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RELACIONES Y FUNCIONESX2MD

ING. LEYDA MAYRE ESCALANTE TORRES

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE LA FRONTERASEDE SAN CRISTÓBAL

Relaciones y Funciones 2

EL PLANO COORDENADO REAL (plano cartesiano)

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como:

P (x, y) = par ordenado

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Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.3. Se divide en cuatro cuadrantes Localiza los puntos

A (2,-6) B (0,10)

I cuadranteII cuadrante

III cuadrante VI cuadrante

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PRODUCTO CARTESIANO

Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) en donde a A y b B se llama producto o producto cartesiano de A y ∈ ∈B.

La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de más de dos conjuntos.

Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al conjunto de pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto. Es decir: A x B = {(a, b) / a A, b B} ∈ ∈ El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A. Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes

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EJEMPLO Si A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es: A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)} Se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano, como se muestra a continuación. Aquí, cada punto P representa una pareja ordenada (a, b) de números reales y viceversa; la línea vertical a través de P encuentra al eje x en a, y la línea horizontal a través de P encuentra el eje y en b. A esta representación se le conoce como diagrama cartesiano.

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Hay otra manera de visualizar una relación y es a través de una representación gráfica, donde se destaquen los puntos en el plano que pertenecen a A y los puntos que pertenecen a B. Se trazan flechas que indican la relación que existe entre cada elemento del conjunto A y su correspondiente en el conjunto B. A esta representación gráfica se le conoce como un diagrama de flechas.

CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES ENTRE CONJUNTOS

A partir de la definición de producto cartesiano, introduciremos las relaciones más importantes que se pueden establecer entre los elementos de dos conjuntos dados. Correspondencias

Dados dos conjuntos A y B, se denomina correspondencia ƒ entre A y B a un subconjunto del producto cartesiano de A por B.

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Al conjunto de los pares de una correspondencia se le denomina grafo, y se representa por G. Se definen también los siguientes conjuntos:

• El conjunto A es el conjunto inicial o conjunto de partida, que es del que salen las flechas. • El conjunto B es el conjunto final o conjunto de llegada, que es al que llegan las flechas. • El conjunto original es el conjunto formado por los elementos del conjunto inicial de los que parte alguna flecha. Por tanto, el conjunto original está incluido en el conjunto inicial. • El conjunto imagen es el conjunto formado por los elementos del conjunto final a los que llega alguna flecha. Por tanto, el conjunto imagen está incluido en el conjunto final.

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EJEMPLO Si A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, y un grafo G = [(a, 2), (b, 2), (b, 3), (c, 4)}. Vemos que G es un subconjunto de A x B, es decir, G (A x B). ⊂ La correspondencia está representada gráficamente en: a) un diagrama cartesiano o matricial.

b) Un diagrama de flechas.

•El conjunto inicial es el conjunto A. • El conjunto final es el conjunto B. • El conjunto original es: Orig (ƒ) = {a, b, c}. • El conjunto imagen es: Im (ƒ) = {2, 3, 4}.

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FUNCIONES

Una función entre dos conjuntos A y B [ F: A →B ] es cualquier relación que asigne a todos y cada uno de los elementos de A ( conjunto de partida, dominio o preimagen). Uno y solo uno de los elementos de B ( conjunto de llegada, rango o imagen), es decir una función es una relación que asocia cada elemento de conjunto A un solo elemento del conjunto B.

“ Toda función es una relación pero no toda relación es una función ”

Así, en la figura siguiente podemos observar gráficamente el comportamiento de la función raíz cuadrada de un número

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DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a “X” ( variable independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos en el eje horizontal ( abscisas), leyendo como escribimos de izquierda a derecha.

El dominio de una función está formado por aquellos valores de “X” (números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x)

En la gráfica anterior notamos que si le asignamos los valores “-2” y “-1” a la “X” estos no tienen imagen, por lo tanto no pertenecen al dominio de la función estudiada. Esto es lógico ya que los números negativos no tienen raíces reales sino raíces imaginarias.

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RANGO DE UNA FUNCIÓN

Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X".

Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas), leyendo de abajo a arriba.

El Rango de una función es el conjunto formado por las imagenes f(x) de los valores de “X” que pertenecen al Dominio de dicha función.

La manera más efectiva para determinar el Rango consiste en graficar la función y ver los valores que toma “Y” de abajo hacia arriba.

DOMINIO

RANGO

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TIPOS DE FUNCIONES 1. Función o inyectiva: Una correspondencia ƒ es inyectiva cuando cada elemento del conjunto imagen es imagen de un solo elemento del conjunto original; es decir, a cada elemento del conjunto final puede llegarle una o ninguna flecha. ƒ inyectiva ⇔ y1, y2 B, donde y1 = ƒ(x1), y2 = ƒ(x2), si y1 = y2 x1 = x2, x1, ∇ ∈ ⇒ ∇x2 A ∈ Ejemplo:

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2. Función sobreyectiva: Una correspondencia ƒ es sobre cuando el conjunto imagen coincide con el conjunto final; es decir, cuando todo elemento del conjunto final es imagen de al menos uno del inicial.

3. Función biyectiva: Es la aplicación que a la vez es inyectiva y sobreyetiva. Obsérvese que en este caso, si los dos conjuntos son finitos, deben tener el mismo cardinal.

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LA FUNCIÓN LINEAL

El gran matemático suizo Leonhard Euler vivió en el siglo XVII, y su obra es la más voluminosa que haya sido escrita hasta ahora por matemático alguno. Aparte de haber escrito sobre muchas áreas de la Matemática conocidas en su época, como la Geometría, la Aritmética, el Álgebra y el Cálculo, creó los fundamentos de nuevas ramas del conocimiento matemático como lo son la Teoría de Grafos y la Topología Combinatoria. Además abordó problemas de Mecánica, Óptica, Electricidad y Acústica con las poderosas herramientas matemáticas que poseía, explicando así fenómenos naturales como el movimiento de la Luna, el flujo del calor y la estructura matemática subyacente a la Música.

El concepto de función fue creado por Euler y ha sido utilizado desde entonces en prácticamente todas las ramas de la Matemática.

El concepto matemático de función permite, entre otras cosas, organizar información que se obtiene a través de datos numéricos tomados de algún fenómeno, y estudiar la manera en que esos datos se relacionan entre ellos. Por ejemplo, se tienen los siguientes datos acerca de los kilómetros recorridos por un ciclista en entrenamiento, en intervalos de tiempo de 15 minutos:

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Un observador cuidadoso notará que, en cada intervalo de 15 minutos, el número de kilómetros avanzados es siempre el mismo: 6 Kms. Si se representan estos datos en el plano cartesiano, ubicando el tiempo en horas en el eje de las abscisas y la distancia recorrida en el eje de las ordenadas, se obtiene algo así:

Tomando en cuenta que 15 minutos =  1/4 de hora, 30 minutos =  1/2  hora los puntos representados son: P: (1/4,6), Q: (1/2,12), R: (3/4,18), S: (1,24)Estos datos permiten concluir que el ciclista va a una velocidad constante, y que una línea recta representa su recorrido en kilómetros a través del tiempo

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Hay muchos tipos de funciones, pero el ejemplo anterior es de las llamadas funciones lineales. Tiene ese "apellido" de "lineal" toda función que tenga una representación gráfica en el plano cartesiano que consista en una línea recta, o un segmento de recta.

Una línea recta en el plano cartesiano tiene una ecuación de la forma  . La función lineal tendrá, entonces, la forma: 

Pendiente de la funcion lineal: señala inclinacion

Punto de corte con el eje Y

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GRAFICA DE LA FUNCION LINEAL

m > 0

m < 0

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Por ejemplo, las funciones siguientes son todas lineales:

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Resolver la siguiente función

F(-5) = 3(-5)-2 = -15-2 = -17F(-4) = 3(-4)-2 = -12-2 = -14

X

-5 -17

-4 -14

-3 -11

-2 -8

-1 -5

0 -2

1 1

2 4

3 7

4 10

5 13

FUNCION CUADRATICASon funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

f(x) = ax² + bx + c

Representación gráfica de la parábolaPodemos construir una parábola a partir de estos puntos:

1. Vértice: Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.La ecuación del eje de simetría es:

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2. Puntos de corte con el eje OXLa función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función

es decir:las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).

Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OYEn el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c        (0,c)

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.

1. Vértice

xv = − (−4) / 2 = 2     yv= 2² − 4· 2 + 3 = −1       

 V(2, −1)

2. Puntos de corte con el eje OX

(3, 0)      (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY(0, 3)

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