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FUNCIONES
1º Bto. Sociales.
CONCEPTO DE FUNCIÓN
f es una función de en si a cada número real,
le hace corresponder un único número real, f (x)� � ( )x Dom∈ f
( )
( )
Dom
x x
f
f
�
es el dominio de definición de la función, que es el
conjunto de valores para los que la función está definida.( )Dom f
Imagen de f o recorrido, es el conjunto de todos los valores
reales que son imagen de algún valor del dominio.
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
2a) y x 2= − El dominio de una función polinómica es:
( )Dom y = �
1b) y
x 3=
+El dominio de un cociente son todos menos los
que anulen el denominador:
( ) { }1
y x 3 0 x 3 Dom y 3x 3
= → + ≠ → ≠ − → = − −+
�
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
( ) ( )
− + ≥
− ⋅ − ≥
x x
x x
2 5 6 0
2 3 0c y x x= +
2) -5 6
( )2x −
( )3x −
2 5 6x x− +
2
− + +
− − +
− ++
3
( ) ] ] [ [Dom y , 2 3,= −∞ +∞∪
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
( ) ( )
− + >
− ⋅ − >
x x
x x
2 5 6 0
2 3 0( )d y x x= +
2) log -5 6
( )2x −
( )3x −
2 5 6x x− +
2
− + +
− − +
− ++
3
( ) ] [ ] [Dom y , 2 3,= −∞ +∞∪
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
e) El volumen de un cubo de lado l.
V = l3
( ) ] [Dom V 0,= +∞
>l 0
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
( ) [ ]Dom y 1, 4=
[ ]f y x x= + ∈) 2 5, 1,4
TIPOS DE FUNCIONES
Funciones lineales. y ax b= +
Profundidad 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Presión 1.51 2.03 2.55 3.07 3.58 4.10 4.62
Presión 1 1,033 Profundidad= + ⋅
Presión a distintas profundidades en el mar.
TIPOS DE FUNCIONES
Funciones cuadráticas. 2y ax bx c= + +
Velocidad 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Distancia 1.51 2.03 2.55 3.07 3.58 4.10 4.62
2d 0,0074v 0, 21v= +
Distancia recorrida por un coche desde que se aprecia el
peligro hasta que el coche se para por completo.
TIPOS DE FUNCIONES
Funciones raíz. y k x= ⋅
T 2= l
Período de un péndulo T en función de su longitud l.
TIPOS DE FUNCIONES
Funciones de proporcionalidad inversa.k
yx
=
5A
5 d=
−
Aumento A producido por una lupa en función de la distancia
d al objeto.
TIPOS DE FUNCIONES
Otros tipos de funciones.- Funciones logarítmicas, trigonométricas y exponenciales que
se verán al final del tema.
- Funciones que no siguen un modelo fijo.
Velocidad 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
Distancia 720 580 425 485 555
0,1 0,3 0,5 0,7 0,9
400
500
600
700
FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOSUna compañía de telefonía propone a los nuevos clientes la
siguiente oferta para SMS: los diez primeros mensajes del
mes son gratis, puedes mandar hasta 100 pagando 10€ y si
envías más de 100 cada uno costará 10 céntimos.
( )
0 si 0 x 10
f x 10 si 10 x 100
0 '10x si 100 x
< ≤
= < < ≤
Representa: ( )
2x 2x 1 si x 0
f x 1 si 0 x 4
x 3 si x 4
+ + ≤
= ≤ < − ≥
FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
DOS FUNCIONES INTERESANTES
Función Parte Entera.
Se llama parte entera de un número x al mayor número entero
menor o igual a x. Se denomina Ent(x).
Ent(7,5) = 7
Ent(– 4) = –4
Ent(–5,3) = –6
Ent(6,48) = 6
Ent(–3,9) = –4
Ent(2,8) = 2
DOS FUNCIONES INTERESANTES
Función Parte Decimal.
Se llama parte decimal o mantisa de un número x a
Mant(x) = x – Ent(x).
Mant(4,68) = 0,68
Mant(– 4) = 0
Mant(–3,68) = 0,32
Mant(3,791) = 0,791
Mant(–3,9) = 0,1
Mant(2) = 0
VALOR ABSOLUTO DE UNA FUNCIÓN.
La función valor absoluto de x se define como:
si 0y
si 0
− <= =
≥
x xx
x x
En general el valor absoluto de una función se define así:
VALOR ABSOLUTO DE UNA FUNCIÓN.
( )( ) ( )
( ) ( )
si 0y
si 0
− <= =
≥
f x f xf x
f x f x
Representar gráficamente la función:
VALOR ABSOLUTO DE UNA FUNCIÓN.
( ) 2 5 4= − +f x x x
12
2
15 4 0
4
=− + = →
=
xx x
x( )
b 5V V V 2'5, 2 '25
2a 2
−= → = → = −
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES.
y = f (x) + k y = f (x) – k a partir de y = f (x)
( )f x 4+
( )f x 2−
( )f x
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES.
y = –f (x) a partir de y = f (x)
( )f x−
( )f x
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES.
y = kf (x) a partir de y = f (x)
( )2f x
( )f x
( )1
f x3
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES.
y = f (x – a) y = f (x + a) a partir de y = f (x)
( )f x 5−
( )f x
( )f x 3+
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES.
y = f (–x) a partir de y = f (x)
( )f x−
( )f x
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES.6
y 4x 5
= − +−
Representar gráficamente la función:
6 6 6 6y y y y 4
x x 5 x 5 x 5= → = → = − → = − +
− − −
6y
x=
6y
x 5=
−
6y
x 5= −
−
6y 4
x 5= − +
−
Función compuesta de f y g:
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
( )( ) ( )g f x g f x= �
( )
( )
2f x x 1
g x 2x
= +
=
( )( ) ( ) ( )2 2 2g f x g f x g x 1 2 x 1 2x 2 = = + = + = + �
( )( ) ( ) [ ] ( )2 2f g x f g x f 2x 2x 1 4x 1= = = + = + �
( )2
x 2x 2x 1+fg
f g�
Dos funciones son recíprocas o inversas si se cumple que:
FUNCIONES RECÍPROCAS O INVERSAS
( )( ) ( )( ) 1g f x f g x x g(x) f (x)−= = → =� �
( )
( )
f x 5x 3
x 3g x
5
= + −
=
( )( ) ( ) [ ]( )5x 3 3
g f x g f x g 5x 3 x5
+ −= = + = = �
( )( ) ( )x 3 x 3
f g x f g x f 5 3 x5 5
− − = = = + =
�
Halla la función inversa de f(x) = 3x – 1
FUNCIONES RECÍPROCAS O INVERSAS
( ) ( )1y 1 x 1f x 3x 1 y 3x 1 x f x
3 3
−+ += − → = − → = → =
( )f x y x=
( )1f x−
FUNCIONES RECÍPROCAS O INVERSAS
( ) ( )2 2 1f x x y x x y f x x No es función−= → = → = ± → = ± →
FUNCIONES EXPONENCIALES
( ) xf x 2=
FUNCIONES EXPONENCIALES
( )x
1f x
2
=
FUNCIONES EXPONENCIALES
( ) xf x e=
FUNCIONES EXPONENCIALES
x2
x3
x4
x5
FUNCIONES EXPONENCIALES
x1
2
x1
3
x1
4
x1
5
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
( ) 2f x log x=x2
2log x
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
( ) 2f x log x=xe
ln x
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
( )f x sen x=
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
( )f x cos x=
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
( )f x tg x=
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
( ) [ ]f x arcsen x : 1,1 ,2 2
π π = − → −
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
( ) [ ] [ ]f x arccos x : 1,1 0,= − → π
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
( )f x arc tg x : ,2 2
π π = → −
�
FUNCIONES DADAS POR TABLAS
En cualquier investigación realizada hay que recoger datos
experimentales. Es muy común presentarlos en una tabla.
Tiempo de uso (h) 1 2 4 6 8
Precio (€) 5 7 11 15 19
INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN
Interpolar es calcular el valor aproximado de una función
para un valor de x que no aparece y está dentro de la tabla.
Ejemplo: Hallar el consumo eléctrico a las 7 de la tarde.
Parece que el consumo eléctrico a las 7 de la tarde es de 34 mil MW
INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN
Extrapolar es calcular el valor aproximado de una función
para un valor de x que no aparece y está fuera de la tabla.
Ejemplo: Calcular el beneficio funcionando 7 horas.
Parece que el beneficio funcionando 7 horas es de 6500€
INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN LINEAL
En la gráfica se ha detallado el consumo eléctrico en miles de
MW desde las 12 a las 22 horas. Para estimar el consumo a
las 19 horas:
La recta pasa por los puntos (18,32) y (20,36)
La recta es de ecuación y = mx + n.
Sustituyendo:
18m n 32m 2 ; n 4 y 2x 4
20m n 36
+ = → = = − → = −
+ =
Por lo tanto el consumo estimado es la
imagen de 19:
y 2x 4 y 2 19 4 34= − → = ⋅ − =
El consumo a las 19 horas es de 34 mil MW.
INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
Si se quiere interpolar un valor intermedio a partir de tres datos, lo más
indicado es buscar un polinomio de grado 2 que pase por los tres puntos.
Los puntos no están alineados. La función tiene la forma: ( ) 2y f x ax bx c= = + +
2 Por pasar por el punto A, f (1) 2 a 1 b 1 c 2− = → ⋅ + ⋅ + =
Ejemplo: Calcular la función cuadrática que pase por A(1,2), B(3,6) y C(4,11)
2 Por pasar por el punto B, f (3) 6 a 3 b 3 c 6− = → ⋅ + ⋅ + =2 Por pasar por el punto C, f (4) 11 a 4 b 4 c 11− = → ⋅ + ⋅ + =
a b c 2 a 1
Por tanto, 9a 3b c 6 b 2
16a 4b c 11 c 3
+ + = =
+ + = → = − + + = =
La función cuadrática es 2y x 2x 3= − +