Geometría diferencialIntroducción a la Teoría de Curvas y Superficies

Omar Valdivia

Universidad de Concepción

1 Concepto de curva.

1.1 Representaciones paramétricas.

Para introducir el concepto de curva es necesario introducir previamente algunasdefiniciones.Definición:Se denomina representación paramétrica regular a una función x = x(t) de

R en R3definida sobre un intervalo I si satisface las siguientes condiciones(i) x(t) es de clase C1 en el intervalo I.(ii) x0(t) 6= 0 ∀t ∈ I

Es decir es una función que cada punto del intervalo I ⊆ R lo aplica sobreun punto del espacio R3 en forma continua. El número real t ∈ I es llamadoparámetro de la representación paramétrica regular x.Se dice que una función real es t = t(θ) es un cambio admisible de parámetro

en un intervalo Iθ si la función es de clase C1 y además su derivada es no nulaen todo su dominio.Teorema:Si t = t(θ) es un cambio admisible de parámetro definido en Iθ , entonces:(i) t = t(θ) es una aplicación inyectiva de Iθ en It = t(Iθ)(ii) La función inversa θ = θ(t) es, a su vez un cambio admisible de

parámetro de It en I.Prueba:Para (i): Como dt

dθ 6= 0 , se tiene que dtdθ > 0 o bien dt

dθ < 0 en Iθ , ademásla función es suave. De ésto se infiere que la función es estrictamente crecienteo estrictamente decreciente, lo cual implica que es inyectiva.Para (ii): Como t(θ) ∈ C1 y estrictamente creciente o decreciente, aplicando

el teorema de la función inversa, se tiene que su inversa θ = θ(t) es de claseC1 y dθ

dt = 1/dtdθ con lo cual

dθdt 6= 0 esto implica que θ = θ(t) es estrictamente

creciente en el caso que t = t(θ) sea estrictamente creciente o viceversa. Estoimplica finalmente que θ = θ(t) es un cambio admisible de parámetro.Ejemplo:La función t = (b− a) θ + a, 0 ≤ θ ≤ 1, a < b. Representa un cambio

admisible de parámetro que transforma el intervalo Iθ : 0 ≤ θ ≤ 1 en el intervaloIt : a ≤ t ≤ b: para θ = 0→ t = a; para θ = 1→ t = b.La función inversa θ = (t− a)Á(b− a), es también un cambio admisible de

parámetro que hace pasar del intervalo a ≤ t ≤ b al intervalo 0 ≤ θ ≤ 1.

1

Decimos que dos representaciones x = x(t) ,t ∈ It y x = x∗(θ) ,θ ∈ Iθ sonequivalentes si existe una cambio admisible de parámetro t = t(θ) en Iθ tal que:(i) t(Iθ) = It(ii) x(t(θ)) = x∗(θ)Proposición:Las condiciones anteriores definen una relación de equivalencia sobre el con-

junto de las representaciones paramétricas regularesPrueba:(i) Propiedad reflexiva: la representación x = x(t) se relaciona consigo

misma por el cambio admisible de parámetro t(θ) = θ, es decir la identidad.(ii) Propiedad simétrica: Si x = x(t) se relaciona con x = x∗(θ) por el

cambio admisible de parámetro t = t(θ), entonces x = x∗(θ) se relacionarácon x = x(t) por medio del cambio admisible de parámetro θ = θ(t).(iii) Propiedad transitiva: Si x = x(t) es equivalente a x = x∗(θ) por

medio de t = t(θ) y x = x∗(θ) es equivalente a x = x∗∗(φ) por medio deθ = θ(φ), entonces por la regla de la cadena dt

dφ =dtdθ

dθdφ 6= 0 y continua en Iφ

en consecuencia t = t(θ(φ)) es un cambio admisible de parámetro y t(θ(Iφ)) =t(Iθ) = It.Con lo cual se tiene que los cambios admisibles de parámetro que satisfacen

las condiciones anteriores definen una relación de equivalencia

1.2 Curva regular.

Ahora estamos en condiciones de definir el concepto de curva regular.Definición:Una curva regular es una clase de equivalencia de las representaciones paramétri-

cas regulares.Es decir una representación x = x(t) determina únicamente una curva C

que consta de todas las representaciones que se relacionan con ella mediante uncambio admisible de parámetro que satisfaga las condiciones (i) y (ii).Consideremos el siguiente ejemplo:Decimos que una propiedad es una propiedad de la curva si es independiente

de su parametrización.Decimos que dos representaciones x = x(t), y x = x∗(θ) tienen la misma

orientación si dtdθ > 0, es decir si t crece, θ crece. Describen la curva en el mismosentido.Se llama curva orientada a una curva a la cual se la ha escogido un sentido

específico.En otras palabras, una curva regular orientada es un conjunto derepresentaciones paramétricas regulares tales que dos cualesquiera de ellas serelacionan entre sí mediante un cambio admisible de parámetro con derivadapositiva.

1.3 Longitud de arco como parámetro.

Dada una una representación paramétrica regular de una curva C , x = x(t)definida en un intervalo cerrado It .Podemos considerar una partición del in-tervalo It : P = a ≤ to ≤ t1 ≤ .... ≤ tn ≤ b . Si unimos los puntos

2

x(to),x(t1), ...,x(tn), obtendremos una poligonal, donde al considerar la suma

s(P ) =nXi=1

|si − si−1|

nos entrega la longitud de esta poligonal. Si consideramos el supremo de lass(P ) con P perteneciente al conjunto de las particiones en [a, b] obtendremos lalongitud del arco definido por x = x(t) en [a, b]. Así la longitud de arco estádada por:

s =

Z b

a

¯dx

dt

¯dt

Si x = x(t) es de clase Cm,m > 1 podemos introducir la longitud de arcocomo un parámetro considerando la función:

s(t) =

Z t

to

¯dx

dt

¯dt

que nos entrega la longitud de arco de la curva entre los puntos x(to) y x(t).Del teorema fundamental del cálculo,se tiene:

ds

dt=

d

dt

Z t

to

¯dx

dt

¯dt =

¯dx

dt

¯6= 0 pues x(t) es regular.

Ésto nos motiva a definir una representación en función de la longitud de arcoo representación natural como una representación x = x(s) que satisface

¯dxds

¯=

1. Al parámetro s se le llama parámetro natural.Notemos que s = s(t) es un cambio admisible de parámetro pues s ∈ C1 y

dsdt 6= 0 ∀t ∈ ItTeorema:Si x = x(s) es una representación natural de una curva C, entonces:(i) |s2 − s1| es la longitud el segmento de arco entre x(s1) y x(s2).(ii) Si x = x∗(s∗) es cualquier otro tipo de representación natural deC, entonces s = ±s∗ + cte.(iii) Si x = x∗(t) es cualquier otro tipo de representación de C dela misma orientación que x = x(s),entonces ds

dt =¯dxdt

¯. De lo contrario

dsdt = −

¯dxdt

¯.

(iv) Si s = s(t) está definida por s(t) =R tto

¯dxdt

¯dt , entonces s es un

parámetro natural.Prueba:(i): Si s1 ≤ s2, la longitud del arco es:

R s2s1

¯dxds

¯ds =

R s2s11ds = s2 − s1 =

|s2 − s1|Si s1 > s2, la longitud del arco es:

R s1s2

¯dxds

¯ds =

R s1s21ds = s1 − s2 =

|s2 − s1|(ii): Si s = s(s∗), por la regla de la cadena se tiene dx

ds∗ =dxds

dsds∗ , calcu-

landola norma y por el hecho que s y s∗ son parámetros naturales, se tiene

¯dsds∗¯=

1 , integrando se obtiene finalmentes = ±s∗ + cte.

3

(iii): Por la regla de la cadena dxdt =

dxds

dsdt calculando el valor absoluto y

considerando que s es unparámetro natural de la misma se tiene ds

dt = ± ¯dxdt ¯. Si las dos rep-resentaciones tienen la misma orientación, se obtiene ds

dt =¯dxdt

¯de lo

contrario dsdt = −

¯dxdt

¯.

(iv): Por la regla de la cadena¯dxds

¯=¯dxdt

¯ ¯dtds

¯=¯dxdt

¯/¯dsdt

¯=¯dxdt

¯/¯dxdt

¯=

1.

La derivada con respecto a un parámetro natural la representaremos con unpunto subre la función, y la derivada con respecto a un parámetro arbitrario larepresentaremos con una coma.

2 Curvatura y Torsión.

2.1 Vector tangente unitario.

Si x = x(s) es una representación paramétrica de clase C1 regular de una curvaC, y consideramos el vector V1(s)= x(s) =

dxds , se tiene de la definición de

derivada (ver fig 2):

x = lim∆s→0

x(s+∆s)− x(s)∆s

Es decir al tomar el límite el vector x(s) es tangente a la curva en el puntox(s). Además |V1| =

¯dxds

¯= 1 por ser s un parámetro natural. Al vector

V1= x(s) se le llama vector tangente unitario de la curva orientada x = x(s)en x(s). si x0 = dx

dt entonces se tiene :

V1 =x0

|x0|La recta que pasa por un punto x de una curva regular C y que tiene la

misma dirección que el vector tangente en x es conocida como recta tangente aC en el punto x cuya ecuación es y = x+ kV1 k ∈ R .El plano que pasa por el punto x y es ortogonal a la tangente en ese punto

se denomina plano normal a C en x cuya ecuación es (y− x) ·V1 = 0.Proposición:Una curva C es regular si y sólo si sus vectores tangentes no se anulan en

ningún punto.Prueba:(i) Si la curva es regular

¯dxdt

¯ 6= 0, en el caso particular de un parámetronatural¯

dxds

¯= 1⇒ V1 =

dxds 6= θ

(ii) Si V1 6= θ ,¯dxds

¯ 6= 0 como s es un cambio admisible dsdt 6= 0 .Por la

regla de la cadena¯dxdt

¯=¯dxds

¯ ¯dsdt

¯con t un parámetro arbitrario. ⇒ dx

dt 6= θ.Por lo tanto x es regular.Teorema:Si un vector t = t(s) es unitario, entonces t es ortogonal a t.Prueba:Si |t| = 1⇒ t · t = 1, derivando d(t·t)

ds = 0⇒ t · t+ t · t = 0⇒ 2t · t = 0 yfinalmente se tiene t · t = 0

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2.2 Vector curvatura.

Si x = x(s) es la representación de una curva de clase ≥ 2 y consideramos elvector:

k(s) =•V1(s) = x(s)

que corresponde a un cambio del vector tangente. Como éste es de móduloconstante su derivada corresponde a un cambio de dirección. Es decir el vectork(s) mide la manera en que se curva C.Al vector k(s) se le llama vector curvatura, el cual es ortogonal a V1 ,pues

V1 es unitario.La norma del vector curvatura |κ| = |k(s)| es llamada curvatura de C en

x(s), y a su inverso ρ = 1|κ| es llamado radio de curvatura de C en x(s). Aquellos

puntos para los cuales se anula la curvatura se llaman puntos de inflexión.Teorema:Una curva regular de clase C ≥ 2 es una recta si y sólo si su curvatura es

idénticamente nula.Prueba:Si |κ| ≡ 0⇒ x = V1 = a ;a cte. Integrando x = as+b ;b cte. La cual

es la ecuación de una recta

2.3 Vector unitario normal principal.

Llamamos vector unitario normal principal a un vector unitario que se muevaen forma continua a lo largo de la curva C y que sea paralelo al vector curvaturak(s). En el caso que la curva no tenga puntos de inflexión, es decir |κ| 6= 0 paratodo s, el vector unitrario normal principal se puede escribir de la forma:

V2(s) =k(s)

|k(s)|Una vez escogido V2(s), podemos considerar la función:

κ(s) = k(s) ·V2(s)

κ(s) = |k(s)| cos(∠(k(s),V2(s))

De ésto se tiene:(i) κ(s) = |k(s)| si k(s) tiene el mismo sentido que V2(s).(ii) κ(s) = − |k(s)| si k(s) tiene distinto sentido que V2(s).Haciendo el producto escalar por V2(s):

k(s) = κ(s)V2(s)

donde κ(s) corresponde a la curvatura de C. Si calculamos la norma a lostérminos de la ecuación anterior, obtenemos que el valor absoluto de la curvaturanos entrega el módulo de la razón de cambio de V1 con respecto al parámetronatural s.Se llama recta normal principal de C en x a la recta de ecuación y =

x+ kV2 ,k ∈ R paralela al vector normal V2 . El plano perpendicular aV2 se llama plano rectificante de C en x , cuya ecuación es: (y− x) ·V2 = 0.

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2.4 Vector unitario binormal.

Dada una curva C ∈ C2 representada por x = x(s), le podemos asociar a cadapunto de ella los vectores continuos y ortogonales entre sí: V1(s) y V2(s).Podemos considerar el siguiente producto vectorial:

V3(s) = V1(s)×V2(s)

llamamos vector unitario binormal a C en el punto x al vector V3(s). Note-mos que V3 es un vector unitario y ortogonal a V1 y V2.Llamamos recta binormal a C en x a la recta de ecuación y = x + kV3

,k ∈ R paralela al vector binormal.Se denomina plano osculador al plano de ecuación (y − x) ·V3 = 0 ,or-

togonal a V3. Notemos que el plano osculador contiene a los vectores V1 yV2.La terna (V1(s),V2(s),V3(s)) forma una terna ortonormal dextrógira que

recibe el nombre de triedro móvil. También se dice que (V1(s),V2(s),V3(s))es el campo de vectores unitarios ortonormales de Frenet

2.5 Torsión.

Si x = x(s) es una representación paramétrica de clase C ≥ 3 de una curva C,podemos calcular la derivada del vector unitario binormal, es decir

•V3(s) =

•V1(s)×V2(s)+V1(s)×

•V2(s) = κ(s) [V2(s)×V2(s)]+V1(s)×

•V2(s) = V1(s)×

•V2(s)

como•V2 es ortogonal a V2,por ser V2 un vector unitario,

•V2 se puede

escribir como una combinación lineal de los vectores V1 y V3, así

•V2(s) = µ(s)V1(s) + τ(s)V3(s)

con ésto•V3(s) = V1(s)× [µ(s)V1(s) + τ(s)V3(s)] = τ(s) [V1(s)×V3(s)]

donde τ y µ son funciones escalares, finalmente se tiene

•V3(s) = −τ(s)V2(s)

La función τ(s) se denomina torsión de C en x(s), si a la ecuación anterior leextraemos el módulo se observa que el valor absoluto de la torsión, nos entregael módulo de la razón de cambio de V3 con respecto al parámetro natural s.Hay que notar que τ es independiente de la orientación de la curva, también

tenemos el siguiente teoremaTeorema:Si una curva es de clase C ≥ 3 y a todo lo largo de ella V2 es de clase C1,

entonces se tratará de una curva plana si y sólo si su torsión es idénticamentenula.Prueba:Si τ ≡ 0, entonces

•V3 = −τV2≡ θ y por tanto V3 = cte = Vo

3, considere-mos

6

d

ds(x ·Vo

3) = x ·Vo3 = V1 ·Vo

3 = 0

pues V1 y V3 son ortogonales . Integrando, se tiene:

x ·Vo3 = cte

Es decir, x = x(s) es una curva plana situada sobre el plano x ·Vo3 = cte

Si consideramos la derivada del vector normal unitario

•V2 =

•V3 ×V1 +V3 ×

•V1 = −τ(V2 ×V1) +V3 × (κV2) = (−τ)(−V3) + κ(−V1) = −κV1 + τV3

•V2 = −κV1 + τV3

3 Teoría de las curvas.

3.1 Ecuaciones de Frenet-Serret.

En cualquier punto de una curva x = x(s), los vectores V1, V2, V3 verificanlas siguientes expresiones:

•V1 = κV2•V2 = −κV1 + τV3•V3 = −τV2

igualdades que se conocen como ecuaciones de Frenet-Serret de la curva quese considere.

3.2 Teorema fundamental de existencia y unicidad.

Teorema.Sean κ(s) y τ(s) dos funciones continuas arbitrarias en el intervalo a ≤

s ≤ b. Entonces, descontada su posición en el espacio, existe una y sólo unacurva espacial C cuya curvatura es κ(s), su torsión es τ(s) y tiene a s comoparámetro natural a todo lo largo de ella.Es decir éste teorema nos dice que dadas las funciones curvatura y torsión

existe una única curva que posea aquella curvatura y torsión.Prueba:Primera parte, existencia: Consideremos el siguiente sistema de nueve ecua-

ciones diferenciales escalares

V i1 = κV i

2 , V i2 = −κV i

1 + τV i3 , V

i3 = −τV i

2 (i = 1, 2, 3)

que se obtiene de las ecuaciones de Frenet-Serret. Considerando los val-ores iniciales V1(0) = e1,V2(0) = e2,V3(0) = e3 del teorema de existencia yunicidad de ecuaciones diferenciales, existen soluciones únicas V i

1 , Vi2 , V

i3

Segunda Parte, unicidad:Si consideramos dos curvas C y C∗, tales queκ(s) = κ∗(s) y τ(s) = τ∗(s), si para un punto so ,hacemos coincidir los vectores

7

(Vo1,V

o2,V

o3) con (V

o∗1 ,Vo∗

2 ,Vo∗3 ).Tenemos:

d

ds(V1 ·V∗1) = κ(V1 ·V∗2 +V2·V∗1)d

ds(V2·V∗2) = −κ(V1 ·V∗2 +V2·V∗1)+τ(V2·V∗3 +V3·V∗2)

d

ds(V3·V∗3) = −τ(V2·V∗3 +V3·V∗2)

Sumando las ecuaciones anteriores e integrando.

V1 ·V∗1 +V2·V∗2 +V3·V∗3 = cte

como en s0 coinciden los tres vectores, y la expresión anterior es válido paracualquier s, se tiene:

V1 ·V∗1 = 1,V2·V∗2 = 1,V3·V∗3 = 1Es decir las curvas son iguales.El teorema nos dice:

• Toda curva queda definida inequivocamente por su curvatura y su torsión,las cuales están expresadas como funciones de un parámetro natural.

• Para las funciones κ = κ(s) y τ = τ(s) existe una única curva cuyacurvatura es κ(s) y cuya torsión es τ(s).

Las ecuaciones κ = κ(s) y τ = τ(s) que expresan la curvatura y la torsióncomo funciones de s, son llamadas ecuaciones naturales o intrínsecas de unacurva debido a que ellas la determinan completamente.

3.3 Representación canónica de una curva.

Si P es un punto cualquiera de una curva C. Supongamos que la curva está colo-cada en forma que P coincida con el origen y que se escoge una base (e1, e2, e3)que coincide con (V1,V2,V3). Además supongamos que en toda la exten-sión de C, se escoge un parámetro natural de tal modo que en P sea s = 0. Si se representa C por x = x(s), entonces x(0) = θ ; x(0) = V1(0) = e1;x(0) = V1(0) = κ(0)V2(0) = κoe2.Además se tiene

...x = d

dsκV2 = κV2 = κ(−κV1 + τV3) + κV2 = −κ2V1 +κV2 + κτV3. De ésto se tiene

...x(0) = −κ2oe1 + κoe2 + κoτoe3

Si desarrollamos en serie de Taylor en torno al cero, se tiene:

x(s) = x(0) + x(0)s+ x(0)s2

2!+

...x(0)

s3

3!+ o(s3)

Reemplazando

x(s) = e1s+ κoe2s2

2!+ (−κ2oe1 + κoe2 + κoτoe3)

s3

3!+ o(s3)

finalmente si consideramos valores pequeños de s tenemos:

x(s) = (s− κ2o6s3)e1 + (

κo2s2 +

κo6s3)e2 + (

κoτo6

s3)e3

ecuación que se denomina representación canónica de C en P . Ésta ecuaciónnos describe la curva en una vecindad del punto P , es decir es válida para valoresde s cercanos a cero.

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4 Concepto de superficie.

4.1 Representaciones paramétricas regulares.

Una representación paramétrica regular de clase Cm de un conjunto de puntosS de R3es una aplicación x = x(u, v) de un conjunto abierto U del plano uvsobre S, tal que.(i) x es de clase Cm

(ii) Si (e1, e2, e3) es una base de R3 y x(u, v) = x1(u, v)e1 + x2(u, v)e2 +x3(u, v)e3, entonces,para todo (u, v) de U , es el

rango

∂x1∂u

∂x1∂v

∂x2∂u

∂x2∂v

∂x3∂u

∂x3∂v

= 2

que el rango de la matriz jacobiana sea igual a dos nos dice que al menosuno de los tres menores de orden 2× 2 es diferente de cero.Si consideramos el parámetro u constante de la forma u = uo, la repre-

sentación paramétrica toma la forma x = x(uo, v) = x(v) corresponde a unacurva de parámetro v, que se llama curva u = uo. Análogamente para v = vocte. se tiene una curva de parámetro u. De ésta manera la representaciónparamétrica cubre a S con dos familias de curvas, que constituyen la imagen delas rectas coordenadas v = cte. u = cte, donde S es la imagen de la aplicación.Si consideramos la derivada parcial xu(uo, vo) , ésta es un vector tangente

a la recta de parámetro u , análogamente xv(uo, vo) es un vector tangente a lacurva de parámetro v, ambas tangentes a S.Los vectores tangentes xu(uo, vo) y xv(uo, vo) son llamados vectores tan-

gentes parciales de x = x(u, v) en (uo, vo).Si hacemos el producto vectorial entre ambos vectores tangentes se tiene:

xu×xv =µ∂x2∂u

∂x3∂v− ∂x3

∂u

∂x2∂v

¶e1+

µ∂x3∂u

∂x1∂v− ∂x1

∂u

∂x3∂v

¶e2+

µ∂x1∂u

∂x2∂v− ∂x2

∂u

∂x1∂v

¶e3

términos que difieren de los menores de orden 2× 2 de la matriz jacobianade x a lo sumo en un signo, es decir el hecho que el rango de la matriz jacobianasea dos implica que el vector normal a xu × xv es no nulo.

4.2 Cartas locales.

Una carta local de clase Cm (m ≥ 1) en S es una aplicación de un conjuntoabierto U en S tal que:(i) x es de clase Cm en U.(ii) xu × xv 6= θ, para todo (u, v) ∈ U.(iii) x sea inyectiva y bicontinua sobre U.Es decir una carta local de clase Cm es una representación paramétrica

regular de clase Cmque es inyectiva y bicontinua en su dominio. Es decir unacarta local es una representación paramétrica regular de una parte de S.Se denomina una carta de Monge de clase Cma una carta de la forma x =

ue1+ve2+f(u, v)e3 o x = ue1+f(u, v)e2+ve3 o bien x = f(u, v)e1+ue2+ve3con f(u, v) de clase Cm.

9

4.3 Superficies simples.

Sea S en conjunto de puntos de R3 para el cual existe una colección B de cartaslocales de clase Cm en S, que cumpla las siguientes condiciones.(i) B cubre a S, es decir, por cada punto P de S existe una carta local

x = x(u, v) en B que contiene a P .(ii) Toda carta local x = x(u, v) es la intersección de un conjunto abierto

O de R3 con S.Entonces S juntamente con la totalidad de las cartas locales de clase Cm de

S, es una superficie simple de clase Cm en R3. Un conjunto B de cartas localesque satisfaga las condiciones anteriores recibe el nombre de base.Teorema:Por cada punto P de una superficie simple S de clase Cm existe una carta

conexa de clase Cm de S que contiene a P .Prueba:Sean (u, v) el punto de U que se aplica en P. Sea S(u, v) una bola abierta en

torno a (u, v), ésta existe por ser U un conjunto abierto. Entonces la restricciónde x a S(u, v) es una carta en S de clase Cm y conexa que contiene a P.

Decimos que una aplicación θ = θ(u, v) , φ = φ(u, v) de clase Cm de unconjunto abierto W del plano uv es una transformación admisible de parámetrosi es inyectiva y tal que para todo punto de su dominio el jacobiano ∂(θ,φ)

∂(u,v) 6= 0.Se tiene que si la aplicación θ = θ(u, v) , φ = φ(u, v) es una transformaciónadmisible de parámetro, entonces su inversa también lo es.Teorema:En la intersección de dos cartas locales de una superficie simple de clase

Cm,los parámetros se relacionan entre sí mediante transformaciones coorde-nadas admisibles de clase Cm.Prueba:Hipótesis: x,x∗ son funciones inyectivas bicontinuas de W → S y W ∗ → S

respectivamente de clase Cm tales que:x(W )∩ x∗(W ∗) 6= φ y sean U,U∗ tales que: x(U) = x∗(U∗) = G, entonces:Existen x−1,x∗

−1continuas de G→ U,G→ U∗ respectivamente por hipóte-

sis.Definimos: ϕi,j : U → U∗ , ϕi,j = (x∗

−1 ◦ x)ϕji : U

∗ → U , ϕji = (x−1 ◦ x∗)

se demuestra que ϕi,j = ϕ−1ji ,en efecto ϕ−1ji = (x−1 ◦ x∗)−1 = (x∗−1 ◦

(x−1)−1) = (x∗−1 ◦ x) =ϕi,j

Esto implica que ϕi,j es invertible y su inversa es ϕji. De ésto tenemos queexiste f = ϕi,j continua e invertible de clase Cm. Como f es invertible⇒ f esinyectiva, como además es bicontinua⇒ Jf 6= 0. Es decir f es una transforma-ción admisible de parámetro.

4.4 Vectores tangentes y normales a una superficie.

Si x = x(u, v) es una carta de una superficie S y u = u(t) , v = v(t) unacurva regular sobre el plano uv de parámetro t, si hacemos la composiciónx = x(u(t), v(t) = y(t) tendremos una curva regular sobre la superficie S deparámetro t. Decimos que un vector T no nulo es tangente a una superficieS en un punto P , si existe una curva regular x = y(t) que pase por P tal que

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T = dydt . Todo vector tangente a S se puede escribir como combinación lineal

de los vectores xu y xv, pues T =dydt =.xudu+ xvdv.

El plano que pasa por P paralelo a los vectores xu y xv , se llama planotangente a S en P . Se llama vector unitario normal a la superficie S en P alvector:

N =xu × xv|xu × xv|

el cual varía continuamente en toda la extensión de la superficie, pues xu ×xv = θ.Proposición:Si x = x(u, v) y x = x∗(θ, φ) dos cartas de S y P un punto de la intersección

de las dos cartas.Sea N el vector unitario normal de la carta x = x(u, v) y N∗

es el vector unitario normal asociado a la carta x = x∗(θ, φ), entonces

N∗ = Nsig

·∂(u, v)

∂(θ, φ)

¸donde sig

h∂(u,v)∂(θ,φ)

ies el signo del jacobiano de la transformación de coorde-

nadas.Prueba:x∗θ×x∗φ= (xuuθ+xvvθ)× (xuuφ+xvvφ) = (xu×xv)(uθvφ−uφvθ) = (xu×xv)∂(u,v)∂(θ,φ)

De ésta forma:

N∗ =x∗θ × x∗φ¯x∗θ × x∗φ

¯ = xu × xv|xu × xv|

∂(u, v)

∂(θ, φ)Á¯∂(u, v)

∂(θ, φ)

¯= Nsig

·∂(u, v)

∂(θ, φ)

¸

Es decir N∗ tendrá en P el mismo sentido que N si ∂(u,v)∂(θ,φ) > 0.Algunas propieades topológicas de las superficies son: Una superficie conexa

es arcoconexa por arcos regulares. Si S y T son dos superficies simples tales queS sea cerrada, T conexa, y S esté contenida en T , entonces S es igual a T .

4.5 Orientabilidad de una superficie.

En términos intuitivos diremos que una superficie es orientable si es posibledefinir sobre la superficie una normal unitaria que varíe continuamente en toda laextensión de la superficie. Una superficie orientada será la superficie orientableen la que se ha individualizado uno de los dos sentidos sobre la normal.En términos mas formales:Sean S en conjunto de puntos de R3 y F una colección de cartas locales de

S de clase Cm que cumplan las siguientes condiciones:(i) Existe en F en conjunto de cartas locales que constituye una base de

S.(ii) Si x = x(u, v) y x = x∗(θ, φ) son dos cartas rampantes de F , entonces,

en la intersección, será ∂(u,v)∂(θ,φ) > 0.

(iii) F es maximal. Es decir, si a F , se agrega una carta local de S, que nopertenezca a F , entonces no se cumple la propiedad (ii).El conjunto de puntos S conjuntamente con la colección F constituyen una

superficie simple orientada de clase Cm.

11

5 Primera y segunda formas fundamentales.

5.1 Primera forma fundamental.

De modo análogo al caso de una curva en R3 una superficie queda unívoca-mente determinada por dos valores locales invariantes, conocidos como primeray segunda forma fundamental.Dada una carta local x = x(u, v) de clase C ≥ 2 de una superficie simple

S., su diferencial es dx = xudu + xvdv la cual yace en el plano tangente a lasuperficie en el punto x(u, v).Consideremos la magnitud:

I = dx·dx = (xudu+xvdv)·(xudu+xvdv) = (xu·xu)du2+2(xu·xv)dudv+(xv·xv)dv2

dondeE = xu · xu F = xu · xv G = xv · xv

Definición:Se denomina primera forma fundamental de x = x(u, v) a la función I =

dx·dx =Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 ,donde los coeficientes E,F,G son llamadosprimeros coeficientes fundamentales.De la definición se observa que la primera forma fundamental es una fun-

ción homogénea de segundo grado en du y dv. De éste modo I es una formacuadrática definida sobre los vectores du y dv, por lo tanto se puede escribir dela forma:

I(du, dv)=¡du dv

¢µ E FF G

¶µdudv

¶donde denotaremos por gij a los elementos de la matriz simétrica formada

por los primeros coeficientes fundamentales.

En el contexto de la geometría de Riemann la primera forma fundamentales escrita en la forma:

ds2 = g11du1du1 + 2g12du

1du2 + g22du2du2

Hay que notar que los primeros coeficientes fundamentales no son invariantescon respecto a la representación paramétrica.Usando la convención de suma para índices repetidos, y representamos por

subíndices las derivadas, por ejemplo

xi =∂x

∂ui

Dadas las cartas locales x = x(ui) y x = x∗(uj) ; i, j = 1, 2 que contienen aun punto P , existirán las transformaciones

ui = ui(uj) y uj = uj(ui) i, j = 1, 2Por la regla de la cadena:

xi = x∗αu

αi

12

Los primeros coeficientes fundamentales toman la forma:

gij = xi · xj = (x∗αuαi ) · (x∗βuβj )= uαi u

βj

¡x∗α · x∗β

¢=⇒

gij = uαi uβj g∗αβ =

∂uα

∂ui∂uβ

∂ujg∗αβ

Esta expresión denota como se transforman los primeros coeficientes funda-mentales, bajo la transformación de coordenadas ui = ui(uj). Lo cual muestraque gij son las componentes de un tensor covariante de rango 2, el cual se llamatensor métrico covariante o tensor fundamental.Notemos que los primeros coeficientes fundamentales o coeficientes métricos

gik son simétricos en sus dos índices.

gik = gki

El determinante de la matriz gij está dado por:

g =

¯g11 g12g21 g22

¯= g11g22 − g12g21

Los elementos de la matriz inversa de gij es denotada por gij , de maneraque

gikgkj = δji

=⇒g11 =

g22g

; g12 = g21 = −g12g

; g22 =g11g

Teorema:La primera forma fundamental es independiente de la representación paramétrica.Prueba:Supongamos que x = x∗(uj), j = 1, 2 es otra carta local que contenga al

punto P , es decir se puede escribir uj = uj(ui) , i = 1, 2. Sus respectivasdiferenciales son duj = ujidu

i .

ds2∗(duj) = |dx∗|2 = ¯x∗jduj ¯2 = ¯x∗j (ujidui)¯2=

¯(x∗j u

ji )du

i¯2=¯xidu

i¯2=¯dx2

¯= ds2(dui)

=⇒ds2∗(duj) = ds2(dui)

Es decir la primera forma fundamental es independiente de su representaciónparamétrica.Proposición:La primera forma fundamental es definida positiva y los primeros coeficientes

fundamentales satisfacen g11 > 0 , g22 > 0 y g11g22 − g212 = g > 0Prueba:

13

Por definiciónds2 = |dx|2 ≥ 0

como dx = xidui y x1,x2 son linealmente independientes no nulos y

du1, du2 no son simultaneamente nulos, se tiene que |dx|2 > 0. Por lo tantoI >0.Se tiene que g11 = |x1|2 > 0 ; g22 = |x2|2 > 0.

g = g11g22 − g212 = (x1 · x1)(x2 · x2)− (x1 · x2)(x1 · x2)= (x1 × x2) · (x1 × x2) = |x1 × x2|2 > 0

5.2 Longitud de arco .

Dada una carta local x = x(ui) de una superficie S y un arco regular sobre lasuperficie dado por x = x(ui(t)) ,a ≤ t ≤ b , su longitud de arco está dadapor:

s =

Z b

a

¯dx

dt

¯dt =

Z b

a

µdx

dt· dxdt

¶ 12

dt =

Z b

a

µx1

du1

dt+ x2

du2

dt

¶·µx1

du1

dt+ x2

du2

dt

¶dt

=

Z b

a

·x1 · x1 du

1

dt

du1

dt+ 2x1 · x2 du

1

dt

du2

dt+ x2 · x2 du

2

dt

du2

dt

¸dt

s =

Z b

a

"g11

µdu1

dt

¶2+ 2g12

µdu1

dt

¶µdu2

dt

¶+ g22

µdu2

dt

¶2#dt

Es decir la longitud de un arco regular sobre una superficie está dada por laintegral de la primera forma fundamental

5.3 Área de una superficie.

Consideremos una pequeña región ∆R de una carta local x = x(u1, u2) limitadapor las curvas u1, u1 + du1, u2, u2 + du2. En éste caso podemos aproximar elárea de la región ∆R como el área del paralelogramo de lados ∆x1 = x1du1 y∆x2 = x2du

2 que está dada por:

∆s = |∆x1×∆x2| = |x1 × x2| du1du2 =qg11g22 − g212du

1du2

De ésta manera el área de una región R en x = x(u1, u2) es:

A =

ZZw

qg11g22 − g212du

1du2

donde w es el conjunto de puntos del plano de los parámetros que se aplicansobre R.También tenemos el siguiente teorema:Teorema:Las curvas de parámetro u1 y de parámetro u2 son perpendiculares en un

punto si y sólo si g12 = 0.Prueba:

14

Si consideramos el producto punto

x1 · x2 = |x1| |x2| cos θdonde θ es el ángulo formado por los vectores xu y xv en un punto dado.

cos θ =x1 · x2|x1| |x2| =

x1 · x2√x1 · x1√x2 · x2 =

g12√g11g22

es decir cuando g12 = 0 los dos vectores son mutuamente perpendiculares.

5.4 Segunda forma fundamental.

Sea x = x(ui) una carta local de clase C ≥ 2 de una superficie simple. En cadapunto de la carta local está definido el vector unitario normal N = x1×x2

|x1×x2| cuyadiferencial es dN = Nidu

i. Como N es un vector unitario es perpendicular asu diferencial, es decir N · dN = 0.

Consideremos la siguiente magnitud:

N = −dx·dN = −(xidui) · (Njduj)

= −(xi ·Nj)duiduj = bijdu

iduj

N = bijduiduj

dondebij = −xi ·Nj

Los bij son llamados segundos coeficientes fundamentales, éstos tambiénpueden ser representados de la siguiente forma: L = b11 ; M = b12 =b21 ; N = b22Definición:Se denomina segunda forma fundamental de x = x(ui) la función

N=− dx·dN =bijduiduj

Al igual que la primera forma fundamental ésta es una función homogéneade segundo grado en du y dv y se puede representar matricialmente como:

N (dui)= ¡ du1 du2¢µ b11 b12

b21 b22

¶µdu1

du2

¶a diferencia de la primera forma fundamental ésta no es definida positiva.Teorema:La segunda forma fundamental es independiente de su representación paramétrica

, mientras ésta conserve el sentido de N.Prueba:Si x = x(ui) y x = x∗(uj) son dos cartas locales de una superficie que

contienen al punto P , existirá una transformación de coordenadas uj = uj(ui)cuyas diferenciales son respectivamente duj = ujkdu

k , se tiene:

N ∗(duj) = −dx∗ · dN∗ = −x∗jduj ·N∗i dui = −hx∗j u

jkdu

ki· £N∗i uildul¤ = − £xkduk¤ · £Nldu

l¤

= −dx · dN =N (dui)

15

=⇒N ∗(duj) = N (dui)

Es decir la segunda forma fundamental es independiente de su representaciónparamétrica.Veamos como se transforma la segunda forma fundamental:

bij = −xi ·Nj

Por la regla de la cadena:

xi = x∗αuαi

Nj = N∗βuβj

bij = −x∗αuαi ·N∗βuβj = uαi uβj

¡−x∗α ·N∗β¢ = uαi uβj b∗αβ

bij = uαi uβj b∗αβ

Esta expresión denota como se transforman los segundos coeficientes funda-mentales, bajo la transformación de coordenadas ui = ui(uj). Lo cual muestraque bij son las componentes de un tensor covariante de rango 2.Como los xi son perpendiculares a N

0 = (xi ·N)j = xij ·N+ xi ·Nj ⇒ xij ·N = −xi ·Nj = bij

Los segundos coeficientes fundamentales se pueden escribir como:

bij = xij ·N

Así las segunda forma fundamental toma la forma:

N = xij ·Nduiduj =∂2x

∂ui∂uj·Nduiduj=d2x ·N

5.5 Desviación de una superficie de su plano tangente.

Una interesante interpretación geométrica de la segunda forma fundamentalpuede ser obtenido a partir de la determinación de la forma de la superficieen una pequeña vecindad de un punto P arbitrario cuyo vector de posición esx(u1, u2).Sea P un punto de una superficie de clase C ≥ 2, sea Q un punto en la

vecindad de P y sea x(u1, u2). una carta que contiene a los puntos P y Q .Si P es un punto de coordenadas (u1, u2) y Q es un punto de coordenadas(u1 + du1, u2 + du2), entonces nuestro problema es determinar la desviación dela superficie de su plano tangente en un punto P.Sea d =

−−→PQ · N la proyección de

−−→PQ sobre la normal unitaria N en P .

Notemos que d es positivo o negativo, según si Q está de un lado o del otro delplano tangente en P .Por otro lado |d| es la distancia perpendicular de Q al plano tangente en P .

Si P y Q son los puntos x(u1, u2) y x(u1 + du1, u2 + du2) respectivamente.

16

El teorema de Taylor nos dice

x(u1 + du1, u2 + du2) = x(u1, u2) +∂x

∂u1dui +

1

2

∂2x

∂ui∂ukduiduk + ...

x(u1 + du1, u2 + du2) = x(u1, u2) + dx+1

2d2x+ ...

de manera que :

d =−−→PQ ·N =

£x(u1 + du1, u2 + du2)− x(u1, u2)¤ ·N

= dx ·N+12d2x ·N

despreciando los términos de orden superior y considerando el hecho quedx ·N = 0 tenemos:

d =1

2d2x ·N =

1

2N =

1

2bikdu

iduk

Éste resultado nos dice que, en muy buena aproximación , el doble de laproyección de

−−→PQ sobre N es N .

La función d = 12N = 1

2(b11du1du1 + 2b12du

1du2 + b22du2du2) es llamado

paraboloide osculador en P . La naturaleza de tal paraboloide determina cuali-tativamente la naturaleza de la superficie en las vecindades de P .

5.6 Clasificación de puntos sobre una superficie.

Dependiendo del signo del determinante de la segunda forma fundamental esposible distinguir tres tipos de puntos sobre una superficie. Ésto significa que apartir del determinante de la segunda forma fundamental

b = det(bij) = b11b22 + b212

es posible diferenciar diferentes formas.Caso elíptico:Un punto es llamado elíptico si b = b11b22 − b212 > 0.En éste caso d será un

paraboloide elíptico. Notemos que d es definida ,o sea toma valores de un únicosigno. Éste paraboloide está en un solo lado del plano tangente.Caso hiperbólico:Se dice que un punto es hiperbólico si b < 0. En éste caso d será un

paraboloide hiperbólico, éste divide el plano tangente en cuatro regiones donded es alternativamente positivo y negativo. En las proximidades de un puntohiperbólico la superficie se halla a ambos lados del plano tangente.Caso parabólico:Un punto es parabólico si b = 0 pero no todos los bij son nulos. En éste caso

d será un cilindro parabólico. En éste caso sólo hay en el plano tangente en P ,una recta a lo largo de la cual d = 0. Notemos que d posee el mismo signo .Caso plano:Un punto es plano si bij = 0. En éste caso d ≡ 0.

17

5.7 Curvatura normal.

Definición:Sean P un punto de una superficie de clase C ≥ 2, x = x(ui) una carta que

contiene a P y , x = x(ui(t)) una curva regular C de clase C2 que pasa por P .Se llama vector curvatura normal de C en P al vector

kn = (k ·N)NEl vector curvatura normal es la proyección sobre la normal N del vector

curvatura de la curva C en el punto P.Hay que notar que el vector curvaturanormal es independiente del sentido de N y de la orientación de CSe define la curvatura normal de C en P como:

κn = k ·NDe ésta forma tenemos la relación:

kn = κnN

Proposición:La curvatura normal de una curva C en un punto P se puede escribir como:

κn =bik

dui

dtduk

dt

gikdui

dtduk

dt

Prueba:Como los vectores V1 y N son ortogonales a lo largo de toda la curva

d

dt(V1 ·N) = dV1

dt·N+V1 · dN

dt= 0 ⇒ dV1

dt·N = −V1 · dN

dt

κn = k ·N =dV1

dt·NÁ

¯dx

dt

¯= −V1 · dN

dtÁdx

dt· dxdt= −dx

dt· dNdtÁdx

dt· dxdt

= −µxidui

dt

¶·µNk

duk

dt

¶Áµxidui

dt

¶·µxk

duk

dt

¶De ésta forma

κn =bik

dui

dtduk

dt

gikdui

dtduk

dt

De la expresión anterior se observa que κn depende de la razón³du1

dt

´Á³du2

dt

´y de los coeficientes fundamentales que dependen del punto P . Esto nos conduceal siguiente teorema:Teorema:Todas las curvas que pasan por un punto P de una carta y que sean tangentes

a una misma recta que pasa por P tienen la misma curvatura normal en P .Como la curvatura normal depende de la dirección sobre la superficie, re-

definiremos la curvatura normal no asociada a una curva, sino a una direccióndada sobre la superficie.Así la curvatura normal en P en la dirección du1 : du2, con du1du1 +

du2du2 6= 0 es:κn =

bikduiduk

gikduiduk

Los du1 : du2 se llaman números directores.

18

5.8 Curvaturas y direcciones principales.

Como la curvatura normal depende de la dirección sobre una superficie, éstaha de tomar valores máximos y mínimos, éstas son las llamadas curvaturasprincipales.Aquellas direcciones donde la curvatura normal toma sus valoresmáximos y mínimos se llaman direcciones principales. Diremos que un punto esumbilical si en ese punto todas las direcciones son principales.Encontremos los puntos críticos de κn en.el punto P.

κn(du, dv) =Nds2

Los puntos críticos se obtienen cuando aplicamos la condición:

∂κn∂(du1)

= 0 ;∂κn

∂(du2)= 0

Ésto nos lleva al siguiente teorema:Teorema:Un número real κ es curvatura principal en P , en la dirección du : dv ,du2+

dv2 6= 0, si y solo si κ , du y dv satisfacen las siguientes ecuaciones:

(b11 − κg11) du1 + (b12 − κg12) du

2 = 0

(b12 − κg12) du1 + (b22 − κg22) du

2 = 0

El sistema de ecuaciones anterior tendrá una solución no trivial si

det

µb11 − κg11 b12 − κg12b12 − κg12 b22 − κg22

¶= 0

ésto implica que κ es curvatura principal si y solo si es solución de la siguienteecuación de segundo grado que nos entrega la curvatura principal máxima ymínima.

(g11g22 − g212)κ2 − (g11b22 + g22b11 − 2g12b12)κ+ (b11b22 − b212) = 0

En aquellos puntos donde la curvatura normal tiene el mismo valor en todaslas direcciones, la ecuación anterior nos entregará un único valor de multiplicidaddos.

Si en la ecuación anterior dividimos por g11g22 − g212, podremos expresarlacomo

κ2 − 2Hκ+K = 0

donde K = κ1κ2 =b11b22−b212g11g22−g122 =

bg que es la llamada curvatura Gaussiana

y H = 12(κ1 + κ2) =

g11b22+g22b11−2g12b122(g11g22−g212) es la llamada curvatura media.

Asi obtenemos el siguiente teorema.Teorema:Un punto de una superficie es elíptico si y sólo si K > 0; hiperbólico si y

sólo si K < 0; parabólico o plano si y sólo si K = 0.Ésto se obtiene considerando que g > 0 y b es el discriminante para identificar

los distintos puntos.

19

Teorema:Un punto es umbilical si y solo si la curvatura normal es:

κ =b11g11

=b12g12

=b22g22

Prueba:Para que un punto sea umbilical todas las direcciones deben ser principales,

ésto sólo sucede si los coeficientes del sistema de ecuaciones que caracteriza lasdirecciones principales son todos nulos. Ésto nos entrega el resultado esperado.

5.9 Indicatriz de Dupin.

Para tener una interpretación gráfica de la curvatura normal en un punto P deuna superficie S.Supongamos que en una vecindad de P puede representarse por una carta

de Monge de la forma.

x(u1, u2) = u1e1 + u2e2 + f(u1, u2)e3

tal que x1= e1 ; x2= e2 en P . De tal manera que P concida con el origen yel plano tangente coincida con el plano x1x2. Así tenemos:

g11 = 1 ; g12 = 0 ; g22 = 1

Tomando la curvatura normal la forma:

kn =b11¡du1

¢2+ b12du

1du2 + b22¡du2

¢2(du1)

2+ (du2)

2

Si hacemos la normalización (du1)2+(du2)2 = 1 podemos hacer du1 = cos θ; du2 = sin θ . De manera que:

κn = b11 cos2 θ + b12 cos θ sin θ + b22 sin

2 θ

Haciendo |κn| = 1r2 y x1 = r cos θ ; x2 = r sin θ tenemos:

b11x21 + b12x1x2 + b22x

22 = ±1

Ésta forma cuadrática bidimensional determina una sección cónica en elplano x1x2 conocida como indicatriz de Dupin . La distancia r de un punto(x1, x2) de ésta indicatriz al orígen es el recíproco de la raíz cuadrada de lacurvaura normal |κn| en la dirección definida por cos θ : sin θ.

6 Teoría de superficies.

6.1 Ecuaciones de Gauss-Weingarten.

Como los vectores xu , xv , y N son linealmente independientes, podremosescribir los vectores xuu ,xuv,xvv,Nu y Nv como combinación lineal de éstos,

20

éstas relaciones se conocen como ecuaciones de Gauss-Weingarten. Éstas seescriben como:

xij = Γαijxα + εijN

Ni = βαi xα + γiN i, j = 1, 2 α = 1, 2, 3

donde debemos encontrar los coeficientes. Las primeras ecuaciones son cono-cidas como ecuaciones de Gauss y las segundas como ecuaciones de Weingarten.Si consideramos las ecuaciones de Gauss y hacemos el producto punto por

N tendremos:

xij ·N = Γαij(xα ·N) + εij(N ·N)εij = bij

De ésta forma εij = bijSi en las ecuaciones de Gauss hacemos el producto punto por xk :

(xij · xk) = Γαij (xα · xk) + εij (N · xk)Las magnitudes Γijk = xij · xk se llaman símbolos de Christoffel de primera

especie. Así la ecuación anterior toma la forma:

Γijk = Γαijgαk

si cambiamos el índice k por β y multiplicamos por gβk , como gαβgβk = δkαtendremos:

Γijβgβk = Γαijδ

kα

Γkij = Γijβgβk

Las magnitudes Γkij se llaman símbolos de Christoffel de segunda especie.Proposición:Los símbolos de Christoffel de primera especie se pueden escribir como:

Γijk =1

2

·∂gjk∂ui

+∂gki∂uj

− ∂gij∂uk

¸Prueba:

∂gij∂uk

= (xi · xj)k = xik · xj + xjk · xi = Γikj + Γjkiluego permutando los índices y considerando que los símbolos de Christoffel

de primera especie son simétricos con respecto a los dos primeros índices, seobtiene el resultado.Finalmente los símbolos de Christoffel de segunda especie se pueden escribir

como:

Γkij =1

2gkα

·∂gjα∂ui

+∂gαi∂uj

− ∂gij∂uα

¸Notemos que éstos dependen únicamente de los primeros coeficientes funda-

mentales y de sus derivadas.

21

Así podemos escribir finalmente las ecuaciones de Gauss como

xij = Γαijxα + bijN

Si consideramos la ecuaciones de Weingarten:

Ni = βαi xα + γiN

y hacemos el producto interior por N:

Ni ·N = βαi xα·N+ γiN ·Nγi = 0 i = 1, 2

Así γi = 0 , i = 1, 2Si hacemos el producto interior entre Ni y xj :

Ni · xj = βαi xα · xj−bij = βαi gaj

cambiando el indice j por γ y multiplicando por gγj se tiene:

βji = −biγgγj

si bji = biγgγj tenemos finalmente que βji = −bji .

6.2 Ecuaciones de compatibilidad y teorema fundamentalde las superficies.

Dadas las funciones E,F,G,L,M,N de u y v de clase suficientemente alta, queremos saber si existe o no una superficie x = x(u, v) cuyos primeros ysegundos coeficientes fundamentales sean respectivamente E,F,G,L,M,N .Éste hecho depende del hecho que si x = x(u, v) es una es una función de

clase C3, entonces las derivadas parciales mixtas de tercer orden son indepen-dientes del orden de derivación. De ésto surge el siguiente teorema:Teorema:Sea x = x(u, v) una carta de una superficie de clase C > 2 y tal que los

coeficientes de las ecuaciones de Gauss-Weingarten sean de clase C1. Entonces,las derivadas mixtas existen y cumplen las igualdades (xu)uv = (xu)vu ;(xv)uv = (xv)vu si y solo si los primeros y los segundos coeficientes funda-mentales cumplen las llamadas ecuaciones de compatibilidad

Lv −Mu = LΓ112 +M¡Γ212 − Γ111

¢−NΓ211

Mv −Nu = LΓ122 +M¡Γ222 − Γ112

¢−NΓ212

y

LN −M2 = F£¡Γ222¢u− ¡Γ212¢v + Γ122Γ211¤+E[

¡Γ122¢u− ¡Γ112¢v + Γ122Γ111

+Γ222Γ112 − Γ112Γ112 − Γ212Γ122]

Prueba:

22

Como los coeficientes de las ecuaciones de Gauss son de clase C1 ,entonceses posible derivar las ecuaciones de Gauss xij = Γαijxα + bijN. Calculando la

derivada ∂xij∂uk

se tiene

xijk =h¡Γαij¢k+ ΓβijΓ

αβk − bijb

αj

ixα +

£Γαijbαk + (bij)k

¤N

Permutando los índices se obtienen las distintas derivadas. Queremos queno dependan del orden de derivación.Aplicando aquella condición se obtiene el resultado esperado.Del teorema anterior se observa que LN −M2 depende sólo de los primeros

coeficientes fundamentales.Del hecho anterior se tiene que la curvatura gausianadepende sólo de los primeros coeficientes fundamentales y de sus derivadas.

Teorema fundamental de las superficies:Supongamos que E,F y G son funciones de u yv de clase C2, y L,M,N

funciones de u y v de clase C1, todas ellas definidas en un conjunto abierto quecontiene a (uo, vo) y tales que, para todo (u, v) se cumpla que(i) EG− F 2 > 0 , E > 0 , G > 0(ii) E,F,G,L,M,N satisfacen las ecuaciones de compatibilidad.Entonces, existe una carta x = x(u, v) de clase C3, definida en un entorno

de (uo, vo), para la cual las funciones E,F,G,L,M,N sean los primeros ysegundos coeficientes fundamentales.Prueba:La existencia y unicidad se demuestra con el teorema de existencia y unicidad

de ecuaciones diferenciales

7 Geometría intrínseca.

7.1 Aplicaciones sobre superficies.

Sean S una superficie de clase Cm, S∗ una superficie de clase Cn y f una funciónde S en S∗ . Si para cada carta local x = x(u, v) la función compuesta f(x(u, v))es una representación paramétrica regular, de clase Cr (r = mın {m,n}) en-tonces f recibe el nombre de aplicación regular derivable de S en S∗ de claseCr.

7.2 Aplicaciones isométricas.

Una aplicación inyectiva f de una superficie S sobre una superficie S∗ se llamaaplicación isométrica o isometría si la longitud de un arco arbitrario en S ,x =x(t) es igual a la longitud de su imagen f(x(t)) en S∗.Si existe una isometría de S sobre S∗ ,se dice que S y S∗ son isométricasTeorema:Una función o aplicación inyectiva y sobreyectiva de S sobre S∗ es una

isometría si y solo si en toda carta x = x(u, v) de S los primeros coeficientesfundamentales son respectivamente iguales, es decir si

E = E∗ , F = F ∗ , G = G∗

siendo E∗, F ∗ y G∗ los primeros coeficientes fundamentales en la imagenx∗ = f(x(u, v))

23

Prueba:Consideremos una curva C formada por un número finito de arcos Ci ,ti ≤

t ≤ ti+1donde cada uno de éstos arcos estén completamente contenidos en algunacarta xi = xi(u, v) la longitud de C es:

L(C) =Xi

L(Ci) =Xi

Z ti+1

ti

sEi

µdu

dt

¶2+ 2Fi

µdu

dt

¶µdv

dt

¶+Gi

µdv

dt

¶2como E = E∗ , F = F ∗ , G = G∗

L(C) =Xi

Z ti+1

ti

sE∗i

µdu

dt

¶2+ 2F ∗i

µdu

dt

¶µdv

dt

¶+G∗i

µdv

dt

¶2=

Xi

L(C∗i ) = L(C∗)

Toda propiedad de una superficie que permanezca invariante bajo una apli-cación isométrica , se dice que es una propiedad intrínseca. Del teorema anteriorse desprende que toda propiedad que dependa solamente de los primeros coe-ficientes fundamentales es una propiedad intrínseca. Por ejemplo la curvaturagaussiana es una propiedad intrínseca.Dados dos puntos Q y P de una superficie, se llama distancia intrínseca

al ínfimo de las longitudes de todos los arcos entre P y Q, y aquel arco cuyalongitud es la distancia intrínseca se llama arco de longitud mínima entre P yQ.

7.3 Curvatura geodésica.

Intuitivamente , si una curva C es un arco de longitud mínima entre dos puntosP y Q de una superficie , la proyección sobre el plano tangente en P de la curvatambién debiera ser una arco de longitud mínima sobre el plano, lo cual seríauna linea recta. Ésto nos motiva a encontrar la curvatura de la proyección de Csobre el plano tangente, llamado vector curvatura geodésica kg. Más adelantedemostraremos que si la proyección de C tiene curvatura geodésica nula, es decires una linea recta entonces C es un arco de longitud mínima entre P yQ.Consideremos una supeficie S de clase C ≥ 2 y, una carta local x = x(u, v)

que contiene al punto P y x = x(u(s), v(s)), una representación natural de C.Llamemos T al vector tangente a C en el punto P yU un vector unitario tal que(T,U,N) formen una terna ortonormal dextrógira, ademas fijemos el origen delsistema coordenado en el punto P.La proyección sobre el plano tangente de C es

x∗ = (x ·T)T+ (x ·U)UEncontrando la segunda derivada de la expresión anterior y representándola

naturalmente se obtiene una expresión para el vector curvatura geodésica

kg = (k ·U)Ues decir corresponde a la proyección sobre el plano tangente del vector cur-

vatura de C en P . Por el hecho de se k ·T = 0 se puede escribir

24

k = (k ·U)U+ (k ·N)N = kg+kn. De aquí se desprende que kg es inde-pendiente tanto de la orientación de la superficie como de la orientación deC.Llamaremos curvatura geodésica a κg = k ·U , reemplazando el vector U se

tiene κg = k · (N×T). Hay que notar que κg depende de la orientación de C y S.Desarrollando la última expresión para κg y utilizando las ecuaciones de Gaussse encuentra que κg depende solo de los primeros coeficientes fundamentales, esdecir la curvatura geodésica es una propiedad intrínseca.

7.4 Geodésicas.

Llamamos geodésicas a las curvas para las cuales su curvatura geodésica esidénticamente nula.Teorema:Una representación natural de una curva x(s) = x(u(s), v(s))de clase C2 en

una carta x = x(u, v) de clase C2 , es una geodésica si y sólo si u(s) y v(s)satisfacen las siguientes ecuaciones

d2u

ds2+ Γ111

µdu

ds

¶2+ 2Γ112

du

ds

dv

ds+ Γ122

µdv

ds

¶2= 0

d2v

ds2+ Γ211

µdu

ds

¶2+ 2Γ212

du

ds

dv

ds+ Γ222

µdv

ds

¶2= 0

Prueba:Una curva es una geodésica si κg = 0, es decir se (k ·U) = 0, como k es

perpendicular a T la curvatura debde estar en la dirección de N, por lo tantosatisface las ecuaciones k ·xu = 0 y k · xv = 0. Como t = xu duds +xv dvds se tiene:

k =dt

ds= xuu

µdu

ds

¶2+ 2xuv

du

ds

dv

ds+ xvv

µdv

ds

¶2+ xu

d2u

ds2+ xv

d2v

ds2

x = x(s) será una geodésica si y solo si

k · xu = (xuu·xu)µdu

ds

¶2+ 2(xuv·xu)du

ds

dv

ds+ (xvv·xu)

µdv

ds

¶2+ (xu·xu)d

2u

ds2+ (xv·xu)d

2v

ds2= 0

k · xv = (xuu·xv)µdu

ds

¶2+ 2(xuv·xv)du

ds

dv

ds+ (xvv·xv)

µdv

ds

¶2+ (xu·xv)d

2u

ds2+ (xv·xv)d

2v

ds2= 0

Resolviendo para d2uds2 ,

d2vds2 y desarrollando se obtiene el resultado.

Si consideramos las condiciones iniciales

u(0) = 0, v(0) = 0,du

ds(0) =

µdu

ds

¶0

,dv

ds(0) =

µdv

ds

¶0

tendremos que la secuaciones diferenciales anteriores tendrán una única solu-ción, es decir en un punto P de una superficie en una determinada direcciónpasa una sola geodésica.

25

7.5 Coordenadas geodésicas.

Llamaremos sistema de coordenadas geodésicas sobre una superficie S a un sis-tema coordenado ortogonal, tal que una familia de líneas coordenadas seangeodésicas representadas con un parámetro natural.Para introducirlas consideremos un arco Co arbitrario x = x(v) a ≤

v ≤ b sobre una superficie S . Por cada punto x(vo) pasa una sola geodésicaperpendicular a Co a lo largo de la cual u es su parámetro natural, ésto nos defineuna familia de geodésica x = x(u, v) perpendiculares a Co y tal que x = x(u, v)es una representación paramétrica regular.Como u es un parámetro natural |xu| = 1 , esto implica xu·xu = E =

1 , como es un sistema coordenado ortogonal F = 0 , así la primera formafundamental para un sistema de coordenads geodésicas es:

I = du2 +G(u, v)dv2

Con las ecuaciones de compatibilidad se puede demostrar que la curvaturagausiana cuando F = 0 se puede escribir como:

K = − 1√EG

"∂

∂u

Ã1√E

∂√G

∂u

!+

∂

∂v

Ã1√G

∂√E

∂v

!#

Para un conjunto de coordenadas geodésicas la expresión anterior toma laforma:

K = − 1√G

∂2√G

∂u2

7.6 Coordenadas geodésicas polares.

Dado un punto P en una supeficie S , escogemos dos vectores ortonormalesg1 yg2,paralelos al plano tengente a la superficie en P . Por cada real θo correspondeuna única geodésica, representada en forma natural, x = x(r, θo), que pase porP y tenga la dirección del vector tangente cos θg1 + sin θg2. Para θ ∈ [0, 2π]define un sistema de coordenadas geodésicas, con geodésicas de parámetro r.Las curvas r = cte se llaman circunferencias geodésicas, y la curvas θ = cte sellaman radios de las circunferencias geodésicas.La primera forma fundamental de un sistema de coordenadas geodésicas es:

I = dr2 +G(r, θ)dv2

Teorema:Si x = x(r, θ) es un conjunto de coordenadas geodésicas polares en un punto

P de una superficie de clase suficientemente alta, entoncespG(r, θ) = r − 1

6K(P )r3 +R(r, θ)

donde limr→0

R(r,θ)r3 = 0 y K(P ) es la curvatura gausiana en P.

Prueba:Desarrollando

pG(r, θ) en serie de potencias en torno al r = 0

26

√G =

³√G´0+

Ã∂√G

∂r

!0

r +1

2

Ã∂2√G

∂r2

!0

r2 +1

6

Ã∂3√G

∂r3

!0

r3 +R(r, θ)

Si x = x∗(x, y) es un sistema cartesiano, G = E∗x2θ + 2F∗xθyθ + G∗y2θ =

r2(E∗ sin2 θ + 2F ∗ sin θ cos θ +G∗ cos2 θ), E∗ = G∗ = 1;Con ésto se ve claramente que lim

r→0√G = 0 ; lim

r→0∂√G

∂r = 1. Además se sat-

isface ∂2√G

∂r2 = −K√G. Derivándola y tomando el límite se tiene: limr→0

∂2√G

∂r2 = 0

, limr→0

∂3√G

∂r3 = −K(P ). Reemplazando éstas condiciones se obtiene el resultado.Éste último teorema nos permite encontrar una nueva interpretación de la

curvatura gaussiana.Sobre una circunferencia geodésica r = cte. esto implica dr = 0. La longitud

de ésa circunferencia viene dada por:

C(r) =

Z √I =

Z 2π

0

pG(r, θ)dθ

C(r) = 2πr − 13K(P )πr3 + o(r3)

Despejando la curvatura gausiana y tomando el límite cuando r tiende acero

K(P ) = limr→0

3

π

µ2πr − C(r)

r3

¶Obsérvese que en el caso que K ≡ 0 , C(r) = 2πr que es el caso en que la

superficie es un planoEl área dentro de una circunferencia geodésica está dada porA(r) =

R RR

√EG− F 2drdθ

A(r) =

Z r

0

Z 2π

0

pG(r, θ)drdθ = πr2 − π

12K(P )r4 + o(r4)

Despejando K(P ) y tomando el límite cuando r tiende a cero

K(P ) = limr→0

12

π

µπr2 −A(r)

r4

¶Al que en el caso anterior, sobre un plano se satisface A(r) = πr2

7.7 Arco de longitud mínima.

En nuestro intento por encontrar los arcos de longitud mínima entre dos pun-tos P y Q de una superficie, surgió el concepto de geodésica como un posiblecandidato. A continuación veremos que en realidad el arco de longitud mínimaentre dos puntos de una superficie corresponde a la geodésica que une dichospuntos, y viceversa toda geodésica entre dos puntos fijos corresponde a un arcode longitud mínima.Para ello consideremos un sistema de coordenadas geodésicas polares sobre

una superficie S con origen en el punto P , además consideremos un punto Qdentro del sistema de coordenadas.

27

La longitud de un arco arbitrario C entre P y Q es

L(C) =

Z b

a

sµdr

dt

¶2+G(r, θ)

µdθ

dt

¶2como G ≥ 0

L(C) ≥Z b

a

sµdr

dt

¶2dt ≥

Z r0

0

dr ≥ r0

donde r0 es la longitud de la geodésica de parámetro r entre P y Q. Es decirla geodésica de parámetro r es un arco de longitud mínima.

7.8 Fórmula de Gauss-Bonnet.

Se llama polígono curvilíneo a una sucesión de arcos regulares uno a continuaciónde otro y tales que sus dos extremos inicial y final coincidan y no tenga máspuntos múltiples que sus dos extremos.Supongamos que x = x(u, v) es una carta de una superficie S definida en un

conjunto conjunto abierto U . Una curva C : x = x(t) es un polígono curvilíneode la carta si y sólo si u(t) y v(t) es un polígono curvilíneo sobre U .Consideremos una carta x = x(u, v) de una curva de clase ≥ 3 y tal qeu las

curvas de parámetros sean ortogonales. Supongamos que x = x(s) = x(u(s), v(s))es una representación regular de un polígono curvilíneo C. Además

g1 =xu|xu| ; g2 =

xv|xv|

Sea θ = θ(s) la función continua por tramos, descrita por t = (cos θ)g1 +(sin θ)g2 donde t es el vector tangente unitario de C.Hay que observar que θ(s)presenta un salto en cada vértice de C igual a un ángulo αi. El ángulo αi sellama ángulo externo de C en Pi.Teorema (Fórmula de Liouville):A cada lado de un polígono curvilíneo sobre una superficie S , la curvatura

geodésica viene dada por:

κg =dθ

ds+ κ1 cos θ + κ2 sin θ

donde κ1 y κ2 son las curvaturas geodésicas de las curvas de parámetro u yparámetro v respectivamente.Prueba:κg = k ·U = k·(−g1 sin θ + g2 cos θ) . Debemos encontrar una expresión

para k.

k = t =cos θdg1ds

+ sin θdg2ds

Por la regla de la cadena tenemos

dg1ds

=dg1ds1

cos θ +dg1ds2

sin θ ;dg2ds

=dg2ds1

cos θ +dg2ds2

sin θ

donde s1 y s2 son los parámetros naturales de las curvas de parámetro u yparámetro v respectivamente. Reemplazando se obtiene el resultado esperado.

28

Teorema (Fórmula de Gauss-Bonnet):Sea C un polígono curvilíneo de clase C2 en una carta de una superficie de

clase C ≥ 3. Entonces:ZC

κgds+

Z ZR

KdA = 2π −Xi

αi

Prueba:Integrando la fórmula de Liouville a lo largo de CZ

C

κgds =

ZC

dθ

dsds+

Zc

(κ1 cos θ + κ2 sin θ) ds

cos θ = t · xu√E=√Edu

ds; sin θ = t · xv√

E=√Edv

ds

Reemplazando y usando el teorema de Green:ZC

κgds =

ZC

dθ

dsds+

Z ZR0

·∂

∂u(κ2√G)− ∂

∂v(κ1√E)

¸dudv

utilizando el hecho que (κg)v=cte = − Ev2E√G; (κg)u=cte = Gu

2G√Ey que

K = − 1√EG

h∂∂u

³1√E∂√G

∂u

´+ ∂

∂v

³1√G∂√E

∂v

´ise obtieneZ

C

κgds =

ZC

dθ +

Z ZR

KdA

Como C es una curva cerradaRCdθ +

Piαi = 2π.Teniendo así el resultado

esperado.Como aplicación de la fórmula de Gauss-Bonnet , consideremos que C esté

constituido por tres geodésicas que forman un triángulo geodésico. Por ser loslados de C geodésicas kg = 0 así la fórmula de Gauss-Bonnet toma la forma:Z Z

R

KdA = 2π −Xi

αi

en el caso de una esfera de radio a , K = 1a2 .Si βi = π − αi son los ángulos

internos del triángulo3Xi

βi = π +A

a2

donde A es el área encerrada por C. Es decir la suma de los ángulos internosde un triángulo geodésico sobre la superficie de una esfera es mayor que 180o.En el caso de un plano K = 0 , se tiene que la suma de los ángulos internos

es 180o.

29