Funciones

2018

Tema

Funciones

Dominio de una funcion

Comportamiento de una funcion

Representaciones de funciones

Las funciones surgen siempre que una cantidad depende deotra.

Galileo Galilei hizo rodar bolas hacia abajo sobre un plano inclinado.

Representacion numerica Representaciongrafica

Representacionalgebraica

Funcion

Funcion

Una funcion es una regla que asigna a cada objeto deun conjunto A exactamente un objeto de un conjunto B .

El conjunto A se llama dominio de la funcion y elconjunto de los objetos asignados B se denomina rango.

El diagrama de la derecha muestra una relacion que no es funcion, ya que a x1 tieneasignados tanto a y1 como y3.

Relaciones entre magnitudes

En muchas situaciones practicas, el valor de una magnitud puede depender del valor deuna segunda magnitud. Estas relaciones pueden representarse matematicamente comofunciones.

Interpretaciones de una funcion

Formas de interpretar una funcion.

Representacion grafica de una funcion

La grafica de la funcion y = f (x) es el conjunto de todos lospuntos (x , f (x)).

Representacion grafica de una funcion.

Representacion grafica de una funcion

Ejemplo 2

De las tres graficas que se muestran en la siguiente figura,¿cual no es la grafica de una funcion?

La grafica en c), ya que no asigna un valor unico a 0.

Las graficas que superan la prueba de la recta vertical sonlas graficas de funciones.

Interpretacion de la grafica de una funcion

Ejemplo 3

Tres corredores compiten en los 100 metros. La grafica muestra las

distancias recorridas por cada uno como una funcion del tiempo.

a) ¿Quien gano la carrera?

b)¿Terminaron la carrera todos?

a) Gano A. El valor de t correspondiente a los 100m es el menor.

b) Sı. En los tres casos hay un valor de t correspondiente a 100m.

Esbozo de la grafica de una funcion

Ejemplo 4

Esboce una grafica aproximada del valor de mercado de un nuevo

automovil en funcion del tiempo, durante un periodo de 20 anos.

Suponga que el automovil se mantiene en buen estado

Al salir de la agencia, el valor del automovil cae. Continua cayendo

conforme pasa el tiempo. Cuando llega a cierta antiguedad, su

valor comienza a subir. La grafica del costo se verıa ası:

Evaluacion de una funcion

Ejemplo 5

Si f (x) = x2 + 4, hallar f (3).

f (3) = (3)2 + 4

⇒ f (3) = 13

Funcion definida por partes

Ejemplo 7

Hallar f (0), f (1) y f (2) si

f (x) =

{1

x−1si x < 1

3x2 + 1 si x ≥ 1

0 < 1, ası que f (0) = 10−1

= −1

1 ≥ 1, ası que f (1) = 3(1)2 + 1 = 4

2 ≥ 1, ası que f (2) = 3(2)2 + 1 = 13

Funcion como modelo de una situacion

Ejemplo 6

Se supone que el costo total en dolares de fabricar q unidades decierto artıculo esta dado por la funcion

C (q) = q3 − 30q2 + 400q + 500

a) ¿Cual es el costo de fabricar 20 unidades?

b) ¿Cual es el costo de fabricar la vigesima unidad?

a) Hay que calcular C (20):

C (20) = (20)3 − 30(20)2 + 400(20) + 500 = 4500

El costo de fabricar 20 unidades es de $4500 USD.

b) Al costo de fabricar 20 unidades, le restamos el de fabricar 19:

C (20)− C (19) = 4500− 4129 = 371

El costo de fabricar la unidad 20 es de $371 USD.

Tema

Funciones

Dominio de una funcion

Comportamiento de una funcion

Dominio de una funcion

f (x) = ax

x 6= 0El divisor de una fraccion puedeser cualquier numero, excepto 0.

g(x) = 2√x

x ≥ 0

El radicando de una raız par puedeser cualquier numero no negativo.

Dominio natural

El dominio de una funcion es el conjunto de los valorespara los cuales la regla de asignacion esta definida.

Dominio relativo

Para modelos, se considera un dominio que se ajuste a lasituacion.

Dominio de una funcion

Ejemplo 8

El area de un cırculo se puede definir en funcion de suradio, mediante la formula

f (r) = πr 2

La expresion esta definida para todos los numeros reales.Domf : R Domf : (−∞,∞)

La funcion area no esta definida para valores negativosde r .

Domf : r ≥ 0 Domf : [0,∞)

Dominio de una funcion

Ejemplo 9

Encontrar el dominio de lafuncion

g(x) =1

x − 3

El denominador debe ser dis-tinto de cero.

⇒ x − 3 6= 0

⇒ x 6= 3

Domg : x 6= 3

Domg : R− {3}

Ejemplo 10

Determinar el dominio de

f (t) =√t − 2

El radicando debe ser mayoro igual que cero.

⇒ t − 2 ≥ 0

⇒ t ≥ 2

Domf : t ≥ 2

Domf : [2,∞)

Dominio de una funcion

Ejemplo 11

Determinar el dominio de la funcion dada.

f (t) =t + 2√9− t2

f (t) esta definida para losnumeros t tales que

9− t2 ≥ 0

⇒ 9 ≥ t2

⇒ t2 ≤ 9

⇒ t ≤ 3 o t ≥ −3

Ademas, f (t) solo esta definidapara los numeros t tales que√

9− t2 6= 0

⇒ 9− t2 6= 0

⇒ t2 6= 9

⇒ t 6= ±3

Domf : −3 < t < 3 Domf : (−3, 3)

Dominio de una funcion

Ejemplo 12

Un plan de telfonıa celular tiene una carga basica de 35 USD almes. El plan incluye 400 minutos y cargos de 10 centavos de dolarpor cada minuto adicional de uso. Escribir el costo mensual C ,como funcion del numero x de minutos utilizados. Graficar C para0 ≤ x ≤ 600. ¿Cual es el dominio de la funcion?

Hay dos posibles situaciones almomento de calcular el costo:

1. Cuando el uso no superalos minutos incluidos, elcosto es de 35 USD.

2. Cuando el uso supera losminutos incluıdos, es35 + 1

10 (x − 400) USD.

Usando notacion funcional, elcosto es:

C = f (x) =

{35 si x ≤ 400x10 − 5 si x > 400

El dominio es Domf : [0,∞)

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Funciones

Dominio de una funcion

Comportamiento de una funcion

Crecimiento de una funcion

La funcion f es creciente en los intervalos [a, b] y en [c, d ], y es decreciente en [b, c].

Funciones creciente y decreciente

Dada una funcion f en un intervalo I con x1 < x2, entonces:

I Es creciente si f (x1) < f (x2)

I Es decreciente si f (x1) > f (x2)

Simetrıa de una funcion

Una funcion par es simetrica respectoal eje Y .

Una funcion impar es simetricarespecto al origen.

Funcion par

Si para todo x en el do-minio de una funcion f

f (−x) = f (x)

Funcion impar

Si para todo x en el do-minio de una funcion f

f (−x) = −f (x)

Simetrıa de una funcion

Ejemplo 13

Determinar la simetrıa de

f (x) = x5 + x

f (−x) = (−x)5 + (−x)

= −x5 − x

= −(x5 + x)

= −f (x)

∴ f (x) es impar.f es simetrica con respecto al origen.

Simetrıa de una funcion

Ejemplo 14

Determinar la simetrıa de

g(x) = 1− x4

g(−x) = 1− (−x)4

= 1− x4

= g(x)

∴ g(x) es impar.

g es simetrica con respecto al eje Y .

Simetrıa de una funcion

Ejemplo 15

Determinar la simetrıa de

h(x) = 2x − x2

h(−x) = 2(−x)− (−x)2

= −2x − x2

⇒ h(−x) 6= h(x) y

h(−x) 6= −h(x)

∴ h(x) es asimetrica.

h es asimetrica.