Algebra, trigonometra y geometra analtica.1. Captulo 1: Lgica y conjuntos.

Un conjunto es una coleccin de elementos que comparten una caracterstica; por ejemplo, la aficin por un deporte o por un equipo deportivo.

El ms grande matemtico francs del siglo xvi fue Franois Vite (1540-1603), abogado y miembro del Parlamento, quien dedic la mayor parte de su tiempo libre a las matemticas. La obra ms famosa de Vite, In Artem, hizo avanzar en forma significativa la notacin algebraica. Antes del trabajo de Vite era una prctica comn utilizar diferentes smbolos para representar varias potencias como x, x etctera. Vite, que saba escribir en latn, utiliz la misma letra calificada en forma apropiada para estas potencias: x, x quadratum (cuadrado), x cubum (cubo), etctera. Adems, extendi el uso de las letras del alfabeto para representar no slo las variables sino tambin los coeficientes constantes.

1.1. Enunciados y valor de verdad.Lgica: Es la rama del conocimiento que traba sobre los mtodos de razonamiento mediante tcnicas y reglas con el fin de determinar si un argumento es vlido. En matemtica usamos la lgica en su manera bsica que llamamos proposiciones.

Proposiciones: Es un enunciado u oracin declarativa de las cuales se puede afirmar si es verdadera o falsa, pero no ambas a la vez.

Verdad de valor: Es la veracidad o falsedad de una proposicin.

Ejemplos: La tierra es redonda, es una proposicin con valor de verdad verdadera. Se conoce con certeza que la tierra es redonda. 3+2=5, es una proposicin con valor de verdad verdadero. Ya que en el sistema mtrico decimal (que usa como base el numero 10), se conoce con certeza que 3+2=5. 1+1=5, es una proposicin con valor de verdad falso. Ya que en el sistema mtrico decimal se sabe que 1+15.

La expresin 3 x = 5, no es una proposicin porque no sabemos con certeza cul es su valor de verdad a menos que asignemos un valor a la variable x. Para convertirla en una proposicin basta solo asignar el valor de -2 para transformarla en una proposicin ya que, 3 (-2) = 5 => 5=5.

La expresin habla usted espaol? No es una proposicin ya que por su naturaleza sintctica sabemos que es una oracin interrogativa.

La expresin ve y sintate no es una proposicin ya que por su naturaleza sintctica sabemos que se trata de una oracin imperativa, no un enunciado declarativo por tal razn no es una proposicin.

Postulados axiomas y teoremas.

Axioma o postulado: Es una proposicin inicial que se presupone verdadera. El conjunto de postulado del sistema es el conjunto de postulados de los cuales se desprenden las proposiciones. Un axioma no puede ser deducible de otro.La caracterstica bsica de un postulado o axioma es el hecho de ser independiente de otras proposiciones.Un teorema: es cualquier proposicin que se desprende de otra proposicin o proposiciones dadas por supuestas o previamente demostradas dentro del sistema. As, un teorema es una proposicin cuya veracidad requiere ser demostrada a partir de otras.

Ejemplo:

El teorema del tringulo issceles establece que si dos lados de un tringulo son congruentes, entonces los ngulos opuestos a estos lados son congruentes. Este teorema se demuestra a partir de otras proposiciones, entre las cuales se cuenta uno de los postulados para congruencia de tringulos (lado-ngulo-lado).[footnoteRef:1] [1: En estas notas tratamos bsicamente con el anlisis de la veracidad de las proposiciones en forma general, es decir, con el clculo proposicional.]

Ejercicios:En los enunciados 1 a 15 indique en cada caso si el enunciado es o no es una proposicin. Justifique su respuesta. En caso de ser una proposicin, establezca su valor de verdad.

1. Julio Csar fue presidente de la Repblica Dominicana.(Es una proposicin con valor de verdad falso)2. 2 + 2 = 4(Es una proposicin de verdad con valor de verdad verdadero)3. Si la Tierra es plana, entonces 2 + 2 = 4Hazle 4. En tu casa o en la ma?

5. Aydeme, por favor!

6. La matemtica es importante.

7. Existen dos soluciones para la ecuacin x2 + 4 = 20, y ambas soluciones son enteras.

8. Si x es cualquier nmero entero, entonces x2 es un nmero entero positivo.

9. V en su busca.

10. x es mayor que y.

11. 15 es un nmero primo.

12. a + b = 1.7

13. La poblacin de la Repblica Dominicana es de siete millones.

14. Las mesas son cuadradas.

15. Bello da?