Funciones de dos o más variables. Gráficas. Curvas de · PDF...

IntroduccionFunciones de 2 variables

PropiedadesGrafica de una funcion de dos variables

Curvas de NivelSuperficies de nivel

Funciones de dos o mas variables. Graficas. Curvas

de nivel

Juan Ruiz Alvarez1

1Departamento de Matematicas. Universidad de Alcala de Henares.

Matematicas (Grado en Biologıa)

Juan Ruiz Alvarez Matematicas (Grado en Biologıa)




Contenidos

1 Introduccion

2 Funciones de 2 variables

3 Propiedades

4 Grafica de una funcion de dos variables

5 Curvas de Nivel

6 Superficies de nivel





Indice

1 Introduccion


3 Propiedades


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Introduccion

Hasta ahora hemos manejado unicamente funciones de una unicavariable independiente:

y = f (x)

Sin embargo, muchos problemas comunes vienen planteados enterminos de funciones de dos o mas variables. Por ejemplo, elvolumen de un cilindro circular recto,

V (r , h) = πr2h

es una funcion de 2 variables. O el volumen de un solidorectangular es una funcion de 3 variables,

V (l ,w , h) = lwh.





La notacion para las funciones de 2 o mas variables es similar a lautilizada para una variable,

z = f (x , y) = x2 + xy

w = f (x , y , z) = x + 2y − 3z





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Funciones de 2 variables

Definicion

Sea D un conjunto de pares ordenados de numeros reales. Si acada par ordenado (x , y) en D le corresponde un unico numeroreal f (x , y), se dice que f es funcion de x e y . El conjunto D esel dominio de f y el correspondiente conjunto de valores def (x , y) es el recorrido de f .

Para la funcion z = f (x , y), llamamos variables independientes ax e y , y variable dependiente a z .





Definiciones analogas se aplican a funciones de 3, 4 o, en general,n variables. Los dominios estaran constituidos por conjuntos devalores (x1, x2, ·, xn). Siempre restringiremos nuestro analisis alconjunto R. Al igual que para funciones de una variable real, eldominio es el conjunto de puntos para los que la ecuacion querepresenta a la funcion tiene sentido. Por ejemplo, el dominio de lafuncion dada por:

f (x , y) = x2 + y2

es R. Sin embargo, el dominio de la funcion,

f (x , y) = ln(xy)

es x · y ∈ R+.





Ejemplos

Hayar el dominio de las funciones:

f (x , y) =

!

x2 + y2 − 9

x

g(x , y , z) =x

!

9− x2 − y2 − z2





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Propiedades

Las funciones de varias variables se pueden combinar igual que lasde una variable:

Suma o diferencia:

(f ± g)(x , y) = f (x , y)± g(x , y)

Producto:(f · g)(x , y) = f (x , y) · g(x , y)

Cociente:f

g(x , y) =

f (x , y)

g(x , y), g(x , y) = 0





Funciones de 2 variables

No se puede formar la composicion de funciones de variasvariables. Sin embargo, si g es una funcion de una solavariable, puede formarse la funcion compuesta,

(g ◦ h)(x , y) = g(h(x , y))





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Grafica de una funcion de dos variables

Al igual que ocurrıa con las funciones de una variable, podemosaprender mucho sobre una funcion de dos variables dibujando sugrafica.

Definicion de grafica

La grafica de una funcion de 2 variables es el conjunto de puntos(x , y , z) que satisfacen z = f (x , y), con (x , y) en el dominio de f .Puede interpretarse geometricamente como una superficie en el

espacio.

Ejemplo: ¿Cual es el recorrido de f (x , y) =!

16− 4x2 − y2?Describir la grafica de f .





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Curvas de Nivel

Otra forma de visualizar una funcion de 2 variables consiste enutilizar las curvas de nivel o lıneas de contorno a lo largo de lascuales, el valor de f (x , y) es constante. Ejemplos de curvas de nivelconocidas, son las isobaras que marcan puntos de presionconstante, o las isotermas, que marcan puntos de temperaturaconstante. Los mapas de contorno suelen utilizarse para representarregiones de la superficie terrestre, con las curvas de nivelcorrespondiendo a lıneas de altura constante sobre el nivel del mar.





Los mapas de este tipo se llaman mapas topograficos. Un mapade contorno traduce la variacion de z respecto de x e y gracias alespaciado entre las curvas de nivel. Una separacion grande entrelas curvas significa que z varıa lentamente, mientras que curvas denivel muy juntas quieren decir que z cambia muy deprisa.Ejemplo: Dibujar un mapa de contorno para la superficief (x , y) =

!

64− x2 − y2, utilizando curvas de nivel f (x , y) = c .





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superficies de nivel

Las curvas de nivel pasan a ser superficies de nivel cuando seanade una dimension. Si f es una funcion de 3 variables y c unaconstante, la grafica de la ecuacion f (x , y , z) = c es unasuperficie de nivel de la funcion f .Ejemplo: Describir las superficies de nivel de la funcion

f (x , y , z) = 4x2 + y2 + z2

.





Claudia Neuhaser. Matematicas para ciencias. Ed. Pearson-Prentice Hall.

Paul Blanchard. Ecuaciones Diferencials. Ed. Thomson.


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