Tema: Lımites y continuidad de funciones de una variable

1 Generalidades sobre funciones

2 Lımite de una funcion en un punto

3 Funciones continuas en un punto

4 Funciones continuas en un intervalo cerrado y acotado

1. Generalidades sobre funciones

Funcion. Dominio y recorrido

Trabajaremos con funciones de tipo f : A → B, donde A,B ⊂ R.

Notacion:f : A −→ B

x à f (x)Otra: y = f (x)

Terminologıa: funciones reales de variable realPara una funcion f : A → B, se llama dominio de f a A y lorepresentaremos por Dom (f ).Si una funcion viene dada mediante una expresion analıtica oformula, entenderemos por dominio de f al mayor subconjunto deR donde dicha expresion tiene sentido como funcion real.

Ejemplo

Dominio de f (x) =log x√x2 − 1

.

Otros conceptos

I Funcion definida a trozos

I Grafica de una funcion.

I Recorrido o imagen de una funcion (proyeccion de la graficasobre el eje de ordenadas).

I Tipos generales de funciones: inyectiva, sobreyectiva ybiyectiva.

I Composicion de funciones.

I Inversa de una funcion. Interpretacion geometrica.

2 Lımite de una funcion en un punto

Entornos de un punto

DefinicionDado un numero a ∈ R, se llama entorno de a con radio r > 0 alsubconjunto de R

E (a, r) = { x ∈ R : |x − a| < r } .

Llamamos entorno reducido de a con radio r > 0 al conjunto:

E ∗(a, r) = { x ∈ R : 0 < |x − a| < r } .

Se cumple E ∗(a, r) = E (a, r)− {a} .

Si no nos interesa el radio concreto del entorno, escribiremossimplemente E (a) y E ∗(a).

DefinicionSea f : A → R una funcion y a ∈ R tal que existe E ∗(a) ⊂ A.Diremos que el lımite de la funcion f en el punto a es ` ∈ R, (serepresenta lım

x→af (x) = `) si se cumple:

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)− `| < ε

Utilizando la terminologıa de entornos, la condicion anterior puedeexpresarse como sigue:∀ε > 0, existe E ∗(a, δ) tal que

x ∈ E ∗(a, δ) ⇒ f (x) ∈ E (`, ε) .

Interpretacion graficaPara cualquier franja horizontal comprendida entre las rectasy = ` + ε e y = `− ε, existe un entorno reducido E ∗(a) tal que lospuntos de la grafica { (x , f (x)) : x ∈ E ∗(a) } se encuentran dentrode la franja anterior.

Lımites laterales

I Lımite por la izquierda de la funcion f en el punto a: serepresenta lım

x→a−f (x) = `. En la definicion de lımite se cambia

0 < |x − a| < δ por 0 < a− x < δ

I Lımite por la derecha de la funcion f en el punto a: serepresenta lım

x→a+f (x) = `. En la definicion de lımite se cambia

0 < |x − a| < δ por 0 < x − a < δ

Proposicion

Existe lımx→a

f (x) = ` si, y solo si, existen lımx→a−

f (x) y lımx→a+

f (x) y

ambos son iguales a `.

Ejemplos

lımx→0+

√x = 0 ; lım

x→0e|x|x ; la funcion parte entera.

Lımites infinitos y lımites en el infinito

Lımites infinitos

1. lımx→a

f (x) = ±∞.

2. lımx→a+

f (x) = ±∞ y lımx→a−

f (x) = ±∞.

Si se cumple cualquiera de las condiciones anteriores, se dice que larecta x = a es una asıntota vertical.

Ejemplos

1. f (x) = e−1/x en x = 0.

2. f (x) =(x − 1)2

x2 − 4en x = ±2.

3. f (x) = 1x2 en x = 0.

Lımites en el infinito

lımx→+∞ f (x) lım

x→−∞ f (x) .

Estos lımites pueden valer tanto un numero real `, como infinito±∞.En el caso en que uno de estos lımites sea finito, y valga `, se diceque la recta y = ` es una asıntota horizontal. A lo sumo existendos asıntotas horizontales.Ejemplos

I f (x) =1

1 + e−xen ±∞.

I f (x) =1

1 + x2.

Asıntotas oblicuas Si la recta y = mx + n, con m 6= 0 verifica que

lımx→+∞

f (x)

x= m; lım

x→+∞(f (x)−mx) = n

entonces se dice que dicha recta es una asıntota oblicua de lafuncion para x → +∞.Analogamente para el caso x → −∞.

Ejemplo Asıntotas oblicuas de f (x) =x2

2√

x2 − 1.

Propiedades de las funciones con lımite

Proposicion

Si existe el lımite de una funcion en un punto, este es unico.

DefinicionSea f : A → R una funcion. Se dice que f esta acotada en A siexisten m1, m2 ∈ R tales que:

∀x ∈ A m1 ≤ f (x) ≤ m2

Si f esta acotada en A se llama supremo, ınfimo, maximo ymınimo de f en A al supremo, ınfimo, maximo y mınimorespectivos del conjunto { f (x) : x ∈ A } .

Alternativamente, una funcion f esta acotada en A si existe unaconstante M ∈ R tal que ∀x ∈ A se cumple:

|f (x)| ≤ M .

Proposicion (Acotacion local)

Sea f una funcion tal que existe lımx→a

f (x) = ` (en R). Entonces

existe un entorno reducido de a donde la funcion f esta acotada.

Proposicion (Conservacion local de signo)

Sea f una funcion tal que lımx→a

f (x) = ` > 0. Entonces existe un

entorno reducido de a en el que la funcion f toma solo valorespositivos.

Existe una proposicion analoga a la anterior en el caso en que ellımite ` es negativo.

Proposicion (Propiedades algebraicas)

Sean f y g dos funciones tales que existen los lımiteslımx→a

f (x) = `1 y lımx→a

g(x) = `2. Entonces se cumple:

I lımx→a

f (x)± g(x) = `1 ± `2.

I lımx→a

f (x) · g(x) = `1`2.

En particular, lımx→a

α · f (x) = α`1, si α es un numero real.

I Si `2 6= 0, entonces lımx→a

f (x)

g(x)=

`1

`2.

Indeterminaciones: al igual que en el caso de las sucesiones loslımites del siguiente tipo son indeterminados:

∞−∞ ∞ · 0 0

0

∞∞ 1∞ 00 ∞0

Proposicion (Funcion intermedia)

Sean f , g , h tres funciones definidas en el entorno reducido de unpunto a, E ∗(a). Supongamos que se cumple:

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∀x ∈ E ∗(a)

Si ademas lımx→a

f (x) = lımx→a

h(x) = `, entonces

lımx→a

g(x) = ` .

La proposicion anterior es tambien valida, con cambios adecuadosen las condiciones, para lımites laterales y para lımites en ±∞.Tambien es valida si ` = ±∞Ejemplo

lımx→0

x

3

[2

x

]; lım

x→+∞

(x +

x

2· sen x

)

Proposicion

Sea f una funcion tal que

lımx→a

f (x) = 0

y g una funcion que esta acotada en un entorno reducido de a.Entonces se cumple:

lımx→a

f (x) · g(x) = 0

Ejemplo lımx→0

x2 · sen 1

x= 0.

3. Funciones continuas

Definicion (Continuidad en un punto)

Sea f : A → R una funcion definida en un entorno de un punto a.Diremos que f es continua en a cuando se cumpla:

lımx→a

f (x) = f (a)

Si A es un intervalo abierto, diremos que f es continua en Acuando sea continua en cada uno de los puntos de A.

Ejemplo

Las funciones polinomicas, las de tipo exponencial ax y el senoy coseno son continuas en R. La funcion logaritmo loga(x) escontinua en (0, +∞).

Definicion (Continuidad lateral)

Si una funcion f esta definida en un intervalo de la forma [a, a + δ]con δ > 0, se dice que f es continua por la derecha en a si secumple:

lımx→a+

f (x) = f (a)

De la misma forma, si una funcion f esta definida en un intervalode la forma [a− δ, a] con δ > 0 diremos que f es continua por laizquierda en a si se cumple:

lımx→a−

f (x) = f (a)

Una funcion f : [a, b] → R se dice continua en [a, b] si es continuapor la derecha en a, por la izquierda en b y es ademas continua en(a, b).

Ejemplo

Las raıces con ındice par f (x) = m√

x estan definidas en [0, +∞).Estas funciones son continuas por la derecha en 0, y en elsentido usual en (0, +∞). Nosotros diremos simplemente queson continuas en [0,+∞).

Proposicion

Una funcion f es continua en un punto a si, y solo si, es continuapor la derecha y por la izquierda en el punto a.

Ejemplo

La funcion parte entera f (x) = [x ], definida en R es continua encada punto x ∈ R− Z. En cada punto de Z es continua solo porla derecha.

Tipos de discontinuidades

I Evitable

I Inevitable: de primera especie (salto finito o infinito) y desegunda especie.

Ejemplo

La funcion f (x) =

{sen x

x si x 6= 00 si x = 0

es continua cada punto de

R− {0} y tiene una discontinuidad evitable en 0.

Ejemplo

La funcion parte entera f (x) = [x ] es continua en cada punto deR− Z, y en cada punto entero tiene una discontinuidadinevitable de salto 1.

Ejemplo

La funcion dada por f (x) = sen 1x si x 6= 0 y f (0) = 0 tiene en 0

una discontinuidad inevitable de segunda especie.

Son continuas en todos los puntos de su dominio las funcionespolinomicas, las trigonometricas (seno y coseno), las exponenciales(ax), las logarıtmicas (loga x) y las raıces de ındice natural.Tambien se supone conocido que la funcion valor absolutof (x) = |x | es continua en R.

Propiedades de las funciones continuas

Muchas propiedades de las funciones continuas se deducendirectamente de las de lımites.

Proposicion (Acotacion local)

Toda funcion continua en un punto a esta acotada en algunentorno del punto a.

Proposicion (Conservacion local del signo)

Si una funcion f es continua en un punto a y f (a) es positivo,entonces existe un entorno del punto a donde la funcion f tomasolo valores positivos. Existe una propiedad analoga para valoresnegativos.

Proposicion (Propiedades algebraicas)

Dadas dos funciones continuas f y g, son continuas las funciones

f ± g, f · g y el cocientef

g(en este ultimo caso, en cualquier

punto en el que g no se anule).

Proposicion (Continuidad de la composicion)

Sean A,B, C subconjuntos de R y f : A → B, g : B → C dosfunciones. Supongamos que f es continua en un punto a ∈ A y ges continua en el punto b = f (a). Entonces la funcion compuestah = g ◦ f : A → C es continua en el punto a. En consecuencia setiene:

lımx→a

g(f (x)) = g(f (a)) = g( lımx→a

f (x)) .

Ejemplo

I La funcion f (x) = sen(1/x) es continua en R− {0}.I La funcion f (x) = 5sen x es continua en R.I La funcion f (x) = 2sen2 x es continua en R.

4. Funciones continuas en un intervalo cerrado y acotado

En esta seccion estudiaremos funciones continuas f : [a, b] → Rdefinidas en un intervalo cerrado y acotado.Diferencia entre resultados locales y globales. Importancia delaxioma de supremo en los resultados de esta seccion

El teorema de los valores intermedios. Teorema de Bolzano

Teorema (Teorema de Bolzano.)

Sea f : [a, b] → R una funcion continua tal que f (a) · f (b) < 0.Entonces existe algun punto c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.

Notas:

I Es posible que el punto cuya existencia asegura el teorema nosea unico.

I Metodo de biseccion.

Ejemplos:

I Demostrar que la ecuacion

| sen x |+ 1

2= x2

tiene alguna solucion real en el intervalo (0, π).

I Sea f (x) = a0 + a1 · x + · · ·+ an · xn un polinomio concoeficientes reales tal que a0 · an < 0. Probar que f tienealguna raız positiva.

I Todo polinomio con coeficientes reales y grado impar tienealguna raız real. El resultado no es cierto, en general, parapolinomios de grado par.

I (Teorema del punto fijo)Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion continua. Demostrar queexiste algun punto c ∈ [0, 1] tal que f (c) = c. ¿Esnecesariamente unico este punto c?

Teorema (de los valores intermedios)

Sea f : [a, b] → R una funcion continua, y sea ξ un valorcomprendido estrictamente entre f (a) y f (b). Entonces existe unpunto c ∈ (a, b) tal que f (c) = ξ.

El teorema anterior es una consecuencia directa del teorema deBolzano, aunque su enunciado incluye como caso particular el deBolzano.Ejemplo: Sea f : [0, 1] → R una funcion continua que solo tomavalores racionales. Probar que f es constante.

Extremos absolutos

DefinicionSea f : A → R una funcion. Se dice que f alcanza en a1 ∈ A unmaximo absoluto si

f (a1) ≥ f (x) ∀x ∈ A .

Se dice que f alcanza en a2 ∈ A un mınimo absoluto si

f (a2) ≤ f (x) ∀x ∈ A .

Notas:I Importancia practica de los extremos absolutos.I Toda funcion que alcanza el maximo (mınimo) absoluto

esta acotada superiormente (inferiormente).I El recıproco no es cierto. No toda funcion acotada alcanza sus

extremos absolutos. Por ejemplo f (x) = arc tg x , definida enR esta acotada superior e inferiormente, pero no tieneextremos absolutos.

Teorema (Weierstrass)

Sea f : [a, b] → R una funcion continua. Entonces se cumple:

1. La funcion f esta acotada.

2. f alcanza sus valores maximo y mınimo absolutos en [a, b].

Notas:

I El teorema de Weierstrass es un resultado teorico muyimportante, pero no da un metodo para encontrar losextremos absolutos.

I En la practica, la derivada y su utilidad en el estudio delcrecimiento y decrecimiento de una funcion, es lo que seutiliza para hallar los extremos absolutos (y relativos) de unafuncion.