Pensamiento y Conceptos Geomtricos La geometra es una red de conceptos, modos de razonar y sistemas de representacin usada para explorar las formas y el espacio (Battista, 2007). Esta rea crtica de las matemticas aparece en cualquier cosa, desde el sistema de posicionamien-to global hasta la animacin por ordenador.!

GRANDES IDEAS 1. Lo que hace iguales o diferentes a las formas se puede de-

terminar por una serie de propiedades geomtricas. Por ejemplo, las formas que tienen lados paralelos, perpendicu-lares o nada; las que tienen lneas de simetra, simetra rota-cional o ninguna; las que son semejantes, congruentes o nada.!

2. Las formas pueden moverse en el plano o en el espacio. Estos cambios pueden definirse en trminos de traslaciones (deslizar), reflexiones (voltear) y rotaciones (girar).!

3. Las formas pueden describirse en trminos de su localiza-cin en el plano o en el espacio. Los sistemas de coordena-das se pueden usar para describir estas localizaciones con precisin. Tambin, las coordenadas ofrecen otro modo de comprender ciertas propiedades de las formas, cambios de posicin (transformaciones) y cmo se muestran o cambian de tamao (visualizacin).!

4. Las formas pueden verse desde distintas perspectivas. La habilidad de percibir formas desde distintos puntos de vista ayuda a comprender relaciones entre las figuras bidimen-sionales y tridimensionales, y cambiar mentalmente la po-sicin y el tamao de las formas.!

Fines de la Geometra para los alumnos Es til pensar acerca de nuestros objetivos en trminos de dos marcos diferentes pero relacionados: 1 sentido espacial y razo-namiento geomtrico, 2 contenidos especficos del curriculum en el sentido tradicional (conocimientos sobre tringulos, l-neas paralelas, simetra etc.). El primer marco est relacionado con el modo en el que los alumnos piensan y razonan acerca del espacio. Hay una buena base terica de investigacin para organizar el desarrollo del pensamiento geomtrico que gua este marco. Necesitamos comprender ambos aspectos de la geometra, razonamiento y contenido, para que podamos ayudar a los alumnos a avanzar.!

El Sentido Espacial y el Razonamiento Geomtrico

El sentido espacial puede definirse como una intuicin sobre las formas y las relaciones entre ellas, y se considera un rea principal del estudio de las matemticas como el nmero (Sa-rama y Clements, 2009). Las personas con sentido espacial tienen sensibilidad para los aspectos geomtricos de su en-torno, incluye la habilidad de visualizar mentalmente objetos y relaciones espaciales, girar cosas en su mente. Tambin se

sienten cmodos al hacer descripciones geomtricas de objetos y posiciones. Las personas con sentido espacial aprecian las formas geomtricas en el arte, la naturaleza y la arquitectura. Son capaces de usar las ideas geomtricas para describir y analizar su mundo.!Muchas personas dicen que tienen un pobre sentido espacial, la opinin tpica es que unos nacen con sentido espacial y otros no No es verdad! Sabemos ahora que experiencias ricas con formas y relaciones espaciales, cuando se trabajan a lo largo del tiempo, pueden y hacen desarrollar el sentido espa-cial. Sin experiencias geomtricas la mayora de las gentes no desarrolla su sentido espacial.!

Reflexiona Cules son las causas por las que algunas personas, segn tu opinin, tienen mejor sentido espacial que otras?

Contenido Geomtrico Durante demasiado tiempo el curriculum ha sido una mezcla de actividades y listas de palabras, demasiado nfasis en el aprendizaje de la terminologa, sin embargo la geometra tiene un nmero de contenidos que se pueden aplicar a todos los niveles:!

Formas y propiedades incluye un estudio de las propiedades de las formas en dos y tres dimensiones as como el estu-dio de las relaciones construidas entre las propiedades.!

Transformaciones incluye un estudio de las traslaciones, reflexiones y rotaciones (deslizar, voltear y girar), el estu-dio de las simetras y el concepto de semejanza.!

Localizacin se refiere a las coordenadas u otros modos de especificar cmo los objetos se localizan en el plano o en el espacio.!

Visualizacin incluye el reconocimiento de formas en el entorno, desarrollar relaciones entre objetos bidimensiona-les y tridimensionales, la habilidad de dibujar y reconocer objetos desde distintas perspectivas.!

Aprendizaje sobre Transformaciones

Las transformaciones son cambios en la posicin o el tamao de una forma. Los movimientos que no cambian el tamao ni la forma del objeto movido se denominan "movimientos rgi-dos". Por lo general, se estudian tres transformaciones o mo-vimiento rgidos: las traslaciones o deslizamientos, las refle-xiones o volteos y las rotaciones o giros. Curiosamente, tam-bin se incluye el estudio de la simetra de las formas en el estudio de las transformaciones. Sabe por qu?!

Transformaciones para Pensadores de Nivel-0 Las transformaciones a este nivel implican una introduccin de los conceptos bsicos de deslizamientos, volteos y giros y el desarrollo inicial de la lnea de simetra y de la simetra rota-cional.!

Extrado del captulo 20 del libro Elementary and Middle School Mathematics ed. Pearson! ! ! ! ! ! ! 1

Deslizamientos, volteos y giros. En el nivel de partida, los trminos deslizamientos, volteos y giros son adecuados. El objetivo inicial es ayudar a los alumnos a reconocer estas transformaciones y comenzar a explorar sus efectos sobre las formas simples. Puede utilizar una forma asimtrica para in-troducir estos trminos. Lo ms probable es que su libro de texto utilice slo el centro de la forma como el punto de rota-cin y que restringa las reflexiones a las lneas horizontales y verticales que pasen por el centro de la forma. Estas restriccio-nes no son necesarias e incluso pueden ser engaosas.!La actividad 14 "el hombre en movimiento" tambin puede utilizarse para introducir a los alumnos los trminos deslizar, voltear y girar. En la actividad, las rotaciones estn restringi-das a 1/4, 1/2 y 3/4 de vuelta en sentido horario. El centro del giro ser el centro de la figura. Las reflexiones sern volteos sobre lneas verticales u horizontales. Estas restricciones son por razones de simplicidad. En el caso general, el centro de rotacin puede ser cualquier punto en cualquier posicin fuera o dentro de la figura. Las lneas de reflexin tambin pueden estar en cualquier posicin. Esto puede proporcionar un desafo para los alumnos. Dos estudiantes comienzan con sus figuras de "hombre de movimiento" en la misma posicin. Un alumno entonces cambia la posicin del suyo y desafa al otro Qu movimiento tienes que hacer para equiparar los dos "hombres en movimiento"?. La solucin entonces se comprue-ba y los papeles se intercambian.!Lnea de simetra y simetra rotacional. Si una forma puede ser doblada por una lnea de manera que coincidan las dos mitades, entonces se dice que tiene lnea de simetra (o sime-tra especular). Observar que la lnea de doblez es en realidad una lnea de reflexin, la porcin de la forma de un lado de la lnea se refleja en el otro lado, demuestra una conexin entre la lnea de simetra y las transformaciones.!Una forma de introducir la lnea de simetra a los nios es mostrar ejemplos y contraejemplos utilizando un enfoque de ninguno-de-estos lo tiene y todos-estos lo tienen. Otra posibi-lidad es que los alumnos doblen una hoja de papel por la mi-tad y corten una forma de su eleccin. Cuando abran el papel, la lnea de doblez ser un eje de simetra. Una tercera manera es usar espejos o Miras. (El Mira es un reflector de plstico rojo, puede ser utilizado para explorar los conceptos de sime-tra y congruencia). Cuando usted pone un espejo en una ima-gen o un diseo de modo que el espejo est perpendicular a la mesa, ve una forma con simetra cuando mira en el espejo.!Construir diseos simtricos con bloques tiende a ser ms fcil si la lnea de simetra es vertical. Con la lnea horizontal o diagonal, la tarea es ms difcil.!La misma tarea puede realizarse con un Geoplano. En primer lugar, estire una banda elstica hacia el centro o de esquina a esquina. Haga un diseo en un lado de la lnea y su reflejo especular en el otro. Compruebe despus con un espejo. Esto puede hacerse en cualquier trama isomtrica o cuadrada de puntos (Blackline Masters 34 y 38) o con software de geome-tra dinmica.!Un plano de simetra en tres dimensiones es anlogo a una lnea de simetra en dos dimensiones (ver Figura).!

Una figura tiene simetra rotacional (tambin denominada punto de simetra) si puede ser girada sobre un punto y termi-na en una posicin que se empareja exactamente con aquella en la que empez. Un cuadrado tiene simetra rotacional como un tringulo equiltero.!Una buena manera de entender la simetra rotacional es tomar una forma con simetra rotacional, como un cuadrado y trazar su contorno en un pedazo de papel. Llame a este trazado "hue-lla" de la forma. El orden de la simetra rotacional ser el n-mero de maneras en los que la forma puede caber en su huella sin voltearla. Un cuadrado tiene simetra rotacional de orden 4, mientras que un tringulo equiltero tiene simetra rotacio-nal de orden 3. Un romboide o un rectngulo tienen simetra rotacional de orden 2. Algunos libros llaman a la simetra de orden-2 "simetra de 180 grados". Los grados se refieren al menor ngulo de rotacin necesario antes de que la forma vuelva a coincidir consigo misma o que encaje en su huella. Un cuadrado tiene entonces simetra de rotacin de 90 grados.

Transformaciones para Pensadores de Nivel-1 Dentro del contexto de las transformaciones, los alumnos que avanzan hacia el pensamiento de nivel 1 pueden comenzar a trabajar un poco ms analticamente las transformaciones y aplicarlas a las formas que ellos ven. Dos tipos de actividades parecen adecuados a este nivel: composiciones de transforma-ciones y transformaciones para crear teselaciones.!Composicin de transformaciones. Una transformacin pue-de hacerse despus de otra. Por ejemplo, una figura puede reflejarse en una lnea, y entonces esa figura resultante puede ser girada respecto a un punto. Una combinacin de dos o ms transformaciones se llama una composicin.!Haga que los alumnos experimenten con composiciones de dos o incluso tres transformaciones usando una forma simple en una cuadrcula de puntos. No olvide incluir las traslaciones (deslizamientos) en las composiciones. Las composiciones no siempre tienen que involucrar diferentes tipos de transforma-ciones. Por ejemplo, una reflexin puede ser seguida por otra reflexin.!

Extrado del captulo 20 del libro Elementary and Middle School Mathematics ed. Pearson! ! ! ! ! ! ! 2

Figuras semejantes y razonamiento proporcional. Una pri-mera definicin de figuras semejantes puede ser las formas que "se parecen, pero son de distintos tamaos". Con ms pre-cisin, dos figuras son semejantes si todos sus ngulos corres-pondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales. Otras actividades de razonamiento proporcio-nal establecen buenas conexiones con la geometra, tales como hacer dibujos a escala y relaciones proporcionales en las figu-ras que son semejantes.

Una homotecia o dilatacin es una transformacin no rgida que produce figuras semejantes. La figura muestra cmo una figura determinada puede ser dilatada para hacer figuras ma-yores o menores. Si diferentes grupos de alumnos dilatan la misma figura usando el mismo factor de escala, encontrarn que las figuras resultantes son congruentes, incluso aunque cada grupo utilice diferentes puntos o centros de dilatacin. Software de geometra dinmica hace que los resultados de este ejercicio sean muy espectaculares. El software permite que los factores de escala puedan ajustarse a cualquier valor. Una vez hecha una dilatacin, el punto de dilatacin puede ser arrastrado por la pantalla y el tamao y la forma de la imagen claramente permanecen sin cambios. Factores de escala meno-res que 1 producen figuras ms pequeas.

Vuelta a las Teselaciones. Mediante transformaciones o com-binando polgonos compatibles, los alumnos de nivel 1 pue-den crear teselaciones artsticas y bastante complejas.

El artista holands M. C. Escher es conocido por sus teselacio-nes, en las que las teselas o azulejos son muy complicados y a menudo toman la forma de elementos como aves, caballos, ngeles, demonios o lagartos. Escher tomaba una forma simple como un tringulo, paralelogramo o hexgono y realizaba transformaciones en los lados. Por ejemplo, una curva dibuja-da a lo largo de un lado podra ser trasladada (deslizada) hacia el lado opuesto. Otra idea era dibujar una curva desde el pun-to medio de un lado al vrtice adyacente. Esta curva se giraba luego sobre el punto medio para formar un lado totalmente nuevo del azulejo. Estas dos ideas se ilustran en la figura 20,32. Tramas de puntos de papel se utilizan para ayudar a trazar las lneas. Las teselaciones de tipo Escher , como stas han llegado a ser llamadas, son importantes aplicaciones de las transfor-maciones para estudiantes de los grados 5 en adelante. Una vez que se ha diseado una tesela, puede ser cortada en dos colores diferentes de papel de construccin en vez de dibujar la teselacin en una cuadrcula de puntos.!Una teselacin regular est hecha con una sola tesela que es un polgono regular (todos los lados y ngulos congruentes). Cada vrtice de un teselado regular tiene el mismo nmero de teselas unidas en ese punto. Un tablero de ajedrez es un ejem-plo simple de una teselacin regular. Una teselacin semirre-gular est compuesta de dos o ms teselas, cada una de ellas es un polgono regular. En cada vrtice de una teselacin semi-rregular, la misma coleccin de polgonos regulares confluyen en el mismo orden. Un vrtice (y por lo tanto, la teselacin semirregular completa) pueden ser descrito por la serie de formas unidas en ese vrtice. Los alumnos puedan averiguar qu polgonos son posibles en un vrtice y disear sus propias teselaciones semirregulares.

Transformaciones para Pensadores de Nivel-2

La actividad 17 "Posiciones de Pentamins" es un reto para que los alumnos usen su comprensin de las simetras y trans-formaciones para establecer una relacin interesante entre estas dos ideas. Las formas usadas para esta actividad se de-nominan pentomins, formas hechas de 5 cuadrados, cada uno al menos compartiendo un lado completo con otro cua-drado. La bsqueda para ver cuntos pentomins diferentes existen es la actividad 19 "Pentomins" de geometra. Para nuestro propsito de trabajar en las transformaciones y las simetras, la coleccin de los 12 pentomins sirve como una coleccin conveniente de formas.!

Aprendizaje sobre Localizacin La localizacin comenzara con el desarrollo de trminos acer-ca de cmo los objetos se sitan con respecto a otros. Despus las actividades de localizacin trataran el anlisis de caminos entre puntos como en un mapa y el uso de sistemas de coor-denadas.!En infantil los alumnos aprenden algunas descripciones de posiciones como encima, debajo, cerca lejos, entre, derecha e izquierda. Estos aprendizajes sobre localizaciones son los comienzos de los objetivos especficos de localizacin. No obs-tante, ayudar a los alumnos a refinar el modo en que ellos piensan y razonan en direccin, distancia y localizacin realza la comprensin espacial. La geometra, la medida y el lgebra se apoyan en el uso de un sistema de rejilla con nmeros o coordenadas que puede especificar una localizacin. Los alumnos en los primeros niveles pueden empezar a pensar en trminos de un sistema de rejilla para identificar localizacio-nes. Cuando el pensamiento es ms avanzado progresan al uso de coordenadas.!La actividad-19 (Juego de posiciones ocultas) puede servir como una tarea de preparacin para las coordenadas y ayudar a los alumnos para ver el valor de tener un modo para especi-ficar localizaciones sin tener que sealar.!La actividad anterior puede extenderse a parrillas hasta 6x6. Cuando el tamao de la parrilla aumenta la necesidad de un sistema para etiquetar posiciones se incrementa. Los alumnos pueden empezar a utilizar un sistema simple de coordenadas en primer curso (Blackline Master 48). Explique cmo usar los dos nmeros para designar un punto de interseccin en la parrilla. El primer nmero dice cunto hay que moverse a la derecha, y el segundo cunto hay que moverse hacia arriba. inicialmente utilice palabras junto con los nmeros: 3 a la de-recha y 0 hacia arriba. Asegrese de incluir el 0 al comienzo. Entonces seleccione un punto en la parrilla y que los alumnos decidan qu dos nmeros designan ese punto. Si tu punto es (2,4) y los alumnos dicen incorrectamente cuatro dos simplemente indique cul es el punto que han nombrado. Otra forma para que los alumnos visualicen la diferencia es comparar alumnos sentados, en la segunda fila cuarto asiento con el que est en la cuarta fila segundo asiento.!

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La actividad-20 explora la nocin de caminos diferentes en una parrilla.!Si aade un sistema de coordenadas en la parrilla, los alumnos pueden describir sus caminos con coordenadas. Por ejemplo: (1,2) (3,2) (3,5) (7,5) (7,7).!

http://www.nctm.org/standards/content.aspx?id=25009!

Este applet es semejante a la actividad anterior pero ofrece algunos cambios adicionales. Los alumnos mueven la mariqui-ta indicando las direcciones. La tarea es hacer una lista de di-recciones para conducir la mariquita hacia una hoja. Cuando las direcciones estn completas la mariquita se mueve si-guindolas. la mariquita tambin se puede utilizar para dibu-jar formas como un rectngulo en una posicin inclinada o para viajar a travs de laberintos.!

Algunas actividades que se pueden proponer:!

Imagina que un visitante llega a la clase y le tienes que indicar cmo tiene que llegar hasta el gimnasio del colegio Cules son las direcciones exactas que les daras al visi-tante? Especifica las distancias y los giros.!

Crea una parrilla de coordenadas en el gimnasio o en el patio utilizando cinta de pintor. De a cada alumno un pi-zarrn para apuntar. Elija a un alumno y en secreto le dice unas coordenadas. Entonces el alumno se va a la localiza-cin. Otros alumnos escriben las coordenadas de esa loca-lizacin y muestran sus respuestas. Si denomina a esta actividad paso a la derecha y arriba puede servir como una regla mnemotcnica para los alumnos con discapaci-dad para que recuerden dar un paso a la derecha y des-pus arriba para localizar la posicin expresada con las coordenadas de nmeros enteros positivos.!

Juegos de localizacin: Yincana.! Camino hacia del colegio: los nios elaboran un plano y

localizar el camino en un plano del barrio.!

Localizacin para Pensadores de Nivel-1

En el nivel-1 los alumnos examinan las transformaciones en un plano de coordenadas como sugieren las actividades 21 y 22. En la actividad coordenadas de traslaciones la figura no se deforma, ni gira, ni se voltea, ni cambia de tamao o de forma. La figura se desliza a lo largo de un camino que marca las lneas entre los puntos correspondientes. Las reflexiones pue-den explorarse en una parrilla de coordenadas tan fcilmente como las traslaciones. En el nivel inicial es recomendable res-tringir las lneas de reflexin a los ejes x o y.!Los alumnos que han hecho las actividades precedentes po-dran tener un modo general para describir las traslaciones y reflexiones sobre un eje, en trminos de coordenadas. Las rota-ciones pueden tambin explorarse usando coordenadas. En la actividad 23 multiplicar un nmero constante de veces las coordenadas es una transformacin que no es un movimiento rgido porque la forma cambia.!

Reflexiona Cmo cambian las longitudes de los lados y las reas de las figuras cuando las coordenadas se multiplican por 2? Qu ocurre si las multiplicamos por 3 o por ?

Cuando las coordenadas de una figura se multiplican como en la ltima actividad por el mismo factor, la figura se transforma en otra mayor o menor. Cambia el tamao pero no la forma. La forma nueva es semejante a la antigua. Esto se llama una ho-motecia (ampliacin, dilatacin), una transformacin.!Es impresionante ver como una operacin aritmtica puede controlar una figura. Imagine llegar a ser capaz de controlar traslaciones, rotaciones reflexiones y homotecias, no solo en el plano sino tambin con figuras tridimensionales. El proceso es idntico a las tcnicas de animacin con ordenador.!

Localizacin para Pensadores de Nivel-2 En la superficie, no puede haber una distincin clara entre las actividades de coordenadas del nivel-1 y del nivel-2. Sin em-bargo, el paso al pensamiento de nivel-2 hace necesario el desarrollo del razonamiento lgico.!Revisin de las transformaciones de coordenadas. Es bastan-te razonable que en un aula haya pensadores tanto de nivel-1 como de nivel-2 o por lo menos alumnos que estn listos para pasar al razonamiento lgico. Mientras exploraba las activida-des de transformacin de la ltima seccin, a los alumnos que estn listos podran plantearse preguntas como las siguientes que son algo ms que simples exploraciones:!

Cmo deben cambiar las coordenadas para provocar una reflexin si la lnea de reflexin no es el eje sino una parale-la a l?!

Puedes descubrir una regla simple para las coordenadas que resultase una reflexin a travs de uno de los ejes se-guida de una rotacin de un cuarto de vuelta? Esa regla es la misma invirtiendo el orden, primero un cuarto de vuelta seguido por una reflexin?!

Si dos traslaciones sucesivas se realizan con las coordena-das y sabes qu nmeros fueron aadidos o restados, qu nmero debera aadirse o restarse para obtener la figura en un solo movimiento? Qu crees que pasar si en una dilatacin u homotecia, si se utilizan diferentes factores para diferentes coordenadas?!

Una vez que los alumnos comienzan a explorar cuestiones de este tipo, puede que ellos mismos vengan con sus propias pre-guntas y exploraciones. El software dinmico de geometra incluye como opcin una cuadrcula de coordenadas. Si se realizan dibujos con los puntos "ajustados" a la red, las coor-denadas de las transformaciones pueden explorarse ms f-cilmente.!Aplicando la relacin pitagrica. La versin geomtrica de la relacin de Pitgoras trata de reas. La siguiente actividad (la frmula de la distancia) plantea a los alumnos utilizar la cua-drcula de coordenadas y el teorema de Pitgoras para desarrollar una frmula para la distancia entre puntos.!

Extrado del captulo 20 del libro Elementary and Middle School Mathematics ed. Pearson! ! ! ! ! ! ! 4

Los alumnos de nivel-2 necesariamente no construyen demos-traciones pero deben ser capaces de seguir la lgica del razo-namiento si se les muestra demostraciones.!Para los alumnos ms adelantados a travs del procedimiento de encontrar la longitud de una lnea (o la distancia entre los extremos), les da informacin suficiente para calcular las lon-gitudes de otras lneas. Los alumnos vern que todo lo que necesitan son las coordenadas de los dos extremos para calcu-lar las reas de los tres cuadrados y, por tanto, la longitud de la hipotenusa.!Si luego les ayuda a sustituir letras por coordenadas especfi-cas, resulta una frmula general para la distancia.!

Aprendizaje sobre Visualizacin La visualizacin podra ser llamada la "geometra con el ojo de la mente". Implica ser capaz de crear imgenes mentales de las formas y luego girarlas mentalmente, pensando en cmo se ven desde diferentes perspectivas, predecir los resultados de varias transformaciones. Incluye la coordinacin mental de dos y tres dimensiones prediciendo el despliegue de una caja (o desarrollo) o comprender un dibujo bidimensional de una forma tridimensional. Cualquier actividad que requiera a los alumnos pensar en una forma, manipularla o transformarla mentalmente o representarla como se ve contribuir al desarrollo de habilidades de visualizacin de los alumnos.!

Visualizacin para Pensadores del Nivel-0 En el nivel-0, los alumnos estn bastante obligados a pensar en las formas en trminos del modo en que se ven. Las activida-des de visualizacin en este nivel tendrn a los alumnos usan-do una variedad de formas fsicas y dibujos y los retar a pen-sar sobre estas formas en diferentes orientaciones.!Averiguar cuntas formas diferentes se pueden hacer con un nmero determinado de losetas o piezas simples exige a los alumnos mentalmente voltear y girar las formas en sus mentes y encontrar modos de decidir si han encontrado todas las po-sibilidades. Ese es el enfoque de la actividad de construir los pentomins.!Una vez que los alumnos han decidido que hay slo 12 pen-tomins, estas 12 piezas pueden utilizarse en una variedad de actividades. Pegue los pentomins de los nios en tramas so-bre cartn duro y hgalos recortar las 12 formas.!Tambin es divertido explorar el nmero de formas que pue-den realizarse uniendo seis tringulos equilteros o cuatro tringulos rectngulos de ngulos 45 grados (mitades de cua-drados). Con los tringulos rectngulos, los lados que se unen deben tener la misma longitud. Cuntos de cada uno de estos "omins" hay?!Pueden hacerse muchas actividades con los pentomins. Por ejemplo, tratar de encajar todas las 12 piezas en un rectngulo de 6 10 o 5 12. Adems, cada una de las 12 formas puede utilizarse como una tesela o azulejo de mosaico. Otra tarea es examinar cada uno de los 12 pentomins y decidir cuales se pueden plegar para hacer una caja abierta, tambin se llama un desarrollo plano. Para aquellos que son "hacedores de caja", qu cuadrado es el fondo?!

Otro aspecto de la visualizacin para los nios es ser capaz de pensar en formas slidas en trminos de sus caras. Para estas actividades tendr que hacer "cartas" representando las diver-sas caras de una forma tridimensional, haciendo todas las ca-ras en una tarjeta o un conjunto de cartas separadas con una cara por tarjeta.!Es tambin importante trabajar la memoria visual, as como la capacidad de pensar acerca de las posiciones de las lneas y caractersticas de la figura.!

Visualizacin para Pensadores de Nivel-1 En la identificacin si una tarea de visualizacin es del nivel-1 o del nivel-0, una consideracin es el grado de atencin que debe prestarse a las propiedades de las formas. Las activida-des en esta seccin son ciertamente difciles para los alumnos de nivel-0.!Uno de los principales objetivos de la rama de visualizacin de la geometra estndar es ser capaz de identificar y dibujar imgenes bidimensionales de figuras tridimensionales y cons-truir figuras tridimensionales a partir de imgenes bidimen-sionales. Las actividades encaminadas a este objetivo a menu-do incluyen dibujos de "construcciones" con pequeos cubos ajustables.!Observe que en la actividad "Puntos de vista" las vistas direc-tas de frente y de atrs son simtricas, como lo son las vistas izquierda y derecha. Es por ello que slo se da una de cada una en la segunda parte de la actividad.!En "Puntos de vista" los alumnos hacen "edificios" con cubos y coordinan las vistas directas de los lados y la parte superior. Una actividad significativamente ms difcil es dibujar pers-pectivas de estos bloques de edificios o hacer coincidir dibujos de perspectiva con un edificio. Las tramas isomtricas de pun-tos (Blackline Masters 38 y 39) se utilizan para los dibujos.!La actividad Dibujos en perspectiva proporciona un vistazo a este tipo de actividad de visualizacin.!Otra conexin interesante entre dos y tres dimensiones se en-cuentra en seccionar o cortar slidos de diferentes maneras. Cuando se corta un slido en dos partes, se forma una figura bidimensional en las caras de la seccin o corte. La figura muestra como se cort un cubo por un vrtice, dejando una cara triangular. Las secciones pueden explorarse con arcilla cortando con el alambre de un alfarero o con plastilina. Un mtodo ms ingenioso es llenar parcialmente un slido de plstico con agua. La superficie del agua es igual a la cara de una seccin que coincida con la superficie del agua. Inclinando la forma de diferentes maneras, se pueden observar todos los posibles "cortes". Hay materiales comercializados con peque-os slidos de plstico que son excelentes para esto.!

Visualizacin para Pensadores de Nivel-2 Una vez ms, vemos que el razonamiento lgico es lo que dis-tingue las actividades para pensadores de nivel-2 de los de nivel-1.!Es importante sealar, sin embargo, que la visualizacin es un rea de la geometra donde la distincin no es particularmente fuerte. Las actividades descritas para el nivel-1 pueden modi-ficarse fcilmente para desafiar a pensadores de nivel-2. Asi-

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mismo, las actividades en esta parte ayudarn a empujar a los alumnos de nivel-1 hacia adelante en su pensamiento.!Conectar actividades anteriores al nivel-2 de la visualizacin.!Puede desafiar a los alumnos que estn listos para hacer pre-dicciones acerca de los tipos de cortes que son posibles. Por ejemplo, dado un slido particular, antes de la prueba con agua como se describi anteriormente podran pasar una lista de tipos de tringulos y cuadrilteros y decidir cuales se pue-den hacer y cuales son imposibles. Adems para los que pien-sen que son imposibles, deberan ofrecer una razn para esa hiptesis.!Algunas extensiones de actividades con pentomins que son tareas de visualizacin apropiadas para el nivel-2 son los si-guientes:!

Cuntos hexomins existen? Un hexomin est compues-to de seis cuadrados, siguiendo la misma regla que los pen-tomins. Puesto que hay bastantes hexomins (35), idear un buen esquema lgico para categorizar las formas es una de las pocas maneras que hay de saber que se han encon-trado todos.!

En vez de poner juntos cinco cuadrados, los alumnos pue-den encontrar todos los arreglos de cinco cubos. Estas for-mas se pueden denominar pentacubos. En general, las formas de cubos en las cuales los cubos adyacentes com-parten una cara completa se llaman policubos.!

Los slidos platnicos. Un poliedro es una forma tridimen-sional con todas sus caras polgonos. Entre los diversos polie-dros, los slidos platnicos son especialmente interesantes. Slidos platnicos es el nombre dado al conjunto de poliedros completamente regulares . "Completamente regular" significa que cada cara es un polgono regular y cada vrtice tiene exac-tamente el mismo nmero de caras que se unen en ese punto. Una interesante tarea de visualizacin adecuada para este ni-vel es encontrar y describir todos los slidos platnicos.!Algunos alumnos, particularmente aquellos con necesidades especiales,!puede necesitar una estructura adicional. Sugirales un enfo-que sistemtico de la siguiente manera: como el menor nme-ro de lados que una cara de un poliedro puede tener es tres, comenzar con tringulos, a continuacin cuadrados, luego pentgonos y as sucesivamente. Por otra parte, puesto que cada vrtice debe tener el mismo nmero de caras, empieza con tres caras en un punto, luego cuatro y as sucesivamente. (Es claramente imposible tener solamente dos caras en un vr-tice)!Con este plan, los alumnos encontrarn que para los tringu-los pueden tener tres, cuatro o cinco tringulos formando un vrtice. Para cada uno de estos, pueden comenzar con una "tienda" de tringulos y luego aadir ms tringulos para que cada vrtice tenga el mismo nmero de caras. Con tres en un punto se obtiene un slido de cuatro caras llamado un tetrae-dro (en griego tetra cuatro). Con cuatro en cada punto se ob-tiene un slido octogonal llamado un octaedro (octa ocho). Es realmente emocionante construir el slido con cinco tringulos en cada punto, tendr 20 caras y se llama un icosaedro (icosa veinte).!

De manera similar, encontrarn que hay solamente un slido hecho con cuadrados, tres en cada punto y seis en total, un hexaedro (hexa seis), tambin llamado un cubo. Y hay slo un slido con pentgonos, tres en cada punto, 12 en total, que se llama un dodecaedro (dodeca doce).!

Reflexiona Por qu no hay poliedros regulares con seis o ms tringulos o con cuatro o ms cuadrados en cada vrti-ce? Por qu no hay poliedros regulares hechos con he-xgonos regulares o polgonos regulares con ms de seis caras? La mejor manera de responder a estas preguntas es experimentar con los polgonos y explicar las respues-tas con tus propias palabras. Los alumnos deben hacer lo mismo.

Un esqueleto de icosaedro puede construirse con las aristas hechas con barras formadas con peridicos bien enrollados y atados con cinta en los vrtices. Como cinco tringulos con-vergen en cada vrtice, tambin hay cinco aristas en cada uno. Simplemente hay que trabajar en traer suficientes peridicos y enrollarlos bien, despus unir cinco barras para cada vrtice y recordar que cada cara es un tringulo. Este icosaedro tendr unos 4 metros de alto y ser increblemente robusto.!

Reflexiona Contrasta lo que acabas de leer con la geometra que has estudiado a lo largo de tu educacin. En qu se diferen-cian y en qu se parecen?

Bibliografa Battista, M. T. (2007). The development of geometric and spatial thin-king. In F. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 843-908). Reston, VA: NCTM.!Sarama, J., y Clements, D. H. (2009). Early childhood mathematics education research: Learning trajectories for young children. New York: Routledge.!

Recursos Online Cortar Esquinas

http://illuminations.nctm.org/tools/CutTool/CutTool.asp

Geoplano

http://nlvm.usu.edu/en/nav/category_g_2_t_3.html

Laberintos

www.shodor.org/interactivate/activities/coords/index.html

Espejos

http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=24

Bloques Espaciales

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_195_g_3_t_3.html?open=activities

Transformaciones

http://standards.nctm.org/document/eexamples/chap6/6.4/index.htm

Para generar material diverso

http://illuminations.nctm.org/Activity.aspx?id=3509!Localizacin!http://www.nctm.org/standards/content.aspx?id=25009

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