GAN_U3_A9_JAAF
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7/29/2019 GAN_U3_A9_JAAF
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Geometra analtica lUnidad 3. Secciones cnicasActividad 9. Problemas de la ecuacin general de segundo grado
Problema de la ecuacin general de segundo
gradoEncuentra la ecuacin, general y en su forma cannica, de la hiprbola cuyo eje transversal esy que pasa por:
a) Los vrtices de la cnica y
b) El centro de la cnica
Encuentra a qu cnica pertenece cada una de las ecuaciones generales de este problema. Argumenta turespuesta.
a) En este caso la formula general de la elipse es de la forma Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 que es la forma que tienuestra ecuacin, pero para poder confirmarlo en su totalidad entonces la multiplicacin de los parmetry C debe de ser mayor que cero A=2 C=1 el resultado AC>0 2>0 y A debe ser diferente de C por lo qcumple con todos los supuestos de la elipse.
2x2+y
2-28x+8y+108=0
2(x2-14x)+(y
2+8y)= -108
2(x2-14+49) + (y
2+8y+16)= -108 +16+ 98
2(x-7)2
+ (y+4)2
= -6
(x-7)2
/3 + (y+4)2/6 = 1
a = 6b = 3h = 7k = -4
V (h,a+k) = (7, -1.55)V (h,a-k) = (7,6.45)
b) Para la siguiente ecuacin vemos que los coeficientes de los trminos cuadrticos son iguales A=C y lamultiplicacin de A y C es mayor a cero por lo que se trata en definitiva de una circunferencia.
x2+y2-6x+4y+3=0
(x2-6x) + (y
2+4y)= -3
(x2-6x+9) + (y
2+4y+4) = -3 + 9 + 4
(x-3)2
+ (y+2)2
= 10
h = 3k = -2C(3,-2)
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7/29/2019 GAN_U3_A9_JAAF
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Tenemos los siguientes puntos que pasan por la hiprbola (7, -1.55) (7,6.45) y (3,-2) como tiene simetra entoncpodemos medir la distancia entre dos putos, osea entre los vrtices de la elipse para poder encontrar el centro dhiprbola
D= -4 + 6 -4 - 6 / 2 = -4
Entonces obtenemos el centro de la hiprbola que es (3,-4)
Ahora sustituimos dos puntos que tenamos anteriormente osea (7, -1.55) y (3,-2) en la ecuacin canonica de lahiprbola y nos queda lo siguiente:
(y+4)2 /a2 - (x-3)2 / b2 = 1
Multiplicamos todo por a2b2 y obtenemos
(y+4)2b2 - (x-3)2a2 = a2b2
Sustituyendo el punto (3,-2)
(-2+4)2
b2
(3-3)2
a2
= a2
b2
4b2= a2b2
a2= 4
Sustituyendo para el punto (7,-4+6)
(-4+6 +4 )2 b2 (7-3)2 4 = 4b2(6 )2b2 16(4) = 4b26b2 64 = 4b22b2= 64
b2
= 32
Entonces ahora sustituimos los valores de a y b en (y+4)2b2 - (x-3)2a2 = a2b2
(y2+8y+16)32 - (x2-6x+9)4 = 128
32y2 +256y-4x2+24x+512-36-128=0
Y obtenemos x2-8y2-6x-64y-87=0
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