Ejercicios de traslación

Instrucciones.

Resuelve los siguientes problemas:

1. El origen de coordenadas se ha trasladado al punto O ’(3 , – 4). Las coordenadas de

los puntos A ’ (1 ,3) ,B ’ (–3 ,0) yC ’ (– 1,4 ) están determinadas en el nuevo sistema.

Calcula las coordenadas de estos puntos en el sistema de coordenadas original. Podemos observar en la gráfica las coordenadas de los puntos en el sistema original,A (4,-1) B (0, -4) C (2, 0)

2. Por una traslación de ejes, simplifica la ecuación:

9 ( x '+h )2−25 ( y '+k )2−54 ( x '+h )+100 ( y '+k )−244=09 ( x ' 2+2 x ' h+h2 )−25 ( y ' 2+2 y ' k+k2 )−54 ( x'+k )+100 ( y '+k )−244=0

9 x '2+18 x ' h+9h2−25 y ' 2−50 y ' k−25k2−54 x'−54 h+100 y '+100k−244=09 x '2−25 y '2+9h2−25k2−54 x '−54 h+100 y '+100k+18x ' h−50 y ' k−244=0

OJO-- No se danvalores de traslaciónaunnuevoorigen . Enlos da tos queadjuntoestoy suponiendo que ó trasladandoal nuevo origen(1 ,1)

Geometría analítica IIUnidad 4. Transformación de coordenadasActividad 1. Traslación

Completandoel trinomiocuadrado perfecto , tenemos :

9 x2−54 x−25 y2+100 y=2449 ( x2−6 x+9 )−25 ( y2−4 y+4 )=244+81−100=225

9 ( x−3 )2−25 ( y−2 )2=2259 ( x−3 )2

225−25 ( y−2 )2

225=225225

( x−3 )2

25−

( y−2 )2

9=1

Laecuación en forma canónicarepresentaunahipérbola concentroen (3 ,2 ) y el valor dea=5 y b=3

CORREGIR UTILIZANDO LAS COORDENADAS DE TRASLACIÓN

Si latraslado al nuevoorigen (1 ,1 ) la graficoquedade lasiguiente forma :

9 x2−54 x−25 y2+100 y−244=0Para trasladarlaal nuevoorigen utilizamoslas relacionesde traslaciónenla ecuación de la parábola

de tal formaque : ( x=x '+h , y= y '+k )9 ( x '+1 )2−54 ( x '+1 )−25 ( y'+1 )2+100 ( y '+1 )=244

Simplificandola igualdad sellegaa larelación :

9 ( x ' 2+2 x '+1 )−54 ( x '+1 )−25 ( y '2+2 y '+1 )+100 y'+100=2449 x '2+18 x '+9−54 x '−54−25 y ' 2−50 y '−25+100 y '+100=244

9 x '2−36 x'−25 y ' 2+50 y '=2149 ( x '2−4 x '+4 )−25 ( y '2−2 y '+1 )=214+36−25=225

9 ( x '−2 )2−25 ( y '−1 )2=225

9 ( x '−2 )2

225−25 ( y '−1 )2

225=225225

( x '−2 )2

25−

( y'−1 )2

9=1

Por mediode la ecuacióncanónica de la hipérbola podemosobservar suselementos principalesCentro (2 ,1 ) a=5b=3

3. Sea la curva: Trasládala al origen (2, 1, -3) y grafícala por inspección en este sistema de referencia. La gráfica es:

Utilizandolas relaciones de traslacióntenemos :

( x '+2 )2+( y '+1 )2+ ( z '−3 )2−4 ( x '+2 )−2 ( y '+1 )+6 ( z '−3 )+9=0x '2+4 x '+4+ y' 2+2 y '+1+z ' 2−6 z '+9−4 x '−8−2 y '−2+6 z '−18+9=0

x '2+ y ' 2+z '2=5

4. Un sistema coordenado es desplazado al punto P1 (3, 2) en coordenadas cartesianas. Las coordenadas de otro punto en el nuevo sistema son P2 (2, 5). Encuentra cuáles son las coordenadas de P2 en el plano original, primero utilizando coordenadas rectangulares y luego convierte todas las coordenadas a polares y aplica las fórmulas de traslación en coordenadas polares.

Ahorala transformaciónen coordenadas polares .

Paracalcular r utilizamos lafórmula r2=r 12+r 2

2+2 r1 r2 cosθ2−¿θ1 ¿Enla gráfica podemosobservar el valor deθcalculado por mediode la función trigonométrica

Las coordenadas en el plano original son: (5, 7)

tangente= cateto opuestocatetoadyacente

=75

∴θ=Arc tan75=54.55 °

r12= (3 )2+ (2 )2=9+4=13 r1=3.61

r22=22+52=4+25=29 r 2=5.39

Ahorala calculamos con la fórmula :θ=Arc tan ¿

θ=Arc tan [ 3.61 (0.55 )+5.39 (0.93 )3.61 (0.83 )+5.39 (0.37 ) ]=Arc tan 1.4047=54.55 °

Ahoracalculamos r con la fórmula :r2=r12+r2

2+2 r1r2 cos (θ2−θ1)

r2=13+29+2 (3.61 ) (5.39 ) cos (68.2 °−33.42°¿)¿r2=42+38.92cos34.78 °=42+38.92 (0.82 )=42+31.97=73.97r=8.6(El cual coincidecon el valor calculado conGeoGebra)

Lascoordenadas Polares de P2=(8.6 ,54.55° )

5. Demuestra las relaciones de traslación en coordenadas polares a partir de las relaciones de traslación en coordenadas rectangulares. Sugerencia: convierte las relaciones de traslación cartesianas a polares, eleva al cuadrado cada expresión y súmalas, simplifica y utiliza identidades trigonométricas. El cociente de la relación y entre la relación x es la tangente del ángulo θ.

Paraclacular el valor de los vectores r utilizamos elteoremade Pitágoras :

r2= (PR )2+(0 R )2 r12=( AB )2+(OB )2r2

2= ( P x ' )2+( A x ' )2

PR=P x '+x ' R x ' R=AB

P x'=r2 senθ2 x' R=r 1 senθ1Por tanto el valor del cateto opuesto deltriángulo OPR=PR=r1 senθ1+r2 senθ2

El valor del cateto adyacente∨¿OB+BR

OB=r1 cosθ1BR=A x '=r2 cosθ2En forma polar el valor del catetoadyacente deltriángulo OPR=r1 cosθ1+r2 cosθ2

Aplicando elteoremade Pitágoras tenemos que :

r2=(r1 senθ1+r2 senθ2)2+(r1 cosθ1+r2 cosθ2)

2

Simplificando tenemos :

r2=r12 sen2θ1+2r1 sen θ1r 2 senθ2+r2

2 se n2θ2+r 12cos2θ1+2 r1 cosθ1 r2 cosθ2+r2

2 cos2θ2

Las coordenadas del punto “P” en el plano original son:

X= x’+ h y= y’+ k

r2=r12 (se n2θ1+cos

2θ1 )+r22 (sen2θ2+cos

2θ2)+2 r1r2(senθ1 senθ2+cosθ1 cosθ2)Aplicandolas identidades trigonométricas , tenemosque :

sen2θ1+cos2θ1=1

senθ1 senθ2∓cosθ1cosθ2=cos (θ1±θ2)

r22=r1

2+r22+2r1 r2 cos (θ1−θ2 ) LCQD

Paracalcular los ángulos de inclinacióndel vector rutilizamos la funcióntrigonométricqade la tangente :

θ=Arc tan [ P x '+x ' ROB+BR ]=Arc tan( r1 senθ1+r 2 senθ2

r1 cosθ1+r 2cosθ2 )LCQD