FUNCIONES CUADRÁTICAS

DÍA 24 * 1º BAD CS

FUNCIONES CUADRÁTICAS

• Todas las funciones que se pueden expresar de la forma

• f(x) = a.x2 + b.x + c

• Reciben el nombre de FUNCIONES CUADRÁTICAS. Su gráfica es una parábola.

• Para dibujar una parábola necesitamos conocer:

• 1.- Coordenadas del vértice.• 2.- Corte con el eje de

abscisas y el eje de ordenadas.• 3.- El eje de simetría.• 4.- Una tabla de valores.

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

y5

-3

-5

f(x) = x2 – 2x – 3

GRÁFICA DE LA PARÁBOLA

• VÉRTICE DE LA PARÁBOLA• Como todo punto tendrá dos coordenadas: V(xv , yv)• Siempre se cumple: xv = - b / 2.a yv=a.xv

2 +b.xv+ c

• EJE DE SIMETRÍA• Es vertical y pasa por el vértice, luego su ecuación es x = xv = -b/2.a

• PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES• Si hacemos x=0 y = f (0) será el corte con el eje de ordenadas.• Si hacemos f(x)=0 La solución de la ecuación a.x 2

+b.x + c = 0 nos dará los puntos de corte con el eje de abscisas, si los hay.

• TABLA DE VALORES• Además de los ya calculados, vértice y cortes, hay que dar dos o cuatro más

de valor de x simétrico respecto al valor del vértice.• Importante comprobación: Los cortes con el eje de abscisas, si los hay, son

simétricos respecto al valor de xv.• Muy importante: Si a>0 CÓNCAVA y si a<0 CONVEXA

PROPIEDADES • DOMINIO

• El dominio de f(x), como cualquier función polinómica será R. • Dom f(x) = R

• RECORRIDO

• La imagen de una función cuadrática sólo existe del vértice a +oo o del –oo al vértice, según sea cóncava o convexa.

• Img f(x) = (yv , + oo) en las funciones cuadráticas CÓNCAVAS.• Img f(x) = (- oo, yv ) en las funciones cuadráticas CONVEXAS.

• SIMETRÍA

• Como su gráfica es una parábola, sólo puede tener simetría PAR: • f(x) = f(-x) cuando el eje de la parábola sea el eje de ordenadas.

Ejemplo 1

• Sea f (x) = x2 - 3• a=1>0 Cóncava• Dom f(x) = R• Vértice:• xv = - b / 2.a = -0/2.1 = 0• yv= 02

- 3 = - 3• V(0, - 3)• Img f(x) = [ - 3, +oo)

• Sea f (x) = - x2 + x• a=-1<0 Convexa• Dom f(x) = R• Vértice:• xv = - b / 2.a = - 1 / 2.(-1) = 1 / 2• yv= - (1/2)2

+ 1 / 2 = - 0,25 + 0,5 = 0,25• V(0’5 , 0´25)• Img f(x) = (- oo, 0,25]

V

V

-3

0,25

Ejemplo 2

• LA FUNCIÓN CUADRÁTICA O FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO

• Si tenemos una ecuación de la forma• y = a.x2 , y = a.x2 + b , y = a.x2 + b.x , y = a.x2 + b.x + c• Podemos decir que es una función cuadrática. • En ella x es la variable independiente e y es la variable

dependiente. • Las letras a, b y c son los llamados parámetros.

• La señalaremos así:• f(x) = a.x2 ,• f(x) = a.x2 + c , • f(x) = a.x2 + b.x , • f(x) = a.x2 + b.x + c

• Al ir dando valores a x , obtenemos diferentes valores de y , que llevados a un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva llamada PARÁBOLA.

La función f(x)= a.x2 , a > 0

• Sea y = x2

• Tabla de valores

• x y

• -3 9• -2 4• -1 1• 0 0• 1 1• 2 4• 3 9

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

y9

1

4

La función f(x)= a.x2 , a < 0

• Sea y = - 2.x2

• Tabla de valores

• x y

• -3 - 18• -2 - 8• -1 - 2• 0 0• 1 - 2• 2 - 8• 3 - 18

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

- 8

- 2

- 18

La función f(x)= a.x2 + c , a > 0 , c > 0

• Sea y = x2 - 2

• Tabla de valores

• x y

• -3 7• -2 2• -1 - 1• 0 - 2• 1 - 1• 2 2• 3 7

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

y7

- 1

2

- 2

La función f(x)= a.x2 + c , a < 0 , c > 0

• Sea y = - 3.x2 + 5

• Tabla de valores

• x y

• -3 - 22• -2 - 7• -1 2• 0 5• 1 2• 2 - 7• 3 - 22

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

- 7

5

- 22

2

La función f(x)= a.x2 + b.x , a > 0 , b < 0

• Sea y = x2 - 2.x

• Tabla de valores

• x y

• -3 15• -2 8• -1 3• 0 0• 1 - 1• 2 0• 3 3

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

y15

3

8

- 1

La función f(x)= a.x2 + b.x , a < 0 , b > 0

• Sea y = - x2 + 5.x

• Tabla de valores

• x y

• -3 - 24• -2 - 14• -1 - 6• 0 0• 1 4• 2 6• 3 6

-2 -1 0 1 2 3 x

y

- 6

6

- 14

4

La función f(x)= a.x2 + b.x + c , a > 0 , b < 0 y c > 0

• Sea y = x2 - 2.x + 3

• Tabla de valores

• x y

• -3 18• -2 11• -1 6• 0 3• 1 2• 2 3• 3 6

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

18

3

11

6

2

y

f(x) = - 0’5.x2

f(x) = - 2.x2

f(x) = x2

Ejemplos de dilatación

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

y

f(x) = 0’5.x2

f(x) = 2.x2

f(x) = x2

Ejemplos de dilatación • Sea f(x) = x2 Si debemos representar: f(x) = r.x2

• El efecto es que la parábola se deforma.

• Si r > 0 Conserva la concavidad Si r < 0 Se invierte.• Si |r| > 1 Se estrecha. Si |r| < 1 Se ensancha.

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

Problema• El consumo de gasolina en un coche, para velocidades comprendidas entre

30 y 190 km/h, viene dado por la función:•• Siendo x la velocidad en km/h y C(x) el consumo en litros/100 km• a) ¿A qué velocidad se debe conducir para que el consumo sea de

10 litros/100 km?• b) ¿A qué velocidad consume menos y cuál será dicho consumo?.

• a) 10 = 8 – 0,045.x + 0,00025.x2

• 0,00025.x2 – 0,045.x – 2 = 0 25.x2 – 4500.x – 200000 = 0• 5.x2 – 900.x – 40000 = 0 x2 – 180.x – 8000 = 0• x = [180 ±√(180x180 – 4x(-8000))]/ 2 = (180+254)/2 = 217 km/h

• b) El mínimo consumo estará en el vértice de la parábola:• Xv= -b / 2.a = -(-0,045)/2.0,00025 = 45 / 0,5 = 90 km /h• El consumo será:• Yv = 8 – 0,045.90 + 0,00025.902 = 8 – 4,05 + 2,025 = 5,975 litros/100 km

2( ) 8 0,045. 0,00025C x x x