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Funciones lineales y sus graficasFunciones polinomicas y racionales

Funciones lineales y sus graficas. Funcionespolinomicas y racionales

Juan Ruiz Alvarez1, Marcos Marva Ruiz1

1Unidad docente de Matematicas. Universidad de Alcala de Henares.

Matematicas (Grado en Biologıa)

Juan Ruiz Alvarez, Marcos Marva Ruiz Matematicas (Grado en Biologıa)


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1 Funciones lineales y sus graficas

2 Funciones polinomicas y racionales



¿Por que usar funciones?

Chirps/Second

Temperature (º F)

20.0 88.6

16.0 71.6

19.8 93.3

18.4 84.3

17.1 80.6

15.5 75.2

14.7 69.7

15.7 71.6

15.4 69.4

16.3 83.3

15.0 79.6

17.2 82.6

16.0 80.6

17.0 83.5

14.4 76.3

The Song of Insects by George W. Pierce, 1948

http://mathbits.com/MathBits/TISection/Statistics2/linearREAL.htm

Pierce (1948) midió el nº de vibraciones de las alas por segundo (del grillo rayado de tierra) a diferentes temperaturas. Como son ectotermos, se busca relación entre las dos variables:

● ¿qué “forma” tiene?

● ¿se puede predecir el nº de aleteos conocida la temperatura?

● ¿y al revés?

Representación de los datos de campo



Definicion de funcion

una regla que asigna a cada elemento x del conjunto Aexactamente un elemento y del conjunto B.

El elemento y se denomina imagen (o valor) de x mediante f ,y se indica como f (x).

El conjunto A se denomina dominio de f

El conjunto B se denomina codominio de f

El conjunto f (A) se denomina recorrido de f .

Para definir una funcion se emplea la notacion:

f : A → B

x → f (x)

donde x es variable independiente e y la variable dependiente.



Propiedas de las funciones

Paridad

Una funcion f : A→ B se dice que es

1 par si f (x) = f (−x) para todo x ∈ A.

2 impar si f (x) = −f (−x) para todo x ∈ A.



Funcion lineal

Definicion

Una funcion lineal es del tipo:

f (x) = m · x + c

Se dice que y depende de x linealmente si y = f (x) = m · x + c .

1 Se llama ası porque su grafica es una linea recta.

2 La pendiente m representa la relacion constante entre elincremento de las variables x e y .

3 Si de las variables x e y solo conocemos dos pares de datos(x , y), tan solo podemos establecer una relacion lineal entredichas variables.



Ejemplo:

Si unicamente disponemos de 2 pares de datos, tan solo podemosestablecer una relacion lineal entre x e y :

x a0 a1

y b0 b1

y = b0 +b1 − b0

a1 − a0· (x − a0)



Ejemplo:

¿Mantienen los datos x e y mostrados en la siguiente tabla unarelacion lineal?:

x -2 -1 0 1 2

y -3 -1 1 3 5

y = 1 + 2 · x estudia los incrementos!



Interpretacion de la pendiente de una recta

La pendiente es igual a la tangente del angulo que forma la rectacon el eje x .

m =∆x

∆y=

sin(α)

cos(α)



Funcion compuesta

Definicion

La funcion compuesta f ◦ g (tambien llamada composicion de fy g), se define como:

(f ◦ g)(x) = f [g(x)]

Para todo x perteneciente al dominio de g para el que g(x)pertenezca al dominio de f .

Ejemplo: Dadas las funciones

f (x) = 2x , g(x) = x + 1

determina f ◦ g y g ◦ f



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1 Funciones lineales y sus graficas

2 Funciones polinomicas y racionales



¿Por que usar funciones?

Temperature Chirps 54.5 81 59.5 97 63.5 103 67.5 123 72.0 150 78.5 182 83.0 195

Buscamos la expresión de una función sencilla que pase por todos los puntos:

Usaremos POLINOMIOS



Definicion de funcion polinomica

Las funciones polinomicas son las funciones elementales massimples

Definicion:

Una funcion polinomica es una funcion de la forma

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anx

n

donde

n es un entero no negativo y se llama grado de la funcionpolinomica.

Los valores a0, a1, ..., an son los coeficiente del polinomio(numeros reales y an 6= 0).

El coeficiente an se denomina primer coeficiente ocoeficiente principal.



Ejemplo:Funciones cuadraticas

Funciones cuadraticas:

y = ax2 + bx + c

Las graficas de este tipo de funciones son parabolas .Si tenemos 3 datos, podemos ajustar una relacion de segundogrado:

x -1 1 5

y 0 -6 6

0 = a− b + c

−6 = a + b + c

6 = 25a + 5b + c




Resolviendo el sistema matricial (por ejemplo usando el metodo deGauss) 1 −1 1

1 1 125 5 1

· a

bc

=

06−6

Obtenemos que a = −1, b = 3, c = 4 y, por tanto:

y = −x2 + 3x + 4



Ejemplo: Funciones cuadraticas

Si disponemos de 3 pares (x , y) (con yi 6= yj) podemos encontraruna parabola que pase por los 3 puntos.¿Que sucede si hay mas de 3 pares de datos? ¿ya no sirve unapar bola?Las diferencias de segundo orden de las ordenadas (y), suponiendolas abscisas (x) equidistantes, deben ser constantes:

x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

y 0.8 0.705 0.620 0.545 0.480 0.425

∆y - -0.095 -0.085 -0.075 -0.065 -0.055

∆2y - - 0.01 0.01 0.01 0.01




Siendo la distancia entre las abscisas h y y0,∆y0,∆2y0 los

numeros que aparecen en primer lugar en cada fila de la tablaanterior, la formula de la funcion cuadratica es:

y = y0 +x − x0

h∆y0 +

(x − x1)(x − x0)

2h2∆2y0

Y para nuestro ejemplo:

y = 0,8 +x

0,1(−0,095) +

(x − 0,1)x

0,020,01

y = 0,8− 0,95x − 0,05x + 0,5x2 = 0,5x2 − x + 0,8



Ejemplo: Polinomios

Funciones polinomicas:

y = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anx

n =n∑

i=0

aixi

Si tenemos n + 1 pares de datos, podemos ajustar una relacion degrado ≤ n:

x -2 2 3 5

y -6 6 24 120

Si planteamos el sistema, obtenemos:

y = x3 − x



Ejemplo: polinomios

¿Cuando unos cuantos pares quedan ajustados por una relacionpolinomica? Las diferencias de orden n de las ordenadas (y),suponiendo las abscisas (x) equidistantes, son constantes. Con lanotacion anterior es cierta la formula:

y = y0 +x − x0

h∆y0 +

(x − x1)(x − x0)

2h2∆2y0

+(x − x2)(x − x1)(x − x0)

6h3∆3y0 + ...

+(x − xn−1)(x − xn−2)...(x − x0)

n!hn∆ny0

= y0 +n∑

k=1

∏k−1i=0 (x − xi )

k!hk∆ky0

No necesitas memorizarlo todo: en el examen dispondras de laultima formula.



Ejemplo: polinomios

x -2 -1 0 1 2 3 4

y -30 -10 -2 0 2 10 30

∆y - 20 8 2 2 8 20

∆2y - - -12 -6 0 6 12

∆3y - - - 6 6 6 6

y = −30 + 20(x + 2)− 12

2(x + 1)(x + 2) +

6

6x(x + 1)(x + 2)

y = −30 + 20x + 40− 6x2 − 18x − 12 + x3 + 3x2 + 2x

y = x3 − 3x2 + 4x − 2



Polinomio interpolador

Cuando buscamos un polinomio de grado ≤ n que ajuste n + 1pares, el polinomio encontrado es el denominado polinomiointerpolador. Cuando solo tenemos 2 pares, se denominainterpolacion lineal. Si tenemos 3 pares, interpolacioncuadratica, etc...La denominada extrapolacion es utilizar el polinomio interpoladorpara predecir valores de y fuera del dominio encerrado por lasabscisas (x) mayor y menor del conjunto de datos.



Polinomio interpolador de Lagrange

f (x) =(x − x1) · (x − x2) · ... · (x − xn)

(x0 − x1) · (x0 − x2) · ... · (x0 − xn)· y0

+(x − x0) · (x − x2) · ... · (x − xn)

(x1 − x0) · (x1 − x2) · ... · (x1 − xn)· y1

+(x − x0) · (x − x1) · (x − x3) · ... · (x − xn)

(x2 − x0) · (x2 − x1) · (x2 − x3) · ... · (x2 − xn)· y2 + ...

+(x − x1) · ... · (x − xn−1)

(xn − x1) · (xn − x2) · ... · (xn − xn−1)· yn

=n∑

i=0

∏j 6=i

x − xjxi − xj

yi

No necesitas memorizarlo todo: en el examen dispondras de laultima formula.



Definicion de funcion racional

Definicion:

Una funcion racional es el cociente entre dos funcionespolinomicas p(x) y q(x):

f (x) =p(x)

q(x)

para q(x) 6= 0



Ejemplo: funcion racional

Ejemplo sencillo:

y =1

x

En general, si y = ax+bcx+d , y ∣∣∣∣ a b

c d

∣∣∣∣ 6= 0 (1)

La funcion representa una hiperbola equilatera.




Ejemplo:La velocidad V(cm/seg) con la que los musculos de una rana sepueden contraer bajo el estımulo de una carga positiva C (coul), seha comprobado que obedece a la ley empırica

V = 0,95

(70− C

C + 12

)



Claudia Neuhaser. Matematicas para ciencias. Ed. Pearson-Prentice Hall.


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