FUNCIONES HIPERBÓLICAS

5/9/2018 FUNCIONES HIPERBÓLICAS - slidepdf.com

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UCSM

FACULTAD DE: INGENIERÍA

PROGRAMA PROFESIONAL: INGENIERÍA INDUSTRIAL

TAREA N# 1

TEMA: FUNCINOES HIPERBOLICAS Y SUS DERIVADAS

FECHA: 01/09/2011

APELLIDOS Y NOMBRES: TEJADA CHÁVEZ EDGAR FERNANDO



CORREO ELECTRÓNICO: [email protected]

CELULAR: 958794354

TELÉFONO FIJO: 054252766

DIRECCIÓN: PASAJE JAVIER DELGADO 100 DPTO 302

Definición analítica

Se llaman funciones hiperbólicas al coseno hiperbólico (denotado cosh o ch), seno

hyperbólico (senh o sh) y las funciones que se obtienen a partir de ellas, como la tangente

(tanh o th), cotangente (coth), la secante (sech) y la cosecante (cosech) hiperbólicas:

Coseno hiperbólico:

mailto:[email protected]

http://enciclopedia.us.es/index.php/Archivo:Funciones_hiperb%C3%B3licas_2.png

mailto:[email protected]



es la parte par de la exponencial

Seno hiperbólico:

es la parte impar de la exponencial

Tangente hiperbólica:

Cotangente hiperbólica:

, definida sobre

y más generalmente sobre

Secante hiperbólica:

Cosecante hiperbólica:

, definida sobre

y más generalmente sobre

.

http://enciclopedia.us.es/index.php/Funci%C3%B3n_impar






Sh, th, coth y csch son funciones impares mientras que ch y sech son pares.

Definición geométrica

De la misma manera que las funciones trigonométricas permiten localizarse sobre el círculo

trigonométrico, las funciones hiperbólicas dan la posición de un punto cualquiera de la

rama positiva de la hipérbola de ecuación

(en un sistema de coordenadas ortonormal).

Un punto A(ch a, sh a) pertenece al esta hipérbola porque sus coordenadas verifican su

ecuación, concretamente .

Esto equivale a decir que el sistema es una representación paramétrica (o

ecuación paramétrica) de esta rama de hipérbola.




http://enciclopedia.us.es/index.php/Funci%C3%B3n_par



http://enciclopedia.us.es/index.php/Trigonometr%C3%ADa



http://enciclopedia.us.es/index.php/Archivo:Funciones_hiperb%C3%B3licas.png









Sin embargo lo más sorprendente es que el parámetro a tiene una interpretación geométrica

sencilla: es el doble del área delimitada por eje de abscisas, la recta (OA) y la hipérbola

(superficie dibujada en azul). La semejanza con la trigonometría circular es llamativa y deja

entrever que existe un vínculo muy profundo entre ambas geometrías, la circular (euclídea)

y la hiperbólica.

Prueba: El triángulo OAB tiene como área

y el área azul

más él del triángulo OAB mide, integrando para con las ordenadas:

.

El cambio de variable en la integral anterior da:

. Luego

Relación con la trigonometría

El vínculo entre las funciones hiperbólicas y trigonométricas es la fórmula de Euler

que tiene como consecuencia estas escrituras del coseno y del seno:

es la parte real de eix

, y

es su parte imaginaria.

Se obtienen fácilmente las relaciones:

, , ,

.

http://enciclopedia.us.es/index.php/Leonhard_Euler






Gracias a estas últimas, se traducen automáticamente todas las relaciones trigonométricas

en la lengua de la geometría hiperbólica. Veámos como, con un ejemplo sencillo:

Bien es sabido que

. Es esto cierto para todo x real, luego para todo x complejo (por propiedad de las funciones

holomorfas), por tanto para todo complejo de la forma ix:

. Remplazando

por

se obtiene:

es decir

.

En la práctica, una fórmula trigonométrica de cosenos y senos se trasforma en la fórmula

similar con

con sólo cambiar el signo de los eventuales factores

de un término y trasformarlos en

. Por ejemplo

daría

. De aquí en adelante, se escriben en azul los signos que cambian entre la geometría circular

y la hiperbólica.

Más generalmente, el factor



corresponde a

cuando n = 4k ó n = 4k + 1 , k siendo entero (n es congruente a 0 ó 1 modulo 4) y a

cuando n = 4k + 2 ó n = 4k + 3.

Fórmulas de adición:

Dividiendo la última fórmula por la penúltima, se

obtiene:

Fórmulas de duplicación: se toma y = x en las anteriores.

Se deducen las fórmulas del medio ángulo:

Gracias al que ch es par e sh impar, se deducen las fórmulas de

sustracción:

Luego, cambinando las fórmulas de adición y de sustracción, se obtienen las de

multiplicación, llamadas también de linearización:

que sirven para integrar productos de funciones

hiperbólicas.

Todo lo anterior permite encontrar las otras fórmulas, sin embargo existe un punto de vista

más elegante y teórico que subraya la analogía entre ambas geometrías. Lo exponemos en

el párrafo siguiente.











Punto de vista algebraico

Para entender plenamente la trigonometría hiperbólica es preciso realizar el mismo trabajo

que se hizo al pasar de los reales a los complejos para entender la trigonometría circular.

Las fórmulas de adición de la geometría circular son consecuencia directa de :

que se escribe

, y que se desarolla en:

Igualando las partes reales (en azul) se obtiene la fórmula del coseno, y con las partes

imaginarias (en rojo) la del seno.

Pues bien, remplazando la unidad imaginaria

que verifica

por el número

tal que

sin que

sea 1, ni - 1 ni otro número complejo - se trabaja en el anillo cociente

[1] - se obtienen las fórmulas de adición de ch y sh:

que se desarolla en:

luego en:

http://enciclopedia.us.es/index.php/Funci%C3%B3n_hiperb%C3%B3lica#cite_note-0





De la misma manera la fórmula de De Moivre

tiene como equivalente:

(La prueba es similar a la de la fórmula de De Moivre, por inducción sobre n entero natural,

luego para n entero negativo).

Como ejemplo se puede calcular

para obtener

y

:

con el binomio de Newton:

con ε2 = 1 y ε

3 = ε:

con ch2

x = sh2

x + 1:

desarrollando y reuniendo:

La derivada de ch es sh y recíprocamente, como se puede ver facilmente. Luego,

considerando la expresión recién introducida, se observa que:

Esto significa que la función es solución de la ecuación

diferencial y sugiere que, por analogía, f sea

denotada con una exponencial:

Esta notación se justifica plenamente al mirar los desarrollos en series de ch x, sh x y eε x

:

http://enciclopedia.us.es/index.php/F%C3%B3rmula_de_De_Moivre



http://enciclopedia.us.es/index.php/Inducci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)



http://enciclopedia.us.es/index.php/Coeficiente_binomial_y_tri%C3%A1ngulo_de_Pascal



http://enciclopedia.us.es/index.php/Funci%C3%B3n_derivada



http://enciclopedia.us.es/index.php/Ecuaci%C3%B3n_diferencial












Sabiendo que , el desarrollo de eε x

es el siguiente:

En resumen:

Esto permite reescribir las dos relaciones anteriores recuadradas así:

Desarrollos en series

Como partes par e impar de la exponencial, los desarollos en series de Taylor del seno ycoseno hiperbólicos son los siguientes:

Mediante división euclídea de polinomios se obtienen los desarollos de las demás

funciones:

para

http://enciclopedia.us.es/index.php/Divisi%C3%B3n_eucl%C3%ADdea#Divisi.C3.B3n_de_polinomios






, para

Y en series de Laurent (por el término ):

, para

para

Funciones recíprocas, derivadas e primitivas

Gracias a las derivadas: y se obtienen sin mayores dificultades a las

siguientes:

y

Al restringir adecuadamente sus dominios y codominios, las funciones hiperbólicas se

vuelven biyectivas. Su recíprocas tienen una variedad de apelaciones: cosh − 1

= ch − 1

=

argch = arcch = ach = argcosh = arccosh = arcosh = ... según los países y las costumbres.Aquí hemos escogido la notación más corta que prescinde del exponente «-1» que se

mezcla mal con el símbolo «'» de la derivación: ash, ach, ath ... (el prefijo "a" es la

abreviatura de "área" que proviene de la definición geométrica de estas funciones)

Estas recíprocas intervienen muy a menudo en el ámbito de las integrales reales, por eso

nos hemos restringido al dominio real. sh es biyectiva de hacia , ch lo es del

intervalo [0; +∞[ hacia [1; +∞[, th de hacia ]-1; 1[

Prueba: Hay que expresar x en función de y en sh x = y:

.

Esta ecuación de segundo grado en X tiene como única solución estrictamente

positiva luego, como X = e x

> 0 (por eso se descarta la




http://enciclopedia.us.es/index.php/Funci%C3%B3n_rec%C3%ADproca



http://enciclopedia.us.es/index.php/Intervalo


http://enciclopedia.us.es/index.php/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado









solución negativa) lo que da la expresión

de ash.

Prueba: Obviamente se puede derivar la expresión anterior, pero lo más rápido es

utilizar la propiedad de la derivada de la función recíproca:

.

Las expresiones siguientes se demuestran de la misma manera.

Como consecuencia conocemos la integrales generales siguientes:

(con c y k constantes cualesquieran, k no nulo),

,

Además tenemos, gracias a las demás funciones hiperbólicas recíprocas:



Sin olvidar estas relaciones que no precisan de las recíprocas:

,

,

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