Funciones Reales Funciones Reales dede Varias variablesVarias variables

Tema:Tema:

UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS

UPC

Funciones reales de dos

variables Sea D contenido en RxR.Una función f:D R (x,y) z=f(x,y)es una correspondencia que asocia cada par (x,y) un único número real denotado por z=f(x,y)

Curvas de Nivel: Son aquellas curvas que se generan al hacer z= k, cte real

Gráfica de una función:Gf = {(x,y,z)/ z = f(x,y), (x,y) D}

DOMINIO: Conjunto de pares (x;y) paraEl cual tiene sentido la regla que define a f.

),( yx

hyxf x

y)f(x,-y)h,f(x lim ),(0h

DERIVADA PARCIAL RESPECTO X

Y

X

Z

Ejemplo: Si 222 34x ),( yyxyxf

Entonces:

yxyxf

xyxyxf

y

x

23),(

68),(2

Otras notaciones z = f(x,y)

fff x x11 D D f xz

xf

fff y y22 D D f yz

yf

Reglas de cálculo: u=f(x,y) v=g(x,y)

xv

x

x )

uvua

xvu

xu v

x(uv) )

b

2xuv

x

)v

xvu

vuc

xu un

x ) 1-n

nud

xu e

x ) u

uee

xu 1 un

x )

ulf

Ejemplo: hallar fx y fy si

ln(xy) e ),( xyxf ,

yeyxf

xexyeyxf

x

y

xx

x

),(

)ln(),(

Derivadas parciales de segundo orden

2

2

2

2

11xxf xz

xf

xf

xff xx

xyz

xyf

xf

yff yx

22

12xyf

Derivadas parciales de segundo orden

yxz

yxf

yf

xff

xy

22

21yxf

2

2

2

2

22yyf yz

yf

yf

yff

yy

Ejemplo hallar

Si 32 3 x ),( xyyyxf

. f ,f , yxxy yyxx fyf

292),( , 2),( yxyxfyyxf xyxx

292),( , 18),( yxyxfxyyxf yxyy

Teorema de Clairaut

Sea z = f(x,y) una función real de dos variables. Si fxy y fyx son continuas en una región D, entonces fxy = fyx en D .

DERIVADAS DIRECCIONALES

),( yxx

y

z

Definición: La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario u

hy)f(x, - ) huy ,hu x( f

lim y)f(x, 21

0h

uD

si el límite existe.

Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u y:

2y1x u y)(x, f u y)(x, f y)f(x, uD

Hallar la derivada direccional de f(x,y)=x2-xy+y en la dirección del vector v=(1,2)

52

)2,1(5

1)1,2(),(

y

xyxyxfDu

GRADIENTE

)),(),,((),( yxfyxfyxf yx

x),( yx

),( yxfy

z

del sen término Direccional Derivada

uyxfyxfDu

).,(),(

Q(3,2) a P(2,2)dedirección laen )2,2(b)Hallar

mente.geometricalorepresentey )2,2(r a)Encontra

),( Sea -Ejemplo. 22

fD

fyxyxf

u

Teorema

a) El valor máximo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección f(x0,y0).

b) La tasa máxima de crecimiento es || f (x0,y0 ) ||.

Corolario

a) El valor mínimo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección de - f(x0,y0)

b) La tasa mínima de crecimiento de f en P(x0,y0) es -||f (x0,y0) || .