Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo.

GALILEO GALILEI

DIVISIÓN DE POLINOMIOS 1

DIVISIÓN

1. DIVISIÓN DE MONOMIOS

Para dividir dos monomios se dividen sus coeficientes y para cada letra

común en el dividendo y divisor se restan sus exponentes.

EJEMPLO 1: Realizar las siguientes divisiones de monomios

18a) 6

7x 7 4x5y 5 3 3 2y 6x y3y43x

3 7 2 73

55

7xx

32

x8

yb) y 8

4x y Note que el exponente de x en el numerador

es menor que el exponente de x en el denominador, por lo tanto, al realizar la resta de éstos su diferencia es negativa e igual a -2; lo que significa que debemos representarlo como exponente positivo, por lo tanto, se podrá lograr llevándolo al denominador, según propiedades de los exponentes.

a 1 10 0a 1 y a a 1a

01 a 0 1 1a aa a

11Por lo tanto : aa

Ejemplo: 3 -2 4

2 -1 -2 3-2 2 -4 2

3 2 4y 5x 5y= 3x ; = 2x ; = 4x y ; =

x x x 3y 3x

Algunas propiedades de los exponentes para tener en cuenta:

2. DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO:

En el caso de que el dividendo sea un polinomio y el divisor un monomio, se puede representar indicando la división de cada uno de los monomios del dividendo entre el monomio divisor.

EJEMPLO1:

3 6 4 3 6 418x y - 6x + 3x z 18x y 6x 3x z= - +

3x 3x 3x 3x

Observe que ya tiene tres divisiones de

monomios, y su resultado es:

2 5 33 6 418x y 6x 3x z

- + 6x y 2x x z3x 3x 3x

EJEMPLO2: Realizar la siguiente división de un polinomio por un monomio:

Para dar solución dividimos cada uno de los términos del polinomio del

dividendo por el monomio , veamos

Realizando la división de monomios, obtenemos:

5 2 4 3 2 4 557x y + 12x y - 11x y - 9y + 23?

4 53x y

4 53x y

4 35 2 2 4 557x y 12x y 11x y 9y 234 5 4 5 4 5 4 5 4 53x y 3x y 3x y 3x y 3x y

-2 -4 -5-3 -2 -1 4 057xy 12y 11x y 9x y 23x y

3 3 3 3 3

19x 11 3 234 4 53 2 x 3x yy 3x y

DIVISIÓN DE POLINOMIOS:

Para dividir dos polinomios siempre, el grado del dividendo debe ser mayor o igual al grado del divisor. Además, siempre deben estar ambos polinomios ordenados en forma descendente.

En el caso de que falte algún término del divisor , debe dejarse su espacio o colocar un cero (0) para poder operar correctamente.

Para que no te quede ninguna duda, estúdiate las siguientes reglas:

REGLAS PARA LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS:

1. El dividendo y el divisor se deben expresar en orden descendente con respecto

a una misma letra.

2. Procede luego a dividir el primer término del dividendo entre el primer término

del divisor y obtendrás así el primer término del cociente.

3. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se

resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término

debajo de su semejante. Si algún término de éste producto no tiene término

semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponde de acuerdo

con la ordenación del dividendo y el divisor.

4. Para continuar se divide el primer término del resto entre el primer término del

divisor y tendremos el segundo término del cociente.

5. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto

se resta del dividendo, cambiando los signos. Y así sucesivamente.

DIVIDENDO DIVISOR

COCIENTE RESIDUO

Debes recordar estos nombres y su ubicación:

El grado del cociente siempre es

la resta entre el grado del dividendo

y el grado del divisor

EJEMPLO: Realizar la siguiente división de polinomios:

entre

Para dar solución a esta división, realizaremos paso a paso las reglas

enunciadas para esta división:

1. El dividendo y el divisor se deben expresar en orden descendente con

respecto a una misma letra.

• Observa que los polinomios ya estar están ordenados:

• Este es el dividendo:

• Este es el divisor:

2. Ahora procede a dividir el primer término del dividendo entre el primer

término del divisor y obtendrás así el primer término del cociente.

3 2 4x + 2x - 4x + 3 22x - x + 1

3 2 4x + 2x - 4x + 322x - x + 1

3

2

4x2x

2x Corresponde al primer término de tu cociente.

3. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el

producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo,

escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de

éste producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el

lugar que le corresponde de acuerdo con la ordenación del dividendo y el

divisor, veamos:

2

3

3

2

4x + 2x - 4x + 3

- 4x + 2x

- 2x

22x - x + 1

2x

Observa que multiplicaste 2x (2x2 – x + 1) = + 4x3 - 4x2 + 2x, pero para restar del dividendo lo pasas con el signo contrario: - 4x3 + 4x2 - 2x

Ahora realizamos la resta:

4. Para continuar se divide el primer término del resto (4x2) entre el primer término del divisor (2x2) y tendremos el segundo término del cociente que es 2.

Primer término del Cociente

3 2

3 2

3 2

- 4x

4x +

+ 2x - 2x

2x - 4x + 3

0x 4x 6x 3

22x - x + 1

2x

Resto

22x - x + 1

2x 23

3

3 2

2

2

- 4x + 2x - 2x

4x + 2x - 4x + 3

0x + 4x - 6x + 3

5. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el

producto se resta del dividendo, cambiando los signos. Y así

sucesivamente.

3 2

2

3

2

2

4x + 2x - 4x + 3

+ 4x - 6x + 3

- 4x +- 4x

- 4x + 2x - 2x

+ 2x 1- 2

22x - x + 1

2x + 2

Divisor

Dividendo

Cociente

Residuo

La respuesta a esta división se debe expresar de la siguiente forma:

3 2

2 2

DIVIDENDO RESIDUOCOCIENTE

DIVISOR DIVISOR

4X 2X 4X 3 4X 12X 2

2X X 1 2X X 1

PARA TENER EN CUENTA:

Al igual que en una división normal ,

se puede comprobar que :

dividendo = divisor por cociente +

residuo

Si los coeficientes del primer término

del dividendo y del divisor no dan una

división exacta debemos utilizar

fracciones (algunas veces se usan

decimales si no son periódicos),

veamos un ejemplo1:

EJEMPLO 1: realizar la división:

La disposición de ambos polinomios es la siguiente:

3 2 23x + 2x + 3 entre 2x + 6x + 1

3 2 23x + 2x + 3 2x + 6x + 1

Observa que debes dejar este espacio o colocar cero porque la variable x no existe y además, el polinomio está ordenado en forma descendente

3 2

3 2

2

2

3x + 2x + 3

3-3x - 9x - x

23

- 7x - x + 32

7 + 7x +21x +

2 39 13

+ x +2 2

22x + 6x + 1

3 7x -

2 2

Realizando la división obtenemos:

Observa que cuando en el resto queda la letra principal con un exponente de grado menor que el del divisor, se ha concluido la división.

EJEMPLO 2: Efectuar la siguiente división del polinomio P(x) entre Q(x),

si 4 2 21

P(x) 2 x 5 x - 3 y Q(x) x - 4x -12

P(x)

Q(x) 34 2 21

2 x 5 x - 3 x - 4x -12

0x 0x

Observa que aquí se han

colocado los ceros en el

espacio que ocuparían las

variables x3 y x, si te gusta más,

puedes dejar los espacios.

Realizando la división, obtenemos:

4 2

4 2

4

3

3

3

3

3

2

2

2

2

0x 0x

xx

2 x 5 x - 3

-2x + 16 + 4x 0x + 16 - 1x + 0

- 16 + 128x + 0 + 127x + - 3

x

x 32

xx 32x

- 127

1016x +

2

+ 254

0x + + 251

x1048x

21 x - 4 x - 1

2

24x + 32 x + 254

REGLADE RUFFINI

La regla de Ruffini es un algoritmo que permite

obtener fácilmente el cociente y el resto de la

división de un polinomio por un binomio de la

forma x ± a, donde a es cualquier numerito.

Esta regla nos dice que “un polinomio tiene

por factor (x ± a) si al reemplazar el valor x por

“a” en el polinomio, el resultado es cero.

El valor de “a” de los posibles factores de la

expresión, es un divisor del término

independiente del polinomio”.

Paolo Ruffini (1765-1822). Matemático y médico italiano. En el año 1799 publicó el libro “Teoría general de las ecuaciones”, en el cual aparece la regla que lleva su nombre.

EJEMPLO 1: Realizar la siguiente división,

entre , utilizando la regla de Ruffini:

4 3 25X 3X 2X 7X 3

x 1

45X 3 2

45x

3X 2X 7X 3

3

3 2

2

2

2

35x2x

7

2x

2x 2x4x

4x

x

3

3

4x

x 3

3x

0

x 13 25x 2x 4x 3

Para dar solución a este polinomio utilizaremos el método que ya hemos estudiado, y luego compararemos comparemos con el método de Ruffini:

Ahora realizaremos la división utilizando el método de Ruffini y compararemos los resultados de ambas divisiones y lo fácil que es aplicar éste método

4 3 25X 3X 2X 7X 3

Aplicando la regla de Ruffini tenemos:

1. Recordemos el polinomio que vamos a dividir:

2. Para dividir polinomios usando la regla de Ruffini, seguimos los siguientes pasos que aplicamos al ejemplo:

3. Ordenar el polinomio (dividendo) de forma decreciente.

4. Se escriben los coeficientes del dividendo (recuerde que si faltan términos se deben dejar los espacios o colocar los ceros como ya se estudió en la división):

5 -3 2 -7 3

5. Ahora ya se puede preparar la tabla de Ruffini, como se verá a continuación:

÷ x 1

4 3 25X 3X 2X 7X 3 ÷ x 1

4 3 25X 3X 2X 7X 3

6. Colocamos el término independiente del divisor x -1, que en este caso es 1, entonces el término independiente pasará con signo contrario +1

5 3 2 7 3

5 3 2 7 3 1

Término independiente del divisor con signo contrario

Coeficientes del dividendo

7. Bajamos el primer coeficiente (5 para este ejemplo).

8. Realizamos un proceso repetitivo, de izquierda a derecha, que consiste primero multiplicar el primer coeficiente (5) por el divisor (1), el resultado se coloca a la derecha del segundo coeficiente del dividendo.

1

5 3 2 7 3 1

5

5

5 3 2 7 3 5

Al multiplicar 5 x 1= 5

5 2 4

5 3 2 7 3

5 2 4 3

3

0

Ahora se suma esta segunda columna y este resultado nuevamente se multiplica por el divisor (1). Este procedimiento se repite hasta el último término del diivdendo.

9. El último número obtenido es el residuo de la división, que en nuestro ejemplo es cero (0). Los anteriores a la izquierda del cero representan el cociente.

1

Residuo

Cociente

La respuesta para la división utilizando el método de Ruffini, se expresa de la siguiente manera:

1. Se toman los valores correspondientes al cociente

y se les asigna la letra definida en el dividendo, pero empezando con un exponente disminuido en 1 respecto al dividendo:

Que es tu respuesta para la división

5 2 4 3

3 25x 2x 4x 3