Funciones racionales

Descomposición en Fracciones simples.

Funciones RacionalesDescomposición en fracciones simplesIntegración de funciones racionales (descomponiendo en fracciones simples).Ejemplos

Descomposición en fracciones simples


Funciones RacionalesUna función del tipo P/Q, siendo P y Q polinomios, es una función racional.

Definición

3

2

1 es una función racional.1

xx x

Ejemplo

El grado del denominador de la función de arriba es menor que el grado del numerador. Reescribimos la función racional de manera más sencilla dividiendo los polinomios.

3

2 2

1 211 1

x xx x x x

A la hora de integrar, es necesario siempre realizar si es posible la división de los polinomios. Integrar la parte polinómica es sencillo, y podemos reducir el problema de integración a integrar funciones racionales generales, en las que el denominador tiene mayor grado que el numerador.

Reescribimos la función


Integración de Funciones Racionales (ejemplo)

2 2

2

1 1 2Integrar las funciones , y es una tarea fácil 1 1 1

aplicando las fórmulas básicas de integración y, en el último caso

haciendo el Cambio de Variable: 1 .

xx x x

u x

2

2 2

Así, obtenemos omitiendo las constantes de integración 1 1 2ln 1 , y ln 1

1 1 1xdx x dx arctg x dx x

x x x

22 2

Por tanto:1 1 2 ln 1 ln 1 .

1 1 1x dx x arctg x x C

x x x

2

23 2

3 3 2Ejemplo: ln 1 ln 1 . 1

x x dx x arctg x x Cx x x

Con C constante de integración.



2

23 2

3 3 2La integración de ln 1 ln 11

estaba basada en la descomposición en fracciones simples

x x dx x arctg x x Cx x x

2

3 2 2 2

3 3 2 1 1 21 1 1 1

x x xx x x x x x

de la función integrando, para facilitar la integraciónDefinición La descomposición de la función

(3x2+3x+2)/(x3+x2+x+1) es una Descomposición en fracciones simples.

Descomponer en fracciones simples es un método para expresar una función racional en suma de Funciones Racionales lo más sencillas posible.Generalmente, la Descomposición en fracciones simples es complicada y se presentan diferentes casos. Siempre comenzaremos factorizando el denominador. El tipo de descomposición en fracciones simples que realicemos dependerá de los factores del denominador. Explicaremos cada tipo en las siguientes diapositivas.


Descomposición en fracciones simples (2)La Descomposición en fracciones simples de una función racional R=P/Q, con grad(P) < grad(Q) depende de los factores del denominador Q. Como estamos factorizando polinomios con coeficientes reales, el denominador Q puede tener distintos tipos de factores.

1. Simples, factores de primer grado no repetidos ax + b.2. Factores de primer grado (ax + b)k, k > 1.3. Simple, factores de segundo grado no repetidos ax2 + bx + c. Al

asumir que los factores no pueden factorizarse más, debe suceder que b2 – 4 ac < 0.

4. Factores de segundo grado (ax2 + bx + c)k, k>1. También aquí b2 – 4 ac < 0.

La descomposición en fracciones simples se calcula de la misma forma en todos los casos de arriba. En ocasiones, es necesario integrar las fracciones simples resultantes. Podemos realizar la integral de manera inmediata mediante las fórmulas de integración, aunque los cálculos para la descomposición suelen ser complicados.


Factores de primer grado (no repetidos) (Raíces reales simples)

1 1 2 2

Consideramos una función racional del tipo:P P

Q

con 0 , para , y grad P Q .

n n

jij

i j

x xx a x b a x b a x b

bba j i j n grada a

1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

P

, 1, , .

n

n n n n

k

x A A Aa x b a x b a x b a x b a x b a x bcon A k n

Caso 1

Descomposición en fracciones simples: Caso 1


2 2

0 10 2 ( ) ( ) .1 1 2 1

A B Ax A B x A Bx x A B B

2

2 2Considermos la función racional: . 1 1 1x x x

2

En este ejemplo del caso 1, podremos encontrar numeros A y B :2 2 .

x 1 1 1 1 1A B

x x x x

Ejemplo

2 2

Calcularemos dichos números de la sigiente manera:2 2 ( 1) ( 1)

x 1 1 1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)A B A x B xx x x x x x x

2

2 1 1Por tanto la descomposición en fracciones simples será: .x 1 1 1x x

Las ecuaciones para obtener A y B se obtienen sabiendo que dos polinomios son iguales si y solo si sus coeficientes son iguales.

Factores de primer grado (no repetidos) (Raíces reales simples)


2 2

PCosideramos una función racional del tipo , grad P Q .

Q

Supongamos que el denominador Q tiene un factor de segundo grado

, con b 4ac 0

xgrad

x

x

ax bx c

2

2

El factor de segundo grado del denominador lleva a una

expresión de la forma al descomponer en fracciones simples.

ax bx cAx B

ax bx c

Caso II

Descomposición en fracciones simples: Caso II

Factores de segundo grado (no repetidos) (Raíces complejas simples)


3 2

2

3 3La función racional tiene un término1 ( 1)( 1)

del tipo al descomponer en fracciones simples.1

x x x xAx Bx x

2

3 2 3 2 2

3 3 ( )( 1) ( 1)1 1 1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)

Ax B C Ax B x C x xx x x x x x x x x x x

2

3 3

3 ( ) ( )1 1

A C x C B A x C Bx x

Ejemplo

3 2

3 1 2 x 1 1 1

xx x x

00

3

A CC B A

C B

12.1

ABC

Para obtener estas ecuaciones usamos el hecho de que los dos numeradores deben ser iguales. Por ello los coeficientes del mismo grado deben coincidir

Factores de segundo grado (no repetidos) (Raíces complejas simples)


Factores de primer grado repetidos (raíces reales múltiples)

PConsideramos una función racional del tipo , grad P Q .

Q

Supongamos que el denominador Q tiene un factor de primer grado

repetido: , 1, es decir tiene una raíz real múltiple k

xgrad

x

x

ax b k

Caso III

1 22

El factor del denominador nos lleva a una expresion de la forma

al descomponer en fracciones simples.

k

kk

ax bA A A

ax b ax b ax b

Descomposición en fracciones simples: Caso III


2

23 2

2 2

2 3 2

4 4 4 1 1 11

1 1 1 1 4 4 4 11 1

x x A B Cx x x x xx

A x x B x C x x xx x xx x

2 2

2 3 2

2 4 4 411 1

A C x B C x A B C x xx x xx x

42 4

4

A CB CA B C

2 2

23 2

2

4 4 4 4 4 4La Función racional se desconpondrá1 1 1

en fracciones simples de la forma: .1 11

x x x xx x x x x

A B Cx xx

Ejemplo

321

ABC

2

23 2

4 4 4 3 2 1Obtenemos .1 1 11

x xx x x x xx

Igualando los coeficientes de los numeradores.

Factores de primer grado repetidos (raíces reales múltiples)


Factores de segundo grado repetidos (raíces complejas múltiples)

2 2

PConsideramos una función racional , grad P Q .

Q

Supongamos que el denominador Q tiene un factor de segundo

grado repetido: , 1 con b 4ac 0 .k

xgrad

x

x

ax bx c k

Caso IV

2

1 1 2 222 2 2

El factor de segundo grado del denominador nos lleva

a una expresion del tipo:

al descomponer en fracciones simples

k

k kk

ax bx c

A x B A x B A x Bax bx c ax bx c ax bx c

Descomposición en fracciones simples: Caso IV


4 2 4 2

25 4 3 2 2

1 1 2 222 2

2 3 2 3 tendrá una2 2 1 1 1

descomposición del tipo .1 11

x x x x x xx x x x x x x

A x B A x B Cx xx

Ejemplo

1 1 2 222 2

22 21 1 2 2

22

1 11

1 1 1 1

1 1

A x B A x B Cx xx

A x B x x A x B x C x

x x

1 1 2 2

4 2

25 4 3 2 2 2

Siguiendo el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores obtenemos: 1, y 0.

2 3 1 1Por tanto: .2 2 1 1 11

A B A C B

x x x x xx x x x x x xx

Factores de segundo grado repetidos (raíces complejas múltiples)


Integración de las fracciones simples

1. lnA Adx ax b Kax b a

1

2. , 1.1

l

l

ax bA Adx K la lax b

Descomponer en fracciones simples es el método más utilizado para integrar Funciones Racionales. Tras la descomposición, deberemos tratar con integrales de los siguientes tipos . Tendremos cuatro casos; los dos primeros son muy sencillos:

K es la constante de integración.



22

2

22 /4ln

2 4

ax bB Ab a arctgA ac bax bc c Ka ac b

23. yAx B dx

ax bx c 24. , 1l

Ax B dx lax bx c

En los casos restantes calcularemos integrales del tipo:

En la tercera, observamos que– como el denominador no puede factorizarse más– tenemos 4ac-b2 > 0. Mediante los cambios de variable pertinentes obtenemos:

2

Ax B dxax bx c

Siendo K la constante de integración



2Las integrales del tipo: , 1, serán el último caso.l

Ax B dx lax bx c

Integrando por partes repetidamente estas integrales pueden reducirse al tercer caso

PTodas las funciones racionales f se pueden por descomposición Q

en Fracciones Simples siempre que el polinomio Q se pueda factorizar.

Teorema


Algoritmo de IntegraciónUna Función racional f = P/Q, donde P y Q son polinomios, puede

ser integrada de la siguiente forma:

1. Si grad(Q) grad(P), dividimos los polinomios y reescribimos la función como P/Q = S + R/Q, donde S y R son polinomios con grad(R) < grad(Q). Integramos el polinomio S.

2. Factorizamos los polinomios Q y R, y simplificamos. Descomponemos en fracciones simples la función R/Q.

3. Integramos las fracciones simples


Ejemplos (1)

2

3 2 2

Para calcular dichos coeficientes tenemos:

3 ( 1) ( )( 1)1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)

A x x Bx C xx x x x x x x

3

3Calcular . 1dx

x

3 2

3 2

Observamos que 1 ( 1)( 1). Por tanto3 Para A,B,C .

1 1 1

x x x xA Bx C

x x x x

Ejemplo 1

0 10 1.

3 2

A B AA B C B

A C C

2

3 3

3 ( ) ( )1 1

A B x A B C x A Cx x

3 2

Por tanto3 1 2

x 1 1 1x

x x x


Ejemplos (2) 3

3Calcular . 1dx

x

2 2

1 2 1 3 1ln 12 1 2 1

xx dx dxx x x x

Ejemplo 1

22

1 3 1ln 1 ln 12 2 1/ 2 3 / 4

x x x dxx

3 2

Por los cálculos anteriores tenemos que:3 1 2

x 1 1 1xdx dx dx

x x x

21 2 1ln 1 ln 1 3 arctan2 3

xx x x K

Hacer el Cambio de Variable u=x2+x+1 en la primer integral y reescribir la segunda.

Esta es la expresión que nos indica el cambio de variable para finalizar el cálculo


Ejemplos (3)

3

2 2

2 21 1

x x xx x

3

2

2 2

1 2 1 11 1 1

1ln | 1| ln | 1| ln .2 2 1

x dx x dxx x x

x x xx x K Kx

3

2

2Calcular . 1

x x dxx

Ejemplo 2

Podemos simplificar la función dividiendo los polinomios en primer lugar. Debemos realizarla siempre que sea posible. Así, obtenemos:

3

2 2

2 2 1 11 1 1 1

x x x xx x x x

Descomponemos en fracciones simples y obtenemos:

Por último integramos :


Ejemplos (4)

2

22

3 2 1 222

x xx xx x

2

22

3 2 ln ln 2 .2

x dtdx t K x x Ktx x

2

2

3 2Calcular . 2

x dxx xEjemplo 3

En este caso, descomponiendo en fracciones simples obtenemos:

2 22 , 3 2t x x dt x dx

Que es una expresión fácil de integrar.

Sin embargo, la integral es inmediata: hacemos el cambio de variable:

Y obtenemos directamente el resultado:

Cálculo en una variableAutor: Mika Seppälä

Traducción al español:Félix AlonsoGerardo RodríguezAgustín de la Villa

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