LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

La función cuadrática es aquella que se puede escribir de la forma: y = ax2 + bx + cdonde a, b y c son números reales cualesquiera y a ≠ 0.Las gráficas asociadas a estas funciones son parábolas de eje vertical.

Figura 1 (a > 0) Figura 2 (a < 0)

CARACTERÍSTICAS

Las funciones cuadráticas tienen las siguientes características:1. El dominio es el conjunto de los números reales.2. Son continuas en todo su dominio.3. Siempre cortan al eje Y en el punto (0, c).4. Cortarán al eje X (en uno o dos puntos) o no, dependiendo de las soluciones de

la ecuación ax2+ bx + c = 0. 5. Si a > 0 la parábola está abierta hacia arriba y si a < 0 la parábola está abierta

hacia abajo.6. Cuanto mayor sea |a|, más estilizada es la parábola.7. Tienen un vértice, punto donde la función alcanza un mínimo (a > 0) o un máximo

(a < 0).8. Tiene un eje de simetría que es la recta vertical que pasa por el vértice.9. Si a > 0, la función es creciente para valores de x a la derecha del vértice y

decreciente para valores a la izquierda del vértice.10.Si a < 0, la función es creciente para valores de x a la izquierda del vértice y

decreciente para valores a la derecha del vértice.11.Si a > 0 es convexa y si a < 0 es cóncava.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Para representar gráficamente una función cuadrática (dibujar la párabola)Matemáticas B. 4º ESO Pilar Montes Rueda

necesitamos como mínimo tres puntos: el vértice y dos puntos simétricos.En general el proceso será el siguiente:1. Observar el signo del coeficiente a para saber si la parábola está abierta hacia

arriba o hacia abajo.2. Calcular los puntos de corte con los ejes coordenados:Con el eje X ( y = 0), resolviendo la ecuación ax2 + bx + c = 0 Con el eje Y (x = 0) es el punto (0, c)

3. Calcular el vértice mediante la fórmula

4a

4acb,2a

b 2 o bien por otros

procedimientos.

4. Eje de simetría de la parábola x =2a

b

5. Realizar una tabla de valores, si es necesario.

EJERCICIOS 1

Representa las siguientes funciones cuadráticas indicando todas las característicasde la gráfica:1. y = x2 – 5x + 6

2. y = -x2 + 9

3. y = 2x2 – 4x + 5

4. y = -2x2 – 4x + 6

5. y = x2 – 4x + 4

6. y = x2 – 4x + 3

7. y = -x2 + 2x + 8

8. y = x2

9. y = x2 – 4x

10. y = x2 – 3x + 2

11. y = x2 + x + 1

12. y = x2 + 5x – 2

ESTUDIO CONJUNTO DE RECTAS Y PARÁBOLAS

Si queremos estudiar conjuntamente una función lineal y una función cuadráticahabrá que obtener e interpretar los puntos comunes a ambas funciones, es decir, lospuntos de corte de ambas líneas. El estudio se puede hacer analítica ográficamente.

Analíticamente se obtiene resolviendo el sistema formado por sus expresiones

algebraicas:

c bx ax y

n mx y2

Gráficamente representamos ambas funciones en un mismo sistema de ejescoordenados. La intersección de recta y parábola puede ser dos puntos, un punto o ninguno.

EJERCICIOS 2

Calcula gráfica y analíticamente la intersección de la recta y la parábola, en cadauno de los siguientes casos:

Matemáticas B. 4º ESO Pilar Montes Rueda

1. y = x2 + 2x - 2 ; y = 5x + 2

2. y = x2 – 5x + 4 ; y = -2x + 8

3. y = x2 – 4x + 4 ; y = -x + 1

4. y = x2 – 4x + 8 ; y = 4

ESTUDIO CONJUNTO DE DOS PARÁBOLAS

Para estudiar conjuntamente dos funciones cuadráticas habrá que obtener einterpretar los puntos comunes a ambas funciones, es decir, los puntos de corte deambas líneas. El estudio se puede hacer gráfica o analíticamente.

Analíticamente se obtiene resolviendo el sistema formado por sus expresiones

algebraicas:

r qx px y

c bx ax y2

2

Gráficamente representamos ambas funciones en un mismo sistema de ejescoordenados. La intersección de dos parábolas puede ser dos puntos, un punto o ninguno.

EJERCICIOS 3

Calcula gráfica y analíticamente la intersección de las parábolas, en cada uno delos siguientes casos:1. y = x2 – 6x + 8 ; y = -x2 + 4x

2. y = x2 – 1 ; y = x2 – x

3. y = -x2 – 1 ; y = x2 – 4x + 5

4. y = (1/3)x2 – 3 ; y = -x2 + 9

DETERMINACIÓN DE LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Dados tres puntos no alineados, siempre es posible dibujar una parábola que loscontenga. La expresión algebraica de una función cuadrática tiene tres parámetros a, b y c.Por tanto, necesitaremos tres condiciones para determinarlos. En la práctica bastaconocer tres puntos cualesquiera de la parábola.

EJERCICIOS 4

Determina la expresión analítica y = ax2 + bx + c de la parábola sabiendo que:1. Pasa por los puntos (0, 4), (2, 6) y (-1, 9).2. Pasa por los puntos (1, 2), (2, 1) y (-1, 10)3. Pasa por los puntos (1, 0), (0, 1) y (-1, -2)4. Pasa por los puntos (1, -3), (3, 5) y (-1, -3)5. Pasa por los puntos (2, 0), (0, -2) y (5, 3)6. Tiene por vértice (3, -3) y pasa por (1, 1)

Matemáticas B. 4º ESO Pilar Montes Rueda

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Desde un tejado situado a 80 metros de altura, se lanza una bola verticalmentehacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. La altura, y, de la bola sobre elnivel del suelo viene dada por: y = -5x2 + 20x + 80; donde x es el número desegundos que han transcurrido desde el instante que se lanzó la bola.

a) ¿Qué altura alcanza la bola para x = 0, x = 2 y x = 5?

b) ¿Cuándo alcanzará el punto más alto? ¿A qué altura está ese punto?

c) Haz una representación gráfica que se aproxime a esta situación.

2. Se quiere construir un cercado rectangular con 30 m de valla metálica. ¿Cómodepende el área cercada de la longitud del vallado? ¿Cuánto deben medir loslados del cercado para que la superficie delimitada sea máxima?

3. Un viajero quiere alcanzar un tren en marcha. Las funciones que relacionan elespacio y el tiempo son, en cada caso:

Viajero: Sv = 400 t Tren: St = 500 + 30 t2

Representa las gráficas correspondientes. ¿Llega a producirse el alcance? ¿Enqué momento?

La distancia que un vehículo recorre a partir del momento en que se empieza afrenar depende del cuadrado de la velocidad del vehículo, de acuerdo con lasiguiente fórmula: d = v2/100 donde la velocidad v viene expresada en km/h y des la distancia recorrida en metros (distancia de frenado).

a) Si vas circulando a 90 km/h y pisas el freno, ¿qué distancia recorres hasta quese detiene el vehículo?

b) Si circulas en caravana y la distancia que te separa del vehículo que vadelante de ti es de unos 100 metros, ¡cuál es la velocidad máxima a la quedebes circular para evitar una colisión?

c) En autopistas y autovías la velocidad máxima para turismos es de 120 km/h,para camiones y vehículos mixtos es de 100 km/h y para automóviles conremolque es de 80 km/h. ¿Cuál es la distancia de frenado para cada uno deestos vehículos a esa velocidad?

Matemáticas B. 4º ESO Pilar Montes Rueda