FUNCIN EXPONENCIAL (Ejemplos resueltos)

Parte I. [Comunicacin Matemtica]

Responda si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.

1) Si b es un nmero real mayor que 1, entonces la funcin xbxf )( es creciente.

Resolucin

La proposicin es verdadera, ya que sabemos:

Si 10 b , entonces xbxf )( es decreciente.

Si 1b , entonces xbxf )( es creciente.

2) El rango de la funcin baxfx )2()( , donde 0a . es ;b .

Resolucin

La proposicin es verdadera, ya que sabemos que b es la asntota de la funcin y adems:

Si a es positivo, el rango de la funcin es ;b . Si a es negativo, el rango de la funcin es b; .

Parte II. [Resolucin de problemas]

1) Dada la funcin 35,1)( xxf determine el dominio, rango y la ecuacin de la recta asntota.

Resolucin

Sabemos por la forma de ecuacin exponencial:

Dominio de f : R

Rango de f : ;3 Ecuacin de la recta asntota: 3y

2) Dada la funcin 4)3()( xaxf , calcule a sabiendo que 3

)2()0(

faf .

Resolucin

Evaluando:

4)3()0(0 af , de donde 4)0( af .

4)3()2(2 af , de donde 49)2( af

(Reemplazando)

3

494

aaa 493123 aaa

(Operando)

493123 aaa a38

Por lo tanto 3

8a

3) Determine el rango de la funcin )2(10)(xexf

Resolucin

De la funcin xexf 1020)( , se observa que una funcin creciente.

Adems se observa que la recta asntota es 20y .

Por lo tanto el rango de la funcin es ;20 .

4) Dado bAxfx )4()( . Calcule la ecuacin de la recta asntota, sabiendo que

5

2)1(10

6

)2()3(

fff

Resolucin

De la funcin bAxfx )4()( , se observa que la ecuacin de recta asntota es by .

(Evaluando)

bAf 3)4()3( , de donde bAf 64)3( .

bAf 2)4()2( , de donde bAf 16)2(

bAf 1)4()1( , de donde bAf 4)1(

(Reemplazando)

5

2)4(10

6

)16()64(

bAbAbA

5

21040

6

48

bAA

1260240240 bAA

1260 b

Por lo tanto 5

1b .

5) Resuelva la ecuacin 932 x Resolucin

Despejando 5,43 x

(Efectuando)

)3(

)5,4(

Ln

Lnx

Por lo tanto 3691,1x .

6) Resuelva la ecuacin 5,36254 xe .

Resolucin

Despejando 25,1854 xe

(Efectuando)

)25,18(54 Lnx (Despejando)

4

5)25,18( Ln

x

Por lo tanto 9760,1x .

7) Resuelva la ecuacin xe21

104

.

Resolucin

Despejando 1014 2 xe (Efectuando)

10442 xe 64 2xe

(Despejando)

5,12 xe

2

)5,1(Lnx

Por lo tanto 2027,0x .

Parte III. [Modelacin matemtica]

1) [Depreciacin] El valor de un equipo mdico (en dlares) luego de t aos de uso se modela

segn BAtv t 50000)( , donde ByA son constantes positivas. Determine el valor del equipo luego de 5 aos, sabiendo que se adquiri (t=0) a $60 000 y luego de 2 aos su valor

fue de $28 000.

Resolucin

Paso 1. Usando la expresin BAtv t 00050)( Evaluamos para 0t

6000050000)0( 0 BAv , luego 0006000050 B , donde 00010B

Paso 2. Usando la expresin BAtv t 00050)( Evaluamos para 2t

280001000050000)2( 2 Av , luego 0001800050 2 A ,

donde 36,02 A , luego 6,0A .

Paso 3. El valor del equipo queda expresado por

000106,000050)( ttv , luego 000106,000050)5( 5 v

Por lo tanto el valor del equipo luego de 5 aos ser $13 888.

2) [Comunicaciones] El nmero de usuarios de televisin por cable de cierto pas se modela

segn tetN 01733,0100000)( , donde N es la cantidad de usuarios y t es el tiempo

en aos a partir del ao 2000. Determine el ao donde el nmero de usuarios llegar a

200000.

Resolucin

Paso 1. Segn la condicin te 01733,0100000200000 , de donde te 01733,02 ,

luego tLn 01733,0)2(

Paso 2. Despejando t , 01733,0

)2(Lnt , finalmente 40t .

Paso 3. El ao es 2000+40.

Por lo tanto en el ao 2040 se llegar a 200 000 usuarios.

3) [Ingreso-costo-Utilidad] Cada semana una compaa puede vender x unidades de su

producto al precio de p dlares cada uno, donde 73 002,0 xep . Si le cuesta a la

compaa 10004 xC dlares producir x unidades, determine a cunto ascienden las

utilidades semanales al producir y vender 500 unidades.

Resolucin

Paso 1. Construimos el ingreso:

Ingreso=(precio unitario)(cantidades vendidas)

xeI x 73 002,0

Paso 2. Construimos la utilidad:

Utilidad=(Ingreso)-(Costo)

1000473 002,0 xxeU x Paso 3. Evaluamos la utilidad para 500x

1000)500(450073)500( )500(002,0 eU

Por lo tanto las utilidades semanales al producir y vender 500 unidades, ser de $ 1 051,82