1- 1

2017. En Xxxx (Eds.). 4 Coloquio de Doctorado (vol. 1, págs. XXX-YYY). México.

FUNCIÓN SENOIDAL. MODELO DE FENÓMENOS ARMÓNICOS

Minerva Martínez Ortega Hugo Rogelio. Mejía Velasco

Cinvestav IPN Cinvestav IPN

cetis76@hotmail.com hmejia@cinvestav.mx

En esta investigación se analizan los resultados de relacionar ciertos fenómenos periódicos con los

modelos matemáticos que los describen. La atención se centra en la evolución que once alumnos,

de primer semestre de bachillerato (15-16 años de edad) pueden lograr de sus representaciones

espontáneas o personales a representaciones formales de los fenómenos armónicos estudiados. Con

la mediación de tecnología digital, como el sensor de movimiento, se generan gráficas de las

funciones senoidales, en ellas se identifican rasgos del movimiento objeto de estudio. Se hace un

planteamiento en donde se transitan alternativamente del análisis del fenómeno al modelo

matemático y viceversa. La manera en que se abordan las funciones senoidales puede permitir que

se identifique al modelo algebraico f(t)= Asen(wt+ ) como el que describe al fenómeno armónico.

Funciones Senoidales, Fenómenos Armónicos, Significado, Modelación, Tecnología

Digital.

Planteamiento del Problema

Diversas investigaciones concuerdan que la etapa inicial del aprendizaje de las

funciones trigonométricas está llena de dificultades (e.g., Buendía & Cordero, 2005,

Hertel & Cullen, 2011; Kendal & Stacey, 1997; Montiel, 2005; Weber, 2005), lo cual

propicia que la mayoría de los alumnos de bachillerato (14-18 años de edad) no

interpreten adecuadamente los conceptos involucrados con este tipo de funciones, en

particular, con las funciones senoidales. Por ejemplo, no es común que se identifique a la

periodicidad como la característica fundamental de las funciones senoidales y, menos

común es que se asocie a éste tipo de funciones con modelos de fenómenos periódicos

armónicos; a pesar de ello, las investigaciones que en Matemática Educativa se han

realizado de las funciones trigonométricas son escasas (Moore, 2010). Por lo que en esta

investigación se analizan qué significados asocian los alumnos a la función senoidal a

través del estudio entre la conexión de fenómenos armónicos con las representaciones

matemáticas de dichos fenómenos físicos, como lo son las gráficas Cartesianas, las

cuales son generadas por un sensor de movimiento y un programa graficador, para así

1- 2 2017

tener la posibilidad de definir el objeto matemático que modela a dichos fenómenos; es

decir, una función del tipo senoidal, para ello se establecen las siguientes preguntas de

investigación 1) ¿Cómo describen los estudiantes a los fenómenos armónicos y cuáles

representaciones surgen de dicha descripción?, 2) ¿A partir de las representaciones de

los fenómenos armónicos, cómo se re-describe a estos fenómenos y que re-significación

se genera del modelo matemático que los representa? y, 3) ¿Cómo incide el uso

coordinado de herramientas digitales en la construcción de significados de la función

senoidal?

Perspectiva Teórica

El marco conceptual considerado en esta investigación se fundamenta en la

modelización matemática de un fenómeno físico (Hitt, 2013). Para darle significado a las

funciones senoidales, consideramos como punto de partida a las representaciones

espontáneas o funcionales y a los fenómenos asociados con un modelo senoidal.

Al analizar el fenómeno armónico, se espera que los alumnos logren un

entendimiento inicial (el cual puede darse de manera intuitiva), éste los lleva a hacer

una representación espontánea (primer acercamiento al objeto matemático) para que a

partir de dicha representación se re-interprete el fenómeno físico; es decir, se re-describa

al fenómeno, lo cual implica una re-significación de los símbolos de la representación

matemática (modelo matemático) para llegar a una representación institucional y/o

abstracta; es decir, al objeto formal función senoidal (Figura 1).

Figura 1. Proceso de Modelización

Diseño de la Investigación

La investigación es de tipo cualitativa. Se modelizan cuatro fenómenos físicos, el

caminar de los alumnos de manera relativamente armónica frente al sensor, el sistema

masa resorte, el sistema pendular y el movimiento circular uniforme. En este artículo se

2017 1- 3

presentan los resultados de los dos primeros fenómenos. Las actividades se aplicaron en

ocho sesiones (dos horas cada una) a un grupo de 11 alumnos (15-16 años), los cuales no

habían tenido un acercamiento con las funciones senoidales. Para cada sesión se diseña

una guía de actividades, las cuales al desarrollarse son vídeo grabadas.

Actividades de Investigación

Actividad 1. Representaciones Preliminares

A los participantes se le solicita representar algún tipo de movimiento que conozcan y

describir cómo se representa el movimiento rectilíneo en una gráfica Cartesiana, para

esto último los alumnos caminan hacia el sensor o se alejan de él. Se empieza con el

movimiento rectilíneo porque éste puede considerarse como una manera naturale al

desplazarse y a la posibilidad de relacionarlo con el movimiento períodico. Utilizando

GeoGebra se identifica la función que modela la acción de caminar.

Actividad 2. Representación de una gráfica senoidal.

Una vez que los jóvenes observan una gráfica tipo senoidal, se les solicita que hagan los

movimientos necesarios (frente al sensor) para reproducirla. El objetivo es que los

alumnos asocien la gráfica a un movimiento periódico.

Actividad 3. Estudio del sistema masa resorte.

En esta actividad se emplea la simulación masses & spring

(https://phet.colorado.edu/sims/mass-spring-lab/mass-spring-lab_en.html. Figura 2). El

objetivo es que los alumnos identifiquen el sistema de referencia, las variables

involucradas y la relación entre estas últimas; así como verificar en GeoGebra la función

que matemáticamente modela al sistema masa resorte.

Figura 2. Simulación Masses & spring

1- 4 2017

Desarrollo y Análisis de las actividades

Actividad 1. Representaciones Preliminares

La acción inicial consistió en que los alumnos representaran algún tipo movimiento que

conocieran. A excepción de Alejandra quien efectuó una representación verbal, la

realizadas por los demás alumnos fue icónica. Al solicitarle a los alumnos que

representaran el mismo movimiento de manera diferente. Yose, Hanna y Karla,

nuevamente hicieron representaciones icónicas, el resto de los alumnos generó

representaciones verbales (Figura 3). Algunas de las representaciones icónicas, al estar

acompañadas de su respectiva representación verbal adquirieron significado.

Figura 3. Representación de algún tipo de movimiento

El proceso de modelización diseñado en la investigación (Figura 1) propone que para

pasar de una representación espontánea a una formal deben cubrirse diversas etapas o

movimientos, es un proceso cíclico; en un primer movimiento, se busca que desde el

fenómeno se represente lo que se percibe. Por ello, en la segunda acción de esta

actividad, para el análisis del fenómeno considerado (caminar de manera relativamente

armónica), se incorporó, la gráfica Cartesiana (matematización horizontal; Treffers,

1987). A partir de la gráfica se analizaron las diferencias y similitudes de caminar frente

al sensor de diferente manera (Figura 4). Para obtener el modelo matemático que

describe a la acción de caminar, en GeoGebra, después de probar distintos tipos de

ajuste, los alumnos verificaron que el modelo estaba definido por el ajuste lineal.

Figura 4. Gráfica de Saúl al alejarse lentamente del sensor

Alumno 1era representación 2da representación Alumno 1era representación 2da representación

Vanessa

Diciéndole, fotos Alejandra

Al pasar el control a

otra

persona

Al dar vueltas sobre

algo

Saúl

Sistema de poleas,

Pelota entrando a un

agujero

Hanna

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Actividad 2. Representación de una gráfica senoidal

Se les solicitó a los alumnos realizar una representación verbal de las acciones necesarias

para reproducir una gráfica similar a la mostrada en la siguiente Figura.

Figura 5. Gráfica del tipo senoidal

De acuerdo con Hitt (2001, p.171) “el conocimiento de un individuo sobre un concepto

es estable si él o ella es capaz de articular diferentes representaciones del concepto libre

de contradiccines”. En la representación verbal de la gráfica de tipo senoidal, solamente

Vanessa y Saúl recuerrieron, nuevamente, a signos asociados a las representaciones

icónicas (Figura 6), los alumnos restantes visualizaron características del movimiento

rectilíneo que incorporaron a su representación verbal.

Figura 6. Representación verbal de Vanessa

Arely mencionó que el movimiento “es como balseo” (bailar). Arely, Jordi, Verónica y

Roxana descompusieron el movimiento en intervalos compuestos de segmentos

rectilíneos y los señalaron en la gráfica (Figura 7). Verónica, Yose y Roxana describieron

de manera informal la característica de periodicidad en este tipo de movimiento, ya que

Verónica mencionó que el movimiento “no se tiene que detener”, mientras que Yose y

Roxana definieron que el movimiento se daba “sucesivamente”. Las conjeturas de los

alumnos se corroboraron exitosamente con ayuda del sensor.

Figura 7. En la gráfica del tipo senoidal, Arely identifica segmentos rectilíneos

1- 6 2017

Actividad 3. Estudio del sistema masa resorte.

En esta actividad se empleó la simulación masses & spring (Ver Figura 2). El objetivo de

esta actividad fue que los alumnos, explorando libremente la aplicación, identificaran el

sistema de referencia, las variables involucradas y la relación entre estas últimas. Para

determinar lo anterior, los alumnos debieron identificar en la simulación la línea

segmentada que podía desplazarse (asociada al sistema de equilibrio), un menú que

podía eliminar la fricción y otro con el que era posible pausar el tiempo o modificarlo a un

sexto o un dieciseisavo del valor real, así como un cronómetro. En un inicio, al no

establecer un sistema de referencia (línea de equilibrio con respecto a la cual diferenciar

las compresiones y los estiramientos del resorte), los alumnos no identificaron cómo

medir las elongaciones del resorte. Los participantes mencionaron algunas herramientas

que identificaron en la etapa de exploración de la simulación, pero no definieron cómo

usar dichas herramientas.

Para calcular la elongación máxima, los alumnos consideraron la longitud del

resorte más la elongación que ellos le generaron al mismo (por medio de la pesa); sin

embargo, para la elongación mínima no tomaron en cuenta el largo del resorte. Por

ejemplo, Hanna determinó que la elongación máxima fue 30 cm mayor que la

elongación mínima. Para determinar el tiempo que tarda la elongación máxima y la

mínima del resorte, los alumnos se auxiliaron del cronómetro integrado en la aplicación.

Sin embargo, continuaron considerando que la elongación máxima incluye a la longitud

del resorte y la mínima no, por lo que la duración de cada una de ellas también difirió.

Después de obtener estos resultados, los alumnos analizaron en equipo sus respuestas.

Un equipo se percató de que la línea de equilibrio se podía desplazar.

Vanessa: Maestra, ¡Se puede mover la recta! (señala en la aplicación la recta de

equilibrio). Pensamos que solamente se quedaba (fija) en ese nível.

Roxana: Con esto se puede medir la elongación (estiramiento del resorte) y la

compresión, el valor es 26 y medio… es 27.

Roxana identificó un método para calcular el tiempo de las elongaciones, colocó una

pesa en el extremo del resorte y esperó a que éste terminara de oscilar, después trasladó

la recta de equilibrio a la posición elongada del resorte. Esta alumna estableció el punto

de referencia que le permitió distinguir a partir de cuando el resorte se estiraba o se

comprimía. La alumna activó la opción “sin fricción”, con base en ello calculó el tiempo

de una elongación, la cual fue de un segundo. También intentó calcular el número de

elongaciones máximas y mínimas en el transcurso de 10 segundos, para ello utilizó el el

2017 1- 7

cronómetro de la simulación, pero las unidades de éste no están en segundos, el

resultado que obtuvo en lugar de 10 elongaciones fue de 13 (Figura 8).

Figura 8. Cálculo realizado por Roxana sobre las elongaciones

Freudenthal (1991) menciona que el aprendizaje no es continuo ni gradual, éste presenta

discontinuidades; es decir, saltos reprentinos de reinvención; esto lo podemos observar

en el caso de Roxana; en el inicio de la actividad, ella no tenía referentes para evaluar las

elongaciones, pero en el transcurso de la misma visualizó la recta de equilibrio, con ello

reinventó su método para calcular el valor numérico y el tiempo de una elongación. En

la etapa final de la actividad, Roxana expuso ante el grupo su método.

Por otro lado, siguiendo a Hitt (2013), en la investigación se establece que las

representaciones funcionales están ligadas al pensamiento espontáneo de los alumnos

cuando intentan resolver un problema o una situación no rutinaria a la que se enfrentan.

Las representaciones espontáneas son susceptibles de evolucionar a representaciones

institucionales o formales, esto se pudo observar cuando a los alumnos se les solicitó

realizar un bosquejo de la representación gráfica de las elongaciones. Solamente dos

alumnos (Saúl y Jordi) tuvieron una recurrencia a realizar representaciones del tipo

icónico (Figura 9), el resto de los alumnos presentaron signos que evidencian cierta

evolución entre una representación no formal y una formal (Figura 9). Es posible asociar

dicha evolución a lo conceptualizado por parte de los alumnos de las actividades de

caminar frente al sensor y de la gráfica de tipo senoidal que se generó al caminar

armónicamente (actividades 1 y 2).

Figura 9. Bosquejo de elongaciones

Jordi Alejandra

Saúl Hanna

1- 8 2017

Dado que, en la primera sesión de esta actividad, solamente Roxana logró establecer un

método para calcular el tiempo que tarda una elongación, con el objetivo de que los

alumnos identificaran el modelo que describe al sistema masa resorte, se adecuó la

actividad para aplicarla en una sesión adicional (Anexo A).

Los alumnos establecieron el punto de equilibrio en el valor igual a 34 cm, el cual

corresponde a 27 cm de la longitud del resorte más 7 cm de la elongación causada por la

pesa. En el inciso 2, los estudiantes debían elongar el resorte las unidades que ellos

quisieran, y determinar los valores de elongación máxima y mínima. Por ejemplo,

Verónica elongó el resorte 5 cm, con ello el valor de la elongación máxima fue de 39 cm

y el de la mínima fue de 29 cm, con esto, los alumnos determinaron de manera correcta

el tiempo de una elongación (inciso 5, Anexo A) y modificaron la concepción mostrada

en la actividad anterior, ya que ellos creían que el número de unidades que se estiraba a

un resorte solo incidía en el estiramiento del mismo y no en la compresión de éste.

En el inciso 4, a los alumnos se les solicitó representar gráficamente 3

elongaciones mínimas y 3 elongaciones máximas; para ello, elaboraron una tabla de

valores en donde observaron que mientras la variable tiempo aumenta, los valores de la

variable posición descienden o se repiten (Figura 10).

Figura 10. Valores tabulares de Verónica

Los alumnos no se percataron que, salvo en el tiempo , el cual puede corresponder

a la abscisa de una elongación máxima o a la de una elongación mínima ;

dependiendo cómo se empezara a medir, no estaban considerando

valores de elongaciones máximas o mínimas, sino valores aleatorios.

De acuerdo con Duval (2003), la representación numérica (como la tabla de

valores) pertenece a las representaciones no discursivas, las cuales permiten la

organización de relaciones entre las unidades representacionales que componen el

contenido de la tabla numérica. La unidad representacional elemental de una tabla no es

la casilla, como la intersección de una fila y una columna, sino la lista, como la

enumeración realizada según una relación de orden. En este caso, los alumnos se dieron

cuenta que la relación de orden en la tabla de valores presentaba un comportamiento

2017 1- 9

particular, como lo expresó Verónica “…es que entre más tiempo la posición me sale

menos”. Un caso particular fue lo que Vanessa observó en su representación gráfica.

Inicialmente, la gráfica de esta alumna era la mostrada en la Figura siguiente.

Figura 11. Representación inicial de Vannesa.

Profesora: ¿Y esa gráfica, por qué salió así?

Vanessa: Es que aquí empecé desde el 0, 27, porque el primero me marcó 0, 27

y ya después se fue en picos.

Profesora: ¿Y porqué el primer valor no es en pico?

Vanessa: Porque como el primer valor es cero, entonces como que acá está la

posición (señala sobre el eje de las abscisas el intervalo entre el

origen y la abscisa del segundo punto graficado).

Profesora: Es como si aquí (señala el mismo intervalo que Vanessa acaba de

mencionar) no se supiera cuáles son los valores, ¿cómo podrías saber

cuáles son esos valores?

Vanessa: Sería yendo segundo por segundo…

Vanessa calculó los valores faltantes y modificó su representación gráfica.

En el inciso 6, a los participantes se les solicitó que, considerando como referencia

la posición de equilibrio, determinaran los valores máximo y mínimo que alcanza la

posición de la pesa, pero como en las representaciones tabulares y gráfica de los

alumnos no se tenían los valores de las elongaciones máximas y mínimas, los jóvenes no

respondieron el inciso en cuestión.

Para conocer el modelo algebraico que describe el fenómeno analizado, los

alumnos se auxiliaron de la opción ajuste de función en GeoGebra; sin embargo, ninguna

función lo ajustó, ya que, como en el inciso 4 (Anexo A), los alumnos unicamente

consideraron valores correspondientes al estiramiento del resorte (lo cual no permitió

observar la periodicidad del movimiento que se estaba analizando y ninguna función

los ajustó. Por lo que la profesora le solicitó a Vanessa que explicara a sus compañeros

cómo construyó su gráfica. Arely, antes de que Vanessa iniciara su explicación, le

preguntó que había considerado en el eje de las abscisas.

1- 10 2017

Arely: ¿Esto qué es?

Vanessa: El tiempo.

Arely: Es que, yo aquí por lo que veo, ¿por qué tiene 1,2 3, 4, 6, …? (se refiere a la

tabla de valores de Vanessa).

Jordi: El problema es que cuando están juntos (los valores de la variable tiempo),

se empiezan a amontonar (los puntos), al igual 1,2,3,4,5,6 si va de corrido se

empiezan a amontonar, en cambio si lo hacemos de 2,4,6 y así; ¡ya no!

Arely: A lo mejor y las cifras chiquitas…

Jordi: 1 y 3 y salen más dispersos.

Arely: A lo mejor necesita una cifra más grande para que los puntos estén más

separados.

Vanessa: ¡Todo está bien!, a mí me había salido una línea porque los había hecho muy

separados, por eso luego lo hice por segundo.

Arely: Sus datos tienen decimales.

Vanessa: ¡Todo está bien!

Arely: También tus puntos de equilibrio, ya ves que de donde empieza, de donde

se debe poner la elongación, cuando dé el punto de equilibrio, el otro, debe

separar 7 y de ahí empezar otra vez, A lo mejor no los pusiste bien…

Arely se refirió al esquema de la guía de la actividad de Vanessa (Figura 12); en él se

solicitó elongar el resorte las unidades que los alumnos desearan. Vanessa eligió elongar

7 cm el resorte.

Figura 12. Intervalo de elongación.

Arely: ¡Ah, ya está¡, los menos... Los menos y los más están mal, porque cuando es

arriba (de la posición o punto de equilibrio) es menos y cuando es abajo (de

la posición o punto de equilibrio), es más. Nosotros no tomamos en cuenta

los menos, por eso todo nos sale así, elevado, para arriba, el motor porque el

motor (simulación) no sabe identificar si es arriba o es abajo.

Una vez que se hizo la aclaración de que el signo corresponde al sentido del

movimiento, los alumnos reconstruyeron la tabla de valores y observaron en GeoGebra

que la función que ajusta dichos valores es la senoidal. En este caso, los alumnos

pudieron visualizar el parámetro desplazamiento vertical (Figura 13). Jordi mencionó

2017 1- 11

que “esa recta (señala en la computadora la función de tipo senoidal que acaba de

graficar, Figura 13) se parece mucho a lo que hicimos con el sensor. A lo mejor podría

ser en las elongaciones y en las compresiones, podría ser casi lo mismo que cuando

nosotros nos acercamos o alejamos del sensor”.

Figura 13. Ajuste senoidal realizado por Jordi.

Se observó una evolución en las representaciones que Arely, Vanessa, Hanna y Jordi, ya

que éstos jóvenes reconocieron el motivo por el cual, inicialmente, no habían podido

realizar las representaciones del inciso 4 (anexo A), hicieron las correcciones pertinentes

y obtuvieron un modelo tipo senoidal como el que describe al sistema masa resorte.

Conclusiones

Las actividades permitieron identificar las concepciones de los alumnos al describir y

representar un fenómeno. Se observa que algunos de los alumnos generaron

representaciones con signos que pueden catalogarse dentro de las representaciones

formales, pero también puede constatarse que los alumnos generaron representaciones

personales; por lo tanto, en la investigación, la conversión entre representaciones estuvo

ligada a las institucionales y a las informales o personales.

Las descripciones que los participantes hacen sobre los fenomenos analizados,

son espontáneas, principalmente verbales y, las representaciones son principalmente de

naturaleza icónica. Al aplicar el proceso de modelización (Figura 1), los alumnos re-

describen al fenómeno; por ejemplo, a partir de sus descripciones espontáneas verbales,

algunos de los alumnos logran re-describir al fenómeno armónico a través de tablas de

valores puntuales del comportamiento del mismo. Para ello es esencial la conexión entre

este tipo de movimiento con el movimiento rectilíneo; sin embargo, la transición entre

una representación espontánea a una formal, implica un proceso de reflexión y

abstracción complejo y que puede llevar un lapso prolongado; ya que a excepción de

1- 12 2017

una alumna, los participantes restantes solamente lograron identificaran el sistema de

referencia, las variables y la relación que éstas guardan en los fenómenos armónicos

cuando desarrollan una acción guiada, como la presentada en la última secuencia de

actividades del sistema masa resorte (actividad 3, Anexo A). También se observa que el

sensor de movimiento y la simulación del sistema masa resorte Masses & spring son

herramientas esenciales; a través de éstas se eliminan algunas de las dificultades que las

representaciones de las funciones senoidales tienen por si mismas; por ejemplo, la forma

de generar la representación gráfica permitió a los alumnos identificar que se trataba de

un movimiento armónico, así como las características de éste. Sin embargo, una

desventaja de la simulación Masses & spring es que el cronómetro no está en segundos,

lo cual no es tan sencillo de identificar por parte de los alumnos y puede incidir en el

resultado de los cálculos que se hagan con él.

En relación a los programas de cómputo, éstos pueden ayudar a identificar el

modelo algebraico que describe al movimiento que se da en los fenómenos analizados.

En general, el uso de las herramientas utilizadas tiene la ventaja de que cuando es

necesario analizar una conjetura, éste se hace de una manera relativamente sencilla; por

ejemplo, solo se tiene que caminar frente al sensor o repetir un proceso y comprobar si

las predicciones o conjeturas son ciertas o deben replantearse.

En el estudio del sistema pendular se analiza el significado que los alumnos

asignan a los parámetros de la función senoidal; como se mencionó al principio, éste y la

construción del modelo que describe el movimiento de un cuerpo que sigue un

trayectoría circular uniforme, por cuestiones de espacio, no se abordan es este artículo.

Referencias

Buendía, G. & Cordero, F. (2005). Prediction and the periodic aspect as generators of knowledge

in a social practice framework. A socioepistemological study. Educational Studies in

Mathematics, 58(3), 299-333.

Duval R. (2003). “Voir” en mathématiques. In E. Filloy, F. Hitt, C. Imaz, A. Rivera and S. Ursini

(Editors), Matemática Educativa, aspectos de la investigación actual. Fondo de Cultura

Econômica, México, 41-76.

Freudenthal, H. (1991) Revisiting Mathematics Education. China Lectures, Kluwer Academic

Publishers, Dordrecht, The Netherlands.

Hertel, J. & Cullen, C. (2011). Teaching Trigonometry: A Directed Lenght Approach. In Wiest, L.

R., & Lamberg, T. (Eds.). Proceedings of the 33rd Annual Meeting of the North American

2017 1- 13

Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. pp.

1400-1407. Reno, NV: University of Nevada, Reno.

Hitt, F. (2001). El papel de los esquemas, las conexiones y las representaciones internas y

externas dentro de un Proyecto de Investigacion en Educacion Matematica. En P. Gomez

y L. Rico (Eds.), Iniciacion a la Investigacion en Didactica de la Matematica, Universidad de

Granada. 165-178.

Hitt, F. (2013). El infinito en matemáticas y el aprendizaje del cálculo: Infinito potencial versus

infinito real. El Cálculo y su Enseñanza, 4. Cinvestav-IPN, México, D.F. 103-122.

Kendal, M. & Stacey, K. (1997). Trigonometric: Comparing Ratio and Unit Circle Methods.

Australia.

Montiel, G. (2005). Estudio socioepistemologico de la funcion trigonométrica. Tesis de Doctorado no

publicada. CICATA del IPN, México

Moore, K. (2010). The Role of Quantitative and Covarational Reasoning in Developing

Precalculus Students´ Image of Angle Measure and Central Concepts of Trigonometry.

Proceeding of the 13th Annual Conference of Research in Undergraduate Mathematics

Education. North Carolina: SIGMAA on RUME.

Treffers, A. (1987). Three dimensions: A model of goal and theory description in mathematics

instruction - The Wiskobas Project. Dordrecht, The Netherlands: Reidel.

Weber, K. (2005). Students´ Understanding of Trigonometric Functions. Mathematics Education

Research Journal, 17(3), 91-112.

Anexo A.

Adecuación de la actividad 3

1. Elegir la opción de fricción al máximo en la simulación Masses & spring. Colocar la pesa verde en

el extremo inferior del resorte, una vez que el resorte deje de oscilar, medir la longitud del

resorte, este valor será el nuevo punto de equilibrio, colocar la línea segmentada en esa posición y

elongar el resorte las unidades que se deseen; determinar el valor de la elongación máxima y el

valor de la elongación mínima.

2. Determinar la distancia que recorre la pesa para realizar una elongación (máxima y mínima).

3. Calcular el tiempo en el que la pesa realiza una elongación (máxima y mínima).

4. Representar 3 elongaciones mínimas y 3 elongaciones máximas.

5. Calcular el tiempo que tarda la pesa en una elongación máxima más una mínima.

6. Tomar como referencia la posición de equilibrio y determinar los valores máximo y mínimo que

alcanza la posición de la pesa.

7. Hacer una tabla con al menos 10 valores de la posición máxima y mínima que alcanza la pesa.

8. En el programa GeoGebra, verificar la función que matemáticamente modela al sistema masa

resorte.