Geometria Vectorial. Aplicaciones Del Algebra Lineal

7/25/2019 Geometria Vectorial. Aplicaciones Del Algebra Lineal

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Unidad 2:Geometra Vectorial

Objetivo: Representar geomtricamente y operarvectores en IR2.Vector en el plano:Un punto en el plano ( IR2 ) puede representarse en el planocartesiano por P(x,y), donde x es la abscisa e y es laordenada.

P(x,y)

O(0,0)

Cada punto P(x,y) en IR2 tiene asociado un vector conpunto inicial O(0,0) y punto final P(x,y). A este vector lodenotaremos por y diremos que es el vector (x,y).OP

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El vector tiene asociada unadireccin, un sentido y unamagnitud:- Ladireccinest asociada ala posicin, en el plano, de larecta .

- El sentido lo determina lapunta de la flecha , en estecaso el sentido es desde elpunto inicial O hasta el puntofinal P.

- La longitud es la distanciaOP y est dada por .

P(x,y)

O

OP

22 yx +

OP

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Operatoria bsica de vectores en el planoSuma de vectores.Dados los vectores (x ,y) y (z ,w) en IR2, sedefine la suma de ellos como:(x ,y) + (z , w) = ( x + z , y + w )

Observe que la suma es un vector en IR2 .Ponderacin por un escalar.Dados un escalar k y el vector (x ,y) en IR2,se define el producto del vector (x ,y) por elescalar k, como:

k(x, y ) = (kx , ky )Observe que k(x, y ) tambin es un vector enIR2.

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PropiedadesDados ( x , y ) , ( z , w ) , ( t , u ), vectores en IR2 , y losescalares k1, k2 en IR , se tiene que:1) [( x ,y) + ( z ,w)] + ( t ,u) = ( x ,y) + [ ( z ,w) + ( t ,u)]Propiedad asociativa.2) (x , y) + (z , w) = (z , w) + (x , y)Propiedad conmutativa.

3) (0 , 0) + (x , y) = (x , y) + (0 , 0) = (x , y)Existencia de elemento neutro aditivo.4) (x , y) + (-x , -y) = (-x , -y) + (x , y) = (0 , 0)Existencia de elemento inverso aditivo.5) (k1+ k2) (x , y) = k1(x , y) + k2(x , y)6) k1[ (x , y) + (z , w) ] = k1(x , y) + k1(z , w)7) (k1k2) (x , y) = k1[ k2(x , y)] = k2[ k1(x , y)]8) 1(x , y) = (x , y)

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Proposicin:

a) El elemento neutro aditivo es nico ylo denotaremos por 0R2.

b) Para cada (x,y) IR2, el opuestoaditivo es nico y lo denotaremos por

- (x,y).

c) 0R2= 0R2, IR

d) 0R (x,y) = 0R2 , (x,y)IR2

e) (-1)(x,y) = -(x,y), (x,y)IR2

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Ejercicio.Verifique propiedades 1) y 6) para:(x , y) = (2 , 5), (z , w) = (0 , 3), (t , u)= (-3 , 2) y k1= 6 . Use formaalgebraica y forma grfica.

Diferencia de vectores.Dados los vectores (x , y) y (z , w) se define su diferencia o resta

por:( x , y ) - ( z , w ) = ( x , y ) + - (z , w )Observe que la diferencia tambin es un vector en R2.

Ejercicio.Represente grficamente la resta de vectores.Es posible escribir el vector (5, 4) como una combinacin lineal( esto es una suma de mltiplos escalares) de (1 , 0) y (0, 1) ?.Es posible escribir el vector ( a , b) como una combinacin linealde los vectores (1 , 2 ) y ( 1 , 1) ?.

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Vector localizado.Dados los puntos A(x , y) y B(z , w) en R2 . El vector

es equivalente al vector , donde O es el origen yP tiene como coordenadas (z - x , w - y). Esto es, y

tienen la misma direccin, sentido y longitud.

En este caso AB = OP =

OP

B

A

P

O

AB

OPAB

22 )yw()xz( +

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Objetivo: Determinar ecuaciones vectorial, paramtrica ycartesiana de rectas, en IR2.

Rectas en el plano IR2

Considere la recta paralela al vector (d1,d2) (0,0) (llamadovector director de la recta ) y que contiene al punto (a,b). Suecuacin en la forma vectorial es

(x , y) = (a , b) + k (d1, d2) ,donde k es un parmetro en IR

Al despejar x e y obtenemos:x = a + k d1 ; y = b + k d2 llamadas ecuaciones paramtricas dela recta en el plano.

Despejando el parmetro k de cada ecuacin e igualando seobtiene la ecuacin cartesiana de la recta en el plano.

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Vectores en el espacio

Objetivo: Representar geomtricamente y operar vectores enIR3.En forma similar al plano, pueden definirse los mismos conceptosen el espacio tridimensional ( IR3 ).

En este caso es el vector ( x , y , z ).

Los conceptos de direccin, sentido y

longitud son los mismos que en IR2.

z

P(x,y,z)

O y

x

OP

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Teorema.La longitud del vector (x , y , z) es .

Demostracin:

Considere la figura de la derecha,donde

OAB es rectngulo en A y OPB

es rectngulo en B.

Si ( x , y , z ) son las coordenadas deP,

entonces (OB)2 = x2 + y2 , adems

(OP)2 = z2 + (OB)2.

As (OP)2 = x2 + y2 + z2 , dedonde

OP =

222 zyx ++

222 zyx ++

P

O

A B

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Definicin: Sean v1 = (x ,y, z) , v2 = (t , u, w)vectores en R3. Se dice que v1 = v2 si, y slo si ,x = t , y = u , z = w.

Operatoria con vectores en el espacioSuma de vectores:Definicin:Dados los vectores (x,y,z) y (t,u,w)en R3, se define la suma de ellos como:

(x ,y, z) + (t, u , w) = ( x + t , y + u , z + w )

Observe que la suma de vectores en IR3 es unaoperacin cerrada o ley de composicin internade IR3 x IR3 en IR3.

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Ponderacin por un escalar:Definicin: Dados un escalar k y elvector (x,y,z) y en IR3, se define el

producto del vector (x,y,z) por el escalar k,como:

k (x ,y, z) = ( kx , ky , kz )

Observe que este producto es una ley decomposicin externa de IRx IR3, en IR3.

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Propiedades

Para todo ( x , y , z ) , ( t , u , w ) , ( a , b , c ), vectores en IR3 , y losescalares k1, k2 en IR , se tiene que:

1) [(x, y, z) + (t, u, w)] + (a, b, c) = (x, y, z) + [(t, u, w) + (a, b, c)]Propiedad asociativa.2) ( x , y , z ) + ( t , u , w ) = ( t , u , w ) + ( x , y , z )

Propiedad conmutativa.3) (0 , 0, 0) + ( x , y , z ) = ( x , y , z ) + (0 , 0 , 0) = ( x , y , z )Existencia de elemento neutro aditivo.4) ( x , y , z ) + ( -x , -y , -z ) = ( -x , -y , -z ) + ( x , y , z ) = (0 , 0 , 0)Existencia de elemento inverso aditivo.5) (k1+ k2) ( x , y , z ) = k1( x , y , z ) + k2 ( x , y , z )6) k1[( x , y , z ) + ( t , u , w ) ] = k 1( x , y , z ) + k1( t , u , w )7) (k1k2) ( x , y , z ) = k1[ k2( x , y , z ) ] = k2[ k1( x , y , z ) ]8) 1 ( x , y , z ) = ( x , y , z )

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Proposicin:

a) El elemento neutro aditivo es nico ylo denotaremos por 0R3.

b)Para cada (x,y,z)IR3, el inverso aditivoes nico y lo denotaremos por -(x,y,z).

c) 0R3= 0R3, IR

d) 0R (x,y,z) = 0R3 , (x,y,z)IR3

e) (-1)(x,y,z) = -(x,y,z), (x,y,z)IR3

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Diferencia de vectores.La propiedad 4), nos permite definir la resta o diferencia devectores:Definicin:Dados los vectores (x,y,z) y (t,u,w) en R3, se define suresta o diferencia, como:(x ,y, z) - (t, u , w) = (x ,y, z) + -(t, u , w)

Observe que la diferencia tambin es un vector en R3.

Ejercicio.Represente grficamente la adicin de vectores, el producto porescalar y la resta de vectores.Es posible escribir el vector (3, 4, 5) como una combinacinlineal de (1, 0, 0) , (0, 1, 0) y (0, 0, 1) ?. Represente grficamente.

Notacin: i = (1, 0, 0) , j = (0, 1, 0) , k = (0, 0, 1)

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Objetivos:- Determinar si dos vectores son paralelos o perpendiculares.- Aplicar la geometra vectorial para demostrar teoremas deGeometra Euclideana.Vector localizado.Dados los puntos A(x , y, z ) y B(t, u, w) en R3 . El vector esequivalente al vector , donde O es el origen y P tiene como coordenadas(t - x , u y , w - z). Esto es, y tienen la misma direccin, sentido ylongitud.

En este caso AB = OP =

OP

B

A

P

O

AB

OPAB

222 )zw()yu()xt( ++

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Definicin:Dos vectores son paralelos, si y slo si,existe un nmero k diferente de cero, tal que

B - A = k (D - C).

Si k>0, tienen el mismo sentido.

Si k


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Propiedades:Para todo k escalar y vectores u, v en IR3, se

tiene que:

vu)v,u(dist)4

)0v0v(y0v)3vkkv)2

vv)1

=

>

=

=

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ngulo entre vectoresDefinicin: Dados dos vectores no nulos, sedefine el ngulo entre ellos como el ngulo

determinado por sus vectores localizados en el

origen.

Notacin:

O

1800donde)v,u(


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Producto Cruz en IR3

Definicin:Sean u=(u1,u2,u3) , v =(v1,v2,v3),vectores en IR3. Se define el producto cruz de

u ,v por:

El producto cruz es una funcin de IR3xIR3 enIR3.

321

321

vvv

uuu

kji

vu =

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Propiedades:Para todo k1, k2 escalares reales; u, v, w, t,

vectores en IR3, se tiene que:

)v,u(donde),(senvuvu)8

LagrangdeIdentidad)wv)(tu()tv)(wu()tw)(vu()7

w)vu()wv(u)6

v)vu(u)vu()5

w)vu(v)wu()wv(u)4

w)vk(w)uk(w)vkuk()3

)vk(uv)uk()vu(k)2

uvvu)1

2121

111

==

=

=

=

+=+

==

=

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Observacin:

La propiedad 8) se utiliza para calcular el reade un paralelgramo. Esto es:

vu)(senvu)v,u( .par ==

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Objetivos:- Determinar ecuaciones vectorial, paramtrica y cartesiana de rectas y planos.- Determinar paralelismo y perpendicularidad entre rectas, entre planos y rectascon planos.

Rectas en el espacio IR3.Definicin:El conjunto L= {vIR3 / v = P + kD ; k IR}, donde P es un punto en IR3 y D esun vector no nulo en IR3 , es una recta, paralela al vector D = (d1, d2, d3) ( 0, 0, 0)(llamado vector director) y que contiene al punto P = ( a , b , c ).

P + kD

P

L

kD

D

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Su ecuacin en laforma vectoriales:

v = P + kD, o bien,

(x, y , z) = (a, b, c) + k (d1, d2, d3) donde k es unparmetro en IR.

Al despejar x , y , z obtenemos:

x = a + k d1 ; y = b + k d2 ; z = c + k d3; k IRllamadas ecuaciones paramtricas de la recta en elespacio.

Despejando el parmetro k de cada ecuacin eigualando se obtiene las ecuaciones cartesianas (osimtricas) de la recta en el espacio.

0d,d,dsi;

d

cz

d

by

d

ax321

321

=

=

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Definicin: Sean L1 y L2 rectassecantes, entonces el ngulo formado porstas es el ngulo formado por susvectores directores.

En particular si el ngulo que forman losvectores directores es de 90, entonces lasrectas se dicen ortogonales. Cuando sonsecantes se dicen perpendiculares.

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Proyeccin de un punto sobre una recta:Proposicin: Sea la recta L: v = P + kD y Qun puntoen IR3, entonces la proyeccin ortogonal del punto Q sobre L estdada por:

Q

L

PL(Q)

[ ]D

D

)PQ(P)Q(P L +=

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Distancia de un punto a una recta:Proposicin: Sea la recta L: v = P + kD y Qun puntoen IR3, entonces la distancia del punto Q a L est dada por:

Q

} dist (Q, L)

L

)Q(PQ)L,Q(dist L=

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Planos en el espacio IR3.Definicin:El conjunto P= {v IR3 / v = P + kD +k`D` ; k, k`IR},donde P es un punto en IR3 y D , D son vectores no nulos en IR3 , es unplano. El plano Pes paralelo a los vectores D = (d1, d2, d3) ( 0 , 0 , 0) yD`= (d`1, d`2, d`3) ( 0 , 0 , 0) (llamados vectores directores), y contiene alpunto P = ( a , b , c ).

P

P+ kD + k`D`

P

D kD

D` kD + k`D`

K`D`

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Su ecuacin en laforma vectoriales:

v = P + kD + k`D`, o bien,

(x,y,z) = (a,b,c) + k(d1,d2,d3) + k`(d`1,d`2,d`3) donde k yk` son parmetros en IR.

Al despejar x , y , z obtenemos:

x = a + kd1 + k`d`1y = b + kd2+ k`d`2z = c + kd3+ k`d`3k , k` IR.

Estas ecuaciones son llamadas ecuacionesparamtricas del plano en el espacio.

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Si se conocen un punto P, perteneciente al plano, y un vector N,perpendicular al plano (vector normaldel plano), puede obtenerseotro tipo de ecuaciones para el plano:

Ecuacin normaldel plano(v - P)N = 0

Reemplazando v = (x,y,z) ; P = (a,b,c) ; N = (A,B,C) y desarrollandola ecuacin normal se obtiene una ecuacin de la forma

Ax + By + Cx + D = 0 ; donde A, B, C, DIR, fijos.Esta ltima ecuacin es llamada laecuacin cartesianadel plano.

N

PP

v

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Cmo obtener un vector

normal del plano, conociendodos vectores directores?

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Observacin:Si P1 y P2 son planos que seintersectan, entonces puede determinarse elngulo (agudo o recto) formado por ellosconociendo el ngulo formado por sus vectoresnormales.

En particular, si el producto punto de losvectores normales de los planos es cero,entonces los planos son perpendiculares.

Si los vectores normales de los planos tienen lamisma direccin, entonces puede ocurrir que losplanos sean coincidentes o paralelos.

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Proyeccin de un punto sobre un plano:Proposicin: Sea el plano P: ( v - P )N = 0 y Q unpunto en IR3, entonces la proyeccin ortogonal del puntoQ sobre Pest dada por:

Q

P

[ ]NN)QP(Q)Q(P +=P

PPPPP(Q)

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Distancia de un punto a un plano:Proposicin:Sea el plano P: ( v - P )N = 0 yQun punto en IR3, entonces la distancia del punto Q alplano Pest dada por:

QP

NQPQdist )()P,( =

} dist(Q,P)

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