FUNCIÓN CUADRÁTICA:

De la siguiente función cuadrática: f(x)=x^2-7x+12, se pide lo siguiente

a) Calcula los puntos de corte con los ejes x e yb) Calcula el vérticec) Indica dos puntos extra de la función d) Dibuja la funcióne) Indica cual es el dominio y el recorridof) Calcula cuales son los intervalos de monotonía de la función.

Solución:

a) Corte con el eje “X”:

Se iguala a cero la función así: f(x)=0, entonces nos queda la ecuación cuadrática que se resuelve por el método de fórmula cuadrática, así:

---- y= ax^2 + b*x + c, con la fórmula:

….-x=−b±√b2−4ac2a

Ahora de la función tenemos (x^2 – 7x + 12= 0) donde, a: 1, b: -7, c: 12

Entonces reemplazando valores a la fórmula tenemos:

…..x=−(−7 )±√ (−7 )2−4 (1 ) (12 )

2 (1 )=7±√49−48

2=7 ±√1

2=7±12

…..x (1 )=7+12

=82=4

……x (2 )=7−12

=62=3

Respuesta: Los puntos de corte con el eje “x” son P (1)= (4,0) y P (2)= (3,0)

Corte con el eje “Y”:

Hace en f (0)= (0) ^2 – 7(0) +12 => f (0) = 12

Respuesta: el punto de corte con el eje “Y” es P (3)= (0, 12).

b) Vértice:

Sea f (x) = ax2 + bx + c el criterio de una función cuadrática, el vértice es el punto en la parábola, donde f alcanza su punto máximo o mínimo. El vértice lo denotaremos con la letra V está dado por las coordenadas V = ((−b2a

¿ , f (−b2a

)¿

Entonces resolviendo, tenemos:

---x=−b2a

=−(−7 )2 (1 )

=72

--- f ( 72 )=( 72 )2

−7 ( 72 )+12=494 −492

+12 = −14

Respuesta: Vértice es V:(72,−14

)

c) Dos puntos extras de la función:

… Le damos dos puntos arbitrarios a “x” los valores serán:

….x= 2

….x= 5

Estos valores los reemplazamos en la función:

Respuesta:

--- f (2) = (2) ^2 – 7(2) + 12 = 4 -14 + 12 = 2……P (4)= (2,2)

--- f (5) = (5) ^2 – 7(5) +12 = 25 – 35 + 12= 2…. P (5)= (5,2)

d) Dibujo de la Función: F(x) = x^2 – 7x +12. Con todos los datos del punto anteriores se puede ubicar en el plano cartesiano para la elaboración de la gráfica. Respuesta:

De color rojo la función (f(x) =x^2 – 7x + 1) (Parábola que abre hacia arriba con se observa en la gráfica de arriba)

De color negro su vértice: V:(7/2, -1/4)

De color azul y verde los cortes con el eje “x”: (3,0) y (4,0)

De color café el corte con el eje “y”: (0,12)

De color naranja y morado los dos puntos extras: (2,2) y (5,2)

e) Respuesta:

* Dominio: Todos los Reales: (-∞, ∞)

* El Rango: [-1/4, ∞)

f) Intervalos de monotonía de la función cuadrática: se debe tener presente lo siguiente: f: R -> R, Tal que f(x)= a*x^2 + b*x + c, tal que a, b y c ε R con a > 0:

i. Estrictamente creciente si x ε ((−b2a

¿; +∞)

ii. Estrictamente decreciente si x ε (-∞, ((−b2a

¿)

Ahora tu ejercicio quedaría de la siguiente manera:

Respuesta:

a) Estrictamente creciente si x ε (7/2, +∞)

b) Estrictamente decreciente si x ε (-∞, 7/2)