g2.Cujilema.medina.andrea.pronosticos

7/24/2019 g2.Cujilema.medina.andrea.pronosticos

1/49

Pronsticos

Segundo Parcial

Andrea Cujilema

Sangolqu 2015


2/49

Actividad de aprendizaje 2.1.

el li!ro !ase" resuelva los siguientes pro!lemas del captulo #"desde la p$gina 25% &asta la 2#5'

( 1" ()" (1*" (21

Pro!lema 1'

+Cu$l de las siguientes situaciones es inconsistente,

a- / % 0"21 3 r / 0")5

!- / 100 0" 3 r / 40")0

c- / 420 1 3 r / 0"%0d- / 4) 4 % 3 r / 40"0

Como conocemos, existe relacin entre la pendiente b 1y el coeficiente r si

sus signos son iguales, es decir, una relacin lineal existente entre las

variables X e Y que se est analizando, esto en un modelo de regresin

lineal Y = bo b1X!

"e acuerdo a lo anterior, de las alternativas planteadas, solo el caso #b$ es

inconsistente, esto debido a que tenemos para b1= %,& y para r = '%,(% y

como podemos ver tienen signos diferentes, lo cual no es vlido y por estoesta situacin es inconsistente!

Pro!lema )'

n la ta!la P.) se muestra la in6ormacin proporcionada por unnegocio de rdenes por correo para 12 ciudades.

) continuacin se presenta la tabla de clculos!

Ciudad 78 9eci!idas 9epartidas . : :

A *+ 1++ - .(

; 1 * -* + *.

C *- . 11. *. .*&

1. 1 1. 1 **.

-* 1% -*% 1%% 1%*+

< *. ( 1(. +& *.

= 1/ 1. *(% **. -*+

> 1/ - .+ & -*+

? -. 11 -/. 1*1 1**.

@ -+ 1- ++* 1& 11.


3/49

1. * -% + **.

B -* 1* -/+ 1++ 1%*+

Sumas' 2) ) 2*## ) )51*

a- etermine si eDiste una relacin lineal signi6icativa entre estas 2varia!les. EPruF!alo con un nivel 0"05 de signi6icancia-.

Calculando el coeficiente de correlacin tenemos0

( ) ( )

( ) ( ) 2222 ..

..

=

YYnXXn

YXXYnr

( ) ( ) 77873075

3423

2877513128788712

2878723661222

=

=r

6995,0=r

"e acuerdo al resultado, se videncia una relacin lineal positiva existencia

de una moderada entre las variables analizadas!

) continuacin se realiza rueba de significancia para el coeficiente r!

rimero se realiza el planteo de 2iptesis0

0:

0:

1

=

H

Ho

3stad4stico de prueba0

095,36995,01

212.6995,0

1

2.

22=

=

=

r

nrt

3stad4stico t cr4tico!

ara 5 = %,%. de * colas y n'* = 1%gl0 tc = 6*,**/

7egla de decisin0

7ec2azamos 8o si t esta fuera de 6*,**/, de lo contrario la aceptamos!


4/49

"ebido a que t = -,%&. est fuera del intervalo de 6*,**/, rec2azamos 8o,

concluimos entonces que al nivel de significancia del .9 existe una

correlacin lineal significativa entre las variables analizadas!

!- etermine la lnea de regresin ajustada.

:4nea de regresin0 Y; = bo b1X

Clculo de la pendiente de la recta0

( (

( ) 1132,1

3075

3423

8788712

28787236612

.

..222

1 ==

=

=

XXn

YXXYnb


5/49

d- la!ore una ta!la A7GHA.


I E4I-: E4m-:

2% **,.- *,1(.% %,%%&

1# * 1/,%( +,*&.- *,(-

2* . *1,+1 *,.*1 %,/+%-

15 1 1,& -,/-&1 (&,.%&

*2 1% *,&/ *.,**1 .,-+%-

25 ( *-,+ 1,/.+% 1,1(-

1 1. -*,.+ *11,.*%+ -.,%%&

1 - 1&,1& 1,+%.& -.,%%&

*5 11 */,%& +(,(--. 1**,/+%-

*% 1- -%,-* 1-,.1 1%1,(-

15 * 1/,%( &,++%+ (&,.%&

*2 1* *&,*% (,/1- .,-+%-

Sumas' **1"*%) #%"1#)

ariacin total0

( ) == 9167,6482

YYSST

ariacin de error0

( ) == 3847,331' 2

YYSSE

ariacin de la regresin0

532,3173847,3319167,648 === SSESSTSSR

) continuacin se presenta la >abla )?=+/,&1(

e- +KuF porcentaje de la variacin en las rdenes por correo seeDplica por el nLmero de cat$logos repartidos,

4893,06995,0 22

==r

Concluimos que solo el +/,&-9 de la variacin en las rdenes por correo se

explica por el nmero de catlogos repartidos!


6/49

6- 9ealice la prue!a de &iptesis para determinar si la pendiente ocoe6iciente de regresin es signi6icativamente di6erente a cero.EMtilice el nivel 0"01 de signi6icancia-.

rimero realzamos el planteo de 2iptesis0

0:

0:

11

1

=

H

Ho

3rror estndar para el coeficiente de regresin!

( ) =

=

nXX

S

XX

SS

xyxy

b

/)( 22

.

2

.

1

3596,012/87887

7559,5

21

==bS


096,33596,0

1132,1

1

1 ===bS

bt

3stad4stico t cr4tico0

ara 5 = %,%1 de * colas y n'* = 1%gl0 tc = 6-,1&

7egla de decisin0

7ec2azamos 8o si t esta fuera del intervalo 6-,1&

Como t = -,%&, est dentro del intervalo 6-,1& aceptamos 8o, entonces

al nivel de significancia del 19 se concluye que el coeficiente de regresin

no es diferente de cero en forma significativa!


7/49

g- Prue!a la signi6icancia de la regresin usando la estadstica < dela ta!la A7GHA. EMse el nivel de signi6icancia de 0"01- +s elresultado consistente en el punto 6, +e!e serlo,

rimero planteamos de 2iptesis para la prueba global!

8o0 01 =

:a variable nmero de catlogos repartidos no es explicativa significativa!

8a0 01 :a variable X es explicativa!

?ivel de significancia0 5 = %,%1

ara realizar la prueba global, aplicamos la distribucin D!

3stad4stico de prueba #del literal d$0

582,910/3847,331

1/532,317

)1/(

/==

=

knSSE

kSSRF

3stad4stico D cr4tico0

ara @ = 1gl en el numerador y n'@'1 = 1%gl en el denominador0 Dc = 1%,%

7egla de decisin0

Ai D E 1%,% se rec2azamos 8o


8/49

3l valor de es D = &,./*, y siendo menor que 1%,% aceptamos 8o, entoncescon un nivel de significancia del 19 concluimos que el nmero de catlogosrepartidos no es explicativa significativa!

&- Pronostique el nLmero de rdenes por correo reci!idas cuando se&an repartido 10 mil cat$logos con un intervalo para la prediccinde 0N de con6ianza.

3stimacin puntual0

Y; = 1.,/+* 1,11-*#1%$

Y; = *,&/ miles de rdenes!

3stimamos que se recibirn *,&/ miles de ordenes por correo!

3rror estndar del pronstico0

( )( )

( )0727,6

12/87887

12/8710

12

11.7566,5

11

2

2

2

2

. =

++=

++=

XX

XX

nSSf

xy

Fntervalo de prediccin0

F = Y; 6 t!Af

ara el &%9 y n'* = 1%gl0 t = 1,/1*

F = *,&/ 6 1,/1* x ,%(*( = *,&/ 6 11,%%

:F = *,&/ G 11 = 1.,&/

:A = *,&/ 11 = -(,&/

Cuando se reparten 1% mil catlogos, tenemos la confianza de que el

nmero de rdenes recibidas estarn comprendidas entre 1.,&/ y -(,&/miles!


9/49

Pro!lema 1*'

>arr3 aniels es un ingeniero de control de calidad de Speci6iclectric Corporation" una empresa dedicada a 6a!ricar motoreselFctricos.

Mno de los pasos en el proceso de manu6actura implica el uso deuna 6resadora autom$tica para &acer las ranuras en el eje de losmotores.

Cada lote de ejes de motor se prue!a 3 todos los ejes que no tenganlas dimensiones requeridas se desec&an. Ba 6resadora de!ereajustarse al comenzar a tra!ajar con cada nuevo lote porque suca!eza cortadora se desgasta ligeramente durante la produccin.

A >arr3 se le asigna el tra!ajo de pronosticar cmo a6ecta el tamaOode un lote al nLmero de ejes de6ectuosos en el lote" de manera quepueda seleccionar el mejor tamaOo de lote.

l recopila los datos del tamaOo promedio del lote de los 1* lotesconsiderados en la ta!la P41* 3 le pide a usted analizarla.


Bote 78 de de6ectos QamaOo Y X X!Y XH YH

1 + *. 1%% *. 1

2 / .% +%% *.%% +

* (. +.% .*. -

% 1 1%% 1%% 1%%%% *.

5 ** 1*. *(.% 1.*. +/+

# *( 1.% +%.% **.%% (*&

) - 1(. -%% -%*. 1*&

+& *%% &/%% +%%%% *+%1

.- **. 11&*. .%*. */%&

10 (% *.% 1(.%% *.%% +&%%

11 /* *(. **..% (.*. (*+

12 &. -%% */.%% &%%%% &%*.

1* 1%& -*. -.+*. 1%.*. 11//1

Sumas' 5)) 22)5 1%1*50 511)5 %0#21

a- iagrama de dispersin.


10/49

"e acuerdo al grfico, podemos observar una relacin lineal positiva entre el

lote de produccin y el nmero de defectos!

!- Bnea de regresin lineal simple' R / !o !1

Clculo de la pendiente de la recta de regresin!

( ) ( )( )

3549,01478750

524875

227551187513

577227514135013

.

..222

1 ==

=

=

XXn

YXXYnb

Clculo de la ordenada al origen!

7308,1713

22753549,0

13

577.10 =

==

n

Xb

n

Yb

3cuacin de regresin0

Y; = '1(,(-%/ %,-.+&!X

c- Prue!a de signi6icancia con / 5N para la pendiente de laregresin" !1.

rimero planteamos las 2iptesis0

0:

0:

11

1

=

H

Ho


11/49

3rror estndar de estimacin0

213

1413503549,05777308,1740621

2

.. 102

.

+=

=

n

XYbYbYS xy

9003,7. =xyS

3rror estndar para el coeficiente de regresin0

( )0234,0

13/2275511875

9003,7

/ 222

.

1 =

=

=

nXXS

S xy

b


1509,150234,0

3549,0

1

1 ===bS

bt


ara 5 = %,%. de * colas y n'* = 11gl0 tc = 6*,*%1

7egla de decisin0

Ai t esta fuera del intervalo 6*,*%1 rec2azamos 8o!

"ebido a que t = 1.,1. y est fuera del intervalo 6*,*%1, rec2azamos 8o, y

concluimos que a nivel de significancia del .9 el coeficiente de regresin es

significativamente diferente de cero!

d- Daminar los residuales.


12/49

3n el grfico se puede observar que tenemos arcos de residuales positivos,

seguidos por residuales negativos y seguidos finalmente por residualespositivos, es decir que no 2ay una relacin lineal entre X e Y!

e- esarrollar un modelo curvilneo 3 mediante trans6ormacin de ajustar a un modelo de regresin lineal simple.

)l transformar X a X*, tenemos un nuevo grfico de dispersin!

Como podemos ver en el grfico, existe una relacin lineal positiva!

3l modelo de regresin lineal simple ser0 Y; = bo b1X*

"e acuerdo a los nuevos clculos tenemos0 Y; = +,&(- %,%%1!X*


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6- Prue!a de signi6icancia con / 5N para la pendiente de lavaria!le trans6ormada" !1.

7ealizamos el planteamiento de las 2iptesis0

0:

0:

11

1

=

H

Ho

3rror estndar del coeficiente de regresin0

5

1 1093,1 =bS


813,511093,1

001,05

1

1 =

==

bS

bt


ara 5 = %,%. de * colas y n'* = 11gl0 tc = 6*,*%1

7egla de decisin0

Ai t esta fuera de 6*,*%1 rec2azamos 8o

Como t = .1,/1- est fuera de 6*,*%1 rec2azamos 8o, y concluimos que a

un nivel de significancia del .9 el coeficiente de regresin es diferente de

cero significativamente, para el modelo lineal con variable transformada!


14/49


15/49


16/49

Y; = %,/-1 %,&**-!X

3n el grafico se observa a los residuos distribuidos en forma aleatoria

alrededor del valor promedio cero, lo que indica que el modelo no tiene

problemas de autocorrelacin!

!- +s signi6icativa la regresin del costo real so!re el costoestimado, @usti6ique su respuesta.

Calculando en 3xcel tenemos0

ariacin total0

( ) == 493,46122

YYSST

ariacin de error0

( ) == 057,779' 2

YYSSE

ariacin de la regresin0

436,3833057,779493,4612 === SSESSTSSR

) continuacin se muestra la tabla )?=+1*,+&-

Ae realiza el planteamiento de la 2iptesis para la prueba global!

8o0 01 = 3l modelo de regresin no es explicativa significativa!

8a0 01 3l modelo de regresin es significativo!

?ivel de significancia0 Aea 5 = %,%.

ara realizar la prueba global, aplicamos la distribucin D!


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095,118)1/(

/=

=

knSSE

kSSRF

3stad4stico D cr4tico!

ara @ = 1gl en el numerador y n'@'1 = *+gl en el denominador0 Dc = +,*

7egla de decisin0

Ai D E +,* rec2azamos 8o!

Como D = 11/,%&. es mayor que +,* rec2azamos 8o, concluimos entoncesque a un nivel de significancia del .9 el modelo de regresin es

significativo!

c- ?denti6ique e interprete r2.

[ ]

( )[ ] ( )[ ]22222

2 .

=

YYnXXn

YXXYnr

[ ][ ] [ ] 956,1199244742.117169

7469,108065

498,37645,1006426958,3883,1032526

498,376958,388756,978826 2

22

2

2

=

=r

831,02 =r

3ntonces el /-,19 de la variacin en los costos reales corresponden a las

variaciones en los costos estimados!


18/49

d- +Cu$les son los valores apropiados de los coe6icientes de lapendiente 3 de la interseccin de la 6uncin de regresin de lapo!lacin si el costo estimado es un 6actor de pre4diccin per6ectodel costo real esperado, +Son congruentes los coe6icientesestimados en la ecuacin de la lnea recta ajustada con estos

valores, iscLtalo.

:os coeficientes para la muestra permiten estimar los coeficientes de

regresin para la poblacin, as40 6831,0 00 ==b y 9223,0 11 ==b !

e- Considere la gr$6ica de los residuos contra los valores ajustados.+Parece como si los costos estimados 6ueran" en general" 6actoresde prediccin m$s eDactos de los costos reales de los pro3ectosrelativamente !aratos que de los pro3ectos de alto costo, +Por quF,

artman Auto Supplies decide investigar

una nueva varia!le dependiente" la del ingreso personal por regin


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Evea el pro!lema 12-. Bos datos para esta nueva varia!le sepresentan en la ta!la P.1*.

a- +l ingreso personal por regin tiene alguna contri!ucin en elpronstico de ventas,

Lodelo del problema 1* del libro gu4a0

9egin Hentas Anuales 78 Jinoristas 78 Automviles 9egistrados

1 2

1 .*,- *%11 *+,

2 * */.% **,1

* *%,* .% (,&

% 1 +/% 1*,.

5 -% 1&+ &

# +,* *-%* 11,.

) -. **1+ *%,.

-,. 1*. +,1

--,1 1/+% /,&

10 *.,* 1*-- ,1

11 -/,* 1&& &,.

Ae presentan los resultados en 3xcel para la regresin lineal para ventas

con * variables independientes!

Estadsticas de la regresin

Coeficiente de correlacin mltiple %,(+*+(

Coeficiente de determinacin 7M* %,..1*

7M* aKustado %,+-&%/3rror t4pico 1%,-%.1


20/49

7esiduos / /+&,.+-.- 1%,1&..++

>otal 1% 1/&-,**&%&

Coeficientes Error tpico Estadstico t Probabilidad

Fntercepcin 1%,1%&*.& (,*1&.../ 1,+%%*%+ %,1&&%%+*

X1 %,%1%&///& %,%%.*%%1+ *,11-1&*-( %,%(.-(

X* %,1&+%-+ %,-&/++%- %,-%+*-%&- %,(/(1.*

:a ecuacin de regresin mltiple es la siguiente0

3l coeficiente para este modelo de regresin es0

r*= %,..1-

Ae concluye que solo el ..,1-9 de las variaciones en las ventas se explica

por el modelo analizado, el baKo valor del estad4stico D = +,&1 seJala que no

es un modelo confiable para realizar las estimaciones de las ventas!

7esolvemos entonces el planteamiento anterior con una nueva variable

aleatoria X-, que corresponde al ingreso personal por regiones0

9egin HentasAnuales

78Jinoristas

78 Autos9egistrados

?ngresoPersonal

1 2 *

1 .*,- *%11 *+, &/,.

2 * */.% **,1 -1,1

* *%,* .% (,& -+,/

% 1 +/% 1*,. -*,(

5 -% 1&+ & /,/

# +,* *-%* 11,. &+,(

) -. **1+ *%,. (,

-,. 1*. +,1 1&,(

--,1 1/+% /,& (,&

10 *.,* 1*-- ,1 1,+

11 -/,* 1&& &,. /.,

Ae presentan los resultados en 3xcel para el nuevo modelo de regresin

lineal mltiple0


21/49


Coeficiente de correlacin mltiple %,&/(.

Coeficiente de determinacin 7M* %,&(-/

7M* aKustado %,&*+

3rror t4pico *,(&/

otal 1% 1/&-,**&%&

Coeficiente

sError tpico Estadstico t Probabilidad

Fntercepcin '-,&1(( *,*&%1(-1 '1,(1%.(++ %,1-%//+.-

X1 %,%%*-/+ %,%%1.(*1* 1,.1+(/ %,1(-1/1&-

X* %,+.(+* %,1(+&&*& *,(-%&1++/ %,%*&*&&&(

X- %,+%%.( %,%-((&1+- 1%,.&&-/& %,%%%%1+...

:a ecuacin de regresin lineal mltiple para el nuevo modelo es0

3l coeficiente de determinacin para este nuevo modelo es0

r*= %,&(-(,

3sto nos indica que el &(,-(9 de las variaciones en las ventas se explican

por este nuevo modelo, el nuevo valor de D se 2a incrementado

considerablemente, y concluimos que este es un modelo muy confiable paraestimar de las ventas adems de que el ingreso personal contribuye

considerablemente en el pronstico de ventas!

!- Pronostique las ventas anuales de la regin 12 con un ingresopersonal de %0 mil millones de dlares" usando las tres varia!lesindependientes.

rocedemos a pronosticar las ventas anuales utilizando0

X1= *.%% puntos de venta

X*= *%,* millones de autos registradosX-= +% mil millones de dlares!


22/49

3458,27)40(4006,0)2,20(4574,0)2500(0024,09177,3 =+++=Y

:a estimacin de ventas baKo los valores detallados es de *(,-. millones NAO

c- iscuta so!re la eDactitud del pronstico realizado en el inciso !.

"e acuerdo al modelo de regresin lineal mltiple inicial, podemos afirmar

que el pronstico de ventas obtenido es bastante preciso!

d- +KuF varia!les independientes incluira en su modelo depronostico 6inal, +Por quF,

) continuacin se presentan los distintos coeficientes de regresiones de

acuerdo a cada variable0

Haria!les Coe6iciente r:

1 %,.+1

2 %,-%%/

* %,/(/

1 3 2 %,..1-

1 3 * %,&+.

2 3 * %,&.

1" 2 3 * %,&(-(

"e acurdo al cuadro presentado, concluimos que para una mayor precisin

en los pronsticos de las ventas, el modelo debe incluir las - variables

independientes, tambiPn se puede trabaKar con dos variables y aunque los

resultados sern menos precisos, el modelo deber incluir necesariamente

las variables X* y X-!

Pro!lema 15'

Ca!e esperar que las compras con tarjeta de crFdito sean di6erentesde las compras en e6ectivo en la misma tienda. Ba ta!la P415 indicalas ventas diarias !rutas 3 los artculos vendidos que se pagan en


23/49

e6ectivo" as como las ventas diarias !rutas en e6ectivo 3 losartculos vendidos que se pagan con tarjetas de crFdito en la mismatienda de consignacin por 25 das consecutivos.

Compras e6ectivo Con tarjeta crFdito

a entas art4culos entas )rt4culos

1 -+/ .. 1+/ +

2 +* / 111

* 1 & * (

% &+ 1 % %

5 % 11 -& .

# 1. * ( 1

) 1* *( 1+- *

111 1& *( .

* . 1+ *

10 1%% 1/ (1 1*

11 1/% *( 11 *1

12 *1* - .% &

1* ./ 1% 1- *

1% 11. *% 1%. 1

15 1. / 1& -1# &( 1. ++ 1+

1) 1 1% % %

1 /. 1. *+ -

1 1.( *+ 1++ 1%

20 // 1. - 11

21 & 1& % %

22 *%* -- 1+ -

2* 1%/ *- % %

2% 1./ *1 *+ +

25 1( +- *.- */

a- la!ore un diagrama de dispersin de las ventas !rutas diarias"" contra artculos vendidos que se pagan en e6ectivo. Msando otrossm!olos" o !ien" colores di6erentes" agregue las ventas !rutasdiarias 3 los artculos vendidos que se pagan con tarjeta de crFdito.

Compare visualmente la relacin entre las ventas 3 el nLmero de


24/49

artculos vendidos que se pagan en e6ectivo con los pagados contarjeta de crFdito.

Como podemos ver que las ventas en efectivo son similares a las ventas con

tarKeta aunque estas ltimas tienen una mayor dispersin de datos, para

cada situacin existe una relacin lineal!

!- e6ina la varia!le 6icticia.

=tarjetaconcompraspagasi

efectivoencompraspagasiX

0

12

ajuste el modelo de regresin.

+++= 22110 XXY

Ae presentan los resultados de 3xcel!


Coeficiente de correlacin mltiple %,&1%%(

Coeficiente de determinacin 7M* %,/*/**


25/49


26/49

3l modelo no es satisfactorio en su totalidad!

d- Con !ase en el modelo ajustado del inciso !-" ela!ore unpronstico de las ventas diarias para un individuo que compra 25artculos 3 paga en e6ectivo. Para una muestra grande" constru3a unintervalo de prediccin del 5N para las ventas diarias.

3l pronstico puntual para esta compra ser de0

58,24)1(0103,19)25(9977,55778,13 =+=Y

ara una prediccin del &.9 para muestras grandes, el intervalo ser0

Ay!x = -%,&1F = Y; 6 t R Ay!x

ara el &%9 y n'* = +/gl0 t = *,%1

F = *+,./ 6 *,%1 x -%,&1 = *+,./ 6 *,*+

:F = *+,./ G *,*+ = '-(, I %

:A = *+,./ *,*+ = /,/*

3xiste el &%9 de confianza que el valor de las compras para las condiciones

dadas estar comprendido entre % y /,/* dlares!

e- escri!a la naturaleza de la 6uncin ajustada del inciso !-. +Creeusted que es mejor justar dos lneas rectas separadas" una para lasventas en e6ectivo 3 otra para las ventas con tarjeta de crFdito" paralos datos de la ta!la P415, iscLtalo.3ste anlisis se desarroll previamente en el literal #c$, donde se determin

que la variable ficticia X*no es muy significativa para el modelo, por esto se

la puede eliminar, entonces resulta adecuado aKustar dos rectas separadas a

los datos, una para ventas en efectivo y otra para ventas con tarKeta de

crPdito!

Pro!lema 21'


27/49

Ba ta!la P421 contiene el numero de cuentas Een miles- 3 los activosEen miles de millones de dolares- de 10 corredurias de !olsa online.=ra6ique los activos contra el numero de cuentas. ?nvestigue laposi!ilidad de que la relacion sea curva ela!orando una regresionmultiple para pronosticar los activos" considere el numero de

cuentas 3 el numero de cuentas elevado al cuadrado como varia!lesindependientes.

Fniciamos con el diagrama de dispersin!

odemos ver una relacin curvil4nea entre las variables!

a-Proporcione la 6uncion de regresion ajustada. +s signi6icativa laregresion, Dplique.

2210 ..

XbXbbY ++=

resentamos los resultados de 3xcel!

Estadsticas de la regresinCoeficiente de correlacin mltiple %,&/&*

Coeficiente de determinacin 7M* %,&(&-.

7M* aKustado %,&(-++

3rror t4pico 1*,+11(


28/49

Grados delibertad

Suma decuadrados

Promedio delos cuadrados

F

7egresin * .11-%,1 *...,1 1.,&.-

7esiduos ( 1%(/,-. 1.+,%.

>otal & .**%/,+

Coeficientes Error tpico Estadstico tProbabilida

d

Fntercepcin (,%/-1 /,.%-1( %,/&+( %,+%%-

X '%,%%+ %,%*-(/ '%,1&*1 %,/.-%&

XH -,-3'%. /,&-3'% -,(-.+ %,%%(%+

2.00003,0.0046,06083,7 XXY +=

ara este modelo0

r*= %,&(&-

Fndica que el &(,&-9 de las variaciones de los activos se explican en este

modelo, los valores D = 1.,&. y t = -,( respaldan al modelo como

confiable para realizar los pronsticos a pesar de que el valor de r *es muy

pequeJo!

!-Prue!e la signi6icancia del coe6iciente del termino elevado alcuadrado. 9esuma su conclusion.

"e acuerdo a los resultados de 3xcel tenemos0

b*= %,%%%%--

Ab*= %,%%%%%/&-

lanteamiento de 2iptesis0

0:

0:

21

2

=

H

Ho


763,31093,8

0000336,06

2

2 =

==

bS

bt


Aea 5 = %,%. de * colas y n'* = /gl0 tc = 6*,-%

7egla de decisin0


29/49

Ai t esta fuera del intervalo 6*,-%, rec2azamos 8o

Como t = -,(- est fuera del intervalo 6*,-%, rec2azamos 8oQ se

concluye que a un nivel de significancia del .9 el coeficiente de regresines diferente de cero significativamente para este modelo!

c-Corra otra vez el analisis sin el termino cuadratico Eelevado alcuadrado-. Dplique porque el coe6iciente del numero de cuentas noes el mismo que el que usted o!tuvo en el inciso a-.

XbbY10

+=

resentamos los resultados de 3xcel!


Coeficiente de correlacin mltiple %,&/*(

Coeficiente de determinacin 7M* %,&-(..

7M* aKustado %,&*&(.

3rror t4pico *%,1/((

otal & .**%/,+

Coeficiente

sError tpico Estadstico t

Probabilidad

Fntercepcin '1(,1*1 /,((/*1 '1,&.%. %,%/&-

X %,%/-*1 %,%%(.& 1%,&.&- +,*(3'%

3cuacin de regresin simple0


30/49

XY 0832,01215,17 +=

Como podemos ver en este modelo, los valores r*y D disminuyeronQ el

coeficiente b1 y b%cambian sus valores notoriamente por corresponder a

otro modelo de regresin, aunque resulta ms adecuado que el modelo

mltiple curvil4neo para realizar los pronsticos de la cantidad de accionesen forma ms confiable!

Actividad de aprendizaje 2.*.

el li!ro !ase" captulo " pp. *# T *)" resuelva los siguientespro!lemas'

( 5" (1*" (1)" (21

Pro!lema 5'

Msted realiza una prue!a para sa!er si &a3 alguna correlacin serialen el nivel 0"01 con *2 residuos de una regresin con dos varia!lesindependientes. Si la estadstica ur!in4Uatson que se &a calculadoes igual a 1.0 +Cu$l es su conclusin,

3mpezamos con el anlisis para determinar si existe una correlacin serial!

tt += 11

lanteamiento de 2iptesis0

0:0 =H

:1H E%

Conocidos0

"S = 1Q 5 = %,%1Q n = -*Q @ = *!

>omamos datos de la tabla C'0

d:= 1,1 y dN= 1,-.

7egla de decisin0


31/49

Ai "S E dNse concluye que 0:0 =H

Ai "S T d:se concluye que :1H E%

Ai d:U "S U dNla prueba no es concluyente!

Como "S = 1 T d:, concluimos que :1H E% y que existe autocorrelacin

positiva, por lo que en el modelo 2ay una correlacin serial, y que susperturbaciones no son independientes!

Pro!lema 1*'

Ba Q&ompson Airlines determin que el 5N del nLmero total depasajeros nacionales estadounidenses vuela en los aviones de lacompaOa. Se le asigna a usted la tarea de pronosticar el nLmero depasajeros que volar$n en la Q&ompson Airlines en 200). Bos datos

se presentan en la ta!la P41*.

) continuacin se muestra la tabla de datos0

AVG 78 Pasajeros AOo codi6icado

1) **,/ 1

10 *,1 *

11 *&,+ -

12 -+,. +

1* -(, .

1% +%,-

15 -&,. (

1# +.,+ /

1) +,- &

1 +.,/ 1%

1 +/ 11

10 .+, 1*

11 1,& 1-

12 &,& 1+

1* (&,& 1.

1% &,- 1

15 1%& 1(

1# 11 1/

1) 11(,* 1&

1 1*+,& *%

1 1-, *1


32/49

2000 1++,/ **

2001 1+(,& *-

2002 1.%,1 *+

200* 1.1,& *.

a- esarrolle un modelo de regresin de series de tiempo" usando eltiempo como la varia!le independiente 3 el nLmero de pasajeroscomo la varia!le dependiente. Ajuste este modelo.

XbbY 10 +=

>enemos el siguiente diagrama de dispersin0

Como podemos observar en el grfico de dispersin, existe una relacin

lineal positiva entre la cantidad de pasaKeros y el tiempo, y los datos estndistribuidos de forma que siguen un patrn!

) continuacin se presentan los resultados de 3xcel0

Estadsticas de la regresinCoeficiente de correlacin mltiple %,&(1*(


33/49

Coeficiente de determinacin 7M* %,&+--/

7M* aKustado %,&+%&1

3rror t4pico 11,%1(1

otal *+ +&-%%,.

Coeficientes Error tpico Estadstico t Probabilidad

Fntercepcin 1,-11 +,.+*+. %,*//1 %,((.+

X .,&/1-1 %,-%.. 1&,.(. (,(*3'1

3cuacin de regresin0

XY 9813,531,1 +=

Au coeficiente de determinacin0

r*= %,&+-+

3sto nos ayuda a determinar que el &+,-+9 de las variaciones de lacantidad de pasaKeros se explica e n este el modelo!

:os valores de D = -/-,1/ y t = 1&,.(. indican que el modelo es confiablepara realizar estimaciones confiables del nmero de pasaKeros que viaKananualmente!

!- +s via!le el supuesto de errores independientes para estemodelo,

3l grafico de residuales, indica que los tPrminos de error no estn dispersosaleatoriamente, por lo tanto los datos no ser4an aleatorios, y que en generalresponde a que los tPrminos de error no son independientes!


34/49

c- Ajuste el modelo del inciso a- con los logaritmos del nLmero depasajeros como la varia!le dependiente.

ara este modelo es adecuado un modelo auto regresivo de primer orden!

110

+= tt YbbY

3l diagrama de dispersin del nuevo modelo ser4a el siguiente0

3l diagrama permite ver una relacin lineal positiva en este nuevo modelo!

d- 9epita el inciso a- con el tiempo representado por una tendenciaeDponencial EvFase la ecuacin 5.#-.



35/49


Coeficiente de correlacin mltiple %,&&.+(

Coeficiente de determinacin 7M* %,&&%&

7M* aKustado %,&&%..

3rror t4pico +,-+(/

otal *- +%%*,.

Coeficiente

sError tpico Estadstico t

Probabilidad

Fntercepcin -,/*1(& 1,/1** *,1%/&* %,%+.

ariable X 1 1,%*%+/ %,%*%(/ +&,1%(( .,.(3'*+

10205,18218,3

+=

tt YY

Coeficiente de determinacin0

r

*

= %,&&1

3sto indica que el &&,19 de las variaciones de la cantidad de pasaKeros seexplican por este modelo!

:os valores de D = *+11,. y t = +&,1%/ indican que este es un modeloconfiable para realizar pronsticos sobre la cantidad de pasaKeros que viaKananualmente!

"iagrama para los nuevos tPrminos de error0


36/49

3n este nuevo modelo los tPrminos de error estn distribuidas en formaaleatoria, con lo cual se puede considerar que los tPrminos de error sonindependientes y constantes!

e- +Cu$l modelo pre6iere usted" el del inciso c- o d-, +Por quF,)unque ambos modelos son confiables, es preferible el modelo del literal c,ya que al ver las grficas de los residuales, la grfica del modelo c muestradatos menos dispersos y con un patrn definido!

6- +Bos errores de los modelos de los incisos c- 3 d- parecen serindependientes, Si no es as" +quF pro!lemaEs- podraEn- surgircuando se use uno Eo am!os- de estos modelos ajustados parapronosticar,

ara el modelo c, los tPrminos de error no son independientes y los delmodelo d estn ligeramente dispersos, lo que indica que son ligeramenteindependientes

g- Con !ase en su modelo pre6erido" pronostique el nLmero depasajeros para 200% de la Q&ompson Airlines.

ara *%%-0 Yt'1 = 1.1,& pasaKeros!

10205,18218,3 += tt YY

8357,158)9,151(0205,18218,30205,18218,3 20032004 =+=+= YY

3stimamos que en el aJo *%%+, el nmero de pasaKeros de la empresa detransporte aPreo maneKar 1./,/ miles de pasaKeros!

Pro!lema 1)'

Msar los datos que aparecen en la ta!la .5" convierta las ventas 3los valores de ingresos disponi!les a di6erencias simples. s decir"crear los nLmeros tR / t T t41 3 tR / t T t41. Ajuste un modelode regresin lineal simple. Compare sus resultados con losresultados o!tenidos por el mFtodo de di6erencias generalizadas enel ejemplo .5. +spera!a que 6ueran distintos, Dplique surespuesta.

) continuacin presentamos los resultados para el mPtodo del eKemplo /!.0

XYt

26,9)997,01(483,54 +=

997,0 =


37/49

1

'

1

'997,0;997,0 == tttttt XXXYYY

26,9b;483,54 10 ==b

241,71 =bS

28,1/ 11 == bSbt

12,1=DW

>enemos el siguiente diagrama de dispersin0



Coeficiente de correlacin mltiple %,(*((+

Coeficiente de determinacin 7M* %,.*&1

7M* aKustado %,.%-+(

3rror t4pico *-&,(*1


38/49

libertad cuadrados los cuadrados

7egresin 1 11+.&/ 11+.&/ *%,*./

7esiduos 1/ 1%-+-/& .(+

>otal 1& *1&/&/(

Coeficientes Error tpico Estadstico tProbabilida

d

Fntercepcin 1+/,&*- &(,(%*+ 1,.*+*. %,1++/*

ariable X 1 &,1..+ *,%--(+ +,.%1( %,%%%*/

XYt 1554,99233,,148 +=

Ae estima que0

1 =

1

'

1

'; == tttttt XXXYYY

1554,9b;9233,148 10 ==b

0337,21 =bS

5018,4/ 11 == bSbt

:a mayor4a de los resultados de este nuevo modelo presentan diferenciassignificativas, solo b1 mantiene el mismo valor, se esperaba que los

resultados fueran similares y que bo fuera similar a %, y analizando eldiagrama de dispersin de este modelo identificamos que los ltimos -pares de datos presentan un comportamiento distinto a los dems datos,esto ocasiona que bo sea mayor que cero, y si se quitan estos ltimosvalores del modelo, el coeficiente bo se aproxima a cero y se asemeKa almodelo de diferencias generalizadas!

Pro!lema 21'

9epita los incisos !- 3 c- del pro!lema 20 con los datostrans6ormados logartmicamente. >aga una interpretacin de loscoe6icientes del ingreso 3 del precio del pollo en tFrminos deelasticidades. Con !ase en su 6uncin de regresin ajustada 6inal"indique como se o!tendra un pronstico del consumo de pollo paralos aOos siguientes.

Problema 20:


39/49

La demanda de una mercanca depende generalmente del ingresodel consumidor, el precio real de la mercanca y el precio real de losaccesorios o productos similares. La tabla P-19 indica el consumo

per cpita de pollo en Estados !nidos "en libras#$ el ingresodisponible per cpita "en dlares#$ y los precios al menudeo del

pollo, puerco y carne de res "en centa%os por libra# de %arios a&os.

a. 'alcule la matri( de correlacin para todas las %ariables, usandotanto las unidades originales como las unidades trans)ormadas enlogaritmos. 'omente sobre la )ortale(a implicada de la asociacinlineal entre el pollo consumido y cada una de las %ariablesrestantes. *Puede usted pensar una ra(n por la +ue se debe tenercuidado al interpretar las magnitudes de los coe)icientes decorrelacin obtenidos a partir de los datos de la serie de tiempo

Ae presenta armetros del modelo mltiple con las variables iniciales, a

continuacin se muestran los resultados en 3xcel0


Coeficiente de correlacin mltiple %,&..*1

Coeficiente de determinacin 7M* %,&1*+-

7M* aKustado %,/&*&(

3rror t4pico *,1*1

otal ** &*&,**

Coeficiente

sError tpico

Estadstic

o t

Probabilida

dFntercepcin -&,*&* +,%+&* &,(%&11 1,+%3'%/

X1 %,%%+- %,%%.-- %,///& %,-&-.

X* '%,*+& %,1((*( '-,.*.* %,%%*+*

X- %,1-. %,%&- *,-.&*/ %,%*&/1

X+ %,%/%. %,%... 1,+.%+ %,1+1-

3cuacin de regresin mltiple0


40/49

4321 0805,01636,06249,00046,029,39 XXXXY +++=

>enemos0

r*= %,&1*+

D = +,///

3l valor t es significativo solamente para X*!

b. !sando los datos originales, corra un programa de regresin porpasos con el consumo de pollo como la %ariable dependiente y las%ariables restantes como %ariables eplicati%as. Estable(ca al)a

para enter .alp/a to remo%e .0

>abla de coeficientes de determinacin r*para los diferentes modelos, alcombinar las distintas variables independientes!

Haria!les Coe6iciente r: Signi6icativos

lnE1- %,&%(1

lnE2- %,.(//

lnE*- %,(&1(

lnE%- %,/-1(

lnE1- 3 lnE2- %,&(* )mboslnE1- 3 lnE*- %,&-1. ln#X1$

lnE1- 3 lnE%- %,&1(* ln#X1$

lnE2- 3 lnE*- %,/..& ln#X-$

lnE2- 3 lnE%- %,/&++ ln#X+$

lnE*- 3 lnE%- %,/-.& ?inguno

lnE1" 2 3 *- %,&(- ln#X1$ y ln#X*$

lnE1" 2 3 %- %,&/- ln#X1$ y ln#X*$

lnE2" * 3 %- %,&+(( >odos

Qodos %,&&% ln#X1$ y ln#X*$

ara cada variable es ms significativo pronosticar la demanda del consumo

del pollo con la variable ln#X1$, y le sigue en importancia la variable ln#X+$!

Ai combinamos * variables independientes el meKor modelo est formado

por ln#X1$ y ln#X*$, que meKoran significativamente el porcentaKe anterior!


41/49


42/49

:os valores de D = *&.,-% y t= 1.,+ para la variable ln#X1$ y t = ',% para

la variable ln#X*$ califican a este como un modelo altamente significativo y

muy confiable para realizar los pronsticos del consumo de pollo!

3ntonces b1= %,+-&& indica el cambio porcentual de ln#Y$ por cada O1 de

incremento en el ingreso disponible!

ara b*= '%,+++& indica el cambio porcentual de ln#Y$ por cada O1 de

incremento en el precio de la libra del pollo!

ara realizar pronsticos para este modelo aKustado, aplicamos logaritmos

al valor del ingreso disponible, y al precio de la libra del pollo y con este

modelo se calcula el valor de ln#Y$, para finalmente estimar la cantidad de

pollo a consumir se aplica antilogaritmo natural al resultado obtenido

usando la ecuacin de regresin!

c. 'orra una regresin completa del consumo de pollo sobre las%ariables restantes. segrese de eliminar una por una las %ariables+ue considere +ue no son signi)icati%as /asta +ue usted est3

satis)ec/o con su modelo )inal. *Es congruente su resultado con elresultado del procedimiento por pasos del inciso b# *Es probable+ue la correlacin serial sea un problema en este anlisis deregresin

) continuacin se muestra el modelo de regresin completa con las +variables, dada por 3xcel0


Coeficiente de correlacin mltiple %,&/+-

Coeficiente de determinacin 7M* %,&/&(

7M* aKustado %,&*%/

3rror t4pico %,%-*&(


43/49

libertadcuadrado

sde los

cuadrados

7egresin + %,111 %,1.*(( 1+%,.*/

7esiduos 1/ %,%1&.( %,%%1%&

>otal ** %,-%(

Coeficiente

sErrortpico

Estadstico t

Probabilidad

Fntercepcin *,+(+%- %,1/%/ 1-,*&.+ &,.-3'11

ln#X1$ %,-+&(+ %,%&&. -,.1+/ %,%%*+(

ln#X*$ '%,.+1( %,1-*.* '+,%/(/ %,%%%&

ln#X-$ %,%(*-/ %,11&11 %,%( %,..1

ln#X+$ %,11/(1 %,1*%- %,&/*( %,--(%(

Lodelo de regresin mltiple0

)ln(.)ln(.)ln(.)ln(.)ln( 443322110 XbXbXbXbbYY ++++==

)ln(.1187,0)ln(.0724,0)ln(.5417,0)ln(.3497,0474,2)ln( 4321 XXXXYY +++==

armetros del modelo0

r*= %,&&%

D = 1+%,.-

3stos valores clasifican al modelo como muy confiable para realizar los

pronsticos, sin embargo en el anlisis de significancia de cada tPrmino de

variable son explicativos solamente los tPrminos de ln#X1$ y ln#X*$, pero no

son explicativos para este modelo los tPrminos de variables ln#X-$ y ln#X+$,

tal que se decide eliminar de este modelo!

3l anlisis del modelo reducido que consta solo de los * tPrminos de

variable ln#X1$ y ln#X*$ ya se realiz en el literal anterior, y por sus buenas

caracter4sticas nuevamente se elige como meKor a este modelo aKustado conestos * tPrminos de variable!

)s4 que concuerda completamente la seleccin del meKor modelo aKustado

de regresin mltiple del literal anterior! ) que los modelos de regresin

mltiples presentan altos valores para el coeficiente de determinacin

mltiple r*existe el riesgo que se presente problemas de correlacin serial!

Actividad de aprendizaje 2.%.


44/49

a. el li!ro !ase" captulo pp. %%# &asta la %5)" resuelva lossiguientes pro!lemas del ( 1" (5"

Pro!lema 1'

a- Para una muestra de 100 o!servaciones de datos aleatorioscalcule un intervalo de con6ianza de 5N para el coe6iciente de autocorrelaciones en cualquier retraso.

"atos0

?C = &.9 #V = *$

n = 1%%Q

r@= %

Fntervalo de confianza0

n

ZrI k=

2,010

2

100

20 ===I

ara que el coeficiente no sea significativo, debe estar en el intervalo de

6%,*!

!- Si todos los coe6icientes de auto correlacin est$n dentro de susintervalos individuales de con6ianza de 5N 3 no muestran unpatrn particular" +quF conclusin se puede o!tener acerca delproceso,

ara este comportamiento, concluimos que no 2ay autocorrelacin, ya que

los errores son constantes y aleatorios, y estamos trabaKando con una serie

estacionaria y es vlido aplicar algn modelo auto regresivo adecuado!

c- Si las primeras auto correlaciones son positivassigni6icativamente distintas de cero 3 los patrones de autocorrelacin declinan a cero" +quF conclusin puede o!tener acercadel proceso,

Como se puede ver, este proceso tiene una tendencia creciente significativa

y es una serie no estacionaria, que al aplicar diferencias de primer orden se

lograra transformar en una nueva serie estacionaria para poder aplicar


45/49

algn modelo auto regresivo apropiado para poder realizar pronsticos muy

precisos!

d- Se o!serva un proceso trimestralmente" si las auto correlaciones

r%" r3 r12son signi6icativamente distintas de cero" +quF conclusinpuede o!tenerse,

ara el proceso trimestral, 2ay una componente estacional significativa,

que se puede corregir aplicando diferencias de orden @ = + y si es necesario

@ = / para transformarla a serie estacionaria con variaciones controladas

que facilitara usar un modelo auto regresivo adecuado!

Pro!lema 5'adas las gr$6icas de la 6igura P45 de las autocorrelaciones de lamuestra 3 las autocorrelaciones parciales de la muestra" identi6iquetentativamente un modelo A9?JA para cada par de gr$6icas.

3ntre los modelos )7FL) #p, d, q$ de acuerdo a la autocorrelacin y

basndonos en el principio de parsimonia, tenemos0

Cuando corresponde a una serie creciente no lineal, el modelo

adecuado es el auto regresivo )7FL) #*, %, *$ o )7FL) #1, 1, 1$, y se

elige la que proporcione los parmetros ms adecuados!

Cuando corresponde a una serie creciente lineal, el modelo adecuado

es el auto regresivo )7FL) #1, %, 1$ o )7FL) #1, %, %$!

Cuando corresponde a una serie estacionaria no lineal, el modelo

adecuado es el auto regresivo )7FL) #1, %, 1$ o )7FL) #1, %, %$!

!. 9esuelva el Caso 4 1 EHentas del restaurante-" p. %5).

CASG 41 EHentas del restaurante-

ste caso se re6iere a los datos de ventas 3 a la situacin delrestaurante descrito en el caso 4*. @im Price conclu3 un curso depronsticos 3 est$ ansioso por aplicar la metodologa ;oD4@enWins alas ventas del restaurante.

stos datos" presentados en la ta!la 41)A" inician en la semanaque termina el domingo % de enero de 11 3 continLa &asta lasemana que termina el domingo 2# de diciem!re de 12. Ba ta!la41); contiene datos nuevos de la semana que termina el 2 de


46/49

enero de 1*" &asta la semana que termina el *0 de octu!re de1*.

Ae muestra el diagrama de dispersin para datos originales0

Ae observa que las ventas semanales corresponden a una serie

estacionaria, por lo que podemos aplicar un modelos autoregresivos

estacionales!

1.4 +Cu$l es el modelo ;oD4@enWins apropiado para usarse con losdatos originales,

ara los datos de ventas semanales de un periodo de * aJos, determinamos

que el modelo que aporta parametros adecuados es el siguinte0

5325210

++= tt YYtY

Ae presentan los resultados de 3xcel0


Coeficiente de correlacin mltiple %,(&..(Coeficiente de determinacin 7M* %,-*&-

7M* aKustado %,1(-

3rror t4pico /+,1


47/49

7egresin * -,&3%( 1,&3%( +1,-/*1 -,./3'11

7esiduos +/ *,-3%( +/(1

>otal .% ,13%(

Coeficientes

Error

tpico Estadstico t

Probabilida

d

Inferior

95%Fntercepcin 11/.,*- +-,&/. *,(1**/ %,%%&*. -%,1

ariable X 1 %,+/.* %,%&-*( .,*%*-. +,%-3'% %,*&(/

ariable X * %,-11*+ %,%&*+- -,-(-1 %,%%1. %,1*.+

Lodelo de pronostico0

5352 3112,04852,023,1185

++=

tt YYtY

Como podemos ver en los diagramas de residuales, los residuos se

distribuyen alrededor del valor constante cero, aleatoriamente!


48/49

"e acuerdo a los resultados, este modelo explica el -,*&9 de las

variaciones de las ventas semanales!

:os valores de D = +1,-/ y t de .,*% para Yt'.* y -,-( para Yt'.- nos

permiten concluir que este modelo es muy confiable para realizar

estimaciones de las ventas a futuro!

2.4 +Cu$les son sus pronsticos para las primeras cuatro semanasde enero de 1*,

:os pronosticos de las ventas semanales se detallan en la segunda columna

de la tabla que se muestra a continuacin y se aKustan bastante bien con las

ventas reales correspondientes!

Semana tI t real rror N rror

1X2X* *(%-,+1 *+-1 '*(*,+1 11,*1

1XX* */-,*& *(& 11*,(1 +,%-

1X1#X* -/&,1 ++-* (+*,-& 1,(.

1X2*X* .-1,+( .(1+ -&(,.- ,&

*.4 +e quF manera se comparan estos pronsticos con las ventasreales,

:os pronosticos semanales para el mes de enero y los errores de pronstico

se relacionan aceptablemente, solo para la tercera semana se evidencia un

nivel importante de desvio!

%.4 e quF manera se compara el modelo ;oD4@enWins con losmodelos de regresin empleados en el captulo .

:os modelos de Wox'en@ins analizan parametros de correlaciones,

significancia y residuos para medir la calidad del modelo autoregresivo yBo

media movil apropiado para una serie de tiempo, y se diferencian de los

modelos del capitulo / ya que son funciones de una o mas variables

independientes X, y los modelos de Wox'en@ins son dependientes de la

misma serie con uno o mas ordenes de retrasos!

5.4 +Mtilizara el mismo modelo ;oD4@enWins si los datos nuevos secom!inaran con los anteriores,


49/49

3n el diagrama de dispersin, se observa que el nuevo conKunto de datos

tienen un comportamiento similar al conKunto de datos originales, con un

comportamiento estacionario y presenta variaciones dentro del rango de

valores entre *%%% y /%%% dlares, tal que ser apropiado usar el mismo

modelo de pronsticos al combinar los dos conKuntos de datos!

g2.Cujilema.medina.andrea.pronosticos

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