Matemáticas Galileo

Eugenio Jacobo Hernández Valdelamar

2007

Introducción

Matemáticas

Álgebra

Geometría

Cálculo

El estudiante debe aplicar reglas sistemáticamente sobre símbolos matemáticos, sin entender la mayoría de las veces lo que hace, ni porque lo hace o para que lo hace. Cuando al final su resultado es incorrecto, él no sabe en qué, cómo y por qué se equivoco, generándole un sentimiento de fracaso y frustración.

Solución: aprendizaje experimental

• Desarrollo de la intuición del estudiante• Entender las características de las expresiones que realiza y analiza • Mantener una visión general del problema • Resulta fundamental la visualización gráfica de las expresiones que se pretenden utilizar o analizar, así como de los procesos de transformación, a los que esas expresiones son sometidas.

Matemáticas Galileo

Matemáticas

Medición2,3,4,5,6

Bachillerato1,2,3

Secundaria1,2,3

1-2 año

Edu

caci

ón

bási

caE

duca

ción

m

edia

Edu

caci

ón

supe

rior

Geometría Mosaicos mágicos

Laboratorio de fracciones

Karel Mx

Álgebra

Laboratorio de funciones

Generador geométrico

Laboratorio de geometría analítica

Cálculo

Actividades en el laboratorio de funciones

Definir y editar expresiones algebraicas de funciones

Visualización de gráficas de funciones

Derivación de funciones

Integración de funciones

Cambios de sistema de referencia (cartesiano y polar)

Generación de reportes

Actividades en el laboratorio de Geometría Analítica

Definir y editar objetos geométricos (recta, circunferencia, elipse, parábola, hipérbola)

Visualización de gráficas objetos geométricos y sus propiedades.

Generación de reportes

Uso del laboratorio de funciones

Casos de ejemplo para la enseñanza en el nivel medio superior

Laboratorio de funciones: Definir y editar expresiones

algebraicas de funciones Visualización de gráficas de

funciones Derivación de funciones Integración de funciones Cambio de sistema coordenado Generación de reportes

Ejemplo 1: En busca de soluciones.

Planteamiento:Manipular la pendiente y ordenada al

origen de una función lineal (recta)Problema de las gallinas y los conejos

• En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50; si se cuentan las patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?

CB Matemáticas IV , Unidad 1, objetivo 1.2 y 1.3

Sistemas de ecuaciones: en busca de una intersección.

En la granja

En una granja se crían gallinas y conejos.

Si se cuentan las cabezas, son 50;

si se cuentan las patas, son 134.

¿Cuántos animales hay de cada clase?

g = # de gallinasc = # de Conejosg + c = 50 …(1)datos de las patas:4c + 2g = 134 …(2)Al despejar c de (1) obtenemos:c = 50 – g …(3)Sustituyendo (3) en (2)4 (50-g) + 2g = 134200 -4g + 2g = 134-2g = 134 - 200-2g = -66g = 33 …(4)Sustituyendo (4) en (3)c = 50 – 33c = 17

Ejemplo 2: Solo para emprendedores

Planteamiento Un granjero tiene 480

hectáreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano.

Dados márgenes de utilidad y los requerimientos laborales:

• Maíz: • Utilidad: $40 por hectárea• Trabajo: 2 horas por

hectárea• Trigo:

• Utilidad: $30 por hectárea• Trabajo: 1 hora por

hectárea ¿Cuántas hectáreas de cada

cultivo debe plantar para maximizar su utilidad?¿Cuál es ésta utilidad máxima?

Maíz Trigo Máximo

Hectáreas x y 480

Trabajo (horas) 2 1 800

Utilidad $40 $30 ?

Restricciones:x+y<=4802x+y<=800X,y>0Función objetivo:40x+30y=P

¿Cómo encontrar el máximo? Cada punto P(x,y) en S es un candidato para la solución

óptima del problema. si se pudiera calcular el valor de P correspondiente a cada punto

de S, entonces el punto (o los puntos) en S que proporcione el valor máximo de P formará el conjunto solución buscado. Por desgracia, en la mayoría de los problemas, la cantidad de candidatos es demasiado grande o, como en este problema, es infinita. Así este método no es adecuado.

En vez de buscar el valor de la función objetivo P en un punto factible, se asignará un valor a la función P y se buscarán los puntos factibles que correspondieran a un valor dado de P.

cada punto del segmento de recta dado por la intersección de la línea recta L1 y el conjunto factible S corresponde el valor dado.

Al variar P, se aprecia que las rectas resultantes son paralelas, por lo que su pendiente es la misma

• 40x+ 30y = p, y = (p-40x)/30, y = (p/30)-(40/30)x, de donde m = -4/3

Ejemplo 3: Sistemas de referencia.

Planteamiento Responder la pregunta: ¿una función tiene

la misma representación e interpretación en sistemas de referencia diferentes?

Tómese el caso de los sistemas rectangular (cartesiano) y polar.

Las funciones a evaluar son:• C, una constante• C*cos(x)• C*sin(x)• x²

CB Matemáticas IV , Unidad 1, objetivo 1.1

Ejemplo 4: Transmisión de señales. Planteamiento

En un sistema de transmisión, es imprescindible la existencia de un equipo transmisor, un canal de comunicación y un dispositivo receptor. Las características del transmisor y del receptor deben ajustarse a las características del canal.

En los sistemas de radio, el canal es conformado por el aire y la manera de lograr que una señal se propague en el espacio, es mediante ondas electromagnéticas, comúnmente denominadas ondas de radio. Estas ondas, para transportar información necesitan ser modificadas en alguno de sus parámetros en función de la información.

Uno de los métodos empleados, es el llamado AMPLITUD MODULADA [AM], que consiste en variar la amplitud de la onda de radio. Cuando una señal de baja frecuencia [BF], controla la amplitud de una onda de alta frecuencia [RF], tenemos una modulación por amplitud.

Modulación en amplitud (AM)

Ejemplo 5: En busca de la derivada de una función

PlanteamientoDada la función f(x)= x*sin(x),

encontrar su derivada por los siguientes métodos:

• Analítico (aplicar reglas de derivación)• Teorema del límite

Ejemplo 6: El área bajo la curva

PlanteamientoDada la función f(x)=2/(1+2x²),

encuentre el área bajo la curva en un intervalo dado.

¿Cómo modificar la función para que su área sea igual a uno?

Uso del laboratorio de geometría analítica

Casos de ejemplo para la enseñanza en el nivel medio superior

Laboratorio de geometría analítica:

Definir y editar objetos geométricos (recta, circunferencia, elipse, parábola, hipérbola)

Visualización de gráficas objetos geométricos y sus propiedades.

Generación de reportes

Ejemplo 1: Explorando el triángulo

PlanteamientoDado un triángulo ABC cualquiera

calcular:• Medianas (las rectas que pasan por un

vértice y el punto medio del lado opuesto)• Mediatrices (las rectas perpendiculares

en el punto medio)• Alturas (recta perpendicular al lado y que

pasa por el vértice opuesto )

Ejemplo 2: Construcción de la sección áurea de un segmento La proporción áurea se

encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en las partes de un cuerpo, y en la naturaleza como relación entre cuerpos, en la morfología de diversos elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, proporciones humanas, etc.

Un problema clásico es construir, con regla y compás, la sección áurea de un segmento dado.

Para llevar…el símbolo pitagórico Si se unen los vértices

de un pentágono regular de dos en dos trazando las diagonales se obtiene la estrella de cinco puntas, cuyos lados son las diagonales del pentágono, las cuales se cortan según la razón áurea.

Ejemplo 3: un esquema diseñado con una construcción geométrica

Problema:Una empresa de telecomunicaciones

quiere colocar una antena parabólica en la cima de un cerro.

Elabore una construcción geométrica que represente esquemáticamente la obra a realizar.

Esquema

Cerro

Base de la antena

Plato de la antena

Matemáticas con la computadora El temor que provoca el fantasma de la

automatización de los procesos de cálculo de algunos profesores de matemáticas : si la computadora lo hace todo.... ¿qué aprenderán los estudiantes?

Respuesta: "si se puede prescindir de la parte mecánica de cada problema, es posible dedicar más tiempo al análisis de los conceptos que intervienen y de las soluciones resultantes“ (Nancy Dávila).

¿Qué implica saber matemáticas? Acumular hechos y procedimientos, o Aplicar el conocimiento para conjeturar, experimentar

y extraer conclusiones

http://www.uoc.edu/web/esp/art/uoc/0107030/mates.html

Pregunta: si la computadora lo hace todo, ¿qué aprenderán los estudiantes? Respuesta: aprenderán a aplicar lo que se les enseña

Ejercicios adicionales

Ejemplo 1: Transformaciones geométricas.

Planteamiento Dada una figura geométrica definida por una

función f(x), aplicar las siguientes transformaciones geométricas:

• Translación • T (x+t, , y+t)

• Escalamiento• E (s*x , s*y)

• Reflexión (simetría)• S (-x,-y)

• Rotación• R (x*cos(a)-y*sin(a),x*sin(a)+y*cos(a))

CB Matemáticas III , Unidad 2, objetivo 2.3