7. FUNCIN EXPONENCIAL Y LOGARTMICA Funciones trascendentes. En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como ndice de la raz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometra. (Ditutor, 2009) Entonces algunos ejemplos de funciones trascendentes son: 2x, log3x, sen(x), Por lo tanto la Funcin Exponencial y Logartmica son funciones trascendentes. 7.1. FUNCIN EXPONENCIAL. 7.1.1. Definicin.

(Consuegra, 2009, pg. 152)

(van M. Maletsky, 2009, pg. 772) Esta definicin me parece ms completa que la que da Carlos Consuegra, que es la que toman muchos autores consultados. Donde a parte del trmino exponencial bx complementa con el factor a que puede ser cualquier nmero real excepto el cero, sin embargo creo conveniente que se debera enfocar la definicin de Carlos Consuegra para comenzar el tema dirigido a estudiantes de secundaria dependiendo del nivel e abstraccin matemtica que tengan los estudiantes. Evaluacin de Funciones Exponenciales. Qu es evaluar una funcin algebraica?

(van M. Maletsky, 2009, pg. s117) 1

(van M. Maletsky, 2009, pg. 772) Me parece muy importante que los estudiantes puedan evaluar funciones y a travs de ejemplos similares al que nos da Maletsy, creo que los estudiantes comprenderan mejor el concepto. Propiedades de las Funciones Exponenciales.Las funciones exponenciales satisfacen las siguientes propiedades

(

)

Por lo tanto la grfica de las funciones f(x)=a x est por encima del eje x. Adems aceptamos que x=0 es la nica potencia que satisface a0=1

(William Fernando Estrada Garca, 2005) No olvidemos tambin que para la definicin tomada nosotros estamos tomando un factor que puede ser diferente a la base por lo tanto si este factor es mayor a cero el anlisis para la grfica sera el mismo que propone Fernando Estrada, pero si este factor es menor a cero entonces las graficas de las funciones f(x)=kax (para k0 y cuando a 0 y 1) Demostracin: parto de: (I) (def. de log.) (prop. de potencia) (sust. x en I) , y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces:

2) Demostracin: parto de: (I) (def. de log.) (prop. de potencia) (prop. de potencia) (sust. x en I)

3) Demostracin: Sea: (I) (II) Multiplicando (I) y (II) (prop. de potencia) (def. de log.) (sust. de m y n en *) (def. de log.)

(*)

11

4)

Demostracin: Sea: (I) Dividiendo (I) y (II) (II) (def. de log.)

(prop. de potencia) (*) (def. de log.) (sust. de m y n en *)

5) Demostracin: Sea: (I) (def. de log.) (prop. de potencia) (prop. de potencia) (def. de log.) (sust. de b en *)

(*)

6) Demostracin: Sea: (def. de log.) (aplicando logc miembro a miembro) (*)(prop. de log.) (sust. b en *) (Ulises, 2010, pgs. 8,9) Cambios de Base de los Logaritmos. El cambio de base se ha visto en la demostracin 6 de las propiedades de los logaritmos. 12

7.3. Ecuaciones Exponenciales y Logartmicas. Ambas ecuaciones tanto la exponencial como la logartmica se solucionan o hallan el valor de x, mediante la aplicacin de propiedades tanto de exponentes como de logaritmos. Ecuacin Exponencial.

(Stewart, Introduccin al Clculo, 2007, pgs. 292,293) Para resolver esta ecuacin se utiliza la propiedad 5 de logaritmos. ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

Se toma ln a ambos lados Propiedad 5 de logaritmos. Se despeja x.

Stewart nos ofrece estas sugerencias para resolver ecuaciones exponenciales.

(Stewart, Introduccin al Clculo, 2007, pg. 293) Ecuacin Logartmica.

(Stewart, Introduccin al Clculo, 2007, pg. 295) En otras palaras una ecuacin logartmica es aquella que presenta la incgnita como argumento de la funcin logartmica. El ejemplo que nos presenta el autor se puede resolver de la siguiente manera: 13

(

)

Definicin de logaritmo. Despejando x. Stewart al igual que con las ecuaciones exponenciales nos presenta sugerencias para la resolucin de ecuaciones logartmicas.

(Stewart, Introduccin al Clculo, 2007, pg. 295) 7.4. Sistemas de Ecuaciones Exponenciales y Logartmicas. Se llaman sistemas de ecuaciones logartmicas y exponenciales a un conjunto de ecuaciones en los que la/s incgnita/s estn en el exponente o en el logaritmo. (Ulises, 2010, pg. 12)

(Augusto, 2001, pg. 55) Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema:

En I:

En II:

** * Ahora formamos un sistema de ecuaciones ordinarios con * y ** ; de donde obtenemos como solucin del sistema: (Ulises, 2010, pg. 14) ;

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Bibliografa.

1. Augusto, A. (2001). Matemticas Preuniversitarias II, Logaritmos. Caracas: Revete. 2. Consuegra, C. C. (2009). Matemticas IV. Veracruz: Secretaria de Educacin de Veracruz. 3. Ditutor. (01 de 01 de 2009). http://www.ditutor.com. Recuperado el 01 de 07 de 2011, de http://www.ditutor.com/funciones/funcion_trascendente.html 4. Lemman, C. H. (1993). Geometra Anlitica. Mexico: Noriega Limusa. 5. Michael, S. (2002). Precalculo. Mexico: Pearson. 6. Murillo Manuel, S. A. (2006). Matemtica Bsica con Aplicaciones. San Jos, Costa Rica: Universidad Estatal a distancia. 7. Salazar, J. L. (01 de 05 de 2010). monografias.com. Recuperado el 01 de 09 de 2011, de http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/dominio-y-rango-funcion/dominio-y-rangofuncion.pdf 8. Stewart, J. (2007). Introduccin al Clculo. Argentina: Thompson. 9. Stewart, J. (2005). Precalculo. Mexico: Apolo S.A. 10. Ulises, T. M. (01 de 010 de 2010). Funcin Exponencia y Logaritmica. Cochabamba, Cercado, Bolivia. 11. van M. Maletsky, J. M. (2009). Texas HSP math. Texas: Harcourt School Publishers. 12. William Fernando Estrada Garca, V. M. (2005). Espiral 9. Bogota: Grupo Editorial Norma S.A.

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NDICE. 7. FUNCIN EXPONENCIAL Y LOGARTMICA......................................................... 1 7.1. FUNCIN EXPONENCIAL. ....................................................................................... 1 7.1.1. Definicin................................................................................................................. 1 Evaluacin de Funciones Exponenciales. ...................................................................... 1 Propiedades de las Funciones Exponenciales. .............................................................. 2 7.1.2. Estudio de los grficos de funciones exponenciales. ............................................ 2 Dominio y Rango. ............................................................................................................ 5 Variacin exponencial. .................................................................................................... 6 Asntota de la Funcin Exponencial. ............................................................................. 7 Ecuacin de la Asntota de la Funcin Exponencial .................................................... 7 7.2. FUNCIN LOGARTMICA. ...................................................................................... 8 7.2.1. 7.2.2. 7.2.3. Definicin. ................................................................................................................... 8 Estudio de los grficos de Funcin Logartmica. .................................................... 8 Propiedades. ............................................................................................................... 9

Dominio y Rango. ............................................................................................................ 9 Asntota de la Funcin - Ecuacin. ............................................................................. 10 Propiedades de la operacin. ........................................................................................ 11 Cambios de Base de los Logaritmos. ........................................................................... 12 7.3. Ecuaciones Exponenciales y Logartmicas. ............................................................... 13 7.4. Sistemas de Ecuaciones Exponenciales y Logartmicas. .......................................... 14 Bibliografa. ............................................................................................................................... 15

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