Geometria (Jun Agost)

8/17/2019 Geometria (Jun Agost)

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GEOMETRIA

- JUNIO-

JULIO-AGOSTO-

SACO OLIVEROS

PRIMARIA


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GEOMETRIA 6º PRIM.

SACO OLIVEROS

M E S D E :

“ S i n o p u e d e s t e n e r a q u e l l o q u e h u b i e r a s a p r e c i a d o ,

a p r e c i a a q u e l l o q u e t i e n e s ”

GEOMETRIA


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GEOMETRIA 6º PRIM.

SACO OLIVEROS


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GEOMETRIA 6º PRIM.

GEOMETRÍA

EUCLIDES

Euclides nacido en el siglo 300 AC, ue el !a"e!#"ico !#s a!oso de "odos los

"ie!$os a $esa% del &ec&o de 'ue $oco se sa(e de su )ida, $e%o se sa(e 'ue

ense*o en Ale+and%a, Egi$"o. Los ele!en"os de Euclides, un "%a(a+o in"%oduc"o%io a

la geo!e"%a ele!en"al - o"%os "$icos, - o"%os "%a(a+os de su g/ne%o a "al

!agni"ud de 'ue a&o%a se sa(en slo $o% %ee%encia indi%ec"a. Los Ele!en"os

e!$iean con de1niciones, $os"ulados, - a2io!as, incluso el a!oso 'uin"o, o

$a%alelo, $os"ulado 'ue una - slo una lnea %ec"a $uede se% di(u+ada a "%a)/s de

un $un"o a una lnea $a%alela dada. La decisin de Euclides de &ace% de es"a

su$osicin inde!os"%a(le lo lle) a la Geo!e"%a Euclideana. o ue &as"a el siglo45"& 'ue se !odi1c el 'uin"o $os"ulado $a%a desa%%olla% la Geo!e"%a o

Euclideana.

Los ele!en"os se di)iden en 43 li(%os. Los $%i!e%os 6 son so(%e la Geo!e"%a

Plana7 los li(%os 8 al 5 son so(%e la Teo%a del 9!e%o7 el li(%o 40 "%a"a de la Teo%a

de Eudo2os de los n9!e%os i%%acionales7 - los li(%os 44 al 43 concie%nen so(%e la

geo!e"%a slida, 1naliando con una discusin de las $%o$iedades de los cinco

$olied%os %egula%es - una $%ue(a de 'ue no $ueden &a(e% !#s 'ue es"os cinco.

Los ele!en"os de Euclides son no"a(les $o% la cla%idad con 'ue los "eo%e!as -

$%o(le!as son seleccionados - o%denados. Las $%o$osiciones $%oceden lgica -

%igu%osa!en"e.Euclides no es conocido $o% &a(e% &ec&o descu(%i!ien"os !u- o%iginales, - losEle!en"os se (asan en el "%a(a+o de sus $%edeceso%es , se asu!e 'ue algunas delas $%ue(as son su-as $%o$ias - 'ue es %es$onsa(le $o% su e2celen"e a%%eglo. Milesde ediciones de su "%a(a+o se &an $u(licado desde la $%i!e%a i!$%esin en 4:;


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GEOMETRIA 6º PRIM.

POLÍGOOS

I. DEFINICIÓN DE ELEMENTOS?n $olgono es una 1gu%a o%!ada $o% una $oligonal ce%%ada de !odo 'ue no

e2is"en dos lados 'ue se co%"an.En un $olgono se dis"inguen los siguien"es ele!en"os@

♦ V/%"ices , , , A B D E yF →

♦ Lados , , , , AB BC CD DE EF y AF →

♦ ngulos In"e%io%es 4 < 3 : B 6, , , ,I I I I I y I→

♦ ngulos E2"e%io%es 4 < 3, , ,.......e e e→

♦ =iagonal ,........FD→

II. CLASIFICACIÓN

1. Por el número de ldo! o ! ( % e

T % i # n g u l o

C u a d % i l a " e % o

P e n " # g o n o

e 2 # g o n o

e $ " # g o n o

O c " g o n o

o n # g o n o

= e c # g o n o

E n d e c # g o n o

= o d e c # g o n o

P e n " a d e c # g o n o

I c o s # g o n o

D d e l a d o s

3

:B

6

8

;

5

4 0

4 4

4 <

4 B

< 0

".Por l #on$r%en#& de !%! ldo! o 'n$%lo!

SACO OLIVEROS

A

B C

EF

I 6

I 4 I <

I 3

I :I Bθ 4

θ <

θ 3

OTA

Los de!#s $olgonos no "ienen no!inacines$ecial - se les no!(%a $o% el n9!e%o de

lados 'ue "iene7 $o% e+e!$lo@Polgono de 43 lados, $olgono de


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GEOMETRIA 6º PRIM.

/. Por !% #on0e&dd

III. TEOREMAS FUNDAMENTALESSiendo n9!e%o de lados del $olgonon →

1. Su!a de #ngulos in"e%nos

". Medida de un #ngulo in"e%no de un $olgono %egula% o e'ui#ngulo

/. Su!a de #ngulos e2"e%nos

2. Medida de un #ngulo e2"e%no de un $olgono %egula% o e'ui#ngulo

3. 9!e%o "o"al de diagonales

SACO OLIVEROS

A( POL)GONO CON4EOEs a'uel $olgono 'ue al

$%olonga% cual'uie%a de sus lados,"odo el $olgono se encuen"%a &aciael !is!o lado de la %ec"a

,( POL)GONO NO CON4EOEs a'uel $olgono 'ue al

$%olonga% cual'uie%a de sus lados,'ueda di)idido en dos $a%"es

( )4 4;0º


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GEOMETRIA 6º PRIM.

E5em6lo!:1. alla la su!a de los #ngulos in"e%nos de un dodec#gono

Sol%#&7n: n4<

". alla el n9!e%o "o"al de diagonales de un &e2#gono

Sol%#&7n:n6

/. alla el n9!e%o "o"al de diagonales de un $olgono cu-os #ngulos in"e%nossu!an 40;0º

Sol%#&7n:S

440;0º Ree!$lao en@

SACO OLIVEROS

( )( )

( )

4

4

4

4

4;0º <

4;0 4< <

4;0 40

4;00º

S n

S

S

S

= −

= −

=

=

( )

( )

( )

3<

6 6 3

<

6 3

<

4;

<

5

n nNd

Nd

Nd

Nd

Nd

−=

−

=

=

=

=

( )

( )

4;0º <

40;0º 4;0º <40;0º<4;0º

< 6

6 <

; Oc"gono

iS n

n

n

n

n

n

= −

= −

− =

− =

= +

=

( )

( )

( )

3

<

; ; 3

<

; B

<

:0

<


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GEOMETRIA 6º PRIM.

1. =ados los siguien"es $olgonos, co!$le"a el cuad%o co%%es$ondien"e@

4 B

4 B 4 B

4 B

A B

< B 3 0

2 0

B 3 F

8 : F B 3 F

C

4 68 : F

3 8 F3 8 F< 4 < F

4 6

4 04 0

D

3 8 F B 3 F

; 6

4 0

: <

: <

4 ;1 8

4 4 0 F

8 0 F

8 0 F

4 4 0 F

4 6 4 6

4 64 6

4 : 0 F 4 : 0 F

: 0 F

: 0 F

4 0 4 0

< 0

< 0

4 <4 0

4 3

< 3

4 0 6 F

4 < 8 F

B 3 F 8 : F

4 B

4 B

4 B4 B

4 B 4 B4 < 0 F 4 < 0 F

4 < 0 F

4 < 0 F4 < 0 F

4 < 0 F

B

6

1

;

3

:

4 < 0 F

4 < 0 F

4 < 0 F 4 < 0 F

4 < 0 F

4 < 0 F

4 0 ; F

4 0 ; F 4 0 ; F

4 0 ; F4 0 ; F

66 0 F

6 0 F 6 0 F

6

6

E F G H

I J K L

4 0

4 0

4 0

4 0

4 0

> I G ? R A

F d e l a d o s

F d e # n g u l o s

F d e d i a g o n a l e s

P e % ! e " % o

o ! ( % e d e l $ o l g o n o $ o % e l F d e l a d o s .

E s $ o l g o n o c o n ) e 2 o s i o n o H

E s $ o l g o n o e ' u i l # " e % o s i o n o H

E s $ o l g o n o e ' u i # n g u l o s i o n o H

E s $ o l g o n o % e g u l a % s i o n o H

B C D E F G H I J K L

SACO OLIVEROS


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GEOMETRIA 6º PRIM.

". Co!$le"a el siguien"e cuad%o conside%ando 'ue los $olgonos %ee%idos son%egula%es.

P o l g o n o s d e F d e l a d o s S i

3

:

B

6

8

;

5

4 0

4 <

< 0

3 0

3 6

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

m i S e m e F d e d i a g o n a l e s

1. alla el n9!e%o "o"al de diagonales 'ue se $ueden "%aa% en un $olgono de

4; lados.

". alla% la su!a de los #ngulos in"e%nos de un $en"#gono.

/. En 'u/ $olgono la su!a de los #ngulos in"e%io%es es igual a B )eces la su!a

de #ngulos e2"e%io%esH

2. La su!a de los #ngulos in"e%io%es de un $olgono %egula% es B0:0º. Cu#l es

el )alo% de un #ngulo e2"e%io%H

SACO OLIVEROS


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M E S D E :

“ " n i c a # e n t e l a o b e d i e n c i a ,

t i e n e d e r e c h o a l # a n d o ”

GEOMETRIA 6º PRIM.

SACO OLIVEROS

GEOMETRIA


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GEOMETRIA 6º PRIM.

SACO OLIVEROS


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GEOMETRIA 6º PRIM.

POLIEDROS O SÓLIDOS GEOM8TRICOS

?n $olied%o es la 1gu%a 'ue li!i"a una %egin del es$acio !edian"e cua"%o o !#s

%egiones $oligonales $lanas.

ELEMENTOS DE UN POLIEDRO

a Cr!:Es"as son cada una de las %egiones $oligonales $lanas

( Ar!&9!:Son los lados de las ca%as.

c 4r9e!:Son los )/%"ices de las ca%as.

d +n$%lo d&edro:El de"e%!inado $o% dos ca%as ad-acen"es.

e +n$%lo 6ol&edro:Los )/%"ices de los #ngulos $olied%os son "a!(i/n los )e%"ices del $olied%o

Se##&7n 6ln:

Es a'uella 'ue %esul"a de in"e%sec"a% el $olied%o $o% !edio de un $lano.

g D&$onl:Es el seg!en"o de %ec"a 'ue une dos )/%"ices u(icados en ca%as dis"in"as.

POLIEDROS REGULARES

SACO OLIVEROS

EH

F P

RG

Q

C

B

A

D


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GEOMETRIA 6º PRIM.

Slo e2is"en B, los cuales "ienen a%is"as cong%uen"es, #ngulos died%os cong%uen"es

- #ngulos $olied%os cong%uen"es.

1. TETRAEDRO:Es"# o%!ado $o% : ca%as 'ue son "%i#ngulose'uil#"e%os. Tiene : )/%"ices - 6 a%is"as.

". EAEDRO:

Lla!ado "a!(i/n cu(o, es"# o%!ado $o% 6ca%as 'ue son cuad%ados. Tiene ; )/%"ices -4< a%is"as.

/. OCTAEDRO:Es"a o%!ado $o% ; "%i#ngulos e'uil#"e%os.

Tiene 6 )/%"ices - 4< a%is"as.

2. DODECAEDRO:Es"a o%!ado $o% 4< $en"#gonos %egula%es. Tiene


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GEOMETRIA 6º PRIM.

Tiene 4< )/%"ices - 30 a%is"as.

Resu!iendo "ene!os la siguien"e "a(la@

ACTI4IDAD: Con la a-uda de "u $%oeso% cons"%u-e los $olied%os %egula%es, T9$uedesJJJ

SACO OLIVEROS

N o m ; r e d e lP o l & e d r o R e $ % l r

F I G . N ú m e r o < F o r m d e l ! # r !

N ú m e r o d e4 r 9 & # e !

N ú m e r o d eA r & ! 9 !

T e " % a e d % o

E 2 a e d % oK c u ( o

O c " a e d % o

= o d e c a e d % o

I c o s a e d % o

< 4

< <

< 3

< :

< B

: T % i# n g u l o sE ' u i l # " e % o s

6 C u a d % a d o s

; T % i# n g u l o sE ' u i l # " e % o s

4 < P e n " # g o n o sR e g u l a % e s

< 0 T % i # n g u l o sE ' u i l # " e % o s

6

4 <

4 <

3 0

3 0

6

:

;

< 0

4


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GEOMETRIA 6º PRIM.

SACO OLIVEROS


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6 " o . G % a d o

L Ó G I C O M A T E M Á T I C O

GEOMETRIA 6º PRIM.

SACO OLIVEROSGEOMETRIA


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GEOMETRIA 6º PRIM.

SACO OLIVEROS


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GEOMETRIA 6º PRIM.

CAUC=> AUGUST)N

SACO OLIVEROS


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GEOMETRIA 6º PRIM.

Augus"n Louis Cauc&-, nacido el ERECIALES PARCIALES de Cauc&-o)ale)sa-a. Cauc&- ue el

$%i!e%o en &ace% un es"udio cuidadoso de las condiciones $a%a la

COVERGECIA de las SERIES en el in1ni"o7 "a!(i/n dio una de1nicin

%igu%osa de un in"eg%al inde$endien"e del $%oceso de die%enciacin -

desa%%oll la "eo%a !a"e!#"ica de elas"icidad. Sus "e2"os C!"# d$%n%&y#e

KCu%so en An#lisis, 4;


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GEOMETRIA 6º PRIM.

I. DEFINICIÓN. >igu%a 'ue se o%!a al uni% con seg!en"os de %ec"a,"%es $un"os no colneales

II. ELEMENTOS Sus ele!en"os son @,Lados,

I , ,

∧ ∧ ∧

→

→

→

→ α β θ

AB BC y AC

A B yCV0"-i+e#

1n2!&# n-e"i"e# % 3 y + 1n2!&# E*-e"i"e# y

III. CLASIFICACIÓN

1.- SEG?N LA LONGITUD DE SUS LADOS :

( T R I + N G U L O E * U I L + T E R O

S i s u s " % e s l a d o s s o n d eI G ? A L L O G I T ? =

C

; ( T R I + N G U L O I S Ó S C E L E S # ( T R I + N G U L O E S C A L E N O

S i d o s l a d o s " i e n e nI G ? A L L O G I T ? =

S i n i n g 9 n l a d o " i e n eI G ? A L L O G I T ? =

A

B

GE

F

H J

6 0 º 6 0 º

6 0 º

α αα θ

β

α = β = θ

".- SEG?N LA MEDIDA DE SUS +NGULOS

( T R I + N G U L O A C U T + N G U L O ; ( T R I + N G U L O R E C T + N G U L O # ( T R I + N G U L O O , T U S + N G U L O

S i s u s " % e s # n g u l o s s o nA G ? = O S

S i u n o d e s u s # n g u l o se s R E C T O

S i u n o d e s u s # n g u l o se s O Q T ? S O

C B

A

0 º 5 0 Fα

β α

β

α γ

0 º 5 0 Fβ 0 º 5 0 Fγ

A

Q

C C a " e " o

C a " e "o

i $ o " e n u s a

β 5 0 º α 5 0 º

I4. TEOREMAS FUNDAMENTALES

SACO OLIVEROS

A

Q

Ca

(

c

β

α

θ


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GEOMETRIA 6º PRIM.

1. S%m de lo! 'n$%lo! &n9erno! : La su!a de las !edidas de los #ngulosin"e%nos de un "%i#ngulo es 4;0FU

". +n$%lo E9erno : En "odo "%i#ngulo, la !edida de un #ngulo e2"e%noes igual a la su!a de las !edidas de los dos #ngulosin"e%nos no ad-acen"es al #ngulo e2"e%noU.

/.E&!9en#& de %n 9r&'n$%lo: En "odo "%i#ngulo un lado es !a-o% 'ue ladie%encia, $e%o !eno% 'ue la su!a de los o"%osdos lados.

a(

c

( c a ( V c−

E5em6lo!:1. Los lados de un "%i#ngulo !iden B - 8. Calcula% los )alo%es en"e%os 'ue $uede

"o!a% el "e%ce% ladoH

B 8

2

8 B 2 8 V B< 2 4 <

− W X 3 , : , B , 6 , 8 , ; , 5 , 4 0 , 4 4 Y

". Calcula% ZαZ en @ Re!ol%#&7n :

SACO OLIVEROS

A

B

C

180α + β + θ = °

A

B

C

γ = α + β

α

5 3 º

º143

º90º53

=

+=

α

α


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GEOMETRIA 6º PRIM.

P R A C T I * U E M O S

1. En la 1gu%a, calcula% α ". =e la 1gu%a, &alla% β

/. alla% θ 2. =el g%#1co, &alla% θ

3. =e la 1gu%a, &alla% * @. Calcula% δ

SACO OLIVEROS

α

8 B º: 0 º

A C

Q

QA

C

3 0 º

β

Q

A C

6 0 º

θ 6 0 º

< B º

< ; º θA C

Q

4 < 0 º

CQ *

A6 B º

8 0 º δ


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GEOMETRIA 6º PRIM.

. alla% * U en @ B. alla% nU en @

. Calcula% θU en @ 1. Calcula% * U en @

11. alla% %U en @ 1". alla% αU en @

SACO OLIVEROS

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