Funciones de Forma de Elementos 1D y 2D

CURSO: CÁLCULO 4

Tema: FUNCIONES DE FORMA DE ELEMENTOS 1D Y 2D

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1. Introduccion.

El metodo de los Elementos Finitos (MEF) para resolver ecuaciones en derivadas parcialestransforma un problema continuo en un conjunto de ecuaciones discretas. Para ello divide eldominio original en subdominios (elementos finitos) en los que las ecuaciones de gobierno siguencumpliendose, y traslada el problema asociado a cada subregion; a los nodos de la discretizacion.De esta manera el problema pasa de ser continuo a ser un problema discreto y nodal.

Para poder realizar este proceso, primeramente se han de adoptar unas funciones queaproximen la funcion solucion del problema en el subdominio (elemento finito), y gracias aesas funciones de aproximacion, usualmente conocidas como funciones de “ forma”, se puederepresentar toda la solucion en cada subdominio unicamente empleando los valores solucion enlos nodos. Posteriormente, una vez conocidos los valores de los desplazamientos, velocidades, ocualquier otra magnitud en los nodos, a traves de las funciones de la forma se puede conocer suvalor en cualquier punto dentro del subdominio.

Comentario 1.- Se puede decir que la solucion numerica de una ecuacion diferencial en derivadasparciales en un dominio continuo se aproxima mejor a la solucion exacta (analıtica) cuanto mejorse aproxime la funcion de forma seleccionada a la funcion incognita.

Dado que el empleo de las funciones de forma (aproximacion a la funcion incognita) esclave para la comprension del metodo de los elemento finitos, en este capıtulo se estudia endetalle. Notese que las funciones de forma sirven tanto para la discretizacion del espacio (domi-nio). (Ver Figura 1), como para la aproximacion de la funcion incognita dentro del subdominio(elemento finito).

1.1. Aproximacion de una funcion.

Las funciones de forma desempenan un papel clave en el Metodo de los Elementos Finitos(MEF), ya que permiten:

1. Trasladar el comportamiento a lo largo del elemento a los nodos.

2. Aproximar los valores de la funcion en todo el subdominio una vez conocido los valoresnodales.

Facultad de Ingeniería Departamento de Ciencias

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Figura 1: Aproximacion de la geometrıa mediante una discretizacion en elementos.

Por estos dos motivos se van a emplear como funciones de forma de aproximacion lospolinomios de Lagrange. Para ello, supongase una funcion generica f = f (x), tal y como semuestra en la Figura 2. Esta puede aproximarse en el intervalo (xa, xb) mediante un polinomiolineal, cuya expresion puede definirse de la siguiente manera:

f (x) ≈ q (x) =xb − x

l(e)fa +

x− xa

l(e)fb (1)

= N1 (x) fa +N2 (x) fb (2)

donde, fa y fb son los valores conocidos de la funcion f (x) en los puntos xa y xb, respectivamente,y N1 (x), N2 (x), son las denominadas funciones de forma.

Figura 2: Aproximacion de una funcion por un polinomio lineal.


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Figura 3: Condiciones que han de cumplir las funciones de forma. Caso lineal.

Comentario 2.- Para aproximar una funcion se pueden utilizar, ademas de polinomios que sonempleados en el presente modulo, otro tipo de funciones tales como las trigonometricas.

Las funciones de forma estan vinculadas a cada nodo del elemento y han de cumplir doscondiciones:

1. El valor de la funcion de forma asociada a un nodo concreto, es uno en ese nodo y cero enlos demas, tal como se muestra en la Figura 3, es decir:

Ni (xj) =

{

1, si i = j

0, si i 6= j(3)

2. La suma de las funciones de forma para un elemento es igual a 1 en todo el dominio (verFigura 3), es decir:

n∑

i=1

Ni = 1 (4)

1.2. Aproximacion a la geometrıa.

Al igual que las funciones de forma se emplean para aproximar una funcion cualquiera,tambien se pueden emplear para aproximar la geometrıa. Ası, por ejemplo, para un elementounidimensional, si se adoptan unas funciones de forma lineales, la aproximacion es exacta y vienedada por la siguiente expresion:

x =xb − x

l(e)xa +

x− xa

l(e)xb (5)


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= N1 (x)xa +N2 (x)xb (6)

1.3. Normalizacion del espacio.

Para el empleo posterior de las funciones de forma dentro del metodo de los elementosfinitos, es de gran interes practico que el intervalo en el que se aproximan las funciones este nor-malizado. De esa manera la integracion numerica en el dominio del elemento puede obtenersefacilmente incluso cuando las funciones a integrar son complicadas. Hay que tener en cuenta quecon la geometrıa normalizada siempre se emplean los mismos puntos de integracion y los mismospesos. Dado que el intervalo en el espacio normalizado puede ser cualquiera, en este material seadopta el intervalo [−1, 1] como intervalo de referencia.

Para llevar a cabo la normalizacion consideremos un segmento de recta delimitado por elintervalo [xa, xb], y el segmento normalizado, tal y como se muestra en la Figura 4.

Figura 4: Normalizacion del espacio para las funciones de forma.

Aplicando semejanza de triangulos se tiene:

l(e)

2=

x−(xa+xb)

2

ξ(7)

Teniendo en cuenta que l(e) = xb − xa y reestructurando la expresion anterior se obtiene:

x (ξ) =xa + xb

2+

xb − xa

2ξ (8)


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=1

2(1− ξ)xa +

1

2(1 + ξ)xb (9)

N1 (ξ)xa +N2 (ξ)xb (10)

expresion en la que las funciones de forma son funcion de la coordenada natural ξ.

El razonamiento anterior se puede generalizar para las funciones de forma de n puntos.Para ello, se emplea el polinomio de Lagrange de grado (n− 1) en coordenadas naturales, queviene dado por la siguiente expresion:

N(n−1)i (ξ) =

(ξ − ξ1) (ξ − ξ2) · · · (ξ − ξi−1) (ξ − ξi+1) · · · (ξ − ξn)

(ξi − ξ1) (ξi − ξ2) · · · (ξi − ξi−1) (ξi − ξi+1) · · · (ξi − ξn)=

n∏

j=1,(j 6=i)

(

ξ − ξj

ξi − ξj

)

(11)

A continuacion se exponen y describen las funciones de forma para elementos unidimen-sionales y bidimensionales en coordenadas naturales mas empleadas desde el punto de vistapractico. Es importante recalcar que estas funciones de forma se emplean para aproximar tantolas funciones incognita como la geometrıa del elemento; a este respecto es importante el siguientecomentario:

Comentario 3.- Para un mismo problema se pueden adoptar funciones de forma diferentespara la geometrıa y para la funcion incognita, aunque lo mas habitual es utilizar las mismas. Enestos casos los elementos de la discretizacion se denominan elementos isoparametricos.

2. Funciones de forma de elementos unidimensionales.

2.1. Elemento lineal.

Para el elemento lineal se tiene que n = 2, y por tanto la funcion de aproximacion esun polinomio lineal de grado (n− 1) = 1; tal y como se muestra en la Figura 5. Utilizando elpolinomio de Lagrange se obtiene que:

Para i = 1 con la condicion de i 6= j:

N(1)1 (ξ) =

(ξ − ξ2)

(ξ1 − ξ2)=

(ξ − 1)

[(−1)− 1]=

1

2(1− ξ) (12)


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Figura 5: Funciones de forma del elemento lineal empleando dos nodos.

Para i = 2 con la condicion de i 6= j:

N(1)2 (ξ) =

(ξ − ξ1)

(ξ2 − ξ1)=

[ξ − (−1)]

[1− (−1)]=

1

2(1 + ξ) (13)

Notar que son las mismas funciones obtenidas en la expresion (10).Se puede verificar que las funciones de forma satisfacen las siguientes condiciones:

N(1)1 (ξ = −1) = 1; N

(1)1 (ξ = 1) = 0

N(1)2 (ξ = −1) = 0; N

(1)2 (ξ = 1) = 1

(14)

y

N(1)1 (ξ) +N

(1)2 (ξ) =

1

2(1− ξ) +

1

2(1 + ξ) = 1 (15)

es decir que la funcion de forma asociada a cada nodo vale 1 en ese nodo y 0 en el otro, y quesu suma en toda la longitud del elemento es igual a 1.

2.2. Elemento cuadratico.

De la misma forma que se obtuvieron las funciones de forma del elemento lineal, sepueden determinar las funciones de forma para el elemento unidimensional cuadratico, que serepresentan en la Figura 6.En este caso, del polinomio de Lagrange cuadratico (n− 1 = 2), sigue la expresion:

N(2)i (ξ) =

ξ − ξ1

ξi − ξ1

ξ − ξ2

ξi − ξ2

ξ − ξ3

ξi − ξ3; i = 1, 2, 3. (16)


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Figura 6: Funciones de forma del elemento lineal empleando dos nodos.

Notar que para el caso i = 1, el termino ξ−ξ1ξi−ξ1

no se incluye; para i = 2 no se incluye el ξ−ξ2ξi−ξ2

;

y para i = 3, no se incluye el termino ξ−ξ3ξi−ξ3

. Por lo que las funciones de forma quedan de lasiguiente manera:

N(2)1 (ξ) =

ξ − ξ2

ξ1 − ξ2

ξ − ξ3

ξ1 − ξ3=

(ξ − 0) (ξ − 1)

[(−1)− 0] [(−1)− 1]=

1

2ξ (ξ − 1) (17)

N(2)2 (ξ) =

ξ − ξ1

ξ2 − ξ2

ξ − ξ3

ξ2 − ξ3=

[ξ − (−1)] (ξ − 1)

[0− (−1)] [0− 1]=

(

1− ξ2)

(18)

N(2)3 (ξ) =

ξ − ξ1

ξ3 − ξ1

ξ − ξ2

ξ3 − ξ2=

[ξ − (−1)] (ξ − 0)

[1− (−1)] [1− 0]=

1

2ξ (1 + ξ) (19)

que cumplen que su valor es 1 en el nodo correspondiente, y 0 en los demas; y ademas su sumaes 1 en toda la longitud del elemento, es decir:

N(2)1 (ξ) +N

(2)2 (ξ) +N

(2)3 (ξ) =

1

2ξ (ξ − 1) +

(

1− ξ2)

+1

2ξ (1 + ξ) = 1 (20)


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3. Funciones de forma para elementos bidimensionales.

Las funciones de forma para el elemento rectangular bidimensional se obtienen medianteel producto de las funciones de forma unidimensionales asociadas a cada una de las direccionesξ y η; tal como se muestra en la Figura 7. Dado que se utiliza el polinomio de Lagrange paraobtenerlas, los elementos se denominan elementos lagrangeanos.

3.1. Elemento rectangular lineal.

Si se emplean funciones de forma lineales en cada direccion, se obtienen las funciones deforma del elemento rectangular lineal. El cual necesita de cuatro puntos para estar totalmentedefinido, tal como se muestra en la Figura 7.

Figura 7: Elemento bidimensional de 4 nodos.

Para el nodo 1, la funcion de forma se obtiene a partir de la funcion de forma unidimensionalsegun la direccion ξ, constituida por el polinomio de Lagrange con los nodos 1 y 2 y multiplicadapor la funcion de forma segun la direccion η, constituida por el polinomio de Lagrange que pasapor los nodos 1 y 4, es decir:

N1 (ξ, η) = N(1)1 (ξ)N

(1)1 (η) =

1

4(1− ξ) (1− η) (21)

que se muestra en la Figura 8, y en donde:

N(1)1 (ξ) =

(ξ − ξ2)

(ξ1 − ξ2)=

1

2(1− ξ) (22)


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Figura 8: Funcion de forma N1 (ξ, η) del elemento rectangular de 4 nodos.


y

N(1)1 (η) =

(η − η2)

(η1 − η2)=

1

2(1− η) . (23)

Para el nodo 2, se usa la combinacion del polinomio de Lagrange segun la direccion ξ, formadopor los nodos 1 y 2, y el polinomio segun la direccion η, formado por los nodos 2 y 3:


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N2 (ξ, η) = N(1)2 (ξ)N

(1)2 (η) =

1

4(1 + ξ) (1− η) (24)

que se muestra en la Figura 8, y donde:

N(1)2 (ξ) =

(ξ − ξ1)

(ξ2 − ξ1)=

1

2(1 + ξ) , (25)

y

N(1)2 (η) =

(η − η3)

(η2 − η3)=

1

2(1− η) . (26)

Para el nodo 3 se emplea la combinacion del polinomio de Lagrange segun la direccion ξ,formada por los nodos 2 y 3, y el polinomio segun la direccion η, formado por los nodos 3 y 4,que queda como:

N3 (ξ, η) =1

4(1 + ξ) (1 + η) (27)

y que se muestran en la Figura 10.


Por ultimo la funcion de forma en el nodo 4 (ver Figura 11), es igual a:

N4 (ξ, η) =1

4(1− ξ) (1 + η) (28)


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Indice

1. Introduccion. 1

1.1. Aproximacion de una funcion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Aproximacion a la geometrıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Normalizacion del espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Funciones de forma de elementos unidimensionales. 5

2.1. Elemento lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Elemento cuadratico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. Funciones de forma para elementos bidimensionales. 8

3.1. Elemento rectangular lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8


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