Funciones de varias variables II - Proyecto...

Funciones de varias variables II

IntegraciónTema 1

Universidad de Murcia

curso 2010-2011

Antonio José Pallarés Ruiz

14 de octubre de 2010

2 Funciones de varias variables II, 2010-2011

Fe de erratasFe de erratas

En la versión de 5 de octubre de 2010

En el esquema de prueba de 1.3.6, en el punto 4 debe poner C := R \⋃kNk

En el enunciado del ejercicio 1.16 (entrega voluntaria) debe poner

‖P‖ = max{diametro(S) : S subrectángulo de P}

En la versión de 6 de octubre de 2010

En el ejemplo 1.5.2 en la descripción de g(int(RK) debe ser⋃

en lugar de⋂

En el jacobiano del cambio a polares, sobra una r y hay un error en los signos

En el jacobiano del cambio a cilindrícas sobra la misma r y está el mismo error en lossignos (copiar y pegar).

En el jacobiano del cambio a esféricas debe ser ρ en lugar de r

IntroducciónIntroducción

La asignatura "Funciones de varias variables II" es una de las tres que componen la materia"Análisis Matemático en varias variables". Está dedicada al estudio de los fundamentos de laIntegral de Lebesgue y de las técnicas de cálculo de integrales de funciones de varias variables,así como a sus aplicaciones a problemas geométricos, físicos, etc.

En el curso estudiaremos la integral de Lebesgue, con especial atención a la integral conrespecto a la medida de Lebesgue de R, que es una extensión de la integral multiple de Riemannde funciones de varias variables.

Razones para el desarrollo de la integral.

Nos podemos referir a la definición de integral dada por Cauchy a principios del siglo XIXcomo la primera definición de integral que satisface los actuales estándares de rigor. Cauchydefinió la integral de una función continua f en un intervalo [a, b] como un límite de sumas

n∑i=1

f(ti)(ti − ti−1)

donde a = t0 < t1 < · · · < tn = b y max(ti − ti−1) → 0. Con esta definición se podían medirlongitudes, áreas y volúmenes, y también se conocía la relación con el cálculo diferencial dadapor la fórmula ∫ b

af(x) dx = F (b)− F (a)

donde F es una primitiva de f .El estudio de las series trigonométricas (series de Fourier),∑

an cosnx+ bn sennx

donde los coeficientes se expresan en términos de su suma f por las fórmulas

an =1π

∫ 2π

0f(x) cosnx dx bn =

1π

∫ 2π

0f(x) sennx dx,

motivó a Riemann y a otros matemáticos a extender la definición de integral a una clase más am-plia de funciones dado que ya existían ejemplos de algunas funciones discontinuas desarrollablescomo sumas de series trigonométricas.

El método para definir la integral de una función f sobre un intervalo [a, b] definido porRiemann consistía en hacer un límite sobre las sumas de Riemann:

n∑i=1

f(ξi)(ti − ti−1)


donde, a diferencia de la integral definida por Cauchy, se consideran valores de la función f(ξi)eligiendo de forma arbitraria cualquier punto ξi ∈ [ti−1, ti].

Más adelante, Darboux introdujo una forma equivalente de definir la integral haciendo apro-ximaciones por defecto y por exceso de este límite con sumas inferiores y superiores.

Pero a finales de ese siglo XIX el uso de la integral de Riemann fué revelando una serie defenómenos contrarios a la efectividad esperada:

La relación entre primitiva e integral no subsiste sin restricciones.

La fórmula tradicional de integración reiterada∫ b

a

∫ d

cf(x, y) dx dy =

∫ b

a

(∫ d

cf(x, y) dy

)dx.

carece de sentido en algunos casos porque f(x, y) puede ser integrable (Riemann) mientrasque las funciones y → f(x, y) no son integrables en [c, d] para muchos valores de x ∈ [a, b]

No hay buenos resultados de convergencia bajo el signo integral para sucesiones de suce-siones y series de funciones (salvo para la convergencia uniforme).

Sea fn(x) la función cuya gráfica está dada por la figura:

Esta sucesión converge puntualmente hacia la función nula, mientras que susintegrales permanecen constantes∫ 1

0fn(x) dx = 1.

En 1901 Henri Lebesgue extendió la integral a una familia más amplia de funciones pro-porcionando buenos teoremas de convergencia y eliminando las patologías descritas. El puntode partida de Lebesgue fue la noción de medida desarrollada por Borel junto con la idea deconsiderar los conjuntos de medida nula. La idea de conjunto de medida pequeña aparece en losintentos de caracterización de las funciones integrables en relación con la continuidad dados porRiemann que probó la siguiente condición suficiente:

http://webs.um.es/apall/archivos/fvvII/sumasSupeInf.html

UMU Grado en Matemáticas 7

Sea f una función definida en [a, b] con la propiedad de que para cualquier número positivoα > 0 el subconjunto de puntos de [a, b] donde la oscilación de f es mayor que α, se puede recubrircon una unión finita de intervalos cuyas longitudes suman una cantidad arbitrariamente pequeña.Entonces f es integrable en [a, b].

En el primer capítulo vamos a estudiar la integral de Riemann de funciones de varias variablesy las reglas de cálculo de integración reiterada (Teorema de Fubini) y de cambio de variable (sindemostración). En los siguientes capítulos estudiar la integral de Lebesgue siguiendo “el métodoconjuntista” describiendo cada uno de los objetos que forman parte de esta teoría: las familiasde conjuntos a medir, las medidas, las familias de funciones a integrar y la integral.

Índice generalÍndice general

1. Integral de Riemann 111.1. La integral de Riemann en [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. Integral de Riemann para funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3. Conjuntos de contenido y de medida nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.1. El conjunto de Cantor (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.2. Teorema de caracterización de las funciones integrables . . . . . . . . . . . 231.3.3. Conjuntos medibles Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4. Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5. Cambio de variable en las integrales múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6. La integral de Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.7. Actividades complementarias del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Bibliografía 39

Capítulo 1 Integrales de Riemann y de

Riemann-StieltjesIntegrales de Riemann y deRiemann-Stieltjes

#

"

!

#

"

!

Interrogantes centrales del capítulo

• Conocer los fundamentos de la Integrales de Riemann.

• Conocer la caracterización de Lebesgue de las funciones integrables Rie-mann.

• Aprender reglas de cálculo de integrales múltiples: integración reiterada ycambio de variable.

• Realizar una aproximación a la Integral de Riemann-Stieltjes y a algunade sus propiedades.

�

�

�

�

�

�

�

�

Destrezas a adquirir en el capítulo

• Ser capaz de identificar algunas funciones integrables Riemann.

• Saber calcular algunas integrales múltiples haciendo integración reiterada

• Saber calcular algunas integrales múltiples con los cambios de variableusuales

• Ser capaz de identificar sumas e integrales de Riemann-Stieltjes.

Desarrollo de los contenidos fundamentales

Repaso de la Integral de Riemann en [a, b].

Integral de Riemann para funciones de varias variables.

Conjuntos de contenido nulo y de medida nula.

Teorema de Fubini.

Cómo se realiza el cambio de variable.

La Integral de Riemann-Stieltjes, una breve introducción

Temporalización: xxHTe + xxHPb + xxHLab = xxHPres


1.1. La integral de Riemann en [a, b]

En esta sección vamos a recordar las definiciones de Darboux y Riemann de la integral.

Definición 1.1.1 Dado un intervalo [a, b], se llama partición del intervalo a cualquier subcon-junto finito y ordenado a = t0 < t1 < · · · < tn = b.

Dada una función f sobre un intervalo [a, b], se llama suma de Riemann de la función fasociada a la partición a = t0 < t1 < · · · < tn = b a cualquier suma de la forma

n∑i=1

f(ξi)(ti − ti−1)

eligiendo de forma arbitraria cualquier punto ξi ∈ [ti−1, ti].Si existe el límite I de las sumas de Riemann de f cuando max(ti − ti−1) → 0, se dice que

f es integrable Riemann en [a, b] y que su integral es I =∫ ba f(x)dx.

Con esta definición es sencillo establecer que el conjunto de las funciones integrables en [a, b]es un espacio vectorial y que la integral define una aplicación lineal que conserva el orden.

La definición equivalente dada por Darboux es la siguiente:

Definición 1.1.2 Sea f es una función acotada y P = {a = t0 < t1 < · · · < tn = b} es unapartición de [a, b], denotamos

Mi = sup{f(x) : x ∈ [ti−1, ti]} y mi = ınf{f(x) : x ∈ [ti−1, ti]}.

Se llaman sumas superiores y sumas inferiores de f con respecto a P a las sumas:

S(f, P ) =n∑i=1

Mi(ti − ti−1) y s(f, P ) =n∑i=1

mi(ti − ti−1)

respectivamente.Si P y P ′ son dos particiones de [a, b] y P′ es más fina que P (P ⊂ P ′), se cumple la

siguiente cadena de desigualdades:

s(f, P ) ≤ s(f, P ′) ≤ S(f, P ′) ≤ S(f, P ).

En general para dos particiones cualesquiera P y Q de [a, b] se verifica que

s(f, P ) ≤ S(f,Q).

Teniendo en cuenta estas desigualdades, se definen la integral inferior y superior de f en[a, b], respectivamente, como∫ b

af(x) dx = sup{s(f, P ) : P partición de [a, b]} y

∫ b

af(x) dx = ınf{S(f, P ) : P partición de [a, b]}

Se dice que f es integrable Riemann en [a, b], cuando las integrales superior e inferior coin-ciden, definiendo ∫ b

af(x) dx =

∫ b

af(x) dx =

∫ b

af(x) dx.

Integral de Riemann UMU Grado en Matemáticas 13

La condición de Cauchy correspondiente a esta definición es la siguiente: la función f esintegrable en [a, b] si, y sólo si, para cada ε > 0 es posible encontrar una partición P tal que

S(f, P )− s(f, P ) =∑

(Mi −mi)(ti − ti−1) < ε.

Utilizando esta caracterización junto con la observación

Mi −mi = sup{|f(x)− f(y)| : x, y ∈ [ti − ti−1]},

se prueba fácilmente que las funciones monótonas y las funciones continuas son integrables en[a, b]. También queda patente que la integrabilidad de una función puede depender del “tamaño"del conjunto formado por los puntos en los que es discontinua.

Con esta definición de integral se puede establecer el Teorema fundamental del Cálculo queestablece el que toda función continua tiene primitiva y que permite recuperar los valores decualquier función integrable en los puntos de continuidad a partir de su integral indefinida. Enparticular, cualquier función derivable de clase C1 (continua con derivada continua) se puederecuperar a partir de los valores de su derivada.

Para funciones positivas, el valor de la integral∫ ba f(x)dx se puede identificar con la medida

del área de la región plana comprendida entre la gráfica de la función en el intervalo [a, b] y eleje de abcisas y = 0.

En general el valor 1(b−a)

∫ ba f(x)dx se puede interpretar como el promedio de los valores de

f(x) en el intervalo [a, b].

1.2. Integral de Riemann para funciones de varias variables

Para funciones de varias variables, por ejemplo, f : [a1, b1] × [a2, b2] → R, tiene sentido elintentar identificar el promedio de sus valores en el rectángulo [a1, b1] × [a2, b2] o, en el casode funciones positivas, el preguntarnos por el volumen de la región del espacio limitada por la“gráfica” (ver figura 1.1) de la función

graf(f) := {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ [a1, b1]× [a2, b2], z = f(x, y)}

y el plano z = 0. Se denomina subgrafo a esa región:

subgraf(f) := {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ [a1, b1]× [a2, b2], 0 ≤ z ≤ f(x, y)}

En esta sección vamos a seguir las mismas ideas con las que se construye la integral deRiemann en una variable para dar respuesta a estas cuestiones.

1.2.1. Definiciones básicas

Recuerda que una partición P en un intervalo real I = [a, b] es una sucesión ordenada y finitade puntos

P = {a = t0 < t1 < t2, ..., tk = b.}

La partición P divide el intervalo [a, b] en k subintervalos Ii = [ti−1, ti].


Figura 1.1: Gráfica de f(x, y) = 2 + x2 − y2 en [−1,+1]× [−1, 1]

Definición 1.2.1 Una partición de un rectángulo n-dimensional

R = [a1, b1]× [a2, b2]× ...× [an, bn] ⊂ Rn

es una listaP = {P1, P2, ..., Pn}

donde cada Pi es una partición del intervalo real [ai, bi].

En general, si cada Pi divide el intervalo real [ai, bi] en ki subintervalos, P = (P1, P2, ..., Pn)divide el rectángulo n-dimensional R en k = k1.k2...kn subrectángulos, que se suelen llamarsubrectángulos de la partición P.

Por ejemplo en el caso del intervalo bidimensional R = [a1, b1]× [a2, b2], si P1 = {a1 = t0 <t1 < ... < tk1 = b1} y P2 = {a2 = s0 < s1 < ... < sk2 = b2}, la partición P = {P1, P2) divide elrectángulo R en k1.k2 subrectángulos Ri,j = [ti−1, ti]× [sj−1, sj ] (ver la figura 1.2).

(a1, a2) (b1, a2)

(a1, b2) (b1, b2)

a2 = s0

b2 = sk2

a1 = t0 b1 = tk1ti!1

sj

sj!1

ti

1

Figura 1.2: Partición del rectángulo bidimensional [a1, b1]× [a2, b2].

Definición 1.2.2 Si R = [a1, b1] × [a2, b2] × ... × [an, bn] es un rectángulo n-dimensional, sedefine el volumen de R como

v(R) = (b1 − a1).(b2 − a2)...(bn − an).


Observa que en el caso n = 1, R es un intervalo y su volumen es su longitud; en el caso n = 2,R es un rectángulo y su volumen es su área; y en el caso n = 3, R es un paralelepípedo rectoy v(R) es su volumen tridimensional.

Definición 1.2.3 Supongamos que R = [a1, b1] × [a2, b2] × ... × [an, bn] ⊂ Rn, f : R → R unafunción acotada y P = {P1, P2, ..., Pn} es una partición de R que lo divide en una cantidadfinita de subrectángulos S1, ..., SN . Para cada subrectángulo Sh de la partición denotamos

mSh(f) = ınf{f(x) : x ∈ Sh},

MSh(f) = sup{f(x) : x ∈ Sh}.

La suma inferior de f correspondiente a la partición P están definidas por

s(f, P ) :=N∑h=1

mSh(f).v(Sh),

y la suma superior de f correspondiente a la partición P por

S(f, P ) :=N∑h=1

MSh(f).v(Sh)

Figura 1.3: Uno de los sumandos de S(f, P ) .

Las sumas superiores e inferiores de Riemann pueden interpretarse como aproximaciones porexceso y por defecto del volumen del subgrafo de f (dimensión 2, véase la figura 1.3).

Es evidente que mSh(f) ≤MSh(f) y en consecuencia que s(f, P ) ≤ S(f, P ), pero también secumple que

Lema 1.2.4 Si P y P ′ son dos particiones del rectángulo n-dimensional R, P ′ es más fina queP (en el sentido de que cada subrectángulo de la partición P ′ está contenido en un subrectángulode la partición P , o equivalentemente que las particiones de las aristas de R que definen P ′ sonmás finas que las particiones que definen P en esas mismas aristas). Entonces para cada funciónacotada f : R→ R se cumple

s(f, P ) ≤ s(f, P ′) ≤ S(f, P ′) ≤ S(f, P ).

En general para dos particiones cualesquiera P y Q de R se verifica que

s(f, P ) ≤ S(f,Q).

Demostración:

Ideas que intervienen


Si Sj ⊂ S ⊂ R

mS(f) = ınf{f(x) : x ∈ S} ≤ mSj (f) = ınf{f(x) : s ∈ Sj}≤MSj (f) = sup{f(x) : x ∈ Sj} ≤MS(f) = sup{f(x) : x ∈ S}.

Si S es un subrectángulo de P que se expresa como unión de subrectangulos S1, ..., Sk deP ′,

S =k⋃j=1

Sj ,

entonces

v(S) =k∑j=1

v(Sj) = v(S1) + ...+ v(Sk).

Reuniendo las dos ideas anteriores se tiene

mS(f).v(S) = mS(f)k∑j=1

v(Sj) =k∑j=1

mS(f).v(Sj)

≤k∑j=1

mSj(f).v(Sj)

y ahora sumando los miembros de la desigualdad para los S de la partición P se tiene

s(f, P ) =∑S∈P

mS(f).v(S) ≤∑S∈P

k∑j=1

mSj (f).v(Sj)

=∑S′∈P ′

mS′(f).v(S′) = s(f, P ′).

De forma análoga se prueba que S(f, P ′) ≤ S(f, P ). �

Del lema anterior se deduce que

sup{s(f, P ) : P partición de R} ≤ ınf{S(f, P ) : P partición de R}

Como en el caso de funciones de una variable definimos:

Definición 1.2.5 Sea R un rectángulo n-dimensional R, entonces para cada función acotadaf : R→ R se definen las integrales superior e inferior de Riemann de f en R como∫

Rf(x1, ..., xn)dx1...dxn = ınf{S(f, P ) : P partición de R},

∫Rf(x1, ..., xn)dx1...dxn = sup{s(f, P ) : P partición de R}.

Si las integrales superior e inferior de f en R coinciden se dice que f es integrable Riemann enR y que su integral vale∫

Rf(x1, ..., xn)dx1...dxn =

∫Rf(x1, ..., xn)dx1...dxn =

∫Rf(x1, ..., xn)dx1...dxn.


También como en el caso de una variable, tenemos el siguiente criterio de integrabilidad

Teorema 1.2.6 f : R → R es integrable Riemann en el rectángulo R si, y sólo si, para cadaε > 0 existe una partición Pε tal que

S(f, Pε)− s(f, Pε) ≤ ε.

Demostración:


(para la suficiencia de la condición) Si se cumple la condición,

0 ≤∫Rf(x1, ..., xn)dx1...dxn −

∫Rf(x1, ..., xn)dx1...dxn

≤ ınf{S(f, P ) : P partición de R} − sup{s(f, P ) : P partición de R}≤ S(f, Pε)− s(f, Pε) ≤ ε.

Haciendo ε tender a 0, se tiene la igualdad de las integrales superior e inferior de Riemann.

(para la condición necesaria) Se aproxima la integral de Riemann con una suma superior

S(f, P ) ≤∫Rf(x1, ..., xn)dx1...dxn +

ε

2,

y con una suma inferior

s(f, P ′) ≥∫Rf(x1, ..., xn)dx1...dxn −

ε

2.

Si Pε es cualquier partición más fina que P y que P ′, restando las expresiones anterioresqueda

S(f, Pε)− s(f, Pε) ≤ S(f, P )− s(f, P ′) ≤ ε.

�

Un buen ejercicio para asimilar esta noción es hacer las pruebas de las siguientes afirmaciones.

Ejercicio 1.1 Toda función constante en R es integrable Riemann,∫Rcdx1...dxn = c.v(R).

Proposición 1.2.7 (la integral es un operador lineal) Sean f, g : R → R son dos funcio-nes integrables y c ∈ R.

(i) Para cada S ⊂ R

mS(f) +mS(g) ≤ mS(f + g) y Ms(f + g) ≤MS(f) +MS(g).

(ii) f + g es integrable en R y∫R

(f(x1, ..., xn)+g(x1, ..., xn))dx1...dxn =∫Rf(x1, ..., xn)dx1...dxn+

∫Rg(x1, ..., xn)dx1...dxn.


(iii) c.f es integrable en R y∫Rc.f(x1, ..., xn)dx1...dxn = c

∫Rf(x1, ..., xn)dx1...dxn.

Proposición 1.2.8 (la integral es un operador positivo) Sean f, g : R → R son dos fun-ciones integrables.

(i) Si f(x1, ..., xn) ≥ 0 para cada (x1, ..., xn) ∈ R∫Rf(x1, ..., xn)dx1...dxn ≥ 0.

(ii) Si f(x1, ..., xn) ≥ g(x1, ..., xn) para cada (x1, ..., xn) ∈ R∫Rf(x1, ..., xn)dx1...dxn ≥

∫Rg(x1, ..., xn)dx1...dxn.

(iii) (desigualdad triangular)|f |(x1, ..., xn) := |f(x1, ..., xn)| también es integrable Riemannen R y ∣∣∣∣∫

Rf(x1, ..., xn)dx1...dxn

∣∣∣∣ ≤ ∫R|f(x1, ..., xn)|dx1...dxn.

Definición 1.2.9 Sea f : R→ R una función acotada definida en el rectángulo cerrado (abier-to). La oscilación de f en el conjunto S ⊂ R se define como

osc(f, S) := MS(f)−mS(f) = sup{|f(~x)− f(~y)| : x, y ∈ S},

y la oscilación de f en un punto ~x ∈ R se define como

osc(f, ~x) := ınf{osc(f, S⋂R) : S es un rectángulo (abierto) centrado en , x ∈ S}.

Observaciones:

(i) La diferencia S(f, P )−s(f, P ) que aparece en la caracterización del teorema 1.2.6 dependede lo que oscila la función en cada rectángulo de la partición.

(ii) f es continua en ~x si, y sólo si, osc(f, ~x) = 0.

(iii) Para cada ε > 0 y cada punto ~x donde f es continua, se puede encontrar un cubo abiertoC~x(dx) centrado en ~x con diámetro dx y donde la oscilación de f es menor que ε.

(iv) Recordar que la continuidad uniforme de las funciones continuas f en subconjuntoscompactos, en particular en rectángulos cerrados y acotados R, se puede deducir de laobservación anterior pasando del cubrimiento {C~x(dx/2) : ~x ∈ R} a un subrecubrimientofinito.

Teorema 1.2.10 Toda función continua f : R → R definida en un rectángulo cerrado n-dimensional (compacto) R es integrable Riemann en el rectángulo R.


Ejercicio 1.2 Sea h : R → R una funcion acotada, que se anula excepto en los puntos de unsubconjunto finito de R. Probar que h es integrable Riemann en R y que∫

Rh(x1, ..., xn)dx1...dxn = 0.

Prueba que si f : R → R y g : R → R son dos funciones acotadas que difieren en un conjuntofinito de puntos, entonces f es integrable si, y sólo si, g es integrable y en ese caso las dosintegrales coinciden.

Ejercicio 1.3 Sea f : [0, 1]→ R la función característica de los racionales de [0,1]

f(x) :=

{0 si x es irracional1 si x es racional.

Prueba que f no es integrable Riemann en [0,1].

1.3. Conjuntos de contenido y de medida nula

En esta sección vamos a ver la caracterización de Lebesgue de las funciones integrablesRiemann.

Definición 1.3.1 (Conjuntos de medida nula) Un subconjunto N ⊂ Rn tiene medida (n-dimensional) 0 si para cada ε > 0 existe una sucesión de rectángulos cerrados n-dimensionalesR1, ..., Rj , ... tal que

N ⊂∞⋃j=1

Rj := {~x : existe jx ∈ N con ~x ∈ Rjx}, y

∞∑j=1

v(Rj) < ε

Ejercicio 1.4 Comprueba que en la definición anterior se pueden sustituir los rectángulos ce-rrados por rectángulos abiertos (A = (a1, b1) × ... × (an, bn)) obteniendo la misma noción deconjunto de medida nula.

Ind: Ver problema resuelto número 24 de [2, pag.24]

Ejercicio 1.5 Comprueba que

(i) todo conjunto finito tiene medida nula.

(ii) todo conjunto numerable { ~xj : j ∈ N} ∈ Rn tiene medida nula.

(iii) el conjunto de los números racionales en [0,1] es numerable y por lo tanto tiene medidanula.


Teorema 1.3.2 “La unión numerable de conjuntos de medida nula tiene medida nula”, en otraspalabras: Si {Ni : i ∈ N} es una sucesión de subconjuntos de medida nula en Rn, entonces suunión

N =∞⋃i=1

Ni = {~x : existe ix ∈ N con ~x ∈ Nix}

también es un conjunto de medida nula

Demostración:Ideas que intervienen

Fijado ε > 0, lo describimos como suma de una serie

ε =∞∑i=1

ε

2i.

Para cada Ni, i ∈ N, utilizamos que es de medida nula para recubrirlo con una sucesiónde rectángulos cerrados {Ri,j}∞j=1 cuyos volúmenes suman menos que ε

2i:

Ni ⊂∞⋃j=1

Ri,j y∞∑j=1

v(Ri,j) ≤ε

2i

La familia numerable de rectángulos cerrados

{Ri,j : i ∈ N y j ∈ N}

se puede describir como una sucesión (este es un buen ejercicio, si no lo habéis hecho antes)que recubre N y cuyos volúmenes suman

∞∑i,j=1

v(Ri,j) =∞∑i=1

∞∑j=1

v(Ri,j)

≤ ∞∑i=1

ε

2i= ε.

(Es un buen momento para preguntarse el porqué de la primera identidad en la fórmula anterior)�

Ejercicio 1.6 Prueba que la familia de todos los rectángulos cerrados [a1, b1]× ...× [an, bn] conextremos racionales (ai ∈ Q, bi ∈ Q) se puede describir como una sucesión.

Ejercicio 1.7 Comprueba que en la definición de conjunto de medida nula se pueden utilizarcubos cerrados n-dimensionales.

Definición 1.3.3 (Conjuntos de contenido nulo) Un subconjunto N ⊂ Rn tiene conteni-do (n-dimensional) 0 si para cada ε > 0 existe una familia finita de rectángulos cerradosn-dimensionales R1, ..., Rm tal que

N ⊂m⋃j=1

Rj := {~x : existe jx ∈ N con ~x ∈ Rjx}, y

m∑j=1

v(Rj) < ε


Como en el caso de los conjuntos de medida nula, en la definición anterior también se puedensustituir los rectángulos por rectángulos abiertos.

Ejercicio 1.8 Prueba que si N ⊂ Rn tiene contenido (n-dimensional) 0, su cierre N tambiéntiene contenido nulo.

Es evidente que todo conjunto de contenido nulo tiene medida nula, si además el conjunto escompacto el recíproco también es cierto:

Teorema 1.3.4 Si N es un subconjunto compacto de Rn de medida nula, entonces N tienecontenido nulo.

Demostración:


Es suficiente considerar cubrimientos con rectángulos abiertos en la definición de medidanula y extraer subrecubrimientos finitos usando la compacidad.

�

Ejemplo 1.3.5 La condición de integrabilidad dada en 1.2.6 nos da muchos ejemplos de con-juntos de contenido nulo, así si R ⊂ Rm es un rectángulo cerrado y f : R → R es una funciónintegrable Riemann, entonces

graf(f) = {(~x, f(~x)) ∈ Rm+1 : x ∈ R}

es un conjunto de contenido (m+ 1)-dimensional cero.En particular las curvas que son gráficas de funciones integrables Riemann en un intervalo

[a, b] son conjuntos de contenido nulo en R2.

Ejercicio 1.9 Prueba un rectángulo n-dimensional [a1, b1]× ...× [an, bn] no tiene medida (resp.contenido) nula, salvo que una de las aristas se reduzca a un punto (e.d. ai = bi para alguni ∈ {1, ..., n})

Ejercicio 1.10 Prueba que si T : Rn → Rn es una transformación (localmente) Lipschitziana,entonces T lleva conjuntos de medida nula a conjuntos de medida nula.

Ejercicio 1.11 Prueba que las rectas y los planos contenidos en R3 tienen medida nula.

Ejercicio 1.12 Prueba que el teorema anterior es falso si se suprime la condición de compacidad.Ind: Considera un conjunto numerable no compacto denso en un intervalo. Por ejemplo, los

números racionales en [0,1] como subconjunto de R.

Ejercicio 1.13 Prueba que si f : R→ R ⊂ Rn es una función acotada, definida en el rectánguloR, y {~x ∈ R : f(~x) 6= 0} tiene contenido nulo, entonces f es integrable Riemann en R y∫

Rf(x1, ...xn)dx1...dxn = 0.


1.3.1. El conjunto de Cantor (*)

El conjunto de las sucesiones formadas por ceros y unos {0, 1}N con la topología producto(convergencia coordenada a coordenada) es un compacto metrizable no numerable. En generalse llama compacto de Cantor a cualquier copia isomorfa de {0, 1}N. A continuación vamos adescribir un subconjunto del intervalo [0, 1], que es un compacto de Cantor (y por lo tanto noes numerable) y que tiene medida nula.

Vamos a proceder por inducción a aplicar el procedimiento de dividir un intervalo en tresintervalos de igual longitud y quedarnos con los dos intervalos que están en los extremos (véasela figura 1.4).

Figura 1.4: Conjunto de Cantor

De forma más concreta:Sea C−1 = [0, 1], denotamos A0 = (1

3 ,23) y definimos C0 = C−1 \A0.

Supuesto construido Ck−1 como unión de los 2k intervalos compactos de longitud 13k

descritospor los índices α = (a1, a2, . . . , ak) ∈ {0, 1}k como

Iα = [gα, gα +13k

] donde gα =k∑j=1

2aj3j.

Para cada α ∈ {0, 1}k definimos

Jα = (gα +1

3k+1, gα +

23k+1

) ⊂ Iα.

Denotamos por Ak la unión de los 2k intervalos abiertos Jα de longitud 13k+1 . Y definimos

por Ck = Ck−1 \Ak.Definimos C =

⋂+∞k=0Ck. C es un conjunto de medida nula pues para ε > 0, existe k tal que

2k+1

3k+1 < ε, y C ⊂ Ck que es unión de 2k+1 intervalos de longitud 13k+1 .

Por otra parte la aplicación ϕ : {0, 1}N → C definida por

ϕ((an)n∈N) =+∞∑n=1

2an3n

,

define un isomorfismo entre los dos compactos, y en consecuencia, C es un compacto de Cantor.Nos referiremos a C como “el conjunto de Cantor”.

Ejercicio 1.14 Repite la construcción del conjunto de Cantor pero eliminando en cada etapaintervalos de longitud 1

4ken lugar para obtener un subconjunto compacto C 1

2de interior vacío

que no es un conjunto de medida nula.Observa que [0, 1] \ C 1

2es un conjunto abierto acotado cuya frontera es C 1

2.


1.3.2. Teorema de caracterización de las funciones integrables

Teorema 1.3.6 (caracterización de Lebesgue) Sea R un rectángulo cerrado n-dimensionaly f : R → R una función acotada. Sea B = {~x ∈ R : f no es continua en ~x}, Entonces f esintegrable Riemann en R si, y sólo si, B es un conjunto de medida (n-dimensional) cero.

Demostración:Ideas que intervienen

Fijado ε > 0, se trata de encontrar una partición P tal que S(f, P )− s(f, P ) < ε.

Si |f(x)| ≤ K(K > 0) para todo x ∈ R, observa que MN (f) −mN (f) ≤ 2K para cadasubrectángulo N ⊂ R.

El conjunto de puntos x donde osc(f, x) ≥ ε2v(R) es un cerrado en R, por tanto es un

compacto de contenido nulo. Así se puede cubrir con una cantidad finita de rectángulosabiertos Nk tales que

∑k v(Nk) < ε

4K , y en consecuencia∑k

MNk(f)v(Nk)−∑k

mNk(f)v(Nk) <ε

2.

En los puntos C := R \⋃kNk la oscilación de osc(f, x) < ε

2v(R) . Para cada uno de estospuntos se puede tomar un rectángulo cerrado de interior no vacío Sx centrado en x dondela oscilación es menor que ε

2v(R) .Como C es compacto se puede cubrir con una cantidad finita de rectángulos Sxi .

Existe una partición P cuyos subintervalos están contenidos, bien en un rectángulo Sxi , obien en un rectángulo Nk.P es la partición buscada.

Véase la prueba en [8, Teorema 3.8]. �

Ejercicio 1.15 Prueba que el producto de dos funciones integrables Riemann en R es unafunción integrable Riemann en R.

Ejercicio 1.16 (Entrega voluntaria (antes del 25 de octubre de 2010)) Se trata de es-tablecer la equivalencia entre las definiciones de Darboux y Riemann para la integral. Dada unapartición P de un rectángulo cerrado (n-dimensional) R, llamaremos

‖P‖ = max{diametro(S) : S subrectángulo de P}.

Dada una función f : R → R acotada, llamaremos suma de Riemann asociada a P a cualquiersuma

R(f, P, ξ) :=∑S

f(ξS)v(S)

donde S recorre todos los subrectángulos de P y ξS ∈ S. Prueba que f : R → R acotada, esintegrable Riemann en R (Definición 1.2.5) si, y sólo si, existe

I := lım‖P‖→0

R(f, P, ξ).

Es decir, existe I ∈ R de forma que para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que, si P es una particiónde R con ‖P‖ < δ, entonces cualquier suma de Riemann asociada a P cumple

|I −R(f, P, ξ)| < ε.

Además se cumple I =∫R f(x1, ..., xn)dx1, ..., xn.


1.3.3. Conjuntos medibles Jordan

Hemos definido sin problemas el volumen n-dimensional de un rectángulo cerrado, pero cómose puede definir el volumen de otros conjuntos acotados de Rn.

Definición 1.3.7 (Conjunto medible Jordan) Sea A ⊂ Rn un subconjunto acotado. Se diceque A es medible Jordan, si su función característica

χA(~x) =

{0 si ~x 6∈ A1 si x ∈ A

,

es integrable Riemann en un (cualquier) rectángulo cerrado R ⊃ A, en este caso se define elvolumen n-dimensional de A por

v(A) =∫RχA(x1, ..., xn)dx1...dxn.

Proposición 1.3.8 Un conjunto A es medible Jordan si, y sólo si, su frontera

δ(A) = A \ interior(A)

es un conjunto de medida nula.

Ejercicio 1.17 Prueba que todo conjunto acotadoN tiene contenido nulo si, y sólo si, es medibleJordan y v(N) = 0.

Definición 1.3.9 (Integral de Riemann sobre conjuntos acotados) Sea A ⊂ Rn un sub-conjunto acotado medible Jordan, y f : A→ R una función acotada. Se dice que f es integrableRiemann en A si

f.χA(~x) =

{0 si ~x 6∈ Af(x) si x ∈ A

,

es integrable Riemann en un (cualquier) rectángulo cerrado R ⊃ A, en este caso se define laintegral ∫

Af(x1, ..., xn)dx1...dxn =

∫Rf.χA(x1, ..., xn)dx1...dxn.

Ejemplo 1.3.10 Si N es un conjunto de contenido nulo y f : N → R es una función acotadaentonces, f es integrable Riemann en N y

∫N f(~x)d~x = 0.

Ejercicio 1.18 Prueba que los rectángulos n-dimensionales son medibles Jordan, y que si Ay B son dos conjuntos medibles Jordan, A

⋃B, A

⋂B, A \ B y B \ A también son medibles

Jordan y quev(A

⋃B) = v(A) + v(B)− v(A

⋂B).

Ejercicio 1.19 Prueba que si A y es un conjuntos medible Jordan contenido en el rectángulon-dimensional R, y f : R→ R es una función integrable Riemann en R, entonces f también esintegrable en A y en R \A y∫

Rf(x1, ..., xn)dx1...dxn =

∫Af(x1, ..., xn)dx1...dxn +

∫R\A

f(x1, ..., xn)dx1...dxn.


1.4. Teorema de Fubini

El teorema de Fubini es el primer resultado que permite hacer cálculos de integrales múltiplesreduciéndolos a cálculos de integrales en intervalos de R.

Antes de enunciar el teorema, vamos a presentar la idea:Supongamos que f : R = [a1, b1]× [a2, b2]→ R es una función integrable Riemann. Para cada

partición P = {P1, P2} de R, P1 = {a1 = t0 < t1 < ... < tk1 = b1} y P2 = {a2 = s0 < s1 < ... <sk2 = b2}, las sumas de Riemann se pueden reescribir por la propiedad conmutativa de la sumacomo

∑(ti,sj)∈P

f(xi, yj)(ti − ti−1)(sj − sj−1) =k1∑i=1

k2∑j=1

f(xi, yj)(sj − sj−1)

(ti − ti−1),

Si pudiésemos tomar límites iterados en la expresión anterior, haciendo primero el límite cuando‖P2‖ → 0 y después el límite cuando ‖P1‖ → 0 esperando encontrar el mismo límite que al hacer‖P‖ → 0, tendríamos:∫

[a1,b1]×[a2,b2]f(x, y)dxdy = lım

‖P‖→0

∑(ti,sj)∈P

f(xi, yj)(ti − ti−1)(sj − sj−1)

= lım‖P1‖→0

k1∑i=1

lım‖P2‖→0

k2∑j=1

f(xi, yj)(sj − sj−1)

(ti − ti−1)

= lım‖P1‖→0

k1∑i=1

(∫ b2

a2

f(xi, y)dy)

(ti − ti−1)

=∫ b1

a1

(∫ b2

a2

f(xi, y)dy)dx.

El Teorema de Fubini viene a dar sentido a las expresiones anteriores. Por otra parte tambiéntiene efecto en la notación de la integral como integral múltiple llevándonos a escribir∫

[a1,b1]×[a2,b2]f(x, y)dxdy =

∫∫[a1,b1]×[a2,b2]

f(x, y)dxdy =∫ b1

a1

∫ b2

a2

f(x, y)dydx

Ejemplo 1.4.1 Consideramos la función f(x, y) = 2 + x2 − y2 en el rectángulo del plano R =[−1, 1]× [−1, 1]. La integral de f en R es el volumen de la región comprendida entre el rectánguloR en el plano z = 0 y la gráfica de f . Consideremos cada intervalo I = [ti−1, ti] de una particiónP de [−1, 1] y restrinjamos la función al rectángulo I × [−1, 1]

Si la longitud del intervalo I es pequeña, la integral de f en I × [−1, 1] se puede aproximarpor el volumen de un “cilindro recto” con base en el plano x = ti y “generatiz” en el eje 0X que


es el área de la base∫ 1−1 f(ti, y)dy por la altura (ti − ti−1). Con estas aproximaciones, si tiene

sentido, podemos escribir:

∫[−1,1]×[−1,1]

f(x, y)dxdy ≈k1∑i=1

(∫ 1

−1f(ti, y)dy

)(ti − ti−1) ≈

∫ 1

−1

(∫ 1

−1f(x, y)dy

)dx.

∫[−1,1]×[−1,1]

(2 + x2 − y2)dxdy =∫ 1

−1

(∫ 1

−1(2 + x2 − y2)dy

)dx

=∫ 1

−1

(4 + 2x2 − 2

3

)dx

= 8 +43− 4

3= 8.

Para formalizar el teorema se necesita un poco de terminología, sean:

R1 ⊂ Rn un rectángulo cerrado n-dimensional, R2 ⊂ Rm un rectángulo cerrado m-dimensional y

R = R1 ×R2 ⊂ Rn+m

su producto cartesiano que sigue siendo un rectángulo cerrado.

f : R→ R una función acotada.

Para cada ~x ∈ R1 se define la función lf~x : R2 → R por

lf~x(~y) := f(~x, ~y).

Como está función está acotada podemos calcular sus integrales superior e inferior deRiemann y definir dos funciones slf , Slf : R1 → R por

slf (~x) :=∫R2

lf~x(y1, ..., ym)dy1...dym,

Slf (~x) :=∫R2

lf~x(y1, ..., ym)dy1...dym,

Para cada ~y ∈ R2 se define la función rf~y : R1 → R por

rf~y(~x) := f(~x, ~y).

Como antes, podemos definir dos funciones srf , Srf : R2 → R por

srf (~y) :=∫R1

rf~y(x1, ..., xn)dx1...dxm,

Srf (~y) :=∫R1

rf~y(x1, ..., xx)dx1...dxm,


Teorema 1.4.2 Con la notación anterior, si f : R1 × R2 → R es una función integrable Rie-mann entonces las funciones slf y Slf son integrables Riemann en R1, las funciones srf y Srfson integrables Riemann en R2 y se cumple∫

R1×R2

f(x1, ..., xn, y2, ..., ym)dx1...dxn.dy1...dym =∫R1

slf (x1, ..., xn)dx1...dxn

=∫R1

Slf (x1, ..., xn)dx1...dxn

=∫R2

srf (y1, ..., ym)dy1...dym

=∫R2

slf (y1, ..., ym)dy1...dym

Demostración: Véase la prueba en [8, Teorema 3.10]. �

Con la notación anterior si las funciones lf~x y rf~y son integrables en R2 y R1 para cada~x ∈ R1 y cada ~y ∈ R2, se cumple la fórmula de integración reiterada1:∫

R1×R2

f(~x, ~y)d~xd~y =∫R1

(∫R2

f(~x, ~y)d~y)d~x =

∫R2

(∫R1

f(~x, ~y)d~x)d~y.

Ejercicio 1.20 Sea S = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x2 − y} ⊂ R3, calcula elvolumen de S.

Ejercicio 1.21

(i) Sea N ⊂ Rn un conjunto de medida n-dimensional cero. Prueba que N ×Rm tiene medidan+m-dimensional cero.

(ii) Como aplicación de la propiedad anterior, del teorema de caracterización de Lebesgue ydel teorema de Fubini, prueba que si f : R → R es integrable Riemann en el rectángulon-dimensional R y g : S → R es integrable Riemann en el rectángulo m-dimensional S,entonces la función F (~x, ~y) := f(~x)g(~y) es integrable Riemann en el rectángulo n + m-dimensional R× S y se cumple∫

R×Sf(~x)g(~y)d~xd~y =

∫Rf(~x)d~xintSg(~y)d~y.

Ejercicio 1.22 Calcule las siguientes integrales dobles:

(i)∫∫

[0,1]×[0,1] yexydxdy

(ii)∫∫A

√a2 − y2dxdy donde A = {(x, y) : x2 + y2 ≤ a2, x ≥ 0, y ≥ 0}

(iii)∫∫B(x− 1)

√1 + e2ydxdy donde B = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ log x}

Indicación: ver el problema resuelto [9, Ejercicio 11.13]


Determinantes como medidas de volúmenes.

Ejercicio 1.23 (Transformaciones lineales) Sea T : Rn → Rn una aplicación lineal tal quela matriz asociada es uno de los tres tipos

(i) homotecia en uno de los ejes principales:

1 0 ... 0 ... 00 1 ... 0 ... 0...

. . ....

0 0 ... a ... 0...

. . ....

0 0 ... 0 ... 1

(ii) suma de una coordenada en otra:

1 0 ... 0 ... 10 1 ... 0 ... 0...

. . ....

0 0 ... 1 ... 0...

. . ....

0 0 ... 0 ... 1

(iii) permutación de dos coordenadas:

1 ... 0 ... 0 ... 0. . .

0 ... 0 ... 1 ... 0...

. . ....

0 ... 1 ... 0 ... 0. . .

0 ... 0 ... 0 ... 1

Probar que para cada rectángulo n-dimensional R el volumen de la imagen del rectángulo, T (R)se puede calcular como

v(T (R)) = |det(T )|v(R).

1A partir de aquí nos vamos a permitir escribir d~x = dx1...dxn y d~y = dy1...dyn.


Como cada transformación lineal T : Rn → Rn se puede expresar como composición detransformaciones lineales de los tipos anteriores, la fórmula v(T (R)) = |det(T )|v(R) sigue siendoválida.

Más adelante probaremos que si N es un conjunto de medida nula, entonces T (N) tiene medidanula, y que si además T es inyectiva y A es medible Jordan T (A) también es medible Jordan.También probaremos que V (T (A)) = |det(T )|v(A).

1.5. Cambio de variable en las integrales múltiples

El teorema fundamental del cálculo integral nos proporciona el siguiente resultado de “cambiode variable” para integrales de funciones de una variable: Si g : [a, b] → R es derivable conderivada continua y f : [c, d]→ R es continua con g([a, b]) ⊂ [c, d], entonces∫ g(b)

g(a)f(t)dt =

∫ b

af(g(x))g′(x)dx.

Si además g es inyectiva, sabemos que g ha de ser estrictamente monótona. Si g es crecien-te g′(x) ≥ 0 y g([a, b]) = [g(a), g(b)], mientras que si es decreciente g′(x) ≤ 0 y g([a, b]) =[g(b), g(a)], en los dos casos el cambio de variable se puede escribir como∫

g([a,b])f(t)dt =

∫[a,b]

f(g(x))|g′(x)|dx.

La extensión de esta fórmula para integrales múltiples no es, en absoluto, sencilla (Para variasvariables no hay teorema fundamental del cálculo) :

En la asignatura «Funciones de Varias Variables I» vais a estudiar la noción de funcióndiferenciable: Sea A ⊂ Rn un conjunto abierto y g : A → Rn una función. Se dice que g esdiferenciable en ~p = (p1, ..pn) ∈ A si existe una transformación lineal T~p : Rn → Rn, que sesuele denotar como dg(~p) = T~p, que aproxima “bien” a la función g en el sentido de que

g(~x) = g(~p) + T~p(~x− ~p) + o(‖~x− ~p‖).

Supongamos que las coordenadas componentes de g son g(~x) = (g1(~x), g2(~x), ..., gn(~x), y queexisten y son continuas en A, las derivadas parciales:

∂gi(~y)∂xj

= g′i,j,~y(yj)

donde gi,j,~y(t) son las función de una variable real definidas (al dejar fijas todas las coordenadasmenos la de la posición j-ésima) por

gi,j,~y(t) = gi(y1, ..., yj−1, t, yj+1, ..., yn),

Entonces g es diferenciable en todos los puntos de A y

dg(~p) ≡(∂gi(~y)∂xj

)=

∂g1(~y)∂x1

... ∂g1(~y)∂xn

......

∂gn(~y)∂x1

... ∂gn(~y)∂xn

.


A la matriz(∂gi(~y)∂xj

)se le llama el jacobiano de g en ~y.

La idea en el teorema de cambio de variable es considerar por un lado transformacioneslineales y luego, en general, funciones inyectivas diferenciables con derivadas parciales continuasque se pueden aproximar localmente por traslaciones de transformaciones lineales

Teorema 1.5.1 (Cambio de Variable) Sea A ⊂ Rn un conjunto abierto (+ medible Jordan)y g : A → Rn una función inyectiva diferenciable con derivadas parciales continuas tal quedet(dg(~x) 6= 0 para todo x ∈ A. Si f : g(A) → R es integrable Riemann en g(A), entoncesf ◦ g(~x) = f(g(~x)) también es integrable Riemann en A y∫

g(A)f(~y)d~y =

∫Af(g(~x))|det(dg(~x))|d~x

Sistemas de Coordenadas

A veces en la descripción de funciones o de recintos del plano o el espacio puede resul-tar más conveniente (por simplicidad en las expresiones y en los cálculos) utilizar otros sis-temas de referencia para determinar puntos distintos, del sistema cartesiano. Vamos a re-pasar algunos de ellos que usaremos en el cálculo de algunas integrales múltiples. Visitadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas polares para un repaso rápido.

Coordenadas polares en el plano

Los puntos del plano se pueden especificar por la distancia del punto a un punto distinguidoque llamamos “origen” y el ángulo que forma el vector que parte del origen hasta el punto con unasemirecta que parte del origen fijada de antemano. Normalmente, teniendo presente un sistemacartesiano se toma como origen el origen del sistema O, y como semirecta el semieje OX:

Figura 1.5: Coordenadas Polares en el Plano

La función cambio de variable es g(r, θ) = (r cos θ, r sen θ) que es inyectiva en cualquier bandade la forma (0,+∞)× (a, b) = {(r, θ) : r > 0, a < θ < b}, con b− a ≤ 2π. En efecto:Si x = r cos θ e y = r sen θ, se tiene que r =

√x2 + y2 y tan θ = y/x.

El determinate del jacobiano de este cambio de variable es

det(dg(r, θ)) =

∣∣∣∣∣cos θ −r sen θsen θ r cos θ

∣∣∣∣∣ = r.

Ejemplo 1.5.2 El discoDK = {(x, y) : x2+y2 ≤ K2} en coordenadas polares se puede describirpor RK = {(r, θ) : 0 ≤ r ≤ K, 0 ≤ θ < 2π}.

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares


Además la aplicación g es inyectiva en el rectángulo abierto int(RK) = {(r, θ) : 0 < r ≤K, 0 ≤ θ < 2π} y g(int(RK) = DK \

({(x, 0) : 0 ≤ x ≤ K}

⋃{(x, y) : x2 + y2 = K2}

)El conjunto DK \g(int(RK) tiene medida (contenido) cero porque es la unión de dos gráficas

de funciones continuas (y = ±√K2 − x2 en [−K,K]) y el segmento {(x, 0) : x ∈ [0,K]}.

También el conjunto la frontera del rectángulo RK es de medida (contenido) cero.Como las integrales de funciones acotadas sobre conjuntos de contenido nulo son nulas, el

teorema de cambio de variable a polares para integrales de funciones definidas en DK se puedeutilizar escribiendo∫∫

DK

f(x, y)dxdy =∫∫

g(int(RK)f(x, y)dxdy =

∫∫int(RK)

f(r cos θ, r sen θ).r drdθ

=∫∫

RK

f(r cos θ, r sen θ).r drdθ =∫ 2π

0

∫ K

0f(r cos θ, r sen θ).r drdθ.

Ejemplo 1.5.3 Con la notación anterior si f(x, y) = e−(x2+y2), al cambiar a polares se tienef(r cos θ, r sen θ) = e−r

2 y se tiene que para todo K > 0∫∫DK

e−(x2+y2)dxdy =∫∫

g(int(RK)e−(x2+y2)dxdy =

∫∫int(RK)

e−r2.r drdθ

=∫∫

RK

e−r2.r drdθ =

∫ 2π

0

(∫ K

0e−r

2.r dr

)dθ

=∫ 2π

0

12

(1− e−K2)dθ = π(1− e−K2

).

Si consideramos los cubos CK = [−K,K]× [−K.K], el teorema de Fubini nos permite afirmarque ∫∫

CK

e−(x2+y2)dx, dy =∫ K

−K

(∫ K

−Ke−x

2e−y

2dx

)dy

=∫ K

−Ke−y

2

(∫ K

−Ke−x

2dx

)dy =

(∫ K

−Ke−x

2dx

)∫ K

−Ke−y

2dy

=(∫ K

−Ke−x

2dx

)2

.

Como se cumple que DK ⊂ CK ⊂ D√2K , La monotonía de la integral de Riemann nos permiteestablecer las desigualdades

π(1− e−K2) =

∫∫DK

e−(x2+y2)dx, dy ≤∫∫

CK

e−(x2+y2)dx, dy

=(∫ K

−Ke−x

2dx

)2

≤∫∫

D√2K

e−(x2+y2)dx = π(1− e−2K2)

La integral impropia∫∞−∞ e

−x2dx es convergente y su valor es el límite lımK→+∞

∫K−K e

−x2dx.

Al tomar límites en la cadena de desigualdades de más arriba se tiene∫ +∞

−∞e−x

2dx =

√π.


Coordenadas cilíndricas en el espacio

Los puntos del espacio (x, y, z) se pueden especificar describiendo el punto (x, y) en coor-denadas polares, y por la coordenada z. Este sistema de referencia es muy útil para describirfunciones y recintos de revolución.

Figura 1.6: Coordenadas Cilindricas en el espacio

La función cambio de variable es g(r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z) que es inyectiva en cualquierbanda espacial de la forma (0,+∞)× (a, b)× R = {(r, θ, z) : r > 0, a < θ < b}, con b− a ≤ 2π.En efecto:Si x = r cos θ e y = r sen θ, se tiene que r =

√x2 + y2 y tan θ = y/x.

El determinate del jacobiano de este cambio de variable es

det(dg(r, θ)) =

∣∣∣∣∣∣∣cos θ −r sen θ 0sen θ r cos θ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ = r.

Ejemplo 1.5.4 Los puntos que en coordenadas cilíndricas satisfacen la ecuación r = 1 son lospuntos del cilindro recto con base en la circunferencia unidad del plano XY y con el eje OZ degeneratriz.

Los puntos que cumplen θ = 0 son los puntos del semiplano {(x, y, z) : y = 0, x ≥ 0}.Los puntos que cumplen z = r2 son los puntos del paraboloide de revolución z = x2 + y2.

Ejemplo 1.5.5 Consideremos el cilindro C = {(x, y, z) : x2 + y2 ≤ 1,−1 ≤ z ≤ 1}, C = g(U)donde U = {(r, θ, z) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ < 2pi,−1 ≤ z ≤ 1}, así∫∫∫

C(x2 + y2 + z2)dxdydz =

∫∫∫U

(r2 + z2)rdrdθdz

=∫ 2

0π

(∫ 1

−1

(∫ 1

0(r+z2)rdr

)dz

)dθ

= 2π(∫ 1

−1(23

+z2

2)dz =

2π3

Ejemplo 1.5.6 Vamos a calcular el volumen del sólido

S = {(x, y, z) : 0 ≤ x2 + y2 ≤ z ≤ 1}


En coordenadas cilíndricas S = G(U), con U = {0 ≤ r2 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ θ < 2π}, Observad que0 ≤ r ≤ 1, que una vez fijo r, r2 ≤ z ≤ 1

v(S) =∫∫∫

Sdxdydz =

∫∫∫Urdrdθdz =

∫ 2π

0

(∫ 1

0

(∫ 1

r2rdz

)dr

)dθ =

π

2

Como ejercicio, podéis comprobar (Fubini) que si fijais primero z (0 ≤ z ≤ 1), una vez fijo z,0 ≤ r ≤

√z, y también debe ser

v(S) =∫∫∫

Sdxdydz =

∫∫∫Urdrdθdz =

∫ 2π

0

(∫ 1

0

(∫ √z0

rdr

)dz

)dθ

Ejercicio 1.24 Sea B = {(x, y, z) : 0 ≤ z ≤ x2 + y2 ≤ 1}. Usando el cambio a coordenadascilíndricas, calcula ∫∫∫

B

z

1 + x2 + y2 + z2dxdydz.

Coordenadas esféricas (polares) en el espacio

Los puntos del espacio P ≡ (x, y, z) También se pueden describir en función de la distanciaρ del punto al origen de coordenadas, del ángulo θ que forma el vector de posición del punto~OP con el semieje positivo OX (x > 0), y el ángulo ϕ que forma OP con el semieje positivoOZ (z > 0). Este sistema de referencia es muy útil para describir funciones y recintos que seexpresan en términos de la distancia euclídea del punto al origen.

Figura 1.7: Coordenadas Esféricas en el espacio

La función cambio de variable es g(ρ, θ, ϕ) = (ρ cos θ senϕ, ρ sen θ senϕ, ρ cosϕ) que es inyec-tiva en el cuadrante espacial de la forma (0,+∞)× (a, b)× [0, π] = {(r, θ, z) : r > 0, a < θ < b},con b− a ≤ 2π. En efecto:Si x = ρ cos θ senϕ, y = r sen θ senϕ y z = ρ cosϕ, se tiene que ρ =

√x2 + y2 + z2, cotϕ =√

x2+y2

z y tan θ = y/x.El determinate del jacobiano de este cambio de variable es

det(dg(r, θ)) =

∣∣∣∣∣∣∣cos θ senϕ ρ sen θ senϕ ρ cos θ cosϕsen θ senϕ −ρ cos θ senϕ ρ sen θ cosϕ

cosϕ 0 −ρ senϕ

∣∣∣∣∣∣∣ = ρ2 senϕ.


Ejemplo 1.5.7 Cálculo de la integral

I =∫∫∫

Be(x

2+y2+z2)32 dxdydx

donde B = {x2 + y2 + z2 ≤ 1} es la esfera sólida centrada en el origen de radio 1.Con el cambio a coordenadas esféricas B = g(U) donde U = {(ρ, θ, ϕ) : 0 ≤ r ≤ 1}. Así

I =∫∫∫

Ueρ

3ρ2 senϕdρdθdϕ =

∫ 2π

0

∫ π

0

∫ 1

0eρ

3ρ2 senϕdρdϕdθ =

4π3

(e− 1).

Ejemplo 1.5.8 Cálculo de la integral

I =∫∫∫

S

1√x2 + y2 + z2

dxdydx

donde S = {x2 + y2 + z2 ≤ 1, 12 ≤ z ≤ 1} es la esfera sólida centrada en el origen de radio 1.

Con el cambio a coordenadas esféricas S = g(V ) donde

V = {(ρ, θ, ϕ) : 0 ≤ θ2π, 0 ≤ z ≤ arc cos12,

12 cosϕ

≤ ρ ≤ 1}.

Así

I =∫∫∫

Vρ senϕdρdθdϕ =

∫ 2π

0

∫ π6

0

∫ 1

12 cosϕ

ρ senϕdρdϕdθ.

Ejercicio 1.25 Como se describe en coordenadas esféricas el cilindro

{−1 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ x2 + y2 ≤ 1}.

Ejercicio 1.26 Como se describe la región cerrada comprenda entre los dos paraboloides

z = x2 + y2, z − 4 = −(x2 + y2)

en coordenadas esféricas.¿Y en coordenadas cilíndricas?

Ejercicio 1.27 Cálcula el área del recinto elíptico

E(a, b) = {x2

a2+y2

b2≤ 1}

y el volumen del cuerpo limitado por elipsoide

E(a, b, c) = {x2

a

2

+y2

b2+z2

c2≤ 1}.

Ejercicio resuelto en [9, Ej 11.12]

Ejercicio 1.28 Calcula las siguientes integrales dobles:

(i)∫∫{x2+y2≤2x} xdxdy,

(ii)∫∫{x2+y2≤1,x≥0,y≥0} x

√1− x2 − y2dxdy.

Ejercicio resuelto en [9, Ej 11.14]


1.6. La integral de Riemann-Stieltjes

En esta sección vamos a realizar una visita a la Integral de Riemann-Stieltjes desarrolladapor Stieltjes (1894).

Nuestro interés en esta integral lo podemos centrar en dos puntos:(i) En primer lugar porque, como veremos en los próximos capítulos, la integral de Lebesgueasociada a una medida sirve para dar un tratamiento unificado tanto a la integral de Riemanncomo a la de Riemann-Stieltjes.(ii) Y, por otra parte, porque, como también veremos, la integral de Lebesgue de cualquierfunción con respecto a una medida, se puede interpretar como una integral de Riemann-Stieltjescon respecto a su función de distribución, tal y como se hace en Teoría de Probabilidad al evaluarla esperanza de una variable aleatoria con respecto a una medida de probabilidad.

Stieltjes consideraba en la recta “distribuciones" dadas por una función real ϕ haciendocorresponder a cada intervalo (a, b] la masa

λϕ((a, b]) = ϕ(b)− ϕ(a).

Para que esta medida de masas sea positiva es necesario que ϕ sea creciente y si además sequiere que λϕ se comporte bien al hacer uniones crecientes (resp. intersecciones decrecientes) deintervalos será necesario que ϕ sea continua por la derecha.

Definición 1.6.1 Si f y ϕ son dos funciones acotadas definidas en el intervalo [a, b] y P ={a = t0 < t1 < · · · < tn = b} es una partición del intervalo, se llama suma de Riemann-Stieltjesde f con respecto a ϕ asociada a la partición P , a cualquier suma de la forma

R(f, ϕ, P ) =n∑i=1

f(ξi)(ϕ(ti)− ϕ(ti−1)),

donde ξi ∈ [ti−1, ti] son puntos cualesquiera de los subintervalos definidos por la partición.Si existe el límite de estas sumas R(f, ϕ, P ) cuando |P | = sup{(ti−ti1) : i = 1, 2, . . . , n} → 0,

es decir, si existe I tal que ∀ε > 0 existe un δ > 0 verificando |I − R(f, ϕ)| < ε si |P | < δ; sedice que f es integrable en el sentido de Riemann-Stieltjes con respecto a ϕ en el intervalo [a, b].Además, se dice que I es la integral de Riemann-Stieltjes de f con respecto a ϕ en [a, b], y sedenota

I =∫ b

af(x) dϕ(x) =

∫ b

af dϕ.

Obsérvese que si ϕ(x) = x es la identidad, entonces la integral∫ ba f dϕ es exactamente la

integral de Riemann que acabamos de repasar en la sección anterior.La condición de Cauchy correspondiente a la existencia del límite que define la integral de

Riemann-Stieltjes es la siguiente

Proposición 1.6.2 Para que f sea integrable Riemann-Stieltjes con respecto a ϕ en [a, b] escondición necesaria y suficiente el que para cualquier ε > 0 exista δ > 0 tal que

|R(f, ϕ, P )−R(f, ϕ,Q)| < ε

para cualquier par de particiones P y Q de [a, b] tales que |P | < δ y |Q| < δ.


Demostración: Ver [6, sec 1.4, proposición 2] �

Al igual que para la integral de Riemann, la continuidad uniforme de las funciones continuasdefinidas en intervalos compactos asegura la existencia de las integrales de Riemann-Stieltjescon respecto a funciones monótonas.

Proposición 1.6.3 Sea f una función continua en [a, b] y ϕ una función monótona crecientedefinida en [a, b] entonces f es integrable Riemann-Stieltjes con respecto a ϕ en [a, b].

Demostración: Ver [6, sec 1.4, proposición 3] �

En el caso particular de que ϕ es además una función de clase C1 en [a, b] entonces la fórmulade los incrementos finitos nos permite afirmar que

Corolario 1.6.4 Si f es una función continua en [a, b] y ϕ es una función creciente de claseC1 en [a, b] entonces se cumple la fórmula∫ b

af(x) dϕ(x) =

∫ b

af(x)ϕ′(x) dx.

(La fórmula anterior viene a explicar la notación utilizada para la integral de Riemann-Stieltjes)La proposición que sigue contiene una lista de propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes

cuyas pruebas son una sencilla aplicación de la definición de integral como límite de sumas.

Proposición 1.6.5

(i) Si existe la integral∫ ba f dϕ y c ∈ R es una constante, entonces también existen las inte-

grales∫ ba cf ϕ y

∫ ba f dcϕ, y se tiene la igualdad∫ b

acf dϕ =

∫ b

af dcϕ = c

∫ b

af dϕ.

(ii) Si existen las integrales∫ ba f dϕ e

∫ ba g dϕ, entonces también existe la integral

∫ ba (f + g) dϕ

y se cumple ∫ b

a(f + g) dϕ =

∫ b

af dϕ+

∫ b

ag dϕ.

(iii) Si existen las integrales∫ ba f dϕ e

∫ ba g dϕ, f(t) ≥ g(t) para todo t ∈ [a, b] y ϕ es monótona

creciente, entonces se cumple ∫ b

af dϕ ≥

∫ b

ag dϕ.

(iv) Si existen las integrales∫ ba f dϕ e

∫ ba f dφ, entonces también existe la integral

∫ ba f d(ϕ+φ)

y se cumple ∫ b

af d(ϕ+ φ) =

∫ b

af dϕ+

∫ b

af dφ.

La propiedad de aditividad del intervalo de integración sólo se verifica en una dirección:


Proposición 1.6.6 Si existe la integral de Riemann-Stieltjes∫ ba f dϕ y a < c < b, entonces

también existen las integrales de Riemann-Stieltjes∫ ca f dϕ e

∫ bc f dϕ, y se cumple∫ b

af dϕ =

∫ c

af dϕ+

∫ b

cf dϕ.

Demostración: Ver [6, sec 1.4, proposición 6 y ejemplo 6] �

La fórmula de sumación de Abel proporciona la fórmula de integración por partes que apareceen la siguiente proposición:

Proposición 1.6.7 (Integración por partes) Si existe la integral de Riemann-Stieltjes∫ ba f dϕ,

entonces también existe la integral∫ ba ϕdf , y se cumple∫ b

aϕdf = (f(b)ϕ(b)− f(a)ϕ(a))−

∫ b

af dϕ.

Demostración: La fórmula de sumación de Abel relaciona las sumas de Riemann-Stieltjes deϕ con respecto a f , con sumas de f con respecto a ϕ.

Sea P = {a = t0 < t1 < · · · < tn = b} una partición de [a, b] y sean ξi ∈ [ti−1, ti] (i = 1, . . . , n)elecciones de puntos intermedios en los intervalos de la partición P . Consideremos la particióndefinida por estos puntos

Q = {a = ξ0 ≤ ξ1 ≤ ξ2 ≤ · · · ≤ ξn ≤ ξn+1 = b},

y consideremos la elección de puntos intermedios dada por:x1 = t0 = a ∈ [ξ0, ξ1], xi = ti−1 ∈ [ξi−1, ξi] si (i = 1, . . . , n), yxn+1 = tn = b ∈ [ξn, ξn+1].Entonces se tiene la igualdad

R(ϕ, f, P ) =n∑i=1

ϕ(ξi)(f(ti)− f(ti−1))

=n∑i=1

f(ti)ϕ(ξi)−n∑i=1

f(ti−1)ϕ(ξi)

= f(b)ϕ(b) +n−1∑i=1

f(ti)ϕ(ξi)− f(a)ϕ(ξ1)−n∑i=2

f(ti−1)ϕ(ξi)

= (f(b)ϕ(b)− f(a)ϕ(a))− f(a)(ϕ(ξ1)− ϕ(a))

−n∑i=2

f(xi)ϕ(ξi) +n∑i=2

f(xi)ϕ(ξi−1)

= (f(b)ϕ(b)− f(a)ϕ(a))−n∑i=1

f(xi)(ϕ(ξi)− ϕ(ξi−1))

= (f(b)ϕ(b)− f(a)ϕ(a))−R(f, ϕ,Q)

Tomando límites en esta última expresión cuando |Q| ≤ 2|P | → 0 se concluye la prueba. �


Ejercicio 1.29 Suponiendo que ϕ es una función creciente en [a, b] y que f es una funciónpositiva integrable con respecto a ϕ en [a, b], definimos ψ(x) =

∫ xa f dϕ. Pruébese que para

cualquier función continua g definida en [a, b] se cumple∫ ba g dψ =

∫ ba g.f dϕ.

Ejercicio 1.30 Sea f : [a, b]→ R una función continua y ϕ : [a, b]→ R una función monótonacreciente. Pruébese que existe un punto intermedio ξ ∈ [a, b] tal que∫ b

af dϕ = f(ξ)(ϕ(b)− ϕ(a)).

Ejercicio 1.31 (Cambio de variable) Sea ϕ una función creciente y continua en [a, b], conϕ(a) = c y ϕ(b) = d, y f una función continua en [c, d]. Pruébese que∫ d

cf(y) dy =

∫ b

af(ϕ(x)) dϕ(x).

1.7. Actividades complementarias del capítulo

Lecturas complementarias:

Integral de Riemann: Capítulo 3 de [8]; Capítulos 10 y 11 de [9]; Lección 24 de [4]

Referencias históricas e integral de Riemann-Stieltjes: Capítulo 1 de [6]; Introducción de[5]

Riemann-Stieltjes: en capítulo 7 de [1] y en “Chapter” 2 de [7]

Descargas de internet:

Hoja de problemas no1 (contiene los ejercicios repartidos en el tema y alguno adicional).en SUMA

Problemas resueltos y propuestos en los capítulos 10 y 11 de [9]

Applet de Geogebra para repasar la integral de Riemann en http://webs.um.es/apall.

Programa DPGRAPH desde http://www.dpgraph.com (opción Update y selección de "Li-cenced sites": Universidad de Murcia 30100 ES). Es un programa de Windows que tambiénfunciona en Linux y Mac OSX a través del programa libre Wine.

Documentación DPGRAPH en castellano en las páginas web de G. Vera:http://webs.um.es/gvb/OCW/OCW-AM-II files/LecAM-II.html.

http://webs.um.es/apall/miwiki/doku.php?id=documentosactivosfvvii

http://www.dpgraph.com/graphing-users.html#U

http://webs.um.es/gvb

BibliografíaBibliografía

[1] T.A. Apostol, Análisis matemático, Reverté, Barcelona, 1976.

[2] G. Vera F. Bombal, L. Rodríguez, Problemas de análisis matemático vol 3, AC., Madrid,1987.

[3] F.J. Freniche J.A. Facenda, Integración de funciones de varias variables, Piramide, Madrid,2002.

[4] E. Linés, Análisis matemático ii, vol 2, UNED, Madrid, 1996.

[5] B. Rubio M. de Guzmán, Análisis numérico, 7a edición, Alhambra, Madrid, 1979.

[6] A. Pallarés, Teoría de la medida, Universidad de Murcia, SUMA. Murcia, 1999.

[7] A. Zigmund R.L. Wheeden, Measure and integral, Marcel Dekker, New York, 1977.

[8] M. Spivak, Cálculo en variedades, Reverté, Barcelona, 1975.

[9] G. Vera, Lecciones de análisis matemático ii, Universidad de Murcia, SUMA. Murcia, 2005.

[10] J.A. Fernández Viña, Análisis matemático iii, Tecnos, Madrid, 1992.

Funciones de varias variables II - Proyecto...

Documents

Transcript of Funciones de varias variables II - Proyecto...