𝑣′1 = 𝑣′2 + 𝑣2 ⟹ 𝒗𝟏 − 𝒗𝟐 = 𝒗′𝟐 − 𝒗′𝟏

Colisión frontal

10.1. Colisiones elásticas

10. Colisiones entre cuerpos: TRABAJO Y ENERGÍA

FÍSICA2º



Se trata de resolver el sistema formado por:𝑚1𝑣1 +𝑚2𝑣2 = 𝑚1𝑣1

′ +𝑚2𝑣2′

𝑣1 − 𝑣2 = −𝑣1′ + 𝑣2

′

Resolviendo el sistema se obtiene:

𝑣′1 =𝑚1 −𝑚2

𝑚1 +𝑚2𝑣1 +

2𝑚1

𝑚1 +𝑚2𝑣2 𝑣′2 =

2𝑚1

𝑚1 +𝑚2𝑣1 +

𝑚2 −𝑚1

𝑚1 +𝑚2𝑣2

10.2. Colisiones inelásticas (plásticas)

Las colisiones plásticas son aquellas en que los cuerpos quedan adheridos.

Ԧ𝑣1 Ԧ𝑣2𝑚1 𝑚2

Ԧ𝑣𝑚1 𝑚2

(antes de la colisión) (después de la colisión)

Solo se conserva la cantidad de movimiento:𝑚1 Ԧ𝑣1 +𝑚2 Ԧ𝑣2 = (𝑚1 +𝑚2) Ԧ𝑣

Velocidad de cada partícula después de la colisión frontal

10. Colisiones entre cuerpos: TRABAJO Y ENERGÍA

FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 10. Colisiones entre cuerpos: TRABAJO Y ENERGÍA

ACTIVIDADES18. Una bala de acero de masa 1,2 kg que se mueve a 2,7 m s-1 colisiona frontalmente

contra otra bala de acero de masa 0,54 kg que se mueve en sentido contrario a 3,9m s-1. Las balas rebotan una contra la otra y cada una vuelve en la misma direcciónque vino. Si la velocidad de la bala más pequeña tras la colisión es 6,0 m s-1, utilizala ley de conservación del momento para predecir la velocidad de la bala másgrande.Sol: 𝑣′1 = −1,755 m 𝑠−1

19. Una masa A (4,0 kg) se desplaza a 3,0 m s-1 hacia la derecha cuando colisiona conuna masa B (6,0 kg) que se desplaza en sentido opuesto a 5,0 m s-1. Si ambasmasas se quedan pegadas tras la colisión, ¿cuál es su velocidad?Sol: 𝑣𝐴𝐵 = −1,8 𝑚 𝑠−1

FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 11. Energía potencial: fuerzas conservativas

𝑂(𝑥0, 𝑦0)

𝑃(𝑥, 𝑦)

(𝑦 − 𝑦0)

(𝑥 − 𝑥0)

−𝑚𝑔 Ƹ𝑗∆Ԧ𝑟

• Sobre un cuerpo lanzado desde una cierta alturasolo actúa la fuerza peso.

• El trabajo que realiza la fuerza peso:

𝑊 = න𝑂

𝑃

Ԧ𝐹 · 𝑑 Ԧ𝑟 = න𝑂

𝑃

(−𝑚𝑔 Ƹ𝑗) · 𝑑𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑑𝑦 Ƹ𝑗

𝑊 = −𝑚𝑔න𝑂

𝑃

𝑑𝑦 = −𝑚𝑔 𝑦 − 𝑦𝑂 = −(𝑚𝑔𝑦 −𝑚𝑔𝑦0)

Donde𝒎𝒈𝒚 es la 𝐞𝐧𝐞𝐫𝐠í𝐚 𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚𝐥 𝐠𝐫𝐚𝐯𝐢𝐭𝐚𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚.

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre los cuerpos es igual a lavariación negativa de su energía potencial gravitatoria:

𝑊𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 = −∆𝐸𝑃

Fuerzas conservativas son aquellas en las que el trabajo realizado por ellas solodepende de la posición inicial y final del cuerpo y es independiente de latrayectoria seguida. Dicho trabajo equivale a la variación negativa de la energíapotencial:

𝑊𝐶 = −∆𝐸𝑃 ⟹ 𝑊𝐶 = ර Ԧ𝐹 · 𝑑 Ԧ𝑟 = 0


FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 11. Energía potencial: fuerzas conservativas: TRABAJO Y ENERGÍA

ACTIVIDADES20. Un cuerpo se desplaza desde el punto 𝐴(1, 1) hasta el punto 𝐷(3, 3) bajo la acción

de una fuerza que obedece a la expresión:

donde k es una constante. Determina el trabajo efectuado por dicha fuerza a lolargo de las siguientes trayectorias: i) Trayectoria directa desde A hasta D; ii)Trayectoria A(1, 1) → B(1, 3) → D(3, 3); iii) Trayectoria A(1, 1) → C(3, 1) → D(3, 3);iv) ¿Qué puede decirse de dicha fuerza?Sol: i) 𝑊 = Τ4𝑘 3; ii) 𝑊 = Τ4𝑘 3; iii) 𝑊 = Τ4𝑘 3

Ԧ𝐹 =𝑘

𝑥2Ƹ𝑖 +

𝑘

𝑦2Ƹ𝑗 𝑁

FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 12. Conservación de la energía mecánica

Supongamos un sistemas sobre el que actúan varias fuerzas, el trabajo total:

𝑊 = ∆𝐸𝐶 ⟹ 𝑊𝐶 +𝑊𝑁𝐶 = ∆𝐸𝐶 ⟹ −∆𝐸𝑃 +𝑊𝑁𝐶 = ∆𝐸𝐶

𝑊𝑁𝐶 = ∆𝐸𝑃 + ∆𝐸𝐶 = ∆ 𝐸𝑃 + 𝐸𝐶 = ∆𝐸𝑀

Si sobre un sistema solamente actúan fuerzas conservativas, entonces laenergía mecánica de un sistema permanece constante.

∆𝐸𝑀 = 0 ⇒ 𝐸𝑀 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑊𝑁𝐶 = ∆𝐸𝑀

Si sobre un sistema actúan fuerzas no conservativas, el trabajo que realizan es igual a la variación de la energía mecánica del sistema.

La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa.


FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 12. Conservación de la energía mecánica: TRABAJO Y ENERGÍA

ACTIVIDADES21. Desde el punto más alto de una esfera de radio R se

deja resbalar sin fricción una canica de masa m.Demuestra que la canica despegará de la superficieen un punto P tal que el ángulo que forma con lavertical cumple la razón trigonométrica: 𝑐𝑜𝑠𝜃 = Τ2 3.

22. Un pequeño bloque de 0,5 kg de masa se dejaresbalar desde un punto A y se desliza por un riel enforma de cuadrante de círculo de radio 𝑅 = 3 𝑚, demodo que llega al punto B con una velocidad de5,4 𝑚 𝑠−1. Finalmente, se para del todo en C, que seencuentra a una distancia de 4 m de B. Determina: i)El trabajo realizado por la fricción sobre el bloqueentre A y B; ii) El valor del coeficiente de rozamientocinético entre el bloque y la superficie horizontal.Sol: i) 7,415 𝐽; i) 0,37.

𝑚

𝑅 𝑃𝜃

𝐴

𝐵 𝐶

𝑅 = 3 𝑚

4𝑚

FÍSICA2º


Bloque 0: REVISIÓN DE CONCEPTOSMECÁNICA 12. Conservación de la energía mecánica: TRABAJO Y ENERGÍA

ACTIVIDADES23. Un bloque de 2 𝑘𝑔 se lanza hacia arriba por una rampa rugosa (𝜇 = 0,3), que

forma un ángulo de 300 con la horizontal, con una velocidad inicial de 6 𝑚 𝑠−1.Calcule la altura máxima que alcanza el bloque respecto del suelo.Dato: 𝑔 = 9,8 𝑚 𝑠−2

Sol: ℎ = 1,2 𝑚.

24. Un cuerpo de 3 𝑘𝑔 se lanza hacia arriba con una velocidad de 20 𝑚 𝑠−1 por unplano inclinado 600 con la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento entre elbloque y el plano es 0,3, calcule la distancia que recorre el cuerpo sobre el planodurante su ascenso y el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento, comentandosu signo.Dato: 𝑔 = 9,8 𝑚 𝑠−2

Sol: 𝑑 = 20 𝑚;𝑊 = −88,2 𝐽.25. Un bloque de 5 𝑘𝑔 desliza por una superficie horizontal mientras se le aplica una

fuerza de 30 N en una dirección que forma 600 con la horizontal. El coeficiente derozamiento entre la superficie y el cuerpo es 0,2. i) Dibuje en un esquema lasfuerzas que actúan sobre el bloque y calcule el valor de dichas fuerzas. ii) Calcule lavariación de energía cinética del bloque en un desplazamiento de 0,5 m.Dato: 𝑔 = 9,8 𝑚 𝑠−2

Sol: i) 𝑁 = 23,02 𝑁; 𝐹𝑅 = −4,6 𝑁; 𝑃 = 49 𝑁; ii) ∆𝐸𝐶 = 5,2 𝐽

FÍSICA2º



Rafael Artacho CañadasDpto. de Física y QuímicaI.E.S. Padre Manjón

Gonzalo Gallas, s/n18003 · Granada

[email protected]

Información de Contacto

FÍSICA BLOQUE 0: REVISIÓN DE CONCEPTOS MECÁNICA 2º...

Documents

Transcript of FÍSICA BLOQUE 0: REVISIÓN DE CONCEPTOS MECÁNICA 2º...